Wydział Budownictwa, Architektury i Inżynierii Środowiska

Uniwersytet Technologiczno-Przyrodniczy

im. Jana i Jędrzeja Śniadeckich w Bydgoszczy

TEORIA SPRĘŻYSTOŚCI I PLASTYCZNOŚCI

Zapora wodna pod obciążeniem hydrostatycznym

Justyna Ciorkowska

Budownictwo

stacjonarne, drugi stopień

semestr I

grupa 4(TOB)

Bydgoszcz, rok akademicki 2013/2014

1.Obliczenie zapory o przekroju trójkątnym

Rozważamy nieograniczoną w kierunku prostopadłym do rysunku przegrodę o przekroju trójkątnym, obciążonym parciem wodnym i ciężarem własnym (rys.1).Dla określenia naprężeń wycinamy myślowo przegrody tarczę o grubości jednostkowej. Mamy tu przypadek płaskiego stanu odkształcenia, dla którego naprężenia są takie same, jak dla płaskiego stanu naprężeń.

Rys.1 (opracowanie własne)

-ciśnienie wody na głębokości y jest równe q = -σy;

- ciężar objętościowy zapory oznaczony przez ,,p’’

- szerokość przegrody na głębokości y wynosi:

b = - y/tgα (1.1)

Zakładamy funkcję naprężeń w postaci wielomianu 3 stopnia :

Ω = a₃x³ + b₃x²y + c₃xy² + d₃y³. (1.2)

Jeżeli okaże się, że w przypadku takiego wielomianu spełnione są wszystkie warunki na brzegach, to otrzymamy rozwiązanie ścisłe.

Naprężenia wynoszą:

σ_x = 2 c₃x + 6 d₃y , (1.3)

σ_y = 6 a₃x + 6 b₃y , (1.4)

τ_{xy =} -2b₃x - 2c₃y + p . (1.5)

Na brzegu 0-A, czyli przy x = 0 jest:

σ_x = -q = γy ,

τ_xy = 0.

Na podstawie wzorów (1.4) ÷ (1.6) otrzymujemy

6 d₃y = γy ,

-2 c₃y = 0 .

Stąd: d₃ = γ/6 , (1.6)

c₃ = 0 . (1.7)

Na nieobciążonym brzegu 0 – B, tzn. x = b = -y/tgα składowe

X = σ_x sinα + τ_xy cosα = 0,

Y = σ_y cosα + τ_xy sinα = 0.

Po podstawieniu do warunków brzegowych wyrażeń na naprężenia (1.3) ÷ (1.5) oraz (1.6) i (1.7) dochodzimy do układu 2 równań:

γy sinα + 2 $\frac{b_{3}}{\text{tg}}$ ⋅ cosα ⋅ y - $\frac{p}{\text{tg}}$ cosα ⋅ y = 0 ,

-6 $\frac{a_{3}}{\text{tg}}$ cosα⋅ y + 2b₃cosα⋅y + $\frac{b_{3}}{\text{tg}}$ sin α⋅y - $\frac{p}{\text{tg}}$ sinα ⋅y = 0.

Po podzieleniu obu równań przez y⋅cosα, z pierwszego otrzymujemy:

b₃ = - $\frac{{\text{\ tg}}^{3}}{3}$ + $\frac{p}{2}$ . (1.8)

Po podstawieniu b₃ do drugiego równania znajdujemy :

a₃ = - $\frac{{\text{\ tg}}^{3}}{3}$ + $\frac{p\ \text{tg}}{6}$ . (1.9)

Ostatecznie stan naprężeń zapisujemy następująco:

σ_x = γy , (1.10)

σ_y = (p tgα - 2 γ tg³α) x + (p - γ tg²α) y , (1.11)

γ_xy = γ tg²α ⋅ x. (1.12)

Dla pewnej głębokości y = - h mamy:

σ_x = - γh, (1.13)

σ_y = (p tgα - 2 γ tg³α) x + (γ tg²α - p) h , (1.14)

τ_xy = γtg²α ⋅ x . (1.15)

Rys.2 Wykresy naprężeń w przekroju na głębokości ,,h’’. (Opracowanie własne)

Rys.3 (opracowanie własne)

Porównujemy otrzymane rezultaty z tymi, które daje wytrzymałość materiałów.

Pionowe naprężenia σ_y w punkcie K wynoszą (rys.3)

σ_y = - $\frac{P}{F}$ + $\frac{P\frac{h}{6}}{I}$ (x - $\frac{b}{2}$) - $\frac{Q\frac{h}{6}}{I}$ (x - $\frac{b}{2}$) (1.16)

P = $\frac{\text{b\ h}}{2}p$ ,

F = 1 ⋅b ,

I = $\frac{1\ \bullet \ b^{3}}{12}$ ,

Q = $\frac{\ \bullet \ h^{3}}{2}$ .

Podstawienie do wzoru (1.16) powyższych wielkości oraz

b = $\frac{h}{\text{tg}}$ . (1.17)

Naprężeń σ_x elementarna teoria nie podaje.

Wykres naprężeń stycznych wg wytrzymałości materiałów byłby paraboliczny (rozważając wspornik o stałej szerokości b. Rozwiązanie ścisłe doprowadza, zgodnie ze wzorem (1.17) do wykresu trójkątnego.

Z uwagi na to, że zamocowanie przegrody w fundamencie powoduje dolnej części przegrody zaburzenia w rozkładzie naprężeń, otrzymane rozwiązanie możemy uważać za ścisłe dla przekrojów dostatecznie odległych od fundamentu.

Uwzględnienie warunków zamocowania przegrody znacznie komplikuje zagadnienie i nie można w tym przypadku ograniczyć się do funkcji naprężeń w postaci wielomianu.

2. Przykład

Wyznaczyć rozkład naprężeń na grunt. Mur oporowy (zapora wodna) – kształt i wymiary na rys. 4 oraz rys. 5.

Rys.4 (opracowanie własne)

Rys.5 (opracowanie własne)

Poza tym dane:

• γ_muru = 20 kN/m³,

• γ_wody = 10 kN/m³.

Wyznaczamy położenie głównych centralnych osi bezwładności y i z pola podstawy.

Oś z jest poziomą osią symetrii. Współrzędna z_c położenia osi y czyli współrzędna środka ciężkości pola w układzie osi y₁ – z wynosi:

.

A = (8m ⋅ 8m – 4m ⋅ 6m) = 64 – 24 = ,

S_y = 64m² ⋅ (-4m) – 24m² ⋅ (-5m) =

Składowe ciężaru muru: G₁ – ciężar ściany, G₂ – ciężar podpór:

G₁ = 2m ⋅ 8m ⋅ 12m ⋅ 20kN/m = 3840 kN,

G₂ = ½ ⋅ 2m ⋅ 6m ⋅ 12m∙20kN/m = 1440 kN.

Pionowa siła normalna działająca na grunt (siła ściskająca) wynosi:

N = – G₁ – 2 ⋅ G₂ – q ⋅ 8m = – 3840kN – 2 ⋅ 1440kN – 50kN/m ⋅ 8m = –7120 kN.

Siłę wypadkową parcia wody na mur obliczamy, jako ciężar „pryzmy” wody o przekroju równym polu trójkąta ABC i długości 8 m:

W = ½ ⋅9m ⋅ 9m ⋅ 8m ⋅ 10kN/m³ = 3240 kN.

Składowe momentu zginającego:

M_y = – W ⋅ 3m + (G₁ + q ⋅ 8m) ⋅ 2,4m – 2 ⋅ G₂ ⋅ 0,6m = – 1272 kNm

M_z = G₂ ⋅ 3m – G₂ ⋅ 3m = 0.

Moment bezwładności pola podstawy względem osi y:

Wobec M_z = 0 naprężenia normalne działające na grunt wynoszą:

(korzystamy z zależności: ):

,

Rozkład naprężeń działających na grunt przedstawia rys.6, jak widać na całej powierzchni występują naprężenia ściskające.

Rys.6 Rozkład naprężeń (opracowanie własne)