2.a)∫e√xdx={√x=t;2tdt=dx}=∫et*2tdt=2∫et*tdt={f’=et;f=et;g=t;g’=1}=2(et*t-∫et)=2et(t-1)=2e√x(√x-1);
b)∫arctg√x/√x={√x=t;2tdt=dx}=∫arctgt/t*2tdt=2∫arctgtdt={f’=1;f=t;g=arctgt;g’=1/1+t2}=2(tarctgt-∫t/1+t2dt)=2(tarctgt-1/2∫2t/1+t2)=
=2tarctgt-ln(1+t2)+C=2√xarctg√x-ln|1+x|+C;
c)∫tgx/ln|cosx|={t=ln|cosx|;dt=tgx}=∫dt/t=ln|t|+C=-ln|ln|cosx||+C;
3.b)∫cos3x/sin2x=∫(1-sin2x)cosx/sin2x={sinx=t;dt=cosxdx}=∫1-t2/t2dt=-1/t-t=-1/sin2x-sinx;
c)∫1/sinx=∫sinx/sin2x=∫sinx/1-cos2x={cosx=t;dt=-sinxdx}=-∫dt/1-t2=arctgt+C=arctg(cosx)+C;
a)∫dx/x2-2x+5=∫dx/(x-1)2+4={t=x-1;dt=dx}=∫dt/t2+4=∫dt/t2+22=1/2arctgt/2+C=1/2arctg(x-1/2)+C;
12.a)√(0.972+2,063);f(1,2)=√5;fx=x/√(x2+y2);fy=3y2/2√(x2+y2);fx(1,2)=√5/5;fy(1,2)=24√5/20;
14.a)y’=x√(1-y2);dy/dx=x√(1-y2);∫dy/√1-y2=∫xdx;arcsiny=x2/2;y=sin(1/2x2);
b)x2y’=-ctgy;dy/dx=-ctgy/x2;-∫dy/ctgy=∫x-2dx;ln|cosy|=-1/x+C;cosy=e-1/x+C;y=arccos(C*e-1/x);
c)y’=y/x-ctgy/x;t=y/x;y=t*x;y’=t’*x+t;t’*x=-ctgt;-∫dt/ctgt=∫dx/x;ln|cosx|=ln|x|+C;cost=eln|x|+C;cost=Cx;u=xarcsin(Cx);
15.a)y’-ytgx=1/cosx;RORJ:y’-ytgx=0;ln|y|=-ln|cosx|+C;y=cosx+C;RSRN:y’=-sin+C’(x);-sin+C’(x)-cosx*tgx=1/cosx;C’(x)=1/cosx;
RORN:y(x)=cosx+1/cosx+C;18.a)y”-2y’+y=ex/x;RORJ:λ2-2λ+1=0;Δ=0;(λ-1)(λ+1)=0;y=C1ex+ C2ex;
RSRN:y(x)=C1(x)ex+ C2(x)ex;| ex ex; ex ex||C1’;C2’|=|0,ex/x|;liczymy wyznacznik i wychodz wszystko;