EKONOMETRIA

STANISŁAW BARCZAK

wykład 1 18.02.2014

wielokrotny wybór, brak pkt. ujemnych

literatura w sylabusie,

funkcje ekonometryczne w Excelu

podręczniki :

Magdalena Osińska : „Ekonometria Współczesna” – zadania raczej z komputerem

Edward Nowak : „Zarys Metod Ekonometrii” zbiór zadań – tutaj są zadania rozwiązane krok po kroku, warto ją wypożyczyć.

MODELOWANIE DZIAŁALNOŚCI PRZEDSIĘBIORSTWA

ROZWÓJ METOD EKONOMETRYCZNYCH

Frish (1936r) prawdopodobny twórca nazwy „ekonometria"– unifikacja teorii ekonomii, statystyki i matematyki. Główny cel ekonometrystów to przewidywanie cykli koniunkturalnych. Początek od stworzenia zakłóconego ruchu wahadła (analogia do wahań giełdowych).

Ekonometria czyli mierzenie w ekonomii - zastosowanie metod statystycznych i matematycznych do analizy danych ekonomicznych w celu nadania teoriom ekonomicznym kontekstu empirycznego oraz ich potwierdzenia bądź odrzucenia.

G. S. Maddala

Oznacza to, że Ekonometria nie jest nauką teoretyczną, ona służy zastosowaniom praktycznym.

+ Historia metod ekonometrycznych.

I era – era klasycznej metody najmniejszych kwadratów, modele TIMBERGENA, działy: analiza popytu konsumpcyjnego, podaży, kosztów produkcji, wydajności pracy.

II era – rozwój estymacji 2MNK i 3MNK, metody zmiennych instrumentalnych, powstały modele Kleina, Kleina- Goldbergena, podejście przyczynowo-skutkowe.

III era – zastosowanie analizy mnożnikowej, Goldberger w 1956 roku, powstaje analiza przepływów międzygałęziowych.

Po II WŚ można powiedzieć, że ekonometria jest już nauką.

IV era – wprowadzenie analizy spektralnej do ekonometrii, prekursorzy tego to Jevons i Moore, lata 60te to panowanie analizy spektralnej

V era – komputeryzacja, powstają makromodele będące podstawą symulacji i prognozowania, metody „input-output”.
Możliwe staje się prowadzenie badań o charakterze symulacyjnym.

VI era – Rozwój makromodelowania. Budowa modeli międzynarodowych obejmujących całe kontynenty jak i również świat. Tego typu modele zaliczane są do modeli budowanych w ramach systemu LINK (Link Project Forecast 1983)

!!! NIE TRZEBA BYŁO TEGO PISAĆ

Model ekonometryczny a model ekonomiczny.

Model ekonomiczny to zbiór zbiór założeń, które w sposób przybliżony opisują zachowanie sie gospodarki sektora gospodarki

Model ekonometryczny to :

• zbiór równań behawioralnych

• deklaracja czy obserwowane zmienne zawierają błędy obserwacji

• specyfikacja błędów pomiaru - zakłóceń

Model ekonomiczny :
modele MATEMATYCZNE
1) q = α + βp β<0 jeżeli cena wzrośnie o jednostkę, to popyt spadnie o wartość parametru beta
2) q = Ap^B β<0
q – popyt
p – cena
Konkluzja : teoria ekonomii rzadko daje odpowiedź na temat postaci funkcyjnej proponowanych zależności, ale ona te rzeczy weryfikuje.

Równanie behawioralne, model EKONONOMETRYCZNY
q= α+ βp + u
u – zmienna losowa, zakłócenia losowe,
α,β – parametry nieznane.

ZAKŁÓCENIE LOSOWE : u

(specyfikacja rozkładu prawdopodobieństwa zmiennej losowej u) :

1. E (u|p) = 0 warunkowa wartość oczekiwana jest równa zero
   u – niezależne od regresowa i niezależne od samego siebie.

2. wartości zmiennej u dla różnych obserwacji mają wzajemnie niezależne rozkłady normalne ze średnimi równymi 0 i wariancjami równymi σ²

CELE EKONOMETRII:

• formułowanie modeli ekonometrycznych - formułowanie modeli ekonomicznych w postaci nadającej sie do weryfikacji empirycznej (najważniejszy punkt)

• estymacja i weryfikacja modeli ekonometrycznych

• zastosowanie modeli do prognozowania i symulacji

Jak wygląda ten proces? (nie trzeba było tego przepisywać)

Teoria ekonomiczna lub model ekonomiczny

Model ekonometryczny Dane

Estymacja

Testowanie specyfikacji oraz
weryfikacja modelu (diagnostyka)

NIE Czy model jest odpowiedni? TAK

Weryfikacja hipotez modelu ekonometrycznego


Wykorzystanie modelu ekonometrycznego

KONKLUZJA: Ekonometria nie ma wyraźnie określonych granic.

Należy rozważać ją w powiązaniu z:

- ekonomią matematyczną - zajmującą się matematycznym formułowaniem teorii ekonomicznych; czyli eksperymentem
myślowym

- teorią ekonometrii - konstrukcja modeli ekonometrycznych i opisu danych

- statystyką ekonomiczną - zbieranie, gromadzenie i organizacja danych statystycznych

PRZEDMIOTEM ANALIZY EKONOMETRYCZNEJ JEST:

• konstrukcja modelu ekonometrycznego

• estymacja parametru modelu ekonometrycznego

• szeroko pojęte wnioskowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

DOBÓR ZMIENNYCH OBJAŚNIAJĄCYCH DO MODELU EKONOMETRYCZNEGO

MODEL JEDNEJ ZMIENNEJ

Yt = σ₁X_1t + σ₀ + ξt ξt ~N(0;σ²)

część deterministyczna
modelu

lewa strona - zmienna endogeniczna :
- jest zmienna o charakterze ilościowym - nie reprezentuje procesów jakościowych

- stanowi cel naszego badania

prawa strona - zmienna objaśniająca X_1t (regresor/ zmienna niezależna)

- też ma wyłącznie charakter ilościowy

X_1t ta zmienna jest zmienną, która wyjaśnia kształtowanie się zmiennej endogenicznej, tak jak na produkcje wpływa kapitał, praca itd.

α₁, α₀ - nieznane parametry strukturalne modelu , które w drodze estymacji zostaną w przybliżeniu poznane

α₀ - parametr wolny modelu

oba parametry są istotne statystycznie i podlegają interpretacji

ξ- jest częścią stochastyczną modelu, jest składnikiem losowym, ξt pochodzi z rozkładu normalnego o średniej zero i pewnej wariancji sigma kwadrat (która jest stała w czasie)

MODEL WIELU ZMIENNYCH :

Yt = α₁X_1t + α₂x_2t + α₀ + ξt
Yt = α₁X_1t + α₂X_2t + α₃X_3t-1 + α₀ + ξt

Model liniowy, regresja 3 zmiennych.

Zasady doboru :

1) Zmienne objaśniające są istotnie skorelowane z punktu widzenia statystycznego ze zmienną endogeniczną Yt

2) Zmienne objaśniające są nieistotnie skorelowane pomiędzy sobą

przykład

Ro = 0,86 oznacza to, że korelacja Y z X1 to 0,86, kierunek korelacji (-) nas nie interesuje na razie.
-0,96 korelacja Y z X2 to -0,97

wektor korelacji pomiędzy
zmienną endogeniczną a poszczególnymi
zmiennymi objaśniającymi

1) Zakładamy, że znamy wartość krytyczną współczynnika korelacji (bo sobie ją policzyliśmy) i to r^*=0,6
2) Musimy teraz zbadać 2 zasadę, czy zmienne objaśniające nie są przypadkiem skorelowane między sobą.
Czyli : mogę tutaj stworzyć macierz i będzie ona skonstruowana tak : na głównej przekątnej będę miała korelacje zmiennej z tą
samą zmienną.

R = 1 0,2
0,2 1

Korelacja x1 z x2 jest na poziomie 0,2 i jest mniejsza od 0,6 czyli jest nieistotna statystycznie, czyli to oznacza, że oba regresowy mogą znaleźć się po prawej stronie równania -> dlatego, że z punktu widzenia korelacji one są niezależne od siebie, czyli każda ma swój indywidualny wkład w kształtowanie się Y.

gdyby tam, gdzie jest 0,2 byłoby 0,7 to te dwa regresowy nie mogłyby się znaleźć po prawej stronie równania, bo skoro one są istotnie skorelowane między sobą (to znaczy, że one tak samo wpływają na Y) to niepotrzebne nam są dwa regresowy.

Wybieramy regresor drugi, ostatecznie nasz model wyglądałby w ten sposób : (w tym przypadku z 0,7, w poprzednim oba regresowy by zostały)
Yt = α₂x_2t + α₀ + ξt
Dobór zmiennych objaśniających za pomocą metody wskaźników pojemności informacyjnej

1) Indywidualny wskaźnik pojemności informacyjnej :












2) Integralny wskaźnik pojemności informacyjnej:

Wykład 2 05.03

SZACOWANIE PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU EKONOMETRYCZNEGO - KLASYCZNA METODA NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW

Model ekonometryczny:

Y_t = α1X1t+α0 + ξt świat rzeczywisty

Mamy model który chcemy opisać. Mamy zmienną endogeniczną – objaśniającą: X1t to będzie cena.

Jeśli byłaby to sprzedaż to musi być założenie ze alfa 1 < 0. Jeżeli cena wzrośnie o 1 jednostkę to spowoduje to przeciętny spadek sprzedaży o wielkość parametru alfa.

Oszacowania parametrów strukturalnych nigdy nie będą do końca znane, znamy tylko ich szacunki.

** przy modelu matematycznym będziemy znać dokładne wartości parametrów

** przy modelu ekonometrycznym znamy tylko szacunki, które są na poziomie przeciętnym

Mamy dane, które obserwowaliśmy przez jakiś okres czasu.

Y - to nasz świat rzeczywisty (konkretny pomiar) np. dzienna sprzedaż

W momencie, gdy zastosujemy metodę najmniejszych kwadratów i oszacujemy parametry to będziemy w stanie zrealizować to, że model zacznie generować świat teoretyczny.

po oszacowaniu powstaje:

Y_t = 2,5 X1t + 1 + U_t

Y*_t = 2,5 X1t wartości teoretyczne modelu

sedno metody : od świata rzeczywistego odejmuje teoretyczny i podnoszę to do kwadratu i sumuje i ma być to najmniejsze .

*** jeśli by tego nie potęgować to suma być wyniosła 0. to średnia tez równa 0. Wynika z tego, że średnio rzecz biorąc w ogóle się nie mylę .

*** a przy kwadratach wyjdą jakieś równicę i będzie to wartość oznaczająca możliwą pomyłkę. Będą błędy w odpowiednich punktach

Idea KMNK:

• wyznaczenie ocen a₁, a₂, ..... a_k, parametrów strukturalnych, parametrów a₁,a₂,.... a_k strukturalnych, aby suma kwadratów odchyleń zaobserwowanych wartości zmiennej endogenicznej Y_t od jej wartości teoretycznych obliczonych na podstawie oszacowanego modelu była najmniejsza.

• dany jest jednorodzajowy model ekonometryczny (dynamiczny):

Yt = a1X1t + a2X2 + …. + a_k-1 X_k-1t + a_k + ξt

• przy czym k-ta zmienna objaśniająca przyjmuje zawsze wartości 1

• t = 1,2,…n

• a1 – parametr wolny

• ξ_t – epsilnion - składnik losowy

• Fachowe określenie różnicy między światem rzeczywistym a teoretycznym to RESZTA MODELU

• gdy model jest po oszacowaniu z eplinion (ξ - składnika losowego) pojawia się U_t i jest to składnik resztowy

• Może on być obliczony dopiero w momencie gdy zostały wygenerowane pewne wartości teoretyczne

  • Składnik losowy pochodzi z rozkładu normalnego o średniej równej 0 i stałej wariancji ơ²

  • Składnik resztowy to reprezentacja składnika losowego dla konkretnego modelu (musi spełnić te same założenia co są nałożone na składnik losowy: średnia = 0 i stała wariancja)

• Składnik resztowy tak jak i składnik losowy jest niezależny od regresorów (nie zależy od realizacji zmiennej objaśniającej) nie jest autoskorelowany czyli nie zależy sam od siebie oraz nie zależy od X1 (zmiennych objaśniających)

suma kwadratów reszt w metodzie najmniejszym kwadratów ma być minimalna !!!!!!!!!!!

KRYTERIUM METODY NAJMNIEJSZYCH KWADRATÓW NA NASTĘPUJĄCĄ POSTAĆ:

1. Jest to model po oszacowaniu dla regresji jednej zmiennej

Yt = a1X1 + a2X2 + a0 + Ut jest to zapis za pomocą symboli:

zamiast α a

zamiast ψ Y_t

Ψ = Ʃ (Y_t – a₁X_1t – a₀) ²

Świat świat

rzeczywisty teoretyczny

Ψ = ∑ (Y_t – Y_t*)2 min (Y_t – Y_t*) = u_t

RESZTA MODELU

Ψ = Ʃ U_t² min

1. Ogólny przypadek

Ψ = ∑ (y_t – a₁X_1t – a₂X_2t - .... – a_k-1 X_(k-1)t –a_k)² min.

czyli wartości teoretyczne modelu dane są jako:

Y*t = a₁X_1t + a₂X_2t + ... + a_k-1 X_(k-1)t + a_k

Ostateczna postać funkcji kryterium KMNK dana jest jako:

Ψ = ∑ (y_t – y_t*)2 min

(y_t – y*_t) = U_t (t =1,2…n)

Mając ten wzór trzeba znaleźć odpowiednie formuły na poszczególne parametry. Gdy mamy jedną zmienną nie jest to większy problem, lecz gdy dodamy do tego modelu kolejna zmienna musimy szukać nowych formuł (stworzyć układ równań i go rozwiązać). Staje się to mało efektywne dlatego lepiej jest rozwiązać ten układ równać w układzie macierzowym. Wówczas uzyskamy jedną formułę dla dowolnej liczby parametrów i nie trzeba za każdym razem liczyć nowej formuły dla innego parametru.

UKŁAD MACIERZOWY:

y₁ x₁₁ x₁₂ …. X_1,k-1 1

y₂ x₂₁ x₂₂ …. X_2,k-1 1

y = …. X = … … ... ... ...

y_n x_n1 x_n2 …. Xn_,k-1 1

wektor kolumnowy macierz obserwacji dla k-zmiennych

reszty zmiennej objaśniających

endogenicznej

α₁ a₁ ξ₁

α ₂ a₂ ξ₂

a = …. a = …. ξ = ….

α _k a_k ξ_n

wektor kolumnowy wektor kolumnowy ocen wektor kolumnowy

parametrów strukturalnych parametrów strukturalnych modelu składników losowych modelu

u₁ y*₁

u₂ y*₂

U = …. y* = ….

u_k y*_k

wektor kolumnowy składników wektor kolumnowy wartości

resztowych modelu teoretycznych modelu

Dochodzenie do formuły ocen parametrów strukturalnych (oszacowanie parametru)

Model dany jest jako

Yt = α1X1t + α2X2t + ... + αk-1X(k-1)t + αk + ξt

Natomiast w zapisie macierzowym ma następującą postać

Y = Xα + ξ

Wektora wartości teoretycznych zmiennej endogenicznej Y ma postać

Y* = Xα

Funkcja kryterium KMNK dana jest jako

Ψ = (y - X_a)’ (y – X_a) min

• y – wartości rzeczywiste

• X_a – wartości teoretyczne

• Prim ‘ - transpozycja

wykonując iloczyn otrzymujemy:

Ψ = y’y - yX_a – a’X’y +a’X’ X_a min

*** w układzie macierzowym do formuły dochodzimy raz i zawsze ją już stosujemy

po przekształceniu otrzymamy

y = y’y – 2a’X’y + a’X’X_a

jest to uporządkowany zapis macierzowy

wyznaczamy pochodne cząstkowe względem wektora a i przyrównujemy do zera czyli:

$\frac{\text{δ\ Ψ}}{\text{δ\ a}} = \ - 2\ X^{'}y + 2\left( X^{'}X \right)a = 0$

(X’X)a = X’y

det (X’X) > 0

*** w zapisie skalarnym (nie macierzowym) dla każdego równania musielibyśmy wyznaczyć pochodną cząstkową

i przyrównać ją do zera

po przekształceniu otrzymujemy kolumnowy wektor ocen parametrów strukturalnych modelu czyli

a = (X’X) ^-1 X’Y

*** czemu takie założenie?

• Jeżeli wyznacznik =0 to macierz byłaby osobliwa i nie istniałaby macierz odwrotna i nie istnieje estymator najmniejszych kwadratów ;

• ale może się coś takiego zdarzyć

ZASTOSOWANIE KMNK WYMAGA SPŁENIENIA NASTĘPUJACYCH ZAŁOŻEŃ

1. ZAŁOŻENIA KLASYCZNE

• postać modelu jest liniowa względem parametrów (bądź sprowadzalna do liniowej)

• zmienne objaśniające są wielkościami nielosowymi

• zmienne objaśniające nie wykazują wpsółliniowości - co onzacza brak dokładnej zależności liniowej

  • współliniowość zdarza się gdy stosujemy sztuczne wartości, które są źle zdefiniowane

2 4

X’X = 4 8 = 2*8 – 4*4 = 0 nie można oszacować parametru strukturalnego modelu

1. POZOSTAŁE ZAŁOŻENIA

• wartość oczekiwana składnika losowego jest równa 0

składnik losowy ξ E(ξ) = 0

• Jeżeli model jest dobrze specyfikowany to proces, który badamy jest procesem linowym

• Korelacja składnika losowego jest równa D2(ξ) = σ2

  • składnik losowy pochodzi z rozkładu normalnego (0;1)

  • σ2 powinna być stała w czasie, aby być pewnym i nie podnosić ryzyka

• nie występuje autokorelacja składnika losowego (nie jest zależny sam od siebie)18

  • autokorelacje zawsze liczymy w czasie

  • realizacje składnika losowego muszą być losowe jeśli jego realizacja w momencie bieżącym zależałaby od realizacji z momentu poprzedniego to wówczas nie byłby on losowy i występowałaby autokorelacja

• kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających składnik losowy nie jest skorelowany ze zmiennymi objaśniającymi

O czym należy pamiętać:

**** model ten służy do prognozowania przyszłości

**** zawsze występuje ryzyko

PRZYKŁAD dla jednej zmiennej objaśniającej

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu produkcji:

Yt

y’ niebieska linia - TREND

α₁

y α

x x’ X_it

1

(Tabela została pokazana dosłownie na sekundę wiemy tylko, że X to ilość zatrudnionych osób a Y to produkcja w tysiącach sztuk)

Model jest liniowy to korelacja też jest liniowa. Wiemy to na podstawie wykresu rozrzutu.

Jeśli znamy wykres rozrzutu to wiemy jaka będzie interpretacja wyników = czego mogę się spodziewać

INTERPRETACJA WYKRESU ROZRZUTU

• rozmieszczenie punktów względem siebie: pas jest zbity, zwarty tolerancja miedzy x a y jest istotna (wysoka)

• kształt pasa punktów: przypomina linie proste jest to MODEL LINIOWY

• rozmieszczenie punktów względem układu: im dalej od początku układu tym mniej punktów punkty na początku są to wartości najczęstsze, im dalej tym wyższe wartości i są one coraz rzadsze)

• rozmieszczenie punktów względem linii trendu: punkty są jak najbliżej trendu odległości między światem teoretycznym a rzeczywistym maja być minimalne

• kat pomiędzy linią trendu a osią x: α = 45 ° ; jest tak zazwyczaj i wówczas wzrost Y w stosunku do X jest zrównoważony (zależności są mało elastyczne)

KOMENTARZ DO WYKRESU ROZRZUTU:

wzrost X o 1 jednostkę spowoduje przeciętny wzrost Y o wartość parametru a₁

( wzrost - wzrost = zależność dodatnia) parametr „a” będzie ze znakiem "+"

PRZECHODZIMY DO MODELU:

Kolumnowy wektor realizacji zmiennej endogeniczne oraz macierz X realizacji zmiennych objaśniających dane są jako:

Najstarsza realizacja

35,2 28 1 realizacje średniej zmiennej stojące przy parametrze 0

33,8 24 1

y = …. X = … ...

46,8 32 1

Najmłodsza realizacja realizacje zmiennej X_1t

z tego okresu

Mamy układ macierzowy możemy zastosować formułę na wektor ocen parametrów strukturalnych:

a = (X’X) ^-1 X’Y

następuje transpozycja

X’X = 18537 597

587 20

Wyznacznik jest różny od 0

(X’X)’ = 0,0014 - 0,0417

- 0,0417 1,2935

Jest to macierz odwrotna; jest symetryczna do głównej przekątnej, która musi być dodatnia ponieważ pojawi się na niej wariancja (ơ²), która nie może być ujemna

X’X = 26772,3

865,2

a = 1,2303 a₁ Yt = 1,3203 X1t + 3,8483 + Ut

3,8483 a₀

INTERPRETACJA PARAMETRÓW

Zagadnienie koincydencji

• jeżeli policzymy korelacje liniową Pearosna i jest ona dodatnia to taki sam znak musi być przy zmiennej X (bo musi być związek przyczynowo-skutkowy)

dany jest model :

Yt = 1,3203 X1t + 3,8483 + Ut

oraz współczynnik korelacji liniowej Pearosna między produkcją a zatrudnieniem

r=0,9349

zasada koincydencji głosi, że:

sgn (r_xy) = sgn (a₁)

OSTATECZNA INTERPRETACJA

• a1 - wzrost zatrudnienia o 1 osobę (jednostkę) spowoduje przeciętny wzrost produkcji o 1,3203 tysiąca sztuk

• 3,8483 tysiąc sztuk - taką średnią wartość przyjmie wielkość produkcji w przypadku gdy zatrudnienie X_1t będzie równe 0

DODOATKOWE INFORMACJE:

*** zdarza się tak ze parametr wolny ma niewłaściwą interpretacje ekonometryczną

*** jeżeli okaże się, że parametr ten jest nieistotny = nieprecyzyjny, to produkcja będzie równa 0 przy zatrudnieniu wynoszącym 0

Wykład 3 19.03.

Na podstawie danych statystycznych zamieszczonych w tablicy oszacować parametry strukturalne modelu produkcji :

Y_t= a₁X_1t+a₂X_2t+α₀+ξ₁

Gdzie
Y_t - produkcja (tys. Szt.)

X_1t - zatrudnienie (osoby)

X_2t - majątek w tys. zł,.

wykres rozrzutu

Y 35,2 X 28 34 1

33,8 24 41 1

... .....

46,8

ostatecznie model przyjmie taka postać : Y_t= 1,1085X_1t + 0,0581 X_2t + 6,9042 + U_t

parametru wolnego nie rozważamy

+ oba parametry są dodatnie, a więc mamy prawo interpretować przyczynowo – skutkowo

• Wzrost zatrudnienia X_1t o jedną osobę spowoduje(ponieważ parametr jest dodatni) przeciętny wzrost wielkości produkcji o 1,1085 tys. sztuk. -> gdyby to była regresja z jedną zmienną objaśniająca tak wyglądałaby interpretacja, ale musimy dodać - … pod warunkiem, że majątek X_2t nie ulegnie zmianie

• Wzrost majątku X_2t o 1 tys. złotych spowoduje przeciętny wzrost produkcji o 0,0581 tys. sztuk pod warunkiem, że zatrudnienie X_1t nie ulegnie zmianie.

• a0 małe = 6,9042 tys. sztuk - taką przeciętną wielkość przyjmie produkcja w przypadku, gdy zmienne objaśniające X_1t i X_2t będą równe zero.

Zagadnienie koincydencji

Dany jest model :

Y_t = 1,1085 X_1t + 0,0581 X_2t + 6,9042 + U_t

oraz współczynnik korelacji liniowej Pearsona między produkcja a zatrudnieniem : r= 0,9349

sgn (rx_1t , y_t) = sgn (α₁)

oraz współczynnik korelacji liniowej Pearsona między produkcją a majątkiem r = 0,8897

sgn ( rx_2t y_t ) = sgn (σ₂)

WERFIKACJA MODELU EKONOMETRYCZNEGO

oznacza :

1) zbadanie, czy oszacowany model jest zgodny z rzeczywistością (kierunek wpływu zmiennych objaśniających jest zgodny z
rzeczywistością)

2) zbadanie czy model ekonometryczny jest wystarczająco precyzyjny - to znaczy, że parametry, które uzyskaliśmy są na
akceptowalnym poziomie precyzji – są z punktu widzenia statystycznego istotne.

3) zbadanie czy zmienne objaśniające istotnie wpływają na zmienną endogeniczną

4) zbadanie czy spełnione są założenia Metody Najmniejszych Kwadratów

- zmienne objaśniające nie są losowe
- składnik losowy nie zależy od zmiennych objaśniających
- suma kwadratów reszt = 0
- reszty pochodzą z rozkładu normalnego o średniej zero i wariancji sigma kwadrat.

Miary struktury stochastycznej

• Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

Przy spełnionych warunkach MNK nieobciążonym estymatorem wariancji resztowej jest wariancja resztowa wyznaczona według następującej formuły.

$\mathbf{\text{Su}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k\ }}\mathbf{\text{\ \ }}\sum_{\mathbf{I = 1}}^{\mathbf{n}}{{\mathbf{(}\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}\mathbf{- \ }\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{*}}\mathbf{)}}^{\mathbf{2}}\mathbf{= \ \ }\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k}}\sum_{}^{}{\mathbf{U}_{\mathbf{t}}}^{\mathbf{2}}}$
n – liczba obserwacji
k - liczba szacowanych parametrów
Y^* - wartość teoretyczna uzyskana na podstawie modelu
U_t – reszta modelu

Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej daje tzw. odchylenie standardowe reszt czyli : $\mathbf{\text{Su}}\mathbf{= \ }\sqrt{\mathbf{\text{Su}}^{\mathbf{2}}}$

Interpretacja odchylenia standardowego :

Odchylenie standardowe informuje o ile średnio rzeczy biorąc in plus bądź in minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model.

• Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku

- średnie błędy szacunku to badanie precyzji oszacowania parametrów strukturalnych

Przy spełnionych warunkach MNK macierz wariancji i kowariancji dana jest następującą formułą :

D²(α)=φ²(X^′X)⁻¹

Gdzie φ² = Su²
D²(α) =  Su²( X^′X)⁻¹

• Miary struktury stochastycznej (wariancja resztowa oraz macierz wariancji i kowariancji) modelu związane są ze zmienną

• Miarą precyzji estymacji parametrów strukturalnych są średnie błędy szacunku

• Kwadraty błędów szacunku znajdują się na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji. Pierwiastek wariancji estymatora daje zatem średni błąd szacunku dla danego parametru.

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

• Współczynnik zbieżności

$\varphi^{2} = \ \frac{\sum_{}^{}(Y_{t} - \ Y_{t}^{*})^{2}}{\sum_{}^{}{(Y_{t} - \overset{\overline{}}{Y})^{2}}}$

- przyjmuje wartości od 0 do 1 bądź od 0-100% - im niższa jego wartość tym lepiej dla nas.
- współczynnik zbieżności informuje nas o tym, w jakim stopniu wariancja zmiennej endogenicznej nie została wyjaśniona przez
model ekonometryczny

• Współczynnik determinacji

Jest miarą alternatywną w stosunku do współczynnika zbieżności i dany jest następującą formułą
R²= 1 –ø²

* przyjmuje wartości od 0 do 1 albo od 0 do 100% -> im wyższy współczynnik determinacji tym lepiej

* im więcej mamy zmiennych objaśniających w modelu, tym wyższe jest R kwadrat

1) przyjmuje wartości od 0 do 1

2) współczynnik determinacji jest kwadratem współczynnika korelacji wielorakiej

3) informuje jaka część zmienności zmiennej endogenicznej została wyjaśniona przez model

4) wartość współczynnika determinacji wzrasta wraz ze wzrostem liczby zmiennych objaśniających (przypadek modelu z wieloma
zmiennymi objaśniającymi). Można zatem dodatkowo skorzystać z formuły na skorygowany współczynnik determinacji.

$${\tilde{R}}^{2} = 1 - \ \frac{n - 1}{n - m - 1}\ (\ 1 - \ R^{2})\backslash n$$

• Współczynnik zmienności losowej

Dany jest następującą formułą :

$$V_{s} = \ \frac{\text{Su}}{Y}*100\%$$

• im wyższy jest współczynnik zmienności losowej tym gorzej dla modelu i tym niższy jest R²

• informuje jaki jest poziom wahań przypadkowych (losowych) w przeciętnym poziomie zmiennych endogenicznych

WŁASNOŚCI ESTYMATORÓW:

1. Estymator nieobciążony jest nieobciążony jeżeli jego wartość oczekiwana (nadzieja matematyczna) jest równa estymowanemu parametrowi

E(a) = α

dla modelu danego jako : Y = X_α + ξ wektor parametrów strukturalnych dany jest jako

a = (X' X) do -1 X' Y

jest estymatorem nieobciążonym czyli
E(a) =  E[(X^′X)⁻¹X^′Y] =   E[(X^′X)⁻¹X^′( X_α + ξ)

ponieważ zmienne X (objaśniające) są nielosowe , więc E(α)= α

Stąd estymator parametrów strukturalnych jest nieobciążony, jeżeli :

1) zmienne objaśniające są nielosowe - kowariancja składnika losowego nie zależy od zmiennych objaśniających

E(Xξ)=0

2) składnik losowy ma wartość oczekiwaną równą zero

E (ξ)=0

2. Estymator zgodny - estymator parametru alfy do szacowanego nieznanego parametru alfa.

• Oznacza to, że przy wzroście liczby obserwacji do nieskończoności jego wartość dąży stochastycznie do prawdziwej wartości parametru

p{a−α} < 3 = 1

Jeżeli wraz ze wzrostem liczebności próby oczekiwana wartość rozkładu estymatora zmierza do wartości szacowanego parametru, a jednocześnie wariancja estymatora zmierza do zera, to estymator taki jest zgodny.

3. Estymator efektywny

Przy danych kilku estymatorach zgodnych i nieobciążonych estymatorem najefektywniejszym jest ten, który posiada najmniejszą wariancję.

Jeżeli spełnione są założenia metody klasycznej najmniejszych kwadratów dotyczące składnika losowego oraz zmiennych objaśniających to estymator :

a = (X'X)^-1 X ' Y

jest estymatorem najefektywniejszym spośród wszystkich estymatorów liniowych , gdzie jego wariancja dana jest następującą formułą

D² (a) = odchylenie² (X'X)^-1

Założenia klasyczne MNK W Odniesieniu do własności estymatorów.

1) jeżeli zmienne objaśniające są współliniowe , to nie istnieje estymator dany formułą a = (X'X) do -1 X'Y

Ponieważ nie istnieje macierz odwrotna do macierzy X'X , ponieważ wyznacznik macierzy jest równy zero czyli :

det (X'X)=0

2) jeżeli wariancja składnika losowego nie jest stała to

a = (X'X) do - 1 X'Y jest nieobciążony i zgodny , ale nie jest juz najefektywniejszy

3) jeżeli składnik losowy jest zależny :

cos (ξ₁ ,ξ_1+τ ) ≠ 0

a w zbiorze zmiennych objaśniających nie ma zmiennej endogenicznej i opóźnionej w czasie to

a = (X'X)^-1 X' Y | Y_t = α₁ Y_t-1

jest nieobciążony i zgodny, ale nie jest najefektywniejszy.

4) jeżeli składnik losowy jest zależny

cov (ξ₁ ,ξ_1+τ) ≠ 0

a w zbiorze zmiennych objaśniających istnieje zmienna endogeniczna opóźniona w czasie to

a = (X'X)^-1 X'Y nie jest zgodny,

5) jeżeli wariancja składnika losowego jest funkcją zmiennych objaśniających, to estymator

a= (X’X)^-1 X’Y nie jest zgodny.

KLASYCZNE ZAŁOŻENIA DOTYCZĄCE SKŁADNIKA LOSOWEGO

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowego.

Macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest:

• macierzą kwadratową i symetryczną wymiarach n*n

• na głównej przekątnej znajdują się wariancje składników losowych poszczególnych okresów ( w przypadku szeregów czasowych) , natomiast poza główna przekątna znajdują się kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów.

WYKŁAD 4 02.04.

Klasyczne założenia dotyczące składnika losowego:

Dana jest macierz wariancji i kowariancji składnika losowego:

E(ξ , ξ’) = $\begin{bmatrix} {\text{\ \ }D}^{2}\left( \xi_{1} \right)\text{\ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{n} \right)\text{\ \ \ } \\ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ }D^{2}\left( \xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\text{E\ }\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{n} \right) \\ \text{\ \ \ \ \ \ }\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cdots\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ E\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\text{\ \ }D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{bmatrix}\text{\ \ }$

• Główna przekątna – wariancje estymatorów

• Pozostałe przekątne – kowariancje estymatorów

Macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest:

• Macierzą kwadratową i symetryczną o wymiarach (n*n)

• Na głównej przekątnej znajdują się wariancje składników losowych poszczególnych okresów (w przypadku szeregów czasowych)

• Natomiast poza główną przekątną znajdują się kowariancje między składnikami losowymi poszczególnych okresów

Można wyróżnić 4 sytuacje ze względu na macierz kowariancji składnika losowego:

Sytuacja 1: SPEŁNIONE ZAŁOŻENIA MNK (Metody Najmniejszych kwadratów)

(w praktyce taka sytuacja nigdy nie będzie miała miejsca)

• Wariancja jest jednorodna:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

• Brak autokorelacji, czyli składnik losowy jest niezależny:

E (ξ₁ ξ _t+τ ) = 0 dla τ > 0

*** choć często będzie nas interesowała tylko autokorelacja rzędu pierwszego gdzie będzie ξ _t+1

• Macierz wariancji i kowariancji ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} \delta^{2}\ 0\ 0\ \ldots\ 0 \\ 0\ {\ \delta}^{2\ \ }0\ldots\ 0 \\ \ldots\ldots\ldots\ldots\ldots \\ 0\ \ \ \ 0\ \ \ 0\ \ 0\ \delta^{2} \\ \end{bmatrix}$ = δ² I_n

• Nie ma tutaj żadnych zależności pomiędzy zmiennymi

Sytuacja 2 : NIE JEST SPEŁNIONE ZAŁOŻENIE O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO

• Niejednorodność wariancji oznacza, że:

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠D²(ξ_n) ≠ δ²

• Składnik losowy jest niezależny (nie występuje autokorelacja składnika losowego):

E (ξ_t ξ_t+1 ) = 0 dla każdego r > 0

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną i ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} D^{2}\left( \xi_{1} \right)\ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ 0\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ D}^{2}\left( \xi_{2} \right)\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 0\ \ \ \ \ \ \ldots\text{\ \ \ \ \ D}^{2}(\xi_{n}) \\ \end{bmatrix}$

Konsekwencje dla modelu:

• Jeżeli mamy niestałą w czasie wariancję, czyli mamy niejednorodny składnik losowy trzeba poprawić model

• Aby to zrobić można skorzystać z tzw. Uogólnionej (Ważonej) Metody Najmniejszych Kwadratów gdzie jeszcze raz szacuje się zmienne, ale w taki sposób, że do szacunku dobiera się pewne wagi. Jest taka macierz wagowa - Omega, którą się wprowadza i powoduje to, że niejednorodność wariancji znika

• Jeżeli to poprawimy to niestety stracimy na efektywności estymacji, czyli suma reszt z modelu nie będzie już najmniejsza

• Nie jest to nic strasznego, ale trzeba mieć tego świadomość

Sytuacja 3 : JEŻELI SPEŁNIONE JEST ZAŁOŻENIE O JEDNORODNOŚCI WARIANCJI SKŁADNIKA LOSOWEGO:

• Wariancja jest jednorodna, czyli:

D²(ξ₁) = D²(ξ₂) = … = D²(ξ_n) = δ²

• A składnik losowy jest zależny (występuje autokorelacja składnika losowego

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą diagonalną i ma postać:

E ( ξ ξ’ ) = $\begin{bmatrix} \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ p_{12}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }p_{13}\ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ p_{1n}\ \\ p_{21}\ \ \ \ \ \ 1\ \ \ \ \ \ \ \ \ p_{23}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ldots\ \\ \ p_{n1}\ \text{\ \ }\text{\ \ }p_{n2}\ \text{\ \ }\ p_{n3}\ \ \ \ \ \ldots\ \ \ \ \ \ 1 \\ \end{bmatrix}$

• Autokorelacja – przyczyny jej powstawania:

- pominięcie istotnej zmiennej objaśniającej

- nieprawidłowe określenie opóźnień zmiennych objaśniających

• Poprawienie modelu:

• Doszacowanie modelu – Uogólniona Metoda Najmniejszych Kwadratów

• Przebudowanie modelu – zbudowanie go do nowa

??? Która z tych sytuacji jest groźniejsza: 2 - niejednorodność wariancji czy 3 - autokorelacja składnika losowego ???

• Oby dwie są groźne

• Przy niejednorodności wariacji nie wiemy, co się stanie w przyszłości – wariancja może bardzo spaść lub bardzo wzrosnąć, przez co nie jesteśmy pewni prognoz

• Gdy mamy niezależny składnik losowy, ale występuje autokorelacja to nie jest to już zmienna losowa

Sytuacja 4 : JEŻELI NIE JEST SPEŁNIONE ŻADNE ZAŁOĆZENIE CZYLI:

• Wariancja nie jest jednorodna:

D²(ξ₁) ≠ D²(ξ₂) ≠ … ≠D²(ξ_n) ≠ δ²

• Oraz nie jest spełnione założenie o braku autokorelacji, czyli występuje sytuacja, w której:

E (ξ_t ξ_t+1 ) ≠ 0

• Wówczas macierz wariancji i kowariancji składnika losowego jest macierzą symetryczna i ma następującą postać:

E(ξ , ξ’) = $\begin{bmatrix} {\text{\ \ }D}^{2}\left( \xi_{1} \right)\text{\ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ }E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{1,\ \ \ }\xi_{n} \right)\text{\ \ \ } \\ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ }D^{2}\left( \xi_{2} \right)\text{\ \ \ \ \ }\text{E\ }\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ \ E\left( \xi_{2,\ \ \ }\xi_{n} \right) \\ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \cdots \\ E\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{1} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{2} \right)\text{\ \ \ E}\left( \xi_{n,\ \ \ }\xi_{3} \right)\ \ \cdots\ \ D^{2}\left( \xi_{n} \right) \\ \end{bmatrix}$

Aby poprawić:

• Trzeba zastosować metodą uogólnioną, ale lepiej jest poprawiać autokorelację niż niejednorodność wariancji

ANALIZA STRUKTURY STOCHASTYCZNEJ MODELU

• Wariancja resztowa i odchylenie standardowe reszt

• Przy spełnionych warunkach MNK nieobciążonym estymatorem wariancji resztowej jest wariancja resztowa wyrażona według następującej formuły:

S_u² = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k}}$ $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{(}$Y_t – Y_t*)² = $\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{n - k}}$ $\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}\mathbf{u}$₀²

• Pierwiastek kwadratowy z wariancji resztowej daje tzw. odchylenie standardowe reszt, czyli:

S_u = $\sqrt{\mathbf{S}_{\mathbf{u}}^{\mathbf{2}}}$

Interpretacja odchylenie standardowego:

Odchylenie standardowe informuje o ile średnio rzecz biorąc In plus bądź In minus odchylają się rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

BADANIE PRECYZJI OSZACOWANIA MODELU

• Macierz wariancji i kowariancji oraz średnie błędy szacunku

• Przy spełnionych warunkach MNK macierz wariancji i kowariancji dana jest następującą formułą:

D²(a) = δ² (X’ X)^-1

Gdzie δ²= S_u²

D²(a) = S_u² (X’ X) ^-1

• Miary struktury stochastycznej (Wariancja resztowa oraz macierz wariancji i kowariancji) modelu związane są ze zmienną ξ _t

• Miara precyzji estymacji parametrów strukturalnych Y są średnie błędy szacunku

• Kwadraty błędów szacunku znajdują się na głównej przekątnej macierzy wariancji i kowariancji.

• Pierwiastek wariancji estymatora daje, zatem średni błąd szacunku dla danego parametru a_t

DOPADOWANIA MODELU DO DANYCH EMIRYCZNYCH (badanie jakości modelu)

• Współczynnik zbieżności – dany jest formułą:

φ² = $\frac{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}^{\mathbf{*}}\mathbf{\ )}}^{\mathbf{2}}}{\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{(\ }\mathbf{Y}_{\mathbf{t}}\mathbf{-}\overline{\mathbf{Y}}\mathbf{\ )}}^{\mathbf{2}}}$

• Przyjmuje wartości z przedziału <0;1>

• Im δ² jest bliższe, bądź równe 1, tym słabiej wyjaśniona została wariancja zmiennej endogenicznej Y_t

• mówi o tym, w jakim stopniu model nie opisuje rzeczywistości

• Współczynnik determinacji

• Jest miarą alternatywną w stosunku do współczynnika zbieżności i dany jest następującą formułą:

R² = 1 - δ²

• Skorygowany współczynnik determinacji

R² = 1 - $\frac{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{1}}{\mathbf{n}\mathbf{-}\mathbf{m}\mathbf{-}\mathbf{1}}$ (1- R²)

• Między współczynnikiem determinacji i współczynnikiem skorygowanym determinacji zachodzi następująca nierówność:

R² > $\tilde{\mathbf{R}^{\mathbf{2}}}$

• Współczynnik zmienności losowej

• Dany jest następującą formułą:

V_s = $\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{u}}}{\overline{\mathbf{Y}}}$ • 100 %

• Informuje jaką część średniego parametru zmiennej endogenicznej stanowią wahania przypadkowe

PRZYKŁAD NA PODSTAWOWĄ (TECHNICZNĄ) WERYFIKACJĘ

Na podstawie danych statystycznych zmiennych w tablicach oszacować model:

Y_t = a₁ X_1t + a₀ +ξ_t

szacowanie parametrów strukturalnych: a = (X’X) ^-1 X’Y

Y_t X_1t

1. 2 1 2 1

1. 0 Y = 0 X = 0 1

2. -2 2 -2 1

3. -1 2 -1 1

(X’X) ^-1 = 0,114 0,028 X’Y = - 4 a = - 0,31

0,028 0,257 5 1,17

Model po oszacowaniu:

Y_t = - 0,31 X_1t + 1.17 + U_t

Y_t* = - 0,31 X_1t + 1.17

Wartości teoretyczne modelu mamy kolejno

Y*1 = -0,31 * 2 +1,17 = 0,542

Y*2 = -0,31 * 0 + 1,17 = 1,17

.......................................

Y*4 = -0,31 * (-1) + 1,17 = 1,485

Yt	X1t	Yt*	Ut = yt – Yt*	Ut^2
1	2	0,542	0,457	0,2089
0	0	1,17	- 1,17	1,3722
2	- 2	1,8	0,2	0,04
2	- 1	1,485	0,514	0,2644
RAZEM	-	-	0	1,8857

CO MOŻNA ODCZYTAĆ Z TABELI:

• Kolumna reszt: ile jest znaków ujemnych i dodatnich?

  • Teoretycznie powinno być ich tyle samo nie licząc tych na poziomie zero; w innym przypadku zawsze to będzie błąd

  • Jeżeli dominują reszty ujemne to oznacza to, że model ma tendencje średnio rzecz biorąc do przeszacowania rzeczywistości

  • Jeżeli większość reszt będzie dodatnia to model ma tendencje do niedoszacowania rzeczywistości wartość teoretyczna będzie średnio rzecz biorąc mniejsza niż wartość rzeczywista

• Kolumna reszt: ułożenie znaków

  • Jeżeli znaki reszt nie są na przemian to grozi nam autokorelacja dodatnia

  • jeżeli są (mniej więcej) na przemian to grozi nam autokorelacja ujemna

• Kolumna Ut:

  • Jeżeli dokładność była by do 3-4 miejsc po przecinku to suma reszt musi być równa 0

  • Jeżeli tak nie wyjdzie to oznacza to jakiś błąd np. model jest nie liniowy a szacowany jest metodą liniową

• Kolumna Ut₂ – kwadraty reszt

  • Gdybyśmy mieli model alternatywny i znali sumę kwadratów reszt to wybralibyśmy ten model, w którym suma kwadratów reszt byłaby mniejsza

  • Wiemy, że im wariancja mniejsza tym lepsza wybieramy model, dla którego odchylenie standardowe reszt jest mniejsze

Wariancja resztowa:

N = 4 K = 2

S_u² = $\frac{1}{n - k}$ $\sum_{i = 1}^{n}($Y_t – Y_t*)² = $\ \frac{1}{4 - 2}*1,8857 = 0,9428$

Odchylenie standardowe reszt:

S_u = $\sqrt{S_{u}^{2}}$ = $\sqrt{0,9428\ } = 0,971$

INTERPRETACJA (dwa sposoby):

1. Rzeczywiste realizacje zmiennej endogenicznej .Y_t odchylają się średnio rzecz biorąc in plus lub in minus o 0.971 jednostki od wartości teoretycznych wyznaczonych przez model

2. Wartość oczekiwana reszt jest na poziomie 0; plus/minus odchylenie standardowe 0,971 w takim stopniu model niedoszacowuje i przeszacowuje

Macierz wariacji i kowariancji:

D²(a) = S_u² (X’ X) ^-1 = 0,9428 * 0,114 0,028 = 0,107 0,026

0,028 0,257 0,026 0,242

stąd średnie błędy szacunku dane są jako :

D(a₁) = $\sqrt{0,1077} = 0,32$

D(a₀) = $\sqrt{0,2424\ } = 0,49$

otrzymujemy model:

Y_t = - 0.31X_1t + 1,17 + ξ_t

(0,32) (0,49)

INTERPRETACJA:

1. każdy parametr modelu jest szacowany na poziomie przeciętnym

2. jeżeli szacujemy pierwszy parametr i wychodzi on - 0,31 z błędem równym 0,32 błąd większy od samego parametru (jest to bardzo złe!!!) (wynikło to z malej ilości obserwacji)

3. w przypadku parametru wolnego: parametr wynosi 1,17 plus/minus 0,49 tu jest o wiele lepiej

i dzieje się tak:

Y_t = 0X_1t + 1,17+ ξ_t Y_t = 1,17+ ξ_t

Y jest na poziomie przeciętnym parametru α₀ równym 1,17 z dokładnością

do epsilon (szumów)

Współczynnik zbieżności:

φ² = $\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\ Y_{t} - Y_{t}^{*}\ )}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}{(\ Y_{t} - \overline{Y}\ )}^{2}}$

średnia zmiennej endogenicznej wynosi:

ӯ = 1,25

• jeżeli średnia z Y rzeczywistego jest taka sama co z teoretycznego to model jest NIEOBCIĄŻONY

Yt	X1t	Yt*	Ut^2	(Yt – Ӯ) ^2
1	2	0,542	0,2089	0,062
0	0	1,17	1,3722	1,562
2	- 2	1,8	0,04	0,562
2	- 1	1,485	0,2644	0,562
RAZEM	-	-	1,8857	2,75

φ² = $\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\ Y_{t} - Y_{t}^{*}\ )}^{2}}{\sum_{i = 1}^{n}{(\ Y_{t} - \overline{Y}\ )}^{2}}$ = $\frac{1,8857}{2,75} = 0,6857 = 68,57\ \%$

INTERPRETACJA:

• 68,57 % zmienności zmiennej endogenicznej Yt nie zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny oznacza to, że zmienność tej zmiennej zależy od innych czynników niż, te, które są zawarte w modelu

Współczynnik determinacji:

R² = 1 - δ² = 1 – 0,6857 = 0,3143 = 31,43%

INTERPRETACJA:

• 31,43%zmienności zmiennej endogenicznej Yt zostało wyjaśnione przez model ekonometryczny

??? co by było gdyby wyszło 99% (bliskie 1) ???

• To bardzo niedobrze, ponieważ w tym momencie może się okazać, że relacja Y do X jest pozorna

• Wydaje nam się, że model jest super a tak naprawdę to wszystko jest fikcją

Współczynnik zmienności losowej:

V_s = $\frac{S_{u}}{\overline{Y}}$ • 100 % = $\frac{0,9428}{1,25}*100 = 77,68\ \%$

INTERPRETACJA:

• 77,68 % przeciętnego poziomu zmiennej endogenicznej Yt stanowią wahania przypadkowe

WERYFIKACJA MODELI EKONOMETRYCZNYCH

Przedział ufności parametrów strukturalnych - BADANIE PRECYZJI OSZACOWNAIA PARAMTETRÓW STRUKTURALNYCH

przedział ufności dla parametru strukturalnego modelu dany jest następującą formułą:

{ a_i – t_α * D(a_i) < a_i < a_i + t_α * D(a_i)} = γ (gamma)

ai - ocena i-tego parametru

D(ai) - średni błąd szacunku dla i-tego parametru

t_α – wartość krytyczna odczytana z tablic wartości krytycznych rozkładu t-Studenta na poziomie istotności alfa przy (n-k)

stopniach swobody

γ – poziom ufności równy (1 - przyjęty poziom istotności)

??? dlaczego rozkład t-Studenta ???

• Dla klasycznych modeli ekonometrycznych takich jak ten liczba obserwacji mimo wszystko nie jest aż tak duża

(w tablicach do ok 120 obserwacji)

• Gdyby było powyżej 120 obserwacji należałoby korzystać z rozkładu normalnego

Przykład:

oszacowano model ekonometryczny na podstawie 20 obserwacji uzyskano następujące wyniki:

n=20 n-k = 20-3 = 17 α = 0,05 tα = 2,11

Y_t = 2X_1t – 5X_2t + 1 + U_t

(1) (2) (0,5)

przedział ufności dla parametru stojącego przy zmiennej X_1t:

{ 2 – 2,11 * 2 < a_i < 2 + 2,11 * 2} = 0,95

INTERPRETACJA DLA PRZEDZIŁU UFNOŚCI:

• na 100 takich przedziałów 95 z pośród nich pokryje rzeczywista realizację parametru a₁

BADANIE ISTOTNOŚCI PARAMETRÓW STRUKTURALNYCH MODELU

Przyczyny nieistotności wpływów zmiennych objaśniających na zmienna endogeniczną :

• mała dokładność lub nieodpowiedniość danych statystycznych

• mała dokładność technik estymacji

• niewłaściwa postać analityczna modelu

• pominięcie istotnych zmiennych objaśniających

• przyczyny wynikające z losowości próby

• DOKŁADNOŚĆ = dobre źródło

• NIEODPOWIEDNIOŚĆ – gdy my popełnimy błąd i jest to nasza wina

• DOKŁADNOŚC TECHNIK ESTYMACJI – sam proces estymacji obciąża nam dokładność modelu

• NIEWŁAŚCIWA POSTAC MODELU – nasz błąd = kompletnie nie wiemy co liczyć

• POMINIĘCEI ZMIENNY – mogą być różne przyczyny

• LOSOWOŚĆ PRÓBY – przypadkowość Y

TEST FISHERA SNEDECORA - TEST F

• badanie wszystkich parametrów łącznie

• z pominięciem wyrazu wolnego hipotezy maja następującą postać:

H₀: a₁ = … a_k = 0

H₁: a₁ ≠ … a_k ≠ 0

• statystka testu dana jest następującą formułą:

$\frac{R^{2}}{1 - \ R^{2}}*\ \frac{N - K - 1}{K}$ r₁ = K r₂ = N – K - 1

Gdzie:

N - liczba obserwacji

K - liczba zmiennych objaśniających

R² - współczynnik determinacji

DECYZJA:

F ≥ Fα - hipotezę odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej, co oznacza, że przynajmniej jedna zmienna objaśniająca wpływa na zmienną endogeniczną (jest istotna)

F < Fα - brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej, co oznacza, ze wszystkie zmienne nieistotnie wpływają na zmienną endogeniczną

Wykład 5 16.04

przykład1

Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki:

Y_t=2X_t - 5X_2t + 1+ u_t
(1) (2) (0,5)

n=20 n-k=20-3 = 17 (stopnie swobody) α=0,05
R² = 0,65 (niewielkie dopasowanie)
H₀ : a₁a₂ = 0
H₁ : a₁a₂ ≠ 0
r₁=K=2 r₂= N-K-1 = 20-2-1 = 17
F_α = 3,59 $F = \frac{0,65}{1 - 0.65}\text{\ x\ }\frac{20 - 2 - 1}{2} = 15,79$

Decyzja: F> F_α

TEST T- STUDENTA (testujemy poszczególne parametry modelu)

Przy spełnionych założeniach metody najmniejszych kwadratów sprawdzanej hipotezy zerowej (chodzi o to, że składnik losowy pochodzi z rozkładu normalnego; jeśli nie pochodzi to wtedy testowanie istotności tym testem jest nadużyciem)

Ho : a₁ = 0

wobec hipotezy alternatywnej:

H₁:a₁ różne od 0 (a₁<0; a₁>0)

jest statystyka t-Studenta o n-k stopniach swobody dana jako :

t= a₁ / D (a₁) i-1,2....k

DECYZJA :

|t|>t_α To hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej na poziomie istotności ,

- oznacza to, że zmienna objaśniająca, przy której stoi testowany parametr istotnie wpływa na zmienną endogeniczną Y_t i należy pozostawić ją w modelu ( w sensie ekonometrycznym)
alfa = 1-gamma (y)

|t|<t_α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej na poziomie istotności

- zmienna objaśniająca, przy której stoi testowany parametr nie istotnie wpływa na zmienną endogeniczną Y_t i należy usunąć ją z modelu

alfa = 1 - gamma (y)

przykład 2
Oszacowano model ekonometryczny i uzyskano następujące wyniki :

Y_t=2X_t - 5X_2t + 1+ u_t
(1) (2) (0,5)

n=20 n-k=20-3 = 17 (stopnie swobody) α=0,05

Badanie istotności parametru przy zmiennej objaśniającej X_1t

H₀ : a₁ = 0
H_{1 :} a₁ ≠0

Badanie istotności parametru przy zmiennej objaśniającej X_2t

H₀ : a₂ = 0
H₁ : a₂ ≠0
t = -5/2 = -2,5 => |t| > t_α

TEST DURBINA - WATSONA na istotności autokorelacji rzędu pierwszego

Przyczyny występowania autokorelacji rzędu pierwszego :

• niewłaściwa postać analityczna modelu

• błędnie dobrane opóźnienia przy zmiennych objaśniających w modelu

• pominięcie istotnej zmiennej objaśniającej w modelu - może chodzić o to, że nie mamy danych

gdy Y_t = α₁X_1t + α₂X_2t-1 + α₀ + ξ_t test Durbina Watsona może być stosowany
Y_t = α₁X_1t + β₁Y_t-1 + α₀ + ξ_t nie powinniśmy stosować testu, Y jest opóźnione o 1 okres.

GRAFICZNA IDENTYFIKACJA ZNAKU AUTKORELACJI PIERWSZEGO RZĘDU :
reszty





czas

• jeżeli reszty modelu - ich znaki są na przemian mniej więcej, to możemy spodziewać sie autokorelacji ujemnej,

• jeżeli reszty nie są na przemian, to prawdopodobnie będziemy mieli do czynienia z autokorelacją dodatnią.

PROCEDURA TESTU DURBINA - WATSONA (DW)

Hipotezy testu mają następującą postać :

H₀ : ro ₁ = 0

H₁ : ro ₁ > 0

H₁ : ro ₁ < 0

bo w przypadku ujemnej autokorelacji i test jest inaczej przeprowadzany

Statystyka testu dana jest jako :

$d = \ \frac{\sum_{t = 2}^{n}{(u_{t} - \ u_{t - 1})^{2}}}{\sum_{t = 1}^{n}u_{t}^{2}}$ lub d=2 (1-r₁) -> jeżeli autokorelacja jest dodatnia

Jeżeli H₁ : ro₁ <0 to d^’ = 4-d 0≤d≤4

Jeżeli H₁ : ro₁<0 to : d=4-α

R₁ - współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego

Na podstawie
wartości jakie d przyjmuje, stwierdzamy, czy mamy dodatnia czy ujemną autokorelacje,

Należy pamiętać, że :

d= 0 to r₁ w przybliżeniu 1

d= 2 to r₁ w przybliżeniu równa się 0

d = 4 to r₁ w przybliżeniu -1

Zatem, współczynnik autokorelacji rzędu pierwszego przyjmuje wartości z przedziału

-1 ≤ r₁ ≤1

Współczynnik autokorelacji jest współczynnikiem korelacji liniowej Pearsona między resztami modelu u₁ a resztami odpowiednio opóźnionego o okres τ (tał)

W przypadku autokorelacji pierwszego rzędu τ= 1

Przykład 3.

Na poziomie istotności 0,05 lub 0,01 odczytywane są dolna i górna wartość krytyczna z tablic wartości krytycznych rozkładu DW , czyli

d_l oraz d_u

Decyzja dla H₁ : ro₁ >O

1) d ≤ d_l hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

2) d_l<d<d_u obszar niekonkluzywności testu

3) d≥d_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

Decyzja dla H₁:ro ₁ > 0

4) d≤d’_l hipotezę zerową odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej

5) d’_l<d<d’_u obszar niekonkluzywności testu

6) d≥d’_u brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

TESTOWANIE POPRAWNOŚCI POSTACI ANALITYCZNEJ MODELU POPRZEZ PRYZMAT LOSOWOŚCI RESZT MODELU

TEST SERII

Hipotezy : H₀ = [ Y^*_t = f(X_1t, X_2t, ….., X_kt)]
H₁ = [ Y^*_t ≠ f ( X_1t; X_2t, ….., X_2t)]

W teście analizie podlegają reszty modelu, z tym, że :

• Jeżeli model był budowany na podstawie danych dynamicznych (np. model tendencji rozwojowej), to reszty są uporządkowane w sposób naturalny zgodnie z upływem czasu (kolejnymi realizacjami zmiennej czasowej t)

• Jeżeli model był budowany na podstawie danych przekrojowych to reszty modelu porządkowane sa według rosnących wartości dowolnie wybranej zmiennej objaśniającej

Serią jest każdy podciąg reszt złożony wyłącznie z elementów dodatnich bądź ujemnych. Reszty równe zero nie są brane pod uwagę!

Niech :

u_t > 0 to "a"

u_t < 0 to "b"

Stąd określamy liczbę serii tzw. k empiryczne

Z tablic liczby serii odczytujemy

n₁ - dla liczby symboli "a"

n₂ dla liczby symboli "b"

na poziomie istotności α
P{k ≤ k_α}=α

Decyzja :

1)k ≤ k_α to hipotezę zerową należy odrzucić na korzyść hipotezy alternatywnej. Prosta analityczna modelu nie jest właściwa

2) k>k _α brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej

WNIOSKI Z AUTOKORELACJI

• nie prowadzimy testu w sposób ślepy

• jak postępować kiedy autokorelacja jest istotna?

1. zobaczyć źródła autokorelacji i poszukać tam przyczyny
   -> poprawienie modelu ze względu na źródła autokorelacji

->szacowanie modelu ponownie "uogólnioną metodą najmniejszych kwadratów" - spowoduje to ze wariancja reszt
nie będzie już najmniejsza

TESTOWANIE NORMALNOŚCI ROZKŁADU RESZT MODELU

TEST JARQUEA -BERY (JB)

Hipotezy są dane jako:

H₀ : F(u_i) = F_N(u_i)
H₁: F(u_i) ≠ F_N(u_i)

$$JB = \ \ N(\ \frac{1}{6}\beta_{1} + \ \frac{1}{24}(\beta_{2} - \ 3)^{2})$$

gdzie :

$$\sqrt{\beta_{1}} = \ \frac{1}{N}\ \sum_{i = 1}^{N}{u_{i}^{3}/S^{3}(u_{i})}\backslash n$$

Rozkład statystyki JB jest zbieżny do rozkłady chi kwadrat o 2 stopniach swobody : chi kwadrat _α

DECYZJA

1)JB < x_α² (2) brak podstaw do odrzucenia hipotezy zerowej. Rozkład składnika losowego jest rozkładem normalnym

2. JB ≥ x_α² (2) hipotezę zerowa odrzucamy na korzyść hipotezy alternatywnej. Rozkład składnika losowego nie jest rozkładem normalnym.

TESTEM ALTERNATYWNYM DLA TESTU JB JEST TEST ZGODNOŚCI CHI-KWADRAT 2

wykład 6 7.05

??? jak obliczać w excelu ???

LICZENIE SAMODZIELNE (arkusz 1)

Dane mamy z podręcznika

1. Specyfikacja modelu

• robimy wykresy

  • Y w czasie (wykres 1 - liniowy)

  • X w czasie (wykres 2)

    • Możemy porównać te dwa wykresy

• wykres rozrzutu X1t, Yt (wykres 3 - punktowy)

• obserwując ten wykres możemy zdecydować się na model liniowy

1. Szacujemy model regresji z jedną zmienną

• otrzymujemy model : Yt = a1 X1t + a0 + ksi

  • model szacujemy metodą najmniejszych kwadratów

• obliczamy X'

  • robimy to za pomocą transpozycji

• obliczamy X’X

  • mnożymy macierze za pomocą funkcji "macierz.iloczyn"

  • tablica 1 : macierz X’

  • tablica 2 : macierz X

  • zatwierdzamy Ctrl+Shift+Enter

• wyznaczamy wyznacznik X’X

  • funkcja „wyznacznik.macierzy” i zaznaczamy X’X

• odwracamy nasza macierz X’X

  • Funkcja „macierz.odw” i zaznaczamy macierz X’X

  • Zatwierdzamy Ctrl+Shift+Enter

• liczymy X'y (mnożenie macierzy)

• liczymy wektor a (macierz.iloczyn)

• obliczyliśmy parametry modelu

1. Porównujemy otrzymane wyniki (obserwacje statystyczne)

• liczymy realizacje teoretyczne Yt*

  • wprowadzamy do tabeli nowa kolumnę Yt*

  • wprowadzamy zadolarowane dane i możemy przeciągnąć w dół

• sprawdzamy jak wartości rzeczywiste i teoretyczne wyglądają w czasie

  • wykres 4 - liniowy

  • widzimy, że wykresy różnią się swoją budową

• liczymy średnie z wartości rzeczywistych i teoretycznych

  • widzimy, że są takie same struktura w sensie miary przeciętnej jest zachowana

  • jak średnie są sobie równe to mamy nieobciążony proces estymacji

1. Kontynuujemy obliczenia związane z modelem

• liczymy reszty modelu Ut

  • wprowadzamy nową kolumnę Ut

  • sprawdzamy, czy suma reszt jest równa 0

*** kiedy suma reszt nie będzie 0 ??

- gdy model będzie źle ustalony, będzie miał złą postać analityczną

- jeżeli rozkład Y będzie zasadniczo odbiegał od rozkładu normalnego

• rysujemy wykres reszt w czasie

  • wykres 5 – liniowy

  • patrzymy jak przebiegają znaki czy są na przemian czy nie

    • gdy są na przemian mamy ujemna autokorelacje

    • jeśli nie są na przemian jest dodatnia autokorelacja

• liczymy współczynnik autokorelacji pierwszego rzędu (robimy to dodatkowo w ramach weryfikacji modelu)

  • r1 - funkcja "pearson"

  • tablica 1 - Ut

  • tablica 2 - Ut-1 (musimy dodac taka kolumnę U t-1)

  • otrzymujemy 1,96

• badamy istotność autokorelacji

  • otrzymujemy +/- 1,96/pierwiastek z T

• obliczamy wartość krytyczna :

  • 1,96/pierwiastek(20)

*** 20 - liczba obserwacji

• Wychodzi 0,43

• Zatem autokorelacje pierwszego rzędu jest nieistotna więc nie musimy zmieniać modelu

1. liczymy miary weryfikacyjne

• liczymy wariancje i odchylenie standardowe reszt

  • n=20 k = 2 n-k = 20-2 = 1

• liczymy Ut^2 i sumujemy

  • wprowadzamy nowa kolumnę Ut^2

• dzielimy to przez stopnie swobody i mamy Su^2(wariancję) i Su (odchylenie)

1. Badamy precyzję oszacowania parametrów

• liczymy macierz wariancji i kowariancji D^2(a)

  • nie mam gotowej formuły więc musimy każdy składnik liczyć osobno

• liczymy D(a1) oraz D(a0) = mamy średnie błędy szacunku

  • błędy sa dużo nizsze niż sam parametr więc prawdopodobnie będziemy mieli istotne parametry

1. liczymy procentową jakość modelu

• liczymy współczynnik determinacji R^2

  • potrzebujemy do tego fi^2 więc musimy go też obliczyć

  • potrzebujemy nową kolumnę (Yt-Ysrednia)^2

  • interpretacja: nie zostało wyjaśnione 10,5 % zmienności przez zmienna X1

• liczymy współczynnik zmienności Vs

  • interpretacja: mamy dużą liczbę przypadkowych zmiennych Y model sobie z tym nie poradzi

TERAZ ROBIMY O SAMO ALE ZA POMOCĄ ODPOWIEDNIEJ FUKCJI (arkusz 2)

• trzeba zainstalować odpowiedni dodatek „analiza starbuck” z funkcjami ekonometrycznymi

• trzeba wiedzieć jak interpretować wyniki otrzymane w tablicach

Interpretacja tablic:

STATYSTKI REGRESJI:

• wielokrotność R = współczynnik korelacji wieloraki - jest to łączny wpływ zmiennych objaśniających

na Y

• Kwadrat R – dopasowanie danych do modelu

• Dopasowany R kwadrat – R^2, który ma zapobiegać wzrostowi współczynnika determinacji wraz ze wzrostem ilości zmiennych objaśniających

  • Ma to sens tylko gdy jest więcej zmiennych

  • R^2 jest zawsze większy od dopasowanego

• Błąd standardowy = odchylenie standardowe reszt

• Obserwacje – ilość obserwacji

TABLICA WYNIKOWA DOTYCZĄCA RÓWNANIA

• Współczynniki – są to parametry:

  • Przeciętnie – parametr wolny a0

  • X1t – parametr przy X a1

• Błąd standardowy = średnie błędy szacunku – określa precyzje dopasowania modelu

• T Stat – statystyka testu studenta

  • Statystyki są stosunkowo wysokie więc można przypuszczać, że parametry są istotne

• Wartość p – możemy bez użycia tablic możemy podjąć decyzję o istotności parametru

  • jeżeli wartość p jest mniejsza od założonego poziomu istotności to odrzucamy hipotezę zerową na korzyść alternatywnej

  • aby tego dokonać musimy znać hipotezy !!

• Dolne 95% górna i dolna granica przedziały parametru strukturalnego

• Górne 95% np. dla parametru wolnego na poziomie ufności 95% mamy przedział od -224 do -124

• Dolne 95,0% powtarza się to samo

• Górne 95,0% zmieni się to gdy w trakcie szacowania zmienimy poziom ufności

wykład 7 21.05

Prognozy na podstawie modelu ekonometrycznego

Prognozowanie : stosowana jest konkretna metodologia naukowa w celu budowy prognoz (jest to cały proces).

Prognoza w sensie naukowym – jest to uzyskany metodami naukowymi sąd dotyczący nieznanej przyszłości.

Horyzont prognozy - moment w czasie, w przyszłości, na którym budowana jest prognoza.

• Prognozy krótkoterminowe - to takie, w których czynniki jakościowe nie wystąpią np. analiza szeregów czasowych i
  przewidywanie przyszłej stopy zwrotu. np. przyrost populacji ludności

• Prognozy średniookresowe - czynnik jakościowy może, ale nie musi wystąpić i możemy go ewentualnie uwzględnić w
  prognozie.

• Prognozy długookresowe - czynnik jakościowy wystąpi na pewno i powinniśmy go wykorzystać w modelu, w
  modelach mogą występować zmienne naśladujące.

• Prognoza może być punktowa - czyli stały punkt np. stopa zwrotu logarytmiczna z danego papieru, którą
  przewidujemy, że będzie wynosiła np. 0,02

• Prognozy przedziałowe - czyli przy pewnym poziomie precyzji budujemy przedział, który w przyszłości ma się tak
  zachowywać, że kiedy prognoza wygaśnie, to ma się znaleźć w tym przedziale.

Wszystkie prognozy buduje się na podstawie szeregu czasowego

Przykład :
+ nie ma czegoś takiego jak prognoza ZŁA : jest DOPUSZCZALNA bądź NIEDOPUSZCZALNA.

Zgromadzono następujące dane

- Y_t - zgony niemowląt na 1000 urodzeń żywych

- X_1t - spożycie wódki czystej i gatunkowej w przeliczeniu na alkohol 100% w itrach na osobę w ciągu roku

- X_2t - PKB na jednego mieszkańca w $

Tablica

Lata Y_t X_1t X_2t

1992 17,3 3,5 2198

1993 16,1 3,8 2233

1994 15,1 3,8 2402

1995 13,6 3,5 3293

1996 12,2 2,9 3724

1997 10,2 2,8 3725

1998 9,5 2,4 4098

1999 8,9 2,1 4014

2000 8,1 2 4078

1. Zgon niemowląt : maleje w latach

2)

3) PKB (Rośnie)

ROZRZUTY:

Zależność dodatnia
więc znak przy X
powinien być dodatni

Na podstawie materiału statystycznego oszacowano model ekonometryczny o postaci :

Y_t = α₁ X_1t + α₂ X_2t + α₀

i uzyskano następujące wyniki:

Y_t =1,79X_1t - 0,026X_2t + 15,26 + u_t

(1,048) (0,000913) (5,998)

-> Wzrost spożycia alkoholu powoduje wzrost zgonów.
-> PKB ma bardzo niski parametr
-> Wysokie błędy – najlepiej wypada parametr wolny, który nie jest ważny.

Miary struktury statystycznej

n=9

k=3

S² u = 0,796954

Su= 0,892723

Istotność parametrów strukturalnych - test T - Studenta

α = 0,2 czyli 20% błędu – bardzo wysoko

t_α = 1,4115

Wartości sprawdzianu

t_α1 = 1.71188 t_α2 = -2,8073

D²(α) 1,098 0,0008 -6,134

0,0008 8,32E-07 -0,005

-6,134 -0,005 35,986

Miary dopasowania modelu do danych empirycznych

Fi² =6,28835 R² = 94,71165

oraz V_s =7,24 - tyle procent stanowi przypadek

Autokorelacja

n=0 K=2

H₀ :r₁ = 0

d=2,077122 -> H₁ :r₁ <0

d' = 1,922878

d' = 0,629

d'_u = 1,699 -> d' > d'_u

brak istotnej autokorelacji ujemnej

Miary dopasowania : problem jest z precyzją modelu – wyniki są okej, jakość : 95% - bardzo dobrze.

BUDOWA PROGNOZY NA ROK 2001

Prognoza Przyszłych wartości zmiennych objaśniających

Prognozy przyszłych wartości zmiennych objaśniających budowane będą na podstawie modelu tendencji rozwojowej o postaci liniowej

Żaden z nich nie jest liniowy!

W modelu tendencji rozwojowej nie ma żadnych zmiennych objaśniających!!

Po prawej stronie modelu będzie tylko zmienna czasowa .

Prognoza zmiennej X_1t :

X_1t= Yx_1t

Y_t x_1t = α_1t + α ₀ =ξ _t

Ekstrapolacja trendu

t=1,2,.....9

Y_{t x}1_t.. = - 0,24t + 4,19 + u_t

(0,032) (0,18)

interpretacja przy zmiennej czasowej:
- w latach 92-2000 spożycie alkoholu spadało z roku na rok średnio rzecz biorąc o 0,24 jednostki

- parametr wolny - w roku 91 przeciętne spożycie alkoholu wynosiło 4,19 jednostki

R² = 89% - bardzo niskie

Prognoza zmiennej X_2t

X_1t = Y_2x2t

Ytogówno = α_1t +α ₀ + ξ_t

t=1,2...9

Ydziwnegówno = 278,12 t + 1916,64 + u_t

(38,74) (217,98)

R² =88%

Prognoza dla t=10

Yjakieś gówno inne = 4697,84

Ostatecznie mamy :

Przyszłe realizacje zmiennych objaśniających, czyli

X_1t =1,79

X_2t =4697,84

Model ekonometryczny dany jest jako

Y_t= 1,79X_1t - 0,0026 X_2t + 15,46 + u_t

Podstawiając przyszłe realizacje zmiennych objaśniających do modelu otrzymamy prognozę zmiennej endogenicznej, czyli

Y_t = 2001 (to wcześniejsze gówno) = 1,79 x 1,79 - 0,0026 x 4697,84 +15,46 =6,64

Błędy ex ante precyzji - one uwzględniają przyszłość w swojej formule.

Różnica : w przypadku modeli ex ante jestem w stanie obserwować, że im dalej wychodzę w przyszłość, tym większy błąd. - widać jak wzrasta błąd wraz ze wzrostem horyzontu..

W przypadku modelu ex post – dotyczy on tylko przeszłości.
nieznana przyszłość

grupa błędów
ex ante

ex post

Do kreski – okres weryfikacji prognoz

V = X_T^′ D²(a) X_T  +  S_u²
V – błąd ex ante mianowany, który przyjmuje miano takie, jak zmiennej prognozowanej
D²(a) – macierz wariancji/kowariancji
S²(u) – wariancja reszt

V = 1,08962 - mylę się na tyle zgonów na 1000 urodzeń żywych

rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej Yt odchylają się średnio rzecz biorąc in plus bądź in minus o 1,08962 zgonu na 1000 urodzeń żywych od postawionych prognoz. - ta interpretacja kojarzy się z odchyleniem standardowym reszt.

Względny średni błąd predykcji wynosi
V* = $\frac{\mathbf{V}}{\mathbf{Y}_{\mathbf{T}}^{\mathbf{*}}}\mathbf{\ *100\%}$

V* = 16,41%

średni błąd predykcji stanowi 16,41% przeciętnego poziomu prognozy

Jeżeli w głównym modelu Su było wysokie i V było wysokie - to będziemy mieli duże błędy prognoz

WYKŁAD 8 4.06

PROGNOZOWANIE NA PODSTAWIE TERENDU

model tendencji rozwojowej

trend deterministyczny - tendencja zmiennej prognozowanej do utrzymania jednokierunkowych zmian w dłuższym okresie czasu

Co znaczy w dłuższym okresie czasu ? --> przez KILKA lat/kwartałów/dni itp.

Trend czasowy - chronologicznie ułożone w czasie zmiennych prognozowanych

Każdy szereg czasowy posiada składowe:

- trend

- wahania przypadkowe (najczęściej pochodzą z rozkładu normalnego)

- wahania sezonowe (pewna cykliczność)

- wahania cykliczne (np. cykle koniunkturalne )

SEZONOWE A CYKLICZNE

• sezonowe - krótkoterminowe

• cykliczne - długoterminowe

w zależności od składowych będziemy tworzyć odpowiedni model

żeby wyspecyfikować model trzeba mieć odpowiednia ilość realizacji

min = 10-12 realizacji w czasie

max = 35-45 realizacji w czasie

przyjmijmy, że poszukiwana funkcji trendu ma postać liniową, czyli:

f(t) = α₀ + α₁t

to model szeregu czasowego ma postać :

Y_t = α ₀ + α ₁t +ξ_t t=1,2,3....

(klasyczny model trendu)

nie jest to model przyczynowo skutkowy , jest tu korelacja pozorna ,

*** model może być poszerzony o trend :

Y_t = α ₁ X_1t + α ₂X_2t + α ₃t + α ₀ + ξ _t

** jak nie wiemy, jaką metodę analityczną można zastosować wielomian 3go stopnia

parametr wolny - jest to prognoza wstecz; mówi, jaki jest przeciętny poziom zmiennej prognozowane np. w 1999

*** do prognozowania wstecz są odrębne metody nie można robić tego odczytując alfa0

parametr przy zmiennej czasowej - mówi ze oceniamy przeciętny wzrost lub spadek z okresu na okres zmiennej prognozowanej

*** szereg czasowy nie może mieć luk

składnik losowy - pochodzi z rozkładu normalnego

Y_t - zmienna prognozowana

t - zmienna czasowa

EFEKTY KALENDARZOWE - w danym dniu, miesiącu szereg wygląda zawsze inaczej

SZACOWANIE PARAMETRÓW METODĄ NAJMIEJSZYCH KADRATÓW

funkcja kryterium ma postać 2 (y_t -y_t*)²

w wyniku oszacowania parametrów modelu y_t = a₀ +a₁t + u_t

postać macierzowa modelu : y =Xa + ξ

$y = \ \begin{bmatrix} y1 \\ y2 \\ \begin{matrix} \ldots \\ y_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ $X = \ \begin{bmatrix} \begin{matrix} 1 \\ 1 \\ \begin{matrix} \ldots \\ 1 \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 1 \\ 2 \\ \begin{matrix} \ldots \\ n \\ \end{matrix} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ $\alpha = \ \begin{bmatrix} \alpha_{0} \\ \alpha_{1} \\ \end{bmatrix}$ $\xi = \ \begin{bmatrix} \xi 1 \\ \xi 2 \\ \begin{matrix} \ldots \\ \xi_{n} \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$

wektor ocen parametrów strukturalnych dany jest, jako : a = (X'X)^-1 X'Y

gdzie :

$X^{'}X = \ \begin{bmatrix} n & \xi t \\ \sum_{}^{}t & \sum_{}^{}t^{2} \\ \end{bmatrix}$ $X^{'}Y = \ \begin{bmatrix} \sum_{}^{}y_{t} \\ \sum_{}^{}{\text{t\ }y_{t}} \\ \end{bmatrix}$

Metody usuwania trendu:

1. estymacja modelu regresji względem czasu

w metodzie zakłada się, że szereg czasowy yt generowany jest w następujący sposób:

y_t = f(t) +u_t

gdzie:

f(t) - trend

u_t - jest szeregiem stacjonarnym gdzie E(u_t) = 0 i Var(u_t) = ơ² (wariancja jest stała w czasie)

rozpatrzmy następujący przypadek

przyjmijmy ze f(t) jest funkcja liniową i mamy y_t = α +βt + u_t

2. metoda różnicowania

Ay_t = y_t - y_t-1 = β + u_t - u_t-1

PODSUMOWUJĄC SZEREGI:

y_t + α + β_t + u_t --> jest procesem trednostacjonarnym TS

y_t - y_t-1 = β ξ _t --> jest procesem pryrostostacjonarnym DS

Przykład na prognozę trendu :

Na podstawie danych o bezrobociu w Polsce (w tysiącach) zamieszczonych w tabeli oszacować funkcje trendu o postaci:

Y_t = α ₀ + α ₁t + ξ _t

1995	67,1
1996	62,1
1997	73,7
1998	80,6
1999	82
2000	87,8
2001	106
2002	97,6

1995 - 2002 --> okres weryfikacji prognoz

dane wyjściowe

$y = \ \begin{bmatrix} 67,1 \\ \ldots. \\ 97,6 \\ \end{bmatrix}$ $X = \ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 1 & 2 \\ \begin{matrix} 1 \\ \ldots \\ \end{matrix} & \begin{matrix} 3 \\ \ldots \\ \end{matrix} \\ \end{bmatrix}$ stosujemy metodę najmniejszych kwadratów i otrzymujemy: $a = \ \begin{bmatrix} 56,575 \\ 5,675 \\ \end{bmatrix}$

model można zapisać : y_t = 56,575 + 5,675 + u_t

α ₀ - w roku 1994 przeciętna wielkość bezrobocia wyniosła 56,575 tysięcy osób

α ₁ - w tym okresie (1995-2002) bezrobocie wzrastało średnio rzecz biorąc z roku na rok o 5,675 tysięcy osób

wyznaczamy wartości teoretyczne y*

możemy policzyć wariancje resztkową i odchylenie standardowe reszt:

Su² = 31 Su = 5,57

obliczamy precyzje modelu (błędy szacunku)

D(a₀) = 4,3747 D(a₁) = 0,8663

model zapisano, jako

y_t*= 56,575 + 5,675t + u_t

(4,3747) (0,8663)

Dopasowanie modelu do danych empirycznych:

ϕ ²= 0,122 = 12,26%

R² = 0,8774 = 87,74%

prognoza punktowa na rok 2003 t=9

y^pt ₂₀₀₃ = 59,575 +5,675*9 = 107,65 tysięcy

średni błąd predykcji: $\ X_{T} = \ \begin{bmatrix} 1 \\ 9 \\ \end{bmatrix}\ $ V = 7,1176 tys.

względny błąd predykcji: V* = 6,61%

prognoza przedziałowa

n-k = 8-2 = 6 α= 0,05 u= 2,447

107,65 - 2,447 * 7,1176 < yt < 107,65 + 2,447 * 7,116

0,95 --> na 100 prognoz przedziałowych 95 z pośród nich pokryje przyszłą prawdziwą realizację zmiennej prognozowanej Yt

egzamin:

- będzie oszacowany model i trzeba będzie zinterpretować

- wybrać jeden z dwóch modeli, który jest lepszy i uzasadnić, dlaczego

- jak się testuje autokorelacje rzędu pierwszego

- test na istotność parametrów (test t-studenta)

- interpretacje parametrów modeli

- wybrać prognozę dopuszczalną i uzasadnić

- własności estymatorów

- założenia metody najmilejszych kwadratów