22
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
Przyspieszenie chwilowe, przyspieszenie średnie
Powyżej uzyskaliśmy dokładne informacje o wektorze prędkości. On też może się zmieniać! Ten
fakt opisuje kolejna wielkość jaką teraz poznamy – przyspieszenie.
Najpierw zajmijmy się przyspieszeniem chwilowym. Będzie ono zdawało sprawę ze zmian wektora
prędkości chwilowej
zachodzących w krótkim przedziale czasowym . Oba wektory:
początkowy i ten po chwili
pokazuję na rysunku (kolorem czerwonym).
X
Y
V
d
a
Przeanalizuj animowaną wersję powyższego rysunku otwierając dokument
„ANIMACJA Przyspieszenie chwilowe”.
U dołu obrazu znajduje się pasek postępu oraz przyciski,
które pozwalają uruchamiać kolejne etapy filmu.
Jak widzisz znajdują się one w nieco różnych miejscach, ponieważ nasz punkt (ciało) zdążył się
przesunąć (a wektor prędkości zawsze jest „przypięty” do poruszającego się ciała). Zmiana
wektora prędkości będzie łączyła końce obu wektorów (tego sprzed zmiany i tego po zmianie) o ile
początki tych wektorów umieścimy w tym samym punkcie. Jest to dozwolona operacja
matematyczna (bo wektory możemy przesuwać), nie zmieniająca faktu, że drugi wektor w
rzeczywistości jest w innym punkcie bo ciało się przesunęło. Zauważ, że podobnie szukaliśmy
zmian
wektorów wodzących – łączyliśmy końce kolejnych zmienionych wektorów. Tyle, że
23
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
wektory wodzące „ze swej natury” początki miały zawsze umiejscowione w tym samym miejscu
(początku układu współrzędnych).
Zatem przesunęliśmy wektory prędkości do wspólnego punktu i połączyliśmy ich końce wektorem
różniczki
. Analogicznie do rozważań o prędkości chwilowej, możemy napisać wzór na
przyspieszenie chwilowe
:
Podkreślmy, że powstaje ono z podzielenia różniczki wektora prędkości chwilowej
przez
różniczkę czasu
. Są to parametry obejmujące bardzo krótki fragment ruchu – w następnej chwili
takie przyspieszenie może być już inne. Pamiętaj, że jest to wektor! Jaki będzie miał kierunek i
zwrot? Powstaje z podzielenia różniczki
przez dodatni skalar – czas. Zatem będzie miał
kierunek i zwrot taki sam jak
. Ale – co z resztą widać na rysunku – przyspieszenie w ogólności
nie musi być styczne do toru ruchu (niebieska linia). Pamiętaj, że styczna do toru ruchu w danym
punkcie jest zawsze prędkość
. Natomiast przyspieszenie zdaje sprawę z wektorowych zmian
prędkości, a te nie muszą być do niej równoległe. Zatem ogólnie przyspieszenie jako wektor może
mieć dowolną orientację względem prędkości i toru ruchu.
Oczywiście świat zjawisk fizycznych jest tak bogaty, że zdarzają się przypadki, w których
orientacja wektora przyspieszenia
jest ściśle związana z kierunkiem prędkości i kształtem toru
ruchu. Takie sytuacje też będziemy analizować. Niemniej podkreślam, że w ogólności konfiguracja
przestrzenna wektora przyspieszenia chwilowego może być niezależna od toru ruchu.
Podobnie jak inne wielkości wektorowe, przyspieszenie chwilowe
możemy rozłożyć na
składowe
oraz
zgodnie z zasadami prostopadłego rzutowania końca i początku wektora na
osie X i Y. Przedstawiłem to na lewej części rysunku.
24
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
X
x
a
Y
Y
x
a
i
ˆ
y
a
j
ˆ
jˆ
iˆ
X
a
y
a
a
Jak widzisz tutaj tak ustawiłem orientację wektora, że jego obie składowe mają zwrot przeciwny do
odpowiadających im osi. Za chwilę znajdzie to odzwierciedlenie w ujemnych znakach przy
wartościach składowych.
Z kolei każdą taką składową możemy wyrazić za pomocą wektorów kierunkowych
oraz (prawa
część rysunku).
Przypominam Ci, że symbole bez strzałek:
i
oznaczają po prostu skalarne wartości (długości)
składowych
oraz
.
Oczywiście wektor
możemy zawsze znów „złożyć” ze sumy składowych:
Ponieważ wektor przyspieszenia może mieć dowolną orientację względem toru ruchu, czasami
interesują nas składowe tego wektora właśnie względem tego toru. Dokładniej mówiąc
25
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
wyznaczamy składową
styczną do toru ruchu w danym miejscu i składową
prostopadłą
(mówi się też „normalną”) do stycznej. Przedstawiłem je na rysunku.
X
Y
V
n
a
s
a
a
Składowe te mają ciekawe właściwości. Zauważ, że składowa styczna
jest równoległa do
prędkości chwilowej
, bo przecież ta prędkość jest również styczna do toru ruchu. Mówiąc
żartobliwie składowa
, działając w tym samym kierunku, będzie naszą prędkość „rozciągała”
(lub „skracała”) bo przecież przyspieszenie odpowiada za zmiany prędkości. Składowa styczna
powoduje zatem zmiany długości wektora prędkości – czyli zmiany wartości prędkości. Natomiast
składowa
prostopadła (normalna) „ciągnie” prędkość na bok – zatem będzie odpowiadała za
zmiany kierunku prędkości
.
Wynikają z tego dalsze ciekawe wnioski: możemy na przykład mieć ruch, w którym składowa
styczna nie będzie występowała (
) a pozostanie tylko stała składowa normalna (
).
Wówczas wektor prędkości
będzie cały czas „zakręcał” w bok. Z takim ruchem mamy do
czynienia poruszając się po okręgu. Niebawem będziemy go omawiać.
Powyżej przedyskutowaliśmy przyspieszenie chwilowe. Jak wiemy zmiany danego parametru –
tutaj prędkości – możemy również analizować patrząc tylko na punkt początkowy ruchu (A) i
końcowy (B). Załóżmy, że ruch pomiędzy punktami trwał przyrost czasu
, oraz w obu punktach
wektory prędkości są skierowane jak na rysunku.
26
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
X
Y
V
A
V
a
B
V
B
V
A
V
Przeanalizuj animowaną wersję powyższego rysunku otwierając dokument
„ANIMACJA Przyspieszenie średnie”.
U dołu obrazu znajduje się pasek postępu oraz przyciski,
które pozwalają uruchamiać kolejne etapy filmu.
Całkowity przyrost prędkości
określimy analogicznie jak poprzednio: będzie on łączył końce
wektorów prędkości, których początki wcześniej dosuniemy do siebie. Analogicznie jak dla
wektorowej prędkości średniej, zdefiniujemy wektorowe przyspieszenie średnie:
Oznaczyłem je kreską nad symbolem przyspieszenia, podobnie jak to czyniliśmy przy prędkości
średniej. Jak każdą wielkość wektorową, również to przyspieszenie możemy rozłożyć na składowe
względem osi układu współrzędnych. Czyni się to analogicznie jak wcześniej.
Jak myślisz czy ma sens szukanie składowych stycznej i normalnej do toru ruchu dla przyspieszenia
średniego?
Zauważ, że gdy po czasie
wektor prędkości jest taki sam, oznacza to, że jego zmiana
jest
równa zeru i znika też przyspieszenie średnie. Tak jest przykładowo w ruchu po okręgu: po czasie
27
Kinematyka
Adam Buczek FIZYKA bez RYZYKA
Politechnika Poznańska Wydział Fizyki Technicznej
będącym okresem ruchu prędkość jako wektor jest taka sama. Jednak nie oznacza to, że nie ma
przyspieszenia! Zatem przyspieszenie średnie nie zawsze w pełni oddaje specyfikę ruchu.
Dodajmy też, że gdy przyspieszenie (jako wektor) jest stałe, wówczas przyspieszenie średnie jest
równe przyspieszeniu chwilowemu.
Poruszmy jeszcze temat jednostek dla wartości przyspieszenia. Uzyskujemy je dzieląc jednostki
prędkości (w układzie SI – [m/s]) przez jednostkę czasu (w układzie SI – [s]):
Jak widzisz pojawia się dość „dziwna” jednostka: metry na sekundę do kwadratu. Ale wynika ona z
prawidłowych działań na jednostkach wielkości wchodzących „w skład” przyspieszenia: prędkości i
czasu. Tak po prostu musi być!