Twierdzenie Rolle’a:

Jeżeli f-cja: jest ciagła w <a,b> i jest różniczkowalna w (a,b), wartości na końcu przedziału f(a)=f(b) to$\bigvee_{C \in (a,b)}^{}{f^{'}\left( C \right) = 0\ \Rightarrow tg\alpha = 0 \Rightarrow \alpha = 0 \Rightarrow S||O}$X (S-styczna)

Twierdzenie Lagrange’a:

Jeżeli f-cja f jest ciągła w <a,b> i różniczkowalna w (a,b) to $\bigvee_{C \in \left( a,b \right)}^{}{f^{'}\left( C \right)} = \frac{f\left( b \right) - f\left( a \right)}{b - a} = \text{tgβ} = \text{tgα}$

Styczna jest równoległa do siecznej.

Wnioski:

1)jeżeli f(x) jest różniczkowalna w (a,b) i dla każdego x∈(a,b) f’(x)=0 to f(x)=const=C

2)Jeżeli f(x) i g(x) są różniczkowalne w (a,b) i dla każdego x∈(a,b), f’(x)=g’(x) to $\bigvee_{C \in (a,b)}^{}{f\left( x \right) = g\left( x \right) + C}$

3)Jeżeli f(x) jest różniczkowalna w (a,b) i dla każdego x∈(a,b), wartość poch. f’(x)>0 to f(x) jest rosnąca w (a,b) i na odwrót $\bigvee_{x \in (a,b)}^{}{f^{'\left( x \right)} < 0\ \text{to}\ f\left( x \right) < 0}$

Twierdzenie de L’Hospitala:

Jeżeli $\left\lbrack \frac{0}{0} \right\rbrack\left\lbrack \frac{\infty}{\infty} \right\rbrack$

• $\frac{f(x)}{g(x)}$ i $\frac{f'(x)}{g'(x)}$ są określone w pewnym S(x0) /x0-pkt właściwy lub niewłaściwy/

• f(x) = 0 i g(x) = 0 lub f(x) = ∞ i g(x) = ∞

• Istnieje granica właściwa (skończona) lub niewłaściwa (nieskończona)$\ \operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)}\ }$

To istnieje $\operatorname{}{\frac{f(x)}{g(x)}\ }$ i granice te są równe: $\operatorname{}{\frac{f'(x)}{g'(x)}\ } = \operatorname{}{\frac{f(x)}{g(x)}\ }$

Symbole nieokreślone:[1^∞],[0⁰],[∞⁰], $\left\lbrack \frac{0}{0} \right\rbrack,\left\lbrack \frac{\infty}{\infty} \right\rbrack$,[∞−∞]

Twierdzenie Taylora:

Jeżeli f(x) jest klasy Cn w pewnym otoczeniu (a,b), to dla każdego x ∈ U(x₀) $\bigvee_{C \in (x_{0},x)}^{}{f\left( x \right) = f(}x_{0}) + \frac{f^{'}\left( x_{0} \right)}{1!}\left( x - x_{0} \right) + \frac{f^{''}\left( x_{0} \right)}{2!}\left( x - x_{0} \right)^{2} + \ldots + \frac{f^{n}\left( C \right)}{n!}\left( x - x_{0} \right)^{n}$

Wzór Maclaurina:

Jeżeli pkt x₀ = 0 podstawimy do wzoru Taylor’a

Jeżeli $f \in C^{n}\left( U\left( 0 \right) \right)\text{to}\ \text{dla}\ \text{ka}z\text{dego}\ x \in U\left( 0 \right)\text{\ \ }\bigvee_{C \in (x_{0},x)}^{}{f\left( x \right) = f(}0) + \frac{f^{'}\left( 0 \right)}{1!}x + \frac{f^{''}\left( 0 \right)}{2!}x^{2} + \ldots + \frac{f^{n}\left( C \right)}{n!}x^{n}$

Całka nieoznaczona:

Def: zbiór wszystkich f. pierwotnych f-cji f(x) w przedziale I: ∫f(x) = Φ(x) + C

Własności:[∫f(x)dx]′ = f(x);   ∫f′(x)dx = f(x)+C; ∫f[(x)±g(x)]dx = f(x) ; ∫af(x)dx = a∫f(x)dx

Całka oznaczona:zał. f(x) jest określona i ograniczona w <a,b>

Def: Jeżeli dla każdego ciągu normalnego podziału przedziału<a,b> ciąg sum całkowitych (S_n⁺)jest zbieżny do granicy skończonej, niezależnie od wyboru pkt. pośrednich (ξ) to granicę nazywamy całką oznaczoną f-cji f(x) w <a,b> i oznaczamy∫_a^bf(x)dx = S_n^f

Własności całki oznaczonej:

1)Jeżeli f(x) i g(x) są całkowalne w przedziale <a,b> to zachodzi następujące równości:

-∫_a^b[f(x) ± g(x)]dx=∫_a^bf(x)dx ± ∫_a^bg(x)dx;

- ∫_a^bC * f(x)dx=C∫_a^bf(x)dx

2)Jeżeli f(x) jest całkowalna w <a,b> i C ∈ <a, b> to f(x) jest całkowalna w przedziałach <a,c> i<c,b>: ∫_a^bf(x)dx = ∫_a^cf(x)dx + ∫_c^bf(x)dx

3)Jeżeli $\bigwedge_{x \in < a,b >}^{}{f\left( x \right) \geq 0,\ \text{to}\ \int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \geq 0}$

4) Jeżeli$\bigwedge_{x \in < a,b >}^{}{m \leq f\left( x \right) \leq M,\ \text{to}\ m(b - a) \leq}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} \leq M(b - a)$

5)Jeżeli f(x) jest ciągła w <a,b> to $\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} = f\left( \xi \right)*\left( b - a \right),\ \xi \in < a,b > \Rightarrow f\left( \xi \right) = \frac{1}{b - a}\int_{a}^{b}{f\left( x \right)\text{dx}} - \ \text{warto}sc\ s\text{rednia}\ \text{ca}l\text{kowa}$

6)Jeżeli f(x) jest nieparzysta w <-a,a> to ∫_−a^af(x)dx = 0

7)Jeżeli f(x) jest parzysta w <-a,a> to ∫_−a^af(x)dx = 2∫₀^af(x)dx

Podstawowe twierdzenia rachunku całkowego:

1)Jeżeli f(t) jest ciągła w <a,b> to Φ(x)= ∫_a^xf(t)dt;

-jest ciągła w <a,b> ; - Φ’(x)=( ∫_a^xf(t)dt)′_x = f(x)

2)Twierdzenie Newtona Leibniza:

Jeżeli f(x) jest ciagła w przedziale <a,b> to całka oznaczona : Φ(x)= ∫_a^bf(x)dx = F(b) − F(a) = F(x)|_a^b; gdzie F(x) jest dowolna f-cja pierwotna f-cji f(x) w <a,b>; F’(x)=f(x) dla x ∈ <a, b>

3)Jeżeli f-cje u(x) i v(x) są klasy C1 w <a,b> to ∫_a^bu(x)v^′(x)dx = u(x)v(x)|_a^b −  ∫_a^bu^′(x)v(x)dx

4)o podstawianiu dla całki ozn.

Jeżeli f-cja podcałkowa f(x) jest ciągła w <a,b>; f-cja φ(t) jest ciagła wraz z pochodną φ’(t) w <α,β>; f-cja φ(t) przekształca przedział <α,β> na <a,b> i φ(α)=a, φ(β)=b; to

-∫_a^bf(x)dx = ∫_α^βf(φ(t))φ′(t)dt