Liniowy model tendencji rozwojowej:

- specyfikacja modelu

- szacowanie i interpretacja parametrów

- weryfikacja modelu

- budowa prognoz

- błędy prognoz

Lata	Yt	t	Yt^*	|Ut|	Yt − 1^*	Yt − Yt − 1^*
2004	10	1	9,96	0,04	-	-
2005	12	2	11,25	0,75	10	2
2006	12	3	12,46	0,46	12	0
2007	13	4	13,71	0,71	12	1
2008	15	5	14,96	0,04	13	2
2009	16	6	16,21	0,21	15	1
2010	18	7	17,46	0,54	16	2
2011	-	8	18,71	Razem 2,75	18	-
2012	-	9	19,96		18	-

1. wyspecyfikować postać analityczną modelu trendu

2. oszacować i zinterpretować parametry strukturalne modelu

3. zweryfikować model

4. Zbudować prognozy punktowe na rok 20011 i 2012

5. Obliczyć błędy exante prognoz : średni i względny błąd predykcji

6. Zbudować prognozy przedziałowe na poziomie wiarygodności 95%.

7. Czy prognozy SA dopuszczalne, jeżeli próg dopuszczalności wynosi 6%.

Y_t^*

lata

Y_t   = α₁t + α₀ +  ξ_t

Trend mamy dodatni , więc α₁ powinien być dodatni a α₀< 10

a = ( x^′x)⁻¹x^′y

Y= $\begin{bmatrix} 10 \\ 12 \\ 12 \\ 13 \\ 15 \\ 16 \\ 18 \\ \end{bmatrix}$ x=$\begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 1 \\ 3 & 1 \\ 4 & 1 \\ 5 & 1 \\ 6 & 1 \\ 7 & 1 \\ \end{bmatrix}$ x^′x =$\begin{bmatrix} 140 & 28 \\ 28 & 7 \\ \end{bmatrix}$ ( x^′x)⁻¹ = $\begin{bmatrix} 0,04 & - 0,14 \\ - 0,14 & 0,71 \\ \end{bmatrix}$

x^′y = $\begin{bmatrix} 419 \\ 96 \\ \end{bmatrix}$ a = $\begin{bmatrix} 1,25 \\ 8,71 \\ \end{bmatrix}\ $ $\begin{matrix} a_{1} \\ a_{0} \\ \end{matrix}$ czyli

Y_t   = 1, 25t + 8, 71 +  U_t

To nie jest model przyczynowo skutkowy , więc nie musimy sprawdzać koincydencji.

Y – to wartość sprzedaży w tysiącach szt.

W latach 2004 – 2010 przeciętna wielkość sprzedaży wzrastała z roku na rok o 1,25 tyś szt.

W roku 2003 przeciętna wielkość sprzedaży wynosiła 8,71 tyś szt.

y_t^* = 1,25•t + 8,71

y₁^* = 1,25•1 + 8,71 =9,96

y₂^* = 1,25•2 + 8,71 =11,25

y₃^* = 1,25•3 + 8,71 =12,46

y₄^* = 1,25•4 + 8,71 =13,71

y₅^* = 1,25•5 + 8,71 =14,96

y₆^* = 1,25•6 + 8,71 =16,21

y₇^* = 1,25•7 + 8,71 =17,46

To są trendy deterministyczne ( nie wolno stosować ich do giełdy i walut , bo tam występuja trendy stochastyczne )

Dalej

Weryfikacja modelu 2

n= 7 k = 2 $\sum_{t = 1}^{7}U_{t}^{2}$ = 1,68 $\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\sum_{t = 1}^{7}U_{t}$ = 0 Su² = 0,34 Su = 0,58

Dalej

Liczymy macierz wariancji i kowariancji

D²(a) = Su²( x^′x)⁻¹ = $\begin{bmatrix} 0,01 & - 0,05 \\ - 0,05 & 0,24 \\ \end{bmatrix}$

Y_t   = 1, 25t + 8, 71 +  U_t

($\sqrt{0,01}\text{\ \ \ }\sqrt{0,24}$)

$\overset{\overline{}}{Y}$ = 13,71 [•] tyś szt .

$\sum_{t = 1}^{7}{{(Y}_{\text{t\ \ }} -}\overset{\overline{}}{Y})$ = 45,43

φ² = 3,69% R² = 96,31 %

Dalej

Liczymy prognozy T- przyszłość , P - prognoza

Y_T^P = 1,25 T + 8,71

W 2011 ⇒ T = 8

Y_T = 8^P = 1,25 •8 + 8,71= 18,71 [•]

Czyli przeciętna wielkość sprzedaży w 2011 będzie wynosiła 18,71 tyś szt.

Dalej liczymy błędy exante i średnie błędy predykcji.

V = $\sqrt{x_{T}^{'}D(a)\ x_{T} + Su}$ x_T = kolumnowy wektor przyszłych zmiennych objaśniających

x_T =$\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ x_T^′ = $\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ \end{bmatrix}$ x_T^′D = $\begin{bmatrix} 8 & 1 \\ \end{bmatrix}$ • $\begin{bmatrix} 0,01 & - 0,05 \\ - 0,05 & 0,24 \\ \end{bmatrix}$ =$\ \begin{bmatrix} 0,03 \\ - 0,16 \\ \end{bmatrix}$ bo

D₁₁ =8 • 0,01 +1• (-0,05)= 0,03

D₁₂ = 8 • (-0,05) +1• 0,24 = (- 0 ,16)

x_T^′D(a) x_T = $\begin{bmatrix} 0,03 \\ - 0,16 \\ \end{bmatrix}$ • $\begin{bmatrix} 8 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ = 0,03  •  8 + ( − 0, 16) •1 = 0,08

Więc V = $\sqrt{0,08 + 0,34}$ ≅ 0,65 [•]

Rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej odchylają się im + lub im - o 0,65 [•] od postawionych prognoz

V^* = $\frac{V}{Y_{T = 8}^{P}}$ $\bullet \ 100\ \%\ = \ \frac{0,65\ \ \lbrack \bullet \rbrack\ }{18,71\ \ \lbrack \bullet \rbrack\ }$ = 3,47 %

Ponieważ V^* jest mniejsze od założonego progu dopuszczalności prognoza jest dopuszczalna

Dalej trzeba policzyć błędy expos ( absolutne)

MAE = $\frac{1}{m}$ • $\sum_{t = 1}^{m}{{(Y}_{\text{t\ \ }} -}{Y\ \overline{}}_{t}^{*})$

m=7 dalej liczymy reszty , a wynoszą one 2,75 stąd mamy MAE = $\frac{1}{7}$ • 2,75 = 0,392[•]

Czyli MAE to błąd z lat 2004 – 2010 , a V uwzględnia przyszłość. Jednak lepiej oceniać na błędach expos

Dalej budujemy prognozę przedziałową

Pr { Y_T^P - uV < Y_T^P < Y_T^P +uV} = γ

Pr{Y_T = 8^P -uV < Y_T = 8^P < Y_T = 8^P +uV}= 0,95

γ = 0,95 ; α = 1 – γ = 0,05 n-k = 5

u = 2,571

Pr{ 18,71 – 2,571 • 0,65 < Y_T = 8^P <18,71 +2,571 • 0,65} = 0,95 więc

Pr { 17,03885 < Y_T = 8^P < 20,38115} = 0,95

Mamy zatem 95 % szans na to , że prognoza będzie z tego przedziału.

Dalej liczymy prognozę naiwną ( dwie ostatnie kolumny tabeli)

Y_T = 8^P = 18 m=6 MAE = $\frac{1}{6}$ • 8 = $\frac{4}{3}$ [•] = 1,33 [•] , czyli mylimy się o 1,33 [•]

Ta prognoza naiwna jest gorsza, wybieramy więc trend liniowy .

W 2012 ⇒ T = 9

Y_T = 9^P = 1,25 •9 + 8,71= 19,96 [•]

Czyli przeciętna wielkość sprzedaży w 2012 będzie wynosiła 19,96 tyś szt.

Dalej liczymy błędy exante i średnie błędy predykcji.

V = $\sqrt{x_{T}^{'}D(a)\ x_{T} + Su}$ x_T = kolumnowy wektor przyszłych zmiennych objaśniających

x_T =$\begin{bmatrix} 9 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ x_T^′ = $\begin{bmatrix} 9 & 1 \\ \end{bmatrix}$ x_T^′D = $\begin{bmatrix} 9 & 1 \\ \end{bmatrix}$ • $\begin{bmatrix} 0,01 & - 0,05 \\ - 0,05 & 0,24 \\ \end{bmatrix}$ =$\ \begin{bmatrix} 0,04 \\ - 0,21 \\ \end{bmatrix}$ bo

D₁₁ =9 • 0,01 +1• (-0,05)= 0,04

D₁₂ = 9 • (-0,05) +1• 0,24 = (- 0 ,21)

x_T^′D(a) x_T = $\begin{bmatrix} 0,04 \\ - 0,21 \\ \end{bmatrix}$ • $\begin{bmatrix} 9 \\ 1 \\ \end{bmatrix}$ = 0,04  •  9 + ( − 0, 21) •1 = 0,15

Więc V = $\sqrt{0,15 + 0,34}$ ≅ 0,7 [•]

Rzeczywiste realizacje zmiennej prognozowanej odchylają się im + lub im - o 0,65 [•] od postawionych prognoz

V^* = $\frac{V}{Y_{T = 8}^{P}}$ $\bullet \ 100\ \%\ = \ \frac{0,7\ \ \lbrack \bullet \rbrack\ }{19,96\ \ \lbrack \bullet \rbrack\ }$ = 3,50 %

Ponieważ V^* jest mniejsze od założonego progu dopuszczalności prognoza jest dopuszczalna

Dalej trzeba policzyć błędy expos ( absolutne)

MAE = $\frac{1}{m}$ • $\sum_{t = 1}^{m}{{(Y}_{\text{t\ \ }} -}{Y\ \overline{}}_{t}^{*})$

m=7 dalej liczymy reszty , a wynoszą one 2,75 stąd mamy MAE = $\frac{1}{7}$ • 2,75 = 0,392[•]

Czyli MAE to błąd z lat 2004 – 2010 , a V uwzględnia przyszłość. Jednak lepiej oceniać na błędach expos

Dalej budujemy prognozę przedziałową

Pr { Y_T^P - uV < Y_T^P < Y_T^P +uV} = γ

Pr{Y_T = 9^P -uV < Y_T = 9^P < Y_T = 9^P +uV}= 0,95

γ = 0,95 ; α = 1 – γ = 0,05 n-k = 5

u = 2,571

Pr{ 19,96 – 2,571 • 0,7 < Y_T = 8^P <19,96 +2,571 • 0,7} = 0,95 więc

Pr { 18,1603 < Y_T = 9^P < 21,7597} = 0,95

Mamy zatem 95 % szans na to , ze prognoza będzie z tego przedziału.

Dalej liczymy prognozę naiwną ( dwie ostatnie kolumny tabeli)

Y_T = 9^P = 18 m=6 MAE = $\frac{1}{6}$ • 9 = $\frac{3}{2}$ [•] = 1,5 [•] , czyli mylimy się o 1,5 [•]

Ta prognoza naiwna jest gorsza, wybieramy więc trend liniowy .