Pabim

10. Czym mogą być spowodowane nieliniowości w odpowiedzi konstrukcji?

Spowodowane zmianą geometrii ciała (odkształcalnego):
- duże odkształcenia (np. guma, formowanie metali)
- duże przemieszczenia (np. konstrukcje smukłe, cienkościenne)
- kontakt (oddziaływanie stykających się ciał)
- obciążenie śledzące (zależne od deformacji ciała)

Spowodowane nieliniowymi związkami konstytutywnymi:
- plastyczność (odkształcenia trwałe)
- uszkodzenie (degradacja własności sprężystych)

- zarysowanie (kontynualna reprezentacja rys)

11. Jakie wyróżnia się w mechanice konstrukcji typy zagadnień 2D? Czym się charakteryzują? Jaki jest wzór w liniowej sprężystości na ε₃₃ w PSN i na σ₃₃ w PSO?

Wyróżniamy zagadnienia 2D:

PSN- stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora naprężenia są równe zero. Przykład p.s.n.: tarcza

PSO- stan, w którym współrzędne w jednym wierszu i jednej kolumnie (symetrycznego) tensora odkształcenia są równe zero. Przykład: ława fundamentowa

Symetria osiowa.

12. Zapisać związki fizyczne pomiędzy odkształceniami i naprężeniami uogólnionymi w płytach.

13. Jak można uwzględnić nieciągłości w analizie MES?

Analiza wieloskalowa pozwala łączy dwie koncepcje modelowania. Koncepcję modelowania opartą o równania różniczkowe (np. MES), która pozwala opisywać zjawiska o ciągłym charakterze (funkcja różniczkowa jest z założenia ciągła w swojej dziedzinie).

Drugą koncepcją jest modelowanie w oparciu o modele dyskretne, które opierają się na podejściu stochastycznym, czyli prawdopodobieństwa losowego zajścia pewnych zjawisk. Zatem, analiza wieloskalowa pozwala wprowadzić do modelu opisującego ciągłe zjawisko element losowości oraz ułatwić opis zjawiska nieciągłego (np. pękanie).

14. Które równania mechaniki są spełnione dokładnie, a które w sposób przybliżony w

wersji przemieszczeniowej MES?

15. Dla liniowej teorii sprężystości obliczono MES wektor węzłowych przemieszczeń. Z jakiego wzoru oblicza się tensor naprężenia w dowolnym punkcie dziedziny zadania?

16. Jaka jest definicja sił niezrównoważonych w algorytmie Newtona-Raphsona?

Siły niezrównoważone (rezydualne): R_j = f_ext^t + Δt − f_int, j^t + Δt → 0

f_ext – funkcja obciążenia zewnętrznego w j-tej iteracji

f_int, j – funkcja obciążenia wewnętrznego w j-tej iteracji

f_ext – przykładane w przyrostach

Służą do obliczania dodatkowych przemieszczeń czyli zmian konfiguracji zmieniających do konfiguracji odpowiadającej równowadze.

17. Do czego służy kryterium zbieżności w algorytmie Newtona-Raphsona i jakim

wzorem wyraża się dla sił.

Kryterium zbieżności: $\frac{\left| \left| f_{\text{ext}}^{t + \Delta t} - f_{int,j} \right| \right|}{\left| \left| f_{\text{ext}} \right| \right|} \leq \delta$

Służy do znalezienia iteracji (chwili zakończenia obliczeń), przy której zostaje osiągnięta równowaga z przyjętą dokładnością. Do oszacowania dokładności przybliżenia (błędu).

W poszczególnych cyklach obciążenia przyjmujemy stałe, przybliżone macierze sztywności, co powoduje nie spełnienie warunków równowagi. Obliczamy po każdym cyklu nierównoważone obciążenie w danej konfiguracji. Proces obliczeniowy kończymy po uzyskaniu równowagi z przyjęto dokładnością. Metoda ta jest metodą o zbieżności kwadratowej. Oznacza to, iż przy spełnieniu założeń metody, odległości pomiędzy kolejnymi przybliżeniami a minimum funkcji maleją kwadratowo.

18. W jakich sytuacjach stosuje się przy wyznaczaniu nieliniowej ścieżki równowagi sterowanie przemieszczeniem lub parametrem łuku?

Dla algorytmu Newtona – Raphsona sterowanie parametrem obciążenia zawodzi jeżeli występuje punkt graniczny i macierz styczna K_T staje się osobliwa.

Sterowanie siła lub przemieszczeniem:

Sterowanie parametrem łuku:

19. Z jakich macierzy składa się w analizie geometrycznie nieliniowej operator styczny?

K = K₀ + K_U + K_σ -styczna macierz sztywności

K₀ - macierz sztywności liniowej

K_U - macierz sztywności przemieszczeniowej (macierz dyskretnych związków kinemat. B zależna od przemieszczeń)

K_σ - macierz sztywności naprężeniowej (zależna od naprężeń uogólnionych)

20. Podaj wzór na styczną macierz sztywności dla zagadnienia fizycznie nieliniowego i zaznacz, które z macierzy we wzorze reprezentują tę nieliniowość?

Liniowe związki geometryczne macierz dyskretnych związków kinematycznych B = LN niezależna od przemieszczeń.

Styczna macierz sztywności:

$$K = \sum_{e = 1}^{n_{e}}{\left( A^{e} \right)^{T}\int_{V^{e}}^{}{B^{T}\text{\ D\ B\ dV\ }A^{e}}}$$

D – operator styczny (reprezentuje nieliniowość)

L – macierz operatorów różniczkowych $L = \frac{\partial\varepsilon}{\partial u}$

N – funkcje kształtu

21. Jakie tensory w teorii plastyczności wiąże ze sobą tensor Hooke'a w sposób wzajemnie jednoznaczny?

Tensory naprężenia i odkształcenia.

Prawo Hook’a: σ_ij = D_ijkl^e * ε_kl

Macierz modułów sprężystości, macierz konstytutywna: D^e = D^e(E,ν)

22. Zapisz ogólnie prawo płynięcia plastycznego i wyjaśnij, jaka jest rola występujących w nim obiektów matematycznych. Kiedy prawo płynięcia nazywa się stowarzyszonym?

Prawo płynięcia plastycznego ${\dot{e}}^{P} = \dot{\lambda}m$ określa prędkość odkształceń plastycznych.

$\dot{\lambda}$ - mnożnik plastyczny

m – kierunek płynięcia plastycznego (zazwyczaj stowarzyszony z funkcją płynięcia $m^{T} = n^{T} = \frac{\partial f}{\partial\sigma}$)

${\dot{\epsilon}}^{\text{\ p}}$ – energia odkształcenia postaciowego

23. Jaki kształt mają w przestrzeni naprężeń funkcje plastyczności HMH i Mohra-Coulomba? Dla jakich materiałów są stosowane?

Dla HMH (funkcje plastyczności niezależne od ciśnienia):

Dla Mohra-Coulomba(funkcje plastyczności zależne od ciśnienia):

Funkcje plastyczności są stosowane dla: metali(HMH) i gruntów(Mohra coulomba).

24. Na czym polega anizonomia zachowania betonu?

aniizonomia - zależność od zwrotu na danym kierunku (np. beton wykazuje znakomite właściwości mechaniczne przy ściskaniu, a około 10 razy gorsze prze rozciąganiu)

25. Jaki jest sens fizyczny energii pękania w analizie zarysowania betonu?

Energia pękania jest parametrem nie związanym bezpośrednio z wytrzymałością na rozciąganie, ale z ilością energii, którą należy dostarczyć dla zniszczenia próbki materiału przez rozciąganie/zginanie. Beton o wysokiej energii pękania wykazuje charakterystyczny przebieg uzyskanego w ten sposób wykresu naprężenie-odkształcenie.

W całej rozciąganej/zginanej próbce następuje najpierw losowa dystrybucja mikrozarysowań o czym świadczy nieliniowy wzrost naprężenia. Gdy osiągnięte zostaje naprężenie maksymalne propagacja mikropęknięć przyspiesza się i skupiają się one w obszarze najsłabszego przekroju próbki tworząc tzw. strefę zniszczenia FPZ (Fracture Process Zone). W trakcie dalszego rozciągania materiał poza strefą FPZ nie jest już sprężyście obciążony, a poszerza się jedynie strefa zniszczenia nadal przenosząc malejące naprężenia. Energia pękania reprezentowana jest przez pole powierzchni pod krzywą naprężenie - odkształcenie.

26. Ile stopni swobody ma najprostszy 4-węzłowy element płytowy i jaka jest ich interpretacja fizyczna?

12 stopni swobody. 1 przesuw i 2 obroty w każdym węźle.

12 stopnie swobody: po 3 w każdym węźle (1 przesuw i 2 obroty) (brak obrotu wokół normalnej do powierzchni płyty i 2 przemieszczeń równoległych do płaszczyzny płyty).

Węzłowe stopnie swobody i siły.

27. Jakie stopnie swobody ma węzeł elementu powłokowego?

5 stopni swobody: 3 przesuwy i 2 obroty.

28. Podaj założenia liniowej teorii wyboczenia

Założenia:

- obciążenie jest jednoparametrowe, zmieniające się proporcjonalnie do parametru obciążenia λ

P= λP*,

- obciążenie jest zachowawcze, tzn. nie zmienia kierunku podczas odkształcania się konstrukcji,

- ustrój (pręt,tarcza,powłoka) jest idealny, bez geometrycznych materiałowych czy obciążeniowych imperfekcji, które zaburzają idealny stan przedwyboczeniowy

29. Jakim wzorem wyraża się początkowy problem wyboczenia? Co stanowi rozwiązanie tego problemu?

Równanie macierzowe dla całego układu opisujące utratę stateczności

przez wyboczenie:

[K + λK_σ (s*)]+ Ku1(g*)]V = 0,

gdzie:

-macierz liniowej sztywności układu K,

-macierz sztywności naprężeniowej K_σ(s*) --macierz sztywności przemieszczeniowej Ku1(g*)

-poszukiwany mnożnik krytyczny obciążenia λkr ,

- poszukiwana postać deformacji powyboczeniowej, opisana za

pomocą wektora V = ΔQ,

30. Czym różni się od liniowej teorii płyt cienkich teoria von Karmana?

W teorii von Karmana dopuszcza się ugięcie rzędu grubości.

Cecot

1. Jaka jest ciągłość aproksymacji MES. Od czego zależy wymagany stopień ciągłości?

W MES funkcje kształtu zapewniają ciągłą aproksymację w elemencie, w jego wierzchołkach odtwarzają wartości węzłowe funkcji niewiadomej. Za pomocą funkcji kształtu i ich pochodnych można opisać dowolne pole fizyczne w elemencie: u(x)=N(x)*f⋅.

Dzięki temu wszystkie rozważania sprowadza się do węzłów, a między nimi (wewnątrz elementu) wszystko zależy od przyjętej aproksymacji, np. aproksymacji liniowej z elementami trójkątnymi.

Funkcje kształtu powinny spełniać warunki ciągłości i zupełności tzn.:

- ciągłość C^n-1 na granicach między elementam,i

- ciągłość Cⁿ poszukiwanej wielkości w obszarze elementu,

Gdzie:

n-najwyższy rząd pochodnej występującej w równaniu różniczkowym.

W przypadkach gdy zachodzi konieczność ciągłości pochodnej funkcji stosuje się funkcje kształtu oparte na wielomianach Hermite’a.

2. W jaki sposób uwzględnia się w MES kinematyczne i statyczne warunki brzegowe?

Warunki brzegowe statyczne są to obciążenia o odpowiedniej wartości i kierunku przyłożone do węzła. Należy wprowadzić dane warunki brzegowe do układu równań.

Warunki brzegowe uwzględnia się poprzez odbieranie konstrukcji odpowiedniej liczby stopni swobody. Warunki kinematyczne uwzględnia się poprzez wyzerowanie w macierzy sztywności wszystkich elementów wierszy i kolumn odpowiadających zerowym przemieszczeniom, a na przekątnej głównej wpisanie jedynek.

3. Podać czynniki decydujące o dokładności aproksymacji MES. Jak ją oszacować?

Decydują: rozmiar elementów, gęstość siatki (liczba węzłów), stopień aproksymacji;

Oszacowanie: W MES poszukujemy rozwiązania w formie kombinacji liniowych funkcji, które definiują rodzinę skończenie wymiarowych podprzestrzeni S^h przestrzeni Hilberta H.

Błąd aproksymacji ε = u − u_h jest ortogonalny do przestrzeni S^h.

4. Czym są i od czego zależy błąd, stabilność, zbieżność aproksymacji?

5. Opisać sposób obliczania aproksymacji rozwiązania i jej pochodnych gdy znane są wszystkie stopnie swobody

Milewski

1. Wymień najważniejsze kryteria klasyfikacji metod obliczeniowych, krótko scharakteryzuj każde z nich, a następnie, posługując się tymi kryteriami, sklasyfikuj najważniejsze metody obliczeniowe: MES, MEB, MRS lokalna, MRS wariacyjna, BMRS.

Kryteria klasyfikacji metod:

• Sformułowanie problemu brzegowego,

• Podstawa dyskretyzacji zadania (obszar, brzeg, podobszar, …),

• Sposób dyskretyzacji obszaru i brzegu (węzły, elementy + węzły),

• Sposób dyskretyzacji rozwiązania (wartości węzłowe, inne s.s.),

• Sposób aproksymacji rozwiązania.

Sformułowanie problemu brzegowego:

Lokalne, globalne, mieszane (np. globalno-lokalne)

Podstawa dyskretyzacji zadania:

MES, MEB, MRS, METODY BEZSIATKOWE, BMRS.

Sposób aproksymacji rozwiązania:

Metody brzegowe, elementowe, bezsiatkowe.

2. Scharakteryzuj lokalną MRS

1) sformułowanie problemu brzegowego:

Lokalne

Lu=f PεΩ

Gu=g u=u(P) PεɕΩ

2) Generacja siatki: Typ (prostokątna, trójkątna) + moduł h

3) Aproksymacja: Generacja wzorów różnicowych dla pochodnych z równania

4) Generacja równań dyskretnych: Kolokacja

5) Całkowanie: brak

6) Warunki brzegowe: dodatkowe wzory różnicowe brzegowe

7) Macierz układu równań: na ogół niesymetryczna

3. Scharakteryzuj wariacyjną MRS

4. Dokonaj analizy porównawczej MES i lokalnej MRS

5. Wymień etapy algorytmów lokalnej i wariacyjnej MRS

1) generacja siatki

2) generacja wzorów różnicowych

3) generacja równań różnicowych

4) uwzględnienie warunków brzegowych

5) MRS wariacyjna – numeryczne całkowanie

6. Omów sposoby aproksymacji brzegowej w MRS

Aproksymacja w MRS odbywa się za pomocą wzorów różnicowych.

2D:

Sposoby generacji:

- Składanie wzorów złożonych ze wzorów prostych:

- Wymuszenie zgodności dla jednomianów

- Interpolacja i różniczkowanie

- Metoda współczynników nieoznaczonych (metoda Taylora)

7. Wytłumacz, na czym polega bezsiatkowość metody

Metody bezsiatkowe, to metody, w których aproksymacja funkcji jest zbudowana wyłącznie na wielkościach węzłowych. Te węzły mogą być rozmieszczone zupełnie dowolnie i nie są związane ze sobą żadną strukturą typu:

- element skończony (MES),

- siatka regulowana (klasyczna MRS) lub taką, która wymaga odwzorowania na siatkę reuglarną.

Cechy metody bezsiatkowej:

- dowolnie nieregularne chmury węzłów (węzły nie powiązane ze sobą żadną strukturą, typu siatka regularna czy element)

8. Wymień najważniejsze wady i zalety MRS

Bilans MRS i MES
Zalety
MRS
Najstarsza metoda komputerów
Łatwość implementacji
Istnienie wersji lokalnej
Łatwa generacja siatki
Dydaktyczny charakter
MES
Najbardziej powszechna metoda komputerów
Podstaw pakietów komputerowych
Szerokie pole zastosowań
Ogromna biblioteka elementów skończonych
Duża dokładność rozwiązania

9. Wymień etapy algorytmu BMRS

1) Sformułowanie problemu brzegowego dla analizy BRMS i generacja węzłów

2) Podział obszaru (topologia: wielokąty, trójkąty)

3) determinacja topologii (generacja gwiazd)

4) optymalna selekcja gwiazd różnicowych

5) generacja wzorów różnicowych (MWLS)

6) całkowanie numeryczne

7) uwzględnienie warunków brzegowych

8) generacja równań różnicowych (kolokacja, minimum funkcjonału, równanie wariacyjne)

9) Rozwiązanie układu równań + postprocessing

10. Omów kryteria generacji gwiazd różnicowych w BMRS

Determinacja topologii

Kryteria selekcji:

- sąsiadów Voronoi

- „krzyża”

11. Scharakteryzuj aproksymację MWLS stosowaną w BMRS

12. Omów sposoby całkowania w BMRS

a) całkowanie dookoła węzła – po wielokątach VORONOI (najlepsze dla parzystych operatorów) – tak jak w klasycznej MRS

b) całkowanie pomiędzy węzłami – po trójkątach DELAUNAY (2D) (najlepsze dla parzystych operatorów) – tak jak w MES

c) całkowanie po siatce tła – niezależnej od węzłów – tak jak w metodach bezsiatkowych

d) całkowanie po strefach wpływu funkcji wagowych aproksymacji MWLS – tak jak w metodach bezsiatkowych.

15. Dokonaj analizy porównawczej MRS i BMRS

Cecha metody BMRS :

Aproksymacja lokalna jest oparta na grupie węzłów, dokonywana metodą najmniejszych ważonych kroczących kwadratów.

Cecha metod różnicowych MRS:

Zmiana operatorów różniczkowych na różnicowe