22

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

Przyspieszenie chwilowe, przyspieszenie średnie

Powyżej uzyskaliśmy dokładne informacje o wektorze prędkości. On też może się zmieniać! Ten
fakt opisuje kolejna wielkość jaką teraz poznamy – przyspieszenie.

Najpierw zajmijmy się przyspieszeniem chwilowym. Będzie ono zdawało sprawę ze zmian wektora
prędkości chwilowej

zachodzących w krótkim przedziale czasowym . Oba wektory:

początkowy i ten po chwili

pokazuję na rysunku (kolorem czerwonym).

X

Y

V

d



a



Przeanalizuj animowaną wersję powyższego rysunku otwierając dokument
„ANIMACJA Przyspieszenie chwilowe”.
U dołu obrazu znajduje się pasek postępu oraz przyciski,
które pozwalają uruchamiać kolejne etapy filmu.

Jak widzisz znajdują się one w nieco różnych miejscach, ponieważ nasz punkt (ciało) zdążył się
przesunąć (a wektor prędkości zawsze jest „przypięty” do poruszającego się ciała). Zmiana

wektora prędkości będzie łączyła końce obu wektorów (tego sprzed zmiany i tego po zmianie) o ile
początki tych wektorów umieścimy w tym samym punkcie. Jest to dozwolona operacja
matematyczna (bo wektory możemy przesuwać), nie zmieniająca faktu, że drugi wektor w
rzeczywistości jest w innym punkcie bo ciało się przesunęło. Zauważ, że podobnie szukaliśmy

zmian

wektorów wodzących – łączyliśmy końce kolejnych zmienionych wektorów. Tyle, że

23

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

wektory wodzące „ze swej natury” początki miały zawsze umiejscowione w tym samym miejscu
(początku układu współrzędnych).

Zatem przesunęliśmy wektory prędkości do wspólnego punktu i połączyliśmy ich końce wektorem
różniczki

. Analogicznie do rozważań o prędkości chwilowej, możemy napisać wzór na

przyspieszenie chwilowe

:

Podkreślmy, że powstaje ono z podzielenia różniczki wektora prędkości chwilowej

przez

różniczkę czasu

. Są to parametry obejmujące bardzo krótki fragment ruchu – w następnej chwili

takie przyspieszenie może być już inne. Pamiętaj, że jest to wektor! Jaki będzie miał kierunek i
zwrot? Powstaje z podzielenia różniczki

przez dodatni skalar – czas. Zatem będzie miał

kierunek i zwrot taki sam jak

. Ale – co z resztą widać na rysunku – przyspieszenie w ogólności

nie musi być styczne do toru ruchu (niebieska linia). Pamiętaj, że styczna do toru ruchu w danym
punkcie jest zawsze prędkość

. Natomiast przyspieszenie zdaje sprawę z wektorowych zmian

prędkości, a te nie muszą być do niej równoległe. Zatem ogólnie przyspieszenie jako wektor może
mieć dowolną orientację względem prędkości i toru ruchu.

Oczywiście świat zjawisk fizycznych jest tak bogaty, że zdarzają się przypadki, w których
orientacja wektora przyspieszenia

jest ściśle związana z kierunkiem prędkości i kształtem toru

ruchu. Takie sytuacje też będziemy analizować. Niemniej podkreślam, że w ogólności konfiguracja
przestrzenna wektora przyspieszenia chwilowego może być niezależna od toru ruchu.

Podobnie jak inne wielkości wektorowe, przyspieszenie chwilowe

możemy rozłożyć na

składowe

oraz

zgodnie z zasadami prostopadłego rzutowania końca i początku wektora na

osie X i Y. Przedstawiłem to na lewej części rysunku.

24

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

X

x

a



Y

Y

x

a

i



ˆ

y

a

j



ˆ

jˆ

iˆ

X

a



y

a



a



Jak widzisz tutaj tak ustawiłem orientację wektora, że jego obie składowe mają zwrot przeciwny do
odpowiadających im osi. Za chwilę znajdzie to odzwierciedlenie w ujemnych znakach przy
wartościach składowych.

Z kolei każdą taką składową możemy wyrazić za pomocą wektorów kierunkowych

oraz (prawa

część rysunku).

Przypominam Ci, że symbole bez strzałek:

i

oznaczają po prostu skalarne wartości (długości)

składowych

oraz

.

Oczywiście wektor

możemy zawsze znów „złożyć” ze sumy składowych:

Ponieważ wektor przyspieszenia może mieć dowolną orientację względem toru ruchu, czasami
interesują nas składowe tego wektora właśnie względem tego toru. Dokładniej mówiąc

25

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

wyznaczamy składową

styczną do toru ruchu w danym miejscu i składową

prostopadłą

(mówi się też „normalną”) do stycznej. Przedstawiłem je na rysunku.

X

Y

V



n

a



s

a



a



Składowe te mają ciekawe właściwości. Zauważ, że składowa styczna

jest równoległa do

prędkości chwilowej

, bo przecież ta prędkość jest również styczna do toru ruchu. Mówiąc

żartobliwie składowa

, działając w tym samym kierunku, będzie naszą prędkość „rozciągała”

(lub „skracała”) bo przecież przyspieszenie odpowiada za zmiany prędkości. Składowa styczna
powoduje zatem zmiany długości wektora prędkości – czyli zmiany wartości prędkości. Natomiast
składowa

prostopadła (normalna) „ciągnie” prędkość na bok – zatem będzie odpowiadała za

zmiany kierunku prędkości

.

Wynikają z tego dalsze ciekawe wnioski: możemy na przykład mieć ruch, w którym składowa
styczna nie będzie występowała (

) a pozostanie tylko stała składowa normalna (

).

Wówczas wektor prędkości

będzie cały czas „zakręcał” w bok. Z takim ruchem mamy do

czynienia poruszając się po okręgu. Niebawem będziemy go omawiać.

Powyżej przedyskutowaliśmy przyspieszenie chwilowe. Jak wiemy zmiany danego parametru –
tutaj prędkości – możemy również analizować patrząc tylko na punkt początkowy ruchu (A) i
końcowy (B). Załóżmy, że ruch pomiędzy punktami trwał przyrost czasu

, oraz w obu punktach

wektory prędkości są skierowane jak na rysunku.

26

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

X

Y

V





A

V



a



B

V



B

V



A

V



Przeanalizuj animowaną wersję powyższego rysunku otwierając dokument
„ANIMACJA Przyspieszenie średnie”.

U dołu obrazu znajduje się pasek postępu oraz przyciski,
które pozwalają uruchamiać kolejne etapy filmu.

Całkowity przyrost prędkości

określimy analogicznie jak poprzednio: będzie on łączył końce

wektorów prędkości, których początki wcześniej dosuniemy do siebie. Analogicznie jak dla
wektorowej prędkości średniej, zdefiniujemy wektorowe przyspieszenie średnie:

Oznaczyłem je kreską nad symbolem przyspieszenia, podobnie jak to czyniliśmy przy prędkości
średniej. Jak każdą wielkość wektorową, również to przyspieszenie możemy rozłożyć na składowe
względem osi układu współrzędnych. Czyni się to analogicznie jak wcześniej.

Jak myślisz czy ma sens szukanie składowych stycznej i normalnej do toru ruchu dla przyspieszenia
średniego?

Zauważ, że gdy po czasie

wektor prędkości jest taki sam, oznacza to, że jego zmiana

jest

równa zeru i znika też przyspieszenie średnie. Tak jest przykładowo w ruchu po okręgu: po czasie

27

Kinematyka

Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA

Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej

będącym okresem ruchu prędkość jako wektor jest taka sama. Jednak nie oznacza to, że nie ma
przyspieszenia! Zatem przyspieszenie średnie nie zawsze w pełni oddaje specyfikę ruchu.

Dodajmy też, że gdy przyspieszenie (jako wektor) jest stałe, wówczas przyspieszenie średnie jest
równe przyspieszeniu chwilowemu.

Poruszmy jeszcze temat jednostek dla wartości przyspieszenia. Uzyskujemy je dzieląc jednostki
prędkości (w układzie SI – [m/s]) przez jednostkę czasu (w układzie SI – [s]):

Jak widzisz pojawia się dość „dziwna” jednostka: metry na sekundę do kwadratu. Ale wynika ona z
prawidłowych działań na jednostkach wielkości wchodzących „w skład” przyspieszenia: prędkości i
czasu. Tak po prostu musi być!