| rodzaj kulki | l [m] | d [m] | L=(l+d/2) [m] | czas trwania 30 okresów [s] | T [s] | T śr [s] | L/T2 | g [m/s2] |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| 0,0294 | 42,44 | 1,415 | ||||||
| drewniana | 0,522 | 0,0295 | 0,537 | 42,9 | 1,430 | 1,431 | 0,262 | 10,33389 |
| 0,0295 | 43,47 | 1,449 | ||||||
| 0,0283 | 52,69 | 1,756 | ||||||
| drewniana | 0,77 | 0,0285 | 0,784 | 53,66 | 1,789 | 1,776 | 0,249 | 9,809175 |
| 0,0285 | 53,46 | 1,782 | ||||||
| 0,034 | 46,91 | 1,564 | ||||||
| metalowa | 0,633 | 0,0345 | 0,650 | 46,97 | 1,566 | 1,563 | 0,266 | 10,49023 |
| 0,034 | 46,82 | 1,561 | ||||||
| 0,0297 | 48,41 | 1,614 | ||||||
| metalowa | 0,639 | 0,0297 | 0,654 | 48,37 | 1,612 | 1,615 | 0,251 | 9,882643 |
| 0,0297 | 48,6 | 1,620 |
Obliczenia dla przyspieszenia ziemskiego:
g= *4Π2
Wartość przyspieszenia ziemskiego dla pierwszego wahadła:
g1=0,262*4*(3,14)2=10,334 m/s2
Wartość przyspieszenia ziemskiego dla drugiego wahadła:
g2=0,249*4*(3,14)2=9,809 m/s2
Wartość przyspieszenia ziemskiego dla trzeciego wahadła:
g3=0,266*4*(3,14)2 =10,490 m/s2
Wartość przyspieszenia ziemskiego dla czwartego wahadła:
g4=0,241*4*(3,14)2=9,883 m/s2
Średnia wartość przyspieszenia ziemskiego wynosi:
gśr = (10,334 + 9,809 + 10,490 + 9,883)/4 = 10,129 m/s2
Obliczenie niepewności standardowej:
u(T) = $\sqrt{\frac{{(eT)}^{2} + {(dT)}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{\frac{{(0,2)}^{2} + {(0,6)}^{2}}{3}}$ = 0,36514 ≈ 0,365 s
u (l) = $\sqrt{\frac{{(el)}^{2} + {(dl)}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{\frac{{(2)}^{2} + {(3)}^{2}}{3}}$ = 2,081665 mm ≈2,08 mm = 0,00208 m
Obliczenie niepewności złożonej:
uc (g1) = $\sqrt{({\frac{\partial g}{\partial l}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{\partial g}{\partial T}\ u(T))}^{2}}$ = $\sqrt{({\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{- 8l\pi^{2}}{T^{4}}\ u(T))}^{2}}$ =$\sqrt{({\frac{4{*\pi}^{2}}{{(1,431)}^{2}}*\ 0,00208)}^{2} + \ {(\frac{- 8*0,537*\pi^{2}}{\left( 1,431 \right)^{4}}*0,365)}^{2}}$ = 1,9205 m/s2
uc (g2) = $\sqrt{({\frac{\partial g}{\partial l}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{\partial g}{\partial T}\ u(T))}^{2}}$ = $\sqrt{({\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{- 8l\pi^{2}}{T^{4}}\ u(T))}^{2}}$ = $= \sqrt{({\frac{4{*\pi}^{2}}{{(1,776)}^{2}}*\ 0,00208)}^{2} + \ {(\frac{- 8*0,784*\pi^{2}}{\left( 1,776 \right)^{4}}*0,365)}^{2}}$ = 1,5065 m/s2
uc (g3) = $\sqrt{({\frac{\partial g}{\partial l}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{\partial g}{\partial T}\ u(T))}^{2}}$ = $\sqrt{({\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{- 8l\pi^{2}}{T^{4}}\ u(T))}^{2}}$ =
= $\sqrt{({\frac{4{*\pi}^{2}}{{(1,563)}^{2}}*\ 0,00208)}^{2} + \ {(\frac{- 8*0,650*\pi^{2}}{\left( 1,563 \right)^{4}}*0,365)}^{2}}$ = 1,7711 m/s2
uc (g4) = $\sqrt{({\frac{\partial g}{\partial l}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{\partial g}{\partial T}\ u(T))}^{2}}$ = $\sqrt{({\frac{4\pi^{2}}{T^{2}}\ u(l))}^{2} + \ {(\frac{- 8l\pi^{2}}{T^{4}}\ u(T))}^{2}}$ =
= $\sqrt{({\frac{4{*\pi}^{2}}{{(1,615)}^{2}}*\ 0,00208)}^{2} + \ {(\frac{- 8*0,654*\pi^{2}}{\left( 1,615 \right)^{4}}*0,365)}^{2}}$ = 1,6639 m/s2
Wyniki końcowe:
g1= (10,334±1,9205)m/s2
g2= (9,809±1,5065)m/s2
g3= (10,490±1,7711)m/s2
g4= (9,883±1,6639)m/s2
Obliczenia niepewności rozszerzonej:
U(y) = k * uc (y)
k=2
U(g1)=2 * u(g1)=2*1,9205m/s2=3,841m/s2
U(g2)=2 * u(g2)=2*1,5065m/s2=3,013m/s2
U(g3)=2 * u(g3)=2*1,7711m/s2=3,5422m/s2
U(g4)=2 * u(g4)=2*1,6639m/s2=3,3278m/s2
Wartość tabelaryczna przyspieszenia ziemskiego: gt=9,805m/s2
∆g1=g1-gt=10,334m/s2-9,805m/s2=0,529m/s2
∆g2=g2-gt=9,809m/s2-9,805m/s2=0,004m/s2
∆g3=g3-gt=10,490m/s2-9,805m/s2=0,685m/s2
∆g4=g4-gt=9,883m/s2-9,805m/s2=0,078m/s2
∆g<U(g)
| n | 0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 | 10 |
|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
| An | 450 | 360 | 300 | 260 | 230 | 195 | 170 | 155 | 135 | 125 | 110 |
| m=268,5g |
|---|
| t1=37,97s |
| t2=38,25s |
| t3=38,12s |
Obliczenia dla logarytmicznego dekrementu tłumienia:
$$D = \ln\frac{A_{n}}{A_{n + 1}}$$
$D_{1} = \frac{460}{360} = 0,22$ $D_{2} = \frac{360}{300} = 0,18$ $D_{3} = \frac{300}{260} = 0,14$
$D_{4} = \frac{260}{230} = 0,12$ $D_{5} = \frac{230}{195} = 0,165$ $D_{6} = \frac{195}{170} = 0,14$
$D_{7} = \frac{170}{155} = 0,09$ $D_{8} = \frac{155}{135} = 0,14$ $D_{9} = \frac{135}{125} = 0,08$
$$D_{10} = \frac{125}{110} = 0,13$$
Dśr = (0,22 + 0,18 + 0,14 + 0,12 + 0,165 + 0,14 + 0,09 + 0,14 + 0,08 + 0,13)/10 = 0,1409
11T = (37,97 + 38,25 + 38,12)/3 = 38,11 s T= 38,11/11 =3,46s
$b = \ \frac{2m}{T}\ D$ = $\ \frac{2*268,5}{3,46}*0,1409$ = 0,22 kg/s
D = β * T => β =D/T = 0,14/3,46 = 0,04
Obliczanie niepewności:
| xi | xi - xśr | (xi - xśr)2 | ||
|---|---|---|---|---|
| 0,223144 | 0,0822673 | 0,006767916 | ||
| 0,182322 | 0,0414453 | 0,001717717 | ||
| 0,1431008 | 0,0022241 | 4,94682E-06 | ||
| 0,122602 | -0,018275 | 0,000333963 | ||
| 0,16507975 | 0,0242031 | 0,00058579 | ||
| 0,137201 | -0,003676 | 1,35104E-05 | ||
| 0,092373 | -0,048504 | 0,002352605 | ||
| 0,13815 | -0,002727 | 7,43465E-06 | ||
| 0,076961 | -0,063916 | 0,004085211 | ||
| 0,127833 | -0,013044 | 0,000170137 | ||
| xśr | 0,14087666 | 0,01603923 | suma |
uc(D)= $\sqrt{\frac{\sum_{}^{}{(x_{i\ } - x_{sr})}\ ^{2}}{n(n - 1)}}$ = $\sqrt{\frac{0,01603923}{90}}$ = 0,013349
Obliczanie niepewności dla β i b :
u(T) = $\sqrt{\frac{{(\text{eT})}^{2} + {(\text{dT})}^{2}}{3}}$ = $\sqrt{\frac{{(0,02)}^{2} + {(0,6)}^{2}}{3}}$ = 0,365s
$u_{c}(\beta) = \ \sqrt{({\frac{\partial\beta}{\partial T}\ u(T))}^{2} + \ {(\frac{\partial\beta}{\partial D}\ u(D))}^{2}}$ = $\sqrt{({\frac{1}{T}\ T)}^{2} + \ {(\frac{- D}{T^{2}}\ D)}^{2}}$ = $= \ \sqrt{({\frac{1}{3,46}*0,365)}^{2} + \ {(\frac{- 0,1409}{{3,46}^{2}}*0,013349)}^{2}}$ = 0,105
uc(b)= $\sqrt{({\frac{\partial b}{\partial T}u(T))}^{2} + \ {(\frac{\partial b}{\partial D}u(D))}^{2}} + {(\frac{\partial b}{\partial m}u(m))}^{2}$ = $\sqrt{({\frac{2\text{mD}}{T^{2}}T)}^{2} + \ {(\frac{2m}{T}D)}^{2}} + {(\frac{2D}{T}m)}^{2}$ =
=$\sqrt{({\frac{2*0,2685*0,1409}{{3,46}^{2}}*0,365)}^{2} + \ {(\frac{2*0,2685}{3,46}*0,013349)}^{2}} + {(\frac{2*0,1409}{3,46}*0,0005)}^{2}$ =0,06648kg/s
Wyniki końcowe:
D = 0,1409 ± 0,013349
β = 0,04 ± 0,105
b = 0,22 ± 0,06648 kg/s
Poprawa:
Wnioski:
Celem ćwiczenia było wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego g i dekrementu tłumienia wahadła prostego. Wyniki poszczególnych pomiarów g wynoszą odpowiednio: dla pierwszej kulki drewnianej g1 = 10,33 ± 1,9205 m/s2; dla drugiej kulki drewnianej g2 = 9,81±1,5065 m/s2; dla pierwszej kulki metalowej g3 = 10,49±1,7711 m/s2; dla drugiej kulki metalowej
g4 = 9,88±1,6639 m/s2. Wyniki te nie znacznie odbiegają od wartości z tablic wynoszącej
g = 9,81 m/s2. Różnica ta może być spowodowana błędami pomiarów (np. błędu odczytu wartości z katetometru) czy też z faktu, że przyspieszenie ziemskie ma różne wartości w różnych częściach świata (nie jest wartością stałą).
Wychylenia wahadła z położenia równowagi mają charakter gasnący. Badane wahadło charakteryzuje się dekrementem tłumienia równym D = 0,1409 ± 0, 013349. Wyliczona na jego postawie współczynnik tłumienia wynosi β = 0,04±0,105, a współczynnik ośrodka oporu wynosi b = 0,22±0,06648 kg/s. Z otrzymanych wyników można zauważyć że amplituda wahań maleje wraz ze wzrostem czasu w statek oporu i przyciągania ziemskiego.