STATYSTYKA I wykład

Meteriały: http://www.staff.amu.edu.pl/~pewka/seml2w.html

28.04- egzamin

Podstawowe pojęcia statystyczne

Statystyka dyscyplina naukowa zajmująca się ilościowymi metodami badania prawidłowości zachodzących w zjawiskach (procesach) masowych

Zadanie statystyki to dostarczenie wiarygodnych informacji, niezbędnych do podejmowania różnego rodzaju decyzji

Zbiorowość statystyczna- zbiór dowolnych elementów objętych badaniem statystycznym, posiadających co najmniej jedną cechę wspólną

Zbiorowość statystyczna to po prostu odpowiedź na pytanie ,,kogo lub co badam?”

Populacja (zbiorowość generalna)- zbiór wszystkich jednostek statystycznych, których dotyczy interesujący problem

Próba (zbiorowość próbna)- część populacji poddawana badaniu statystycznemu

Jednostka statystyczna- każdy element badanej zbiorowości

Jednostka statystyczna to po prostu odpowiedź na pytanie ,,z czego składa się lub co tworzy zbiorowość statystyczną?”

Cecha statystyczna- właściwość jednostki statystycznej (np. wiek kobiety)

1. Cechy stałe- to cechy wspólne dla badanej zbiorowości

2. Cechy zmienne- to cechy, którymi poszczególne jednostki badanej zbiorowości różnią się miedzy sobą. Dzielą się na jakościowe i ilościowe.

• Cecha jakościowa- cecha niemierzalna (opisowa), wyrażona kategorią słowną (płeć, zawód , stan cywilny)

• Cecha ilościowa- cecha mierzalna, wyrażona liczbowo różnymi jednostkami (wzrost, waga)

-zmienna ciągła przyjmuje wartości z określonego skończonego przedziału liczbowego (wiek, wzrost, czas rozwiązywania testu)

-Zmienna skokowa- przyjmuje wartości których liczba jest skokowa lub przeliczalna (ocena, liczba startujących w danej konkurencji osób, dobrze wykonanych skoków w dal)

Cecha statystyczna jakościowa może być:

- dwudzielna (dychotomiczna)- cecha przyjmująca tylko 2 warianty (zero i jeden, K i M)

-wielodzielna- cecha przyjmująca więcej niż 2 warianty (Gdańsk, Sopot i Gdynia jako miejsca zamieszkania)

Przykłady:

CECHY ZMIENNE ILOSCIOWE

Zmienna	Wartości
Liczba nauczycieli w szkole	30,31,32,33,34,35 itd.
Wiek uczniów w latach	12,17,21 itd.
Temperatura	12^0C, 24^0C, 36^0C itd.

CECHY ZMIENNE JAKOŚCIOWE

Zmienna	Wartości
Płeć	K, M
Stopień zadowolenia z lekcji	Wysoki, średni, niski
Kierunek studiów	Pedagogika, socjologia prawo itd.

Zad.1

Grupa 9 studentów z Poznania pisała w lutym 2014 r. egzamin ze statystyki. Ocen studentów wyglądały następująco: 2,2,3,3,4,4,4,4,5. Dodatkowo, studenci zostali oceniani wg skali: źle, przeciętnie, dobrze, bardzo dobrze

Podaj zbiorowość i jednostkę statystyczną. Wymień cechy stałe i zmienne.

Zbiorowość statystyczna: grupa studentów z Poznania, którzy pisali egzamin ze statystyki w lutym 2014r

Jednostka statystyczna: jeden student (z omawianej grupy)

Cecha stała:

Fakt, że każdy z naszych 9 studentów pisał egzamin ze statystyki w lutym 2014r. jest cechą wspólną dla każdego naszego studenta

Rzeczowa: grupa studentów

Czasowa: luty 2014 r

Przestrzenna: Poznań

Cecha zmienna: studenci różnią się między sobą ocenami

Ilościowa, skokowa: ocena z egzaminu

Jakościowa, wielodzielna: oceny opisowe

Gdyby interesowały nas również płeć studentów, to byłaby ona cechą zmienną jakościową dwudzielną

SKALE POMIAROWE

Pomiar statystyczny- polega na przyporządkowaniu cechom statystycznym ustalonych symboli, którymi mogą być liczby, litery alfabetu, kolory, opis słowny itp.

Skala pomiarowa- to system, pozwalający usystematyzować wyniki pomiarów statystycznych

Skala nominalna- skala stosująca opis słowny w celu identyfikacji jednostki, a dokładnie ustalenia czy dana jednostka należy lub nie należy do określonej kategorii (płeć, poziom wykształcenia, zawód)

Płeć- K i M

Skala porządkowa (rangowa)- skala służąca do uporządkowania wartości w zależności od natężenia cechy (Np. wielostopniowe wypowiedzi w kwestionariuszu, skale ocen, ranking szkół wyższych z punktu widzenia ich atrakcyjności, wykształcenia (podstawowe, średnie, wyższe)

Skala przedziałowa (interwałowa)- skala pozwalająca ustalić o ile jedna wartość jest większa od innej. Przypisanym wartościom zmiennej odpowiadają wtedy jednakowe różnice (np. skale temperatur, standaryzowane skale testowe, rok urodzenia)

Skala ilorazowa (stosunkowa)- skala pozwalająca ustalić ile razy jedna wartości jest większa od drugiej. Skala ta posiada tzw. zero bezwzględne, które ogranicza jednostronnie zakres skali.

Zmienne mierzone na skali ilorazowej: wiek w latach, kwota dochodu, wzrost, wynik testu w procentach (punktach)

(np. zysk przedsiębiorstwa, liczba zatrudnionych pracowników, wiek w latach, wynik testu w procentach (punktach))

Skale pomiarowe- Zapamiętać !

Nominalne- porządkowe interwałowe ilorazowe

Każda kolejna skala ma cechy skali poprzedniej

Np. wynik testu

Liczba punktów: 0 1 2 3 4 5 6 7 ILORAZOWA

Ocena ndst dst db bdb PORZĄDKOWA

Zaliczenie: nie zdane zdane POMIAROWA

Cechy jakościowe mierzone są w skali nominalnej i porządkowej

Cechy ilościowe mierzone są w skalach przedziałowej i ilorazowej

Badanie statystyczne- ogół czynności mających na celu poznanie rozkładu zbiorowości statystycznej pod wg wybranej lub wybranych cech (analiza struktury) lub ocena rodzajów związków występujących między cechami (analiza współzależności)

Etapy badania statystycznego:

1. Przygotowanie (projektowanie) badania

2. Obserwacja statystyczna (proces zbierania informacji)

3. Opracowanie i prezentacja zebranego materiału statystycznego

4. Analiza wyników (opis lub wnioskowanie statystyczne) i ich interpretacja

OPRACOWANIE MATERIAŁU STATYSTYCZNEGO

Grupowanie statystyczne to usystematyzowanie zebranego materiału statystycznego (np. ankiet) wg kryteriów wynikających z celu badania (np. płci, klas) w szeregi statystyczne przedstawione w formie tabel lub wykresów

Szereg statystyczny pogrupowany i uporządkowany zbiór wyników obserwacji wg pewnej cechy. Rozróżniamy:

-szeregi szczegółowe- to uporządkowany ciąg wartości badanej cechy statystycznej, np.:

Wiek:

18,18,19,19,19,19,20,21,21,22,23- uporządkowanie rosnące

23,22,21,211,20,20,19,19,19,18,18 – uporządkowanie malejące

-szeregi rozdzielcze- to zbiór wartości liczbowych uporządkowanych wg wariantów badanej cechy mierzalnej lub niemierzalne z przyporządkowaniem liczebności poszczególnym wariantom zmiennej.

Szereg rozdzielczy określa strukturę badanej zbiorowości

Szeregi rozdzielcze (dla cechy mierzalne) mogą być:

- jednostopniowe (in. Punktowe)

Lp. x_i f_i f_i- częstość występowania

1. x₁ f₁

2. x₂ f₂

Wiek fi

18 2

19 4

20 2

21 2

22 1

23 1

- wielostopniowe (in. Przedziałowe)

Lp. x_i f_i

1. x₁-x₂ f₁

2. x₂-x₃ f₂

Wiek fi

18-19 6

20- 21 4

Etapy budowania szeregu rozdzielczego:

1. Ustalamy wartości cechy minimalnej (X min) i maksymalnej (Xmax)

2. Wyznaczamy rozstęp próby

R= Xmax - Xmin

1. Wyznaczamy ilość przedziałów klasowych (k)

5≤ k ≤ 20

K=

1. Wyznaczamy długość (rozpiętość) przedziałów klasowych (i)

i= i

1. Wyznaczamy lewy koniec pierwszego przedziały klasowego

X1=X min (lub X1= X min- 0,5i)

X2=X1+i

(itd.)

1. Opcjonalnie możemy wyznaczyć nasilenie danej cechy w stosunku do całej zbiorowości (wyrażamy ją w procentach):

* 100%

Gdzie N to liczba obserwacji

Graficzne metody prezentowania danych statystycznych:

Metoda 1- tabele statystyczne

Tabela zawiera dane statystyczne w postaci szeregów oraz parametrów opsiowaych i pozwala na uchwycenie ilościowych zależności między nimi.

Metoda 2- wykresy statystyczne RÓWNORZĘDNA

Najczęściej stosuje się takie wykresy statystyczne jak:

-krzywa liczebności

-histogram

- krzywa liczebności skumulowanych

OPIS ZBIOROWOŚCI STATYSTYCZNEJ

Opis zbiorowości statystycznej – uporządkowanie wyników badań oraz ich analiza w oparciu o szereg parametrów opisowych, szczególnie takich jak:

-miary położenia

-miary rozproszenia

-miary asymetrii

WYKŁAD II

Miary położenia (tendencji centralnej, miary średnie, miary przeciętne)

Wskazują miejsce, w którym leży wartość najlepiej charakteryzująca wszystkie jednostki danej zbiorowości. Mówią o przeciętnym poziomie analizowanej cechy. Są najczęściej używane do charakterystyki szeregów rozdzielczych.

Miary tendencji centralnej, są:

- w grupie klasycznych- średnia arytmetyczna, średnia harmoniczna

- w grupie pozycyjnych- dominanta (modalna), mediana

Średnia arytmetyczna

Suma wartości zmiennej wszystkich jednostek badanej zbiorowości podzielona przez liczbę tych jednostek.

Własności:

-ma zastosowanie tylko do skal ilościowych (interwałowych i ilorazowych)

-nie może być mniejsza od najmniejszej wartości cechy ani też większa od największej wartości cechy:

Xmin ≤ M ≤ Xmax

-nie wolno jej obliczać, gdy klasy są otwarte na końcach

-suma odchyleń poszczególnych wartości cechy od średniej jest równa zero:

(Wzory w materiałach)

Średnia harmoniczna

Jest to odwrotność średniej arytmetycznej obliczonej z odwrotności wartości cechy

Średnia harmoniczną stosujemy w przypadkach, w których rozkład danych zależy od czasu, np. efektywność szybkości uczenia się, szybkość zapominania, prędkość wykonywania określonego zadania przez badaną grupę

Średnia harmoniczna wyliczana z danych niepogrupowanych (szereg szczegółowy)

(Wzory w materiałach)

Przykład

W ciągu 8 godz pracy w zakładzie poprawczym obserwowano prace 3 wykładowców. Na wykonanie obowiązków związanych z 1 wychowankiem wychowawca A potrzebował 4 min, wychowawcza B-6 min, C-12 min

Jaki jest średni czas zużywany na jednego wychowanka

n= 3

1/ = ¼+ 1/6 +1/12=

Mn= 3/0,5= 6 min/osobę

Mediana

Wartość środkowa szeregu statystycznego uporządkowanego rosnąco lub malejąco. Jest to punkt na skali pomiarowej powyżej i poniżej którego znajduje się dokładnie połowa obserwacji.

Medianę należy obliczać zawsze wtedy, kiedy interesuje nas, czy obserwacje przypadają w dolnej czy w górnej połowie rozkładu, a nie interesuje nas ich oddalenie os punktu środkowego.

Modalna (dominanta, moda)

Cecha dominująca, czyli wartość, która występuje najczęściej w danej zbiorowości statystycznej

-W szeregach szczegółowych i rozdzielczych jest to wartość cechy, której odpowiada największa liczebność.

-W zbiorowościach statystycznych może występować jedna modalna, dwie lub trzy modalne itd. Istnieją również zbiorowości, w których dominanty nie można wyznaczyć.

Przykłady:

W zbiorze wyników (1,2,3,1,2,1) modą jest 1

W zbiorze wyników (1,2,,3,1,2,,1,2) są 2 modalne

W zbiorze wyników (1,2,3,4,5,6,7,8,10) nie można wyznaczyć dominanty

Miary rozproszenia (dyspersji, zróżnicowania)

Miary dyspersji informują o poziomie jednorodności nadanych zbiorowości lub (inaczej) o stopniu rozproszenia wyników w obrębie badanego zjawiska.

Im mniejsza wartość tych miar, tym większa jednorodność w zakresie badanej cechy.

Np. różnice w zmianach wyników osiąganych przez badanych uczniów

Miarami dyspersji są:

- w grupie miar bezwzględnych- odchylenie standardowe, wariancja, obszar zmienności

- w grupie miar względnych- współczynnik zmienności

Wariancja i odchylenie standardowe

Przeciętne zróżnicowanie (odchylenie) badanej cechy od średniej arytmetycznej)

Im mniejsza jest wartość odchylenia standardowego w badanej próbie to tym bardziej obserwację są skupione wokół średniej

UWAGA!

Nie wolno obliczać tych miar, gdy badane zjawisko mierzone jest w różnych jednostkach miary (np. waga, wzrost)

Wariancja- to średnia arytmetyczna z kwadratów odchyleń poszczególnych wartości zmiennej od średniej arytmetycznej całej zbiorowości.

Odchylenie standardowe to pierwiastek kwadratowy z wariancji.

Najważniejsze cechy:

- jest wielkością obliczaną na podstawie wszystkich obserwacji

-można go poddawać przekształceniom algebraicznym

- im zbiorowość jest bardziej zróżnicowana, tym większe jest odchylenie standardowe

(xi-M- odchylenie każdej średniej od wartości zmiennej)

Obszar zmienności (rozstęp)

Rozstęp jest miarą charakteryzującą empiryczny obszar zmienności badanej cechy. Wpływ jego wartości mają tylko wartości skrajne.

Współczynnik zmienności

Współczynnik zmienności jest względną miarą rozproszenia, służącą do porównywanie zróżnicowania:

- dwóch różnych cech (np. porównanie wysokości ciała i obwodu ramienia

Lub

- jednej cechy w dwóch różnych grupach (np. porównanie miesięcznych płac nauczycieli o różnych stażach pracy)

Vs=S/M *100% M>0

Nie wolno stosować wzory gdy:

-M=0 lub M<0

- dane empiryczne wyrażone są w procentach

Współczynnik zmienności

Informuje jaki procent średniej arytmetycznej stanowi odchylenie standardowe. Wyższa wartość oznacza większe zróżnicowanie wielkości w obrębie danej cechy.

Jeśli współczynnik zmienności przyjmuje wartości liczbowe z przedziału od 0% do 100%, to fakt ten świadczy o niejednorodności zbiorowości

Jeżeli współczynnik zmienności nie przekracza 1-%, to zbiorowość nie jest zróżnicowana w sposób statystycznie istotny

Jeśli współczynnik zmienności przekracza 20%, to zbiorowość jest znacznie zróżnicowana pod wg badanej cechy.

Miary asymetrii (skośności)

Problem badawczy: badając poziom wiadomości uczniów określonej grupy, interesuje nas czy liczba uczniów z wynikami wyższymi od przeciętnej jest większa lub mniejsza od liczby tych uczniów, których wyniki są niższe od przeciętnych.

Zastosujemy: miary asymetrii ( interesuje nas kierunek odchyleń od wartości)

Wskaźnik asymetrii wyrażamy różnicą między średnią arytmetyczną a modalną.

Asymetria charakteryzuje się siłą oraz kierunkiem

Współczynnik asymetrii (skośności) (A_s) wyrażamy ilorazem wskaźnika asymetrii (M-M₀) przez odchylenie standardowe.

As=

TYPY ROZKŁADÓW

M-Mo=0 rozkład symetryczny

M-Mo>0 rozkład asymetryczny prawostronny

M-Mo<0 rozkład asymetryczny lewostronny

Interpretacja współczynnika asymetrii- kierunek:

As=0 brak skośności

As>0 skośność dodatnia, asymetria prawostronna

As<0 skośność ujemna, asymetria lewostronna

Interpretacja współczynnika asymetrii- siła (tab.)

Korelacja oznacza współzależność, wzajemny związek

Korelacja (zależność korelacyjna) polega na tym, że określonym wartościom jednej zmiennej odpowiadają ściśle określone średnie wartości drugiej zmiennej

Przykłady: związek między liczbą opuszczonych godz. w szkole a wynikami testu, korelacja pomiędzy ocenami z języka polskiego i matematyki

Analiza Korelacyjna- umożliwia stwierdzenie czy istnieje związek między dwoma badanymi cechami. Związki korelacyjne zachodzą albo pomiędzy cechami mierzalnymi albo niemierzalnymi

Charakteryzując korelację dwóch cech podajemy dwa czynniki: kierunek i siłę

Korelacja określana jest na podstawie współczynnika korelacji. Zastosowanie konkretnego współczynnika uzależnione jest od skali pomiarowej, na której jest mierzona zmienna.

Współczynnik to liczba określająca w jakim stopniu zmienne są współzależne. Jest on miarą siły, kierunku oraz kształtu związku.

Dla zmiennych porządkowych i ilościowych  współczynnik korelacji

Dla zmiennych nominalnych (jakościowych) współczynnik kontyngencji

Podsumowanie:

KORELACJA ILOSCIOWA	KORELACJA JAKOŚCIOWA
Korelacja cech ilościowych (mierzalnych)	Korelacja cech jakościowych (niemierzalnych)
Korelacja liniowa	Korelacja nieliniowa
Współczynnik korelacji (dodatni i ujemny)	Współczynnik kontyngencji (tylko dodatni)
Współczynnik jest miarą siły i kierunku	Współczynnik jest miarą tylko siły (nie kierunku)

Badanie współzależności między zmiennymi

Związek cech ilościowych

-korelacja Pearsona

- korelacja rang Spearmana

Związek korelacyjny miedzy zmiennymi X i Y ustalamy przedstawiając obie zmienne w tablicy korelacyjnej

X1,..xn- wartości zmiennej X

Y1,..yn- wartości zmiennej Y

Zmienna niezależna (objaśniająca), to zmienna, która wyjaśnia badane zjawisko i która powoduje zmiany w wartościach zmiennych zależnych

Zmienna zależna (objaśniana) jest tym co badamy, aby ocenić skutki ,,działania” zmiennej niezależnej

(jaka jest różnica miedzy zmiennymi na egzaminie!)

Jeśli badamy ,,czy poczucie szczęścia zależy od ilości posiadanych pieniędzy”, to:

-,,poczucie szczęścia” to zmienna zależna

-,,ilość posiadanych pieniędzy” to zmienna niezależna

Związek cech ilościowych

Dwie zmienne mogą być powiązane, lecz jeśli relacja nie jest liniowa, to nie wolno obliczać współczynnika korelacji Pearsona (Spearmana)

Interpretacja zależności między cechami ilościowymi

Współczynnik korelacji oznaczamy literką: r

Wartość współczynnika należy do przedziału <-1,1>

r= 0 korelacja równa zeru (brak zależności liniowej)

r= -1 zalężnosć liniowa ujemna; bardzo silny związek ujemny

r=+1 zależność liniowa dodatnia; bardzo silny związek dodatni

Kierunek korelacji:

Korelacja ujemna (wartość współczynnika korelacji od -1 do 0, czyli r<0) to zależność odwrotnie proporcjonalna. Wzrostowi (spadkowi) wartości jednej cechy odpowiada spadek (wzrost) średnich wartości drugiej cechy

Korelacja dodatnia (wartość współczynnika korelacji od 0 do 1, czyli r>0) to zależność proporcjonalna. Informuje, ze wzrostowi (spadkowi) wartości jednej zmiennej towarzyszy wzrost (spadek) średnich wartości drugiej zmiennej.

Problem badawczy: badamy związek między poziomem stresu egzaminacyjnego a wynikiem w treści

Współczynnik korelacji między dwiema zmiennymi ilościowymi może być:

Dodatni (korelacja dodatnia)- związek jest pozytywny, co oznacza, że im wyższy poziom stresu, tym wyższy wynik w teście

Ujemny (korelacja ujemna)- związek jest negatywny, co oznacza, że im wyższy poziom stresu, tym niższy wynik w teście.

Siła współczynnika- jest to jego wartość bezwzględna, którą należy odczytać z poniższej tabelki. Im większa jest ta wartość tym związek pomiędzy zmiennymi jest silniejszy.