Zaliczenie 22 I 2011 sobota godzina 11:20 60-70 minut

Email: [e-mail]

Wzory bez opisów

Prognozowanie na podstawie modelu ekonometrycznego

Zadanie

Na podstawie następujących danych

t	Yt	X1t	X2t
1	1	0	0
2	2	1	0
3	3	0	1
4	4	2	1

Oszacowano model

Y_t = 1, 2 + 0, 6X_1t + 1, 7X_2t + u_t

Wariancja reszt wynosi

Su² = 0, 1

Macierz wariancji i kowariancji wynosi

$$D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 0,06 & - 0,02 & - 0,04 \\ - 0,02 & 0,04 & - 0,02 \\ - 0,04 & - 0,02 & 0,11 \\ \end{bmatrix}$$

Wyznaczyć prognozę punktową na okres przyszły T=5 zakładając, że przyszłe realizacje zmiennych objaśniających w tym okresie są następujące:

T = 5 X_1T = 5 = 2 X_2T = 5 = 1

Obliczyć średni i względny błąd predykcji.

Budowanie prognozy

Ogólna formuła prognozy na moment 5-ty

Y_T = 5^p = 1, 2 + 0, 6X_1T = 5 + 1, 7X_2T = 5

Y_T = 5^p = 1, 2 + 0, 6 × 2 + 1, 7 × 1 = 1, 2 + 1, 2 + 1, 7 = 4, 1

Błąd

$$V = \sqrt{{x^{'}}_{T}D^{2}\left( a \right)x_{T} + \text{Su}^{2}}$$

$$x_{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}\begin{matrix} slepa\ zmienna \\ X_{1T} = 2 \\ X_{2T} = 1 \\ \end{matrix}$$

$x_{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ ${x'}_{T} = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 0,06 & - 0,02 & - 0,04 \\ - 0,02 & 0,04 & - 0,02 \\ - 0,04 & - 0,02 & 0,11 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} - 0,02 & 0,04 & 0,03 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) \times x_{T} = \begin{bmatrix} - 0,02 & 0,04 & 0,03 \\ \end{bmatrix}$ [0,09]

$V = \sqrt{0.09 + 0,1} = \sqrt{0.19} = 0.436$ $V^{*} = \frac{V}{Y_{T = 5}^{p}} \times 100 = \frac{0,436}{4,1} \times 100 = 10,63$

Zadanie

Na podstawie następujących danych

t	Yt	X1t
1	3	1
2	5	4
3	7	2
4	8	5
5	9	7
6	11	6
7	13	9

Oszacowano model

Y_t = 3 + X_1t + u_t

Wariancja reszt wynosi

Su² = 3, 6

Macierz wariancji i kowariancji wynosi

$$D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 2,245 & - 0,346 \\ - 0,346 & 0,069 \\ \end{bmatrix}$$

Trend zmiennej objaśniającej X_1t jest następujący

X_1t = 2, 3848 + 0.6538t + u_t

Reszty modelu zmiennej Y pochodzą z rozkładu normalnego.

Przyjmując wiarygodności prognozy na poziomie 95%, wyznaczyć prognozy zmiennej Y na moment przyszły T=8.

Prognozę zmiennej objaśniającej wyznaczyć z trendu.

Wyznaczyć prognozę punktową dla zmiennej objaśniającej:

X_1T^p = 2, 3848 + 0, 6538T

X_1T = 8^p = 2, 3848 + 0, 6538 × 8 = 7, 6152

Wyznaczamy prognozę główną punktową

Y_1T = 8^p = 3 + 7, 6152 = 10, 6152

Prognoza przedziałowa – średni błąd predykcji

$x_{T} = \begin{bmatrix} 1 \\ 7,6152 \\ \end{bmatrix}$ ${x'}_{T} = \begin{bmatrix} 1 & 7,6152 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 2,245 & - 0,346 \\ - 0,346 & 0,069 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 1 & 7,6152 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} - 0,39 & 0,179 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 1 \\ 7,6152 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) \times x_{T} = \begin{bmatrix} - 0,39 & 0,179 \\ \end{bmatrix}$ [0,973]

$V = \sqrt{0.973 + 3,6} = \sqrt{4,573} = 2,139$

Budujemy prognozę

γ = 0, 95 α = 1 − 0, 95 = 0, 05 n − k = 7 − 2 = 5 u = 2, 571

Pr{Y_T^p−uV<Y_T^p<Y_T^p+uV} = γ

Pr{10,6152−2,571×2,139<Y_T = 8^p<10,6152+2,571×2,139} = 0, 95

Pr{5,11<Y_T = 8^p<16,1146} = 0, 95

(6,42) (14,8)

Zadanie

Za podstawie pewnych danych oszacowano model ekonometryczny

Y_t = 18X_1t + 10X_2t + 200 + u_t

Wariancja reszt wynosi

Su² = 331

Macierz wariancji i kowariancji wynosi

$$D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ - 1 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$$

Trendy zmiennych objaśniających są następujące

X_1t = 6 + 0, 2t + u_t dla t= 1, 2, …, 17

X_2t = 20 + 0, 5t + u_t dla t= 1, 2, …, 17

Wiedząc że reszty modelu mają rozkład normalny oraz przyjmując wiarygodność prognoz na poziomie 90% wyznaczyć prognozę punktową i przedziałową zmiennej Y na moment przyszły T=20

X_1T^p = 6 + 0, 2T

X_1T = 20^p = 6 + 0, 2 × 20 = 10

X_2T^p = 20 + 0, 5T

X_2T = 20^p = 20 + 0, 5 × 20 = 30

Y_T = 20^p = 18 × 10 + 10 × 30 + 200 = 180 + 300 + 200 = 680

Budujemy prognozę

$x_{T} = \begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ ${x'}_{T} = \begin{bmatrix} 10 & 30 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $V = \sqrt{{x^{'}}_{T}D^{2}\left( a \right)x_{T} + \text{Su}^{2}}$

$\begin{bmatrix} 2 & 0 & - 1 \\ 0 & 4 & 1 \\ - 1 & 1 & 5 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) = \begin{bmatrix} 10 & 30 & 1 \\ \end{bmatrix}$ $\begin{bmatrix} 19 & 121 & 25 \\ \end{bmatrix}$

$\begin{bmatrix} 10 \\ 30 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$

${x'}_{T} \times D^{2}(a) \times x_{T} = \begin{bmatrix} 19 & 121 & 25 \\ \end{bmatrix}$ [3845]

$V = \sqrt{3845 + 331} = \sqrt{4176} = 64,62$ $V^{*} = \frac{V}{Y_{T = 5}^{p}} \times 100 = \frac{64,62}{680} \times 100 = 9,50$

Prognoza przedziałowa

γ = 0, 9 α = 1 − 0, 9 = 0, 1 n − k = 17 − 3 = 14 u = 1, 761

Pr{Y_T^p−uV<Y_T^p<Y_T^p+uV} = γ

Pr{680+1,761×64,62<Y_T = 8^p<680+1,761×64,62} = 0, 9

Pr{566,20<Y_T = 8^p<793,80} = 0, 9

Lub

Pr{Y_T^p−u×Su<Y_T^p<Y_T^p+u×Su} = γ