2.a)∫e^√xdx={√x=t;2tdt=dx}=∫e^t*2tdt=2∫e^t*tdt={f’=e^t;f=e^t;g=t;g’=1}=2(e^t*t-∫e^t)=2e^t(t-1)=2e^√x(√x-1);

b)∫arctg√x/√x={√x=t;2tdt=dx}=∫arctgt/t*2tdt=2∫arctgtdt={f’=1;f=t;g=arctgt;g’=1/1+t²}=2(tarctgt-∫t/1+t²dt)=2(tarctgt-1/2∫2t/1+t²)=

=2tarctgt-ln(1+t²)+C=2√xarctg√x-ln|1+x|+C;

c)∫tgx/ln|cosx|={t=ln|cosx|;dt=tgx}=∫dt/t=ln|t|+C=-ln|ln|cosx||+C;

3.b)∫cos³x/sin²x=∫(1-sin²x)cosx/sin²x={sinx=t;dt=cosxdx}=∫1-t²/t²dt=-1/t-t=-1/sin²x-sinx;

c)∫1/sinx=∫sinx/sin²x=∫sinx/1-cos²x={cosx=t;dt=-sinxdx}=-∫dt/1-t²=arctgt+C=arctg(cosx)+C;

a)∫dx/x²-2x+5=∫dx/(x-1)²+4={t=x-1;dt=dx}=∫dt/t²+4=∫dt/t²+2²=1/2arctgt/2+C=1/2arctg(x-1/2)+C;

12.a)√(0.97²+2,06³);f(1,2)=√5;fx=x/√(x²+y²);fy=3y²/2√(x²+y²);fx(1,2)=√5/5;fy(1,2)=24√5/20;

14.a)y’=x√(1-y²);dy/dx=x√(1-y²);∫dy/√1-y²=∫xdx;arcsiny=x²/2;y=sin(1/2x²);

b)x²y’=-ctgy;dy/dx=-ctgy/x²;-∫dy/ctgy=∫x^-2dx;ln|cosy|=-1/x+C;cosy=e^-1/x+C;y=arccos(C*e^-1/x);

c)y’=y/x-ctgy/x;t=y/x;y=t*x;y’=t’*x+t;t’*x=-ctgt;-∫dt/ctgt=∫dx/x;ln|cosx|=ln|x|+C;cost=e^ln|x|+C;cost=Cx;u=xarcsin(Cx);

15.a)y’-ytgx=1/cosx;RORJ:y’-ytgx=0;ln|y|=-ln|cosx|+C;y=cosx+C;RSRN:y’=-sin+C’(x);-sin+C’(x)-cosx*tgx=1/cosx;C’(x)=1/cosx;

RORN:y(x)=cosx+1/cosx+C;18.a)y”-2y’+y=e^x/x;RORJ:λ²-2λ+1=0;Δ=0;(λ-1)(λ+1)=0;y=C₁e^x+ C₂e^x;

RSRN:y(x)=C₁(x)ex+ C₂(x)e^x;| e^x e^x; e^x e^x||C₁’;C₂’|=|0,e^x/x|;liczymy wyznacznik i wychodz wszystko;

2.a)∫e^√xdx={√x=t;2tdt=dx}=∫e^t*2tdt=2∫e^t*tdt={f’=e^t;f=e^t;g=t;g’=1}=2(e^t*t-∫e^t)=2e^t(t-1)=2e^√x(√x-1);

b)∫arctg√x/√x={√x=t;2tdt=dx}=∫arctgt/t*2tdt=2∫arctgtdt={f’=1;f=t;g=arctgt;g’=1/1+t²}=2(tarctgt-∫t/1+t²dt)=2(tarctgt-1/2∫2t/1+t²)=

=2tarctgt-ln(1+t²)+C=2√xarctg√x-ln|1+x|+C;

c)∫tgx/ln|cosx|={t=ln|cosx|;dt=tgx}=∫dt/t=ln|t|+C=-ln|ln|cosx||+C;

3.b)∫cos³x/sin²x=∫(1-sin²x)cosx/sin²x={sinx=t;dt=cosxdx}=∫1-t²/t²dt=-1/t-t=-1/sin²x-sinx;

c)∫1/sinx=∫sinx/sin²x=∫sinx/1-cos²x={cosx=t;dt=-sinxdx}=-∫dt/1-t²=arctgt+C=arctg(cosx)+C;

a)∫dx/x²-2x+5=∫dx/(x-1)²+4={t=x-1;dt=dx}=∫dt/t²+4=∫dt/t²+2²=1/2arctgt/2+C=1/2arctg(x-1/2)+C;

12.a)√(0.97²+2,06³);f(1,2)=√5;fx=x/√(x²+y²);fy=3y²/2√(x²+y²);fx(1,2)=√5/5;fy(1,2)=24√5/20;

14.a)y’=x√(1-y²);dy/dx=x√(1-y²);∫dy/√1-y²=∫xdx;arcsiny=x²/2;y=sin(1/2x²);

b)x²y’=-ctgy;dy/dx=-ctgy/x²;-∫dy/ctgy=∫x^-2dx;ln|cosy|=-1/x+C;cosy=e^-1/x+C;y=arccos(C*e^-1/x);

c)y’=y/x-ctgy/x;t=y/x;y=t*x;y’=t’*x+t;t’*x=-ctgt;-∫dt/ctgt=∫dx/x;ln|cosx|=ln|x|+C;cost=e^ln|x|+C;cost=Cx;u=xarcsin(Cx);

15.a)y’-ytgx=1/cosx;RORJ:y’-ytgx=0;ln|y|=-ln|cosx|+C;y=cosx+C;RSRN:y’=-sin+C’(x);-sin+C’(x)-cosx*tgx=1/cosx;C’(x)=1/cosx;

RORN:y(x)=cosx+1/cosx+C;18.a)y”-2y’+y=e^x/x;RORJ:λ²-2λ+1=0;Δ=0;(λ-1)(λ+1)=0;y=C₁e^x+ C₂e^x;

RSRN:y(x)=C₁(x)ex+ C₂(x)e^x;| e^x e^x; e^x e^x||C₁’;C₂’|=|0,e^x/x|;liczymy wyznacznik i wychodz wszystko;