Numer ćw.:	Nazwa wydziału:	Ocena:
4	Wydział Inżynierii Elektrycznej i Komputerowej
Grupa stud. / grupa lab.
11M	Nazwa przedmiotu:
Data wykonania ćw.:	Obwodowe modelowanie układów elektromagnetycznych
	Temat ćw:	Podpis:
Data oddania sprawozdania:	Wyznaczanie indukcyjności własnych i wzajemnych uzwojeń w przetworniku elektromechanicznym
Skład zespołu:
Kamil Cichocki

1. Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia było wyznaczenie macierzy indukcyjności własnych i wzajemnych. W tym celu wykonano w pakiecie MagNet model cylindrycznego przetwornika elektromechanicznego w skali 1,3. Model przetwornika został przedstawiony na rysunku 1.

Rys.1. Przetwornik elektromechaniczny cylindryczny

Przetwornik został zbudowany z następujących materiałów:

• Stojan i wirnik – ferromagnetyk liniowy MU4 o przenikalności magnetycznej μ = 10000
  i długości l = 100mm

• Szczelina – powietrze

• Żłobki – miedź

Cewki stojana mają liczbę zwojów równą N₁ = 100, natomiast cewki wirnika N₂ = 10 zwojów. Uzyskuje się przekładnię $n = \frac{N_{1}}{N_{2}} = \frac{100}{10} = 10$.

1. Wyznaczanie macierzy indukcyjności własnych i wzajemnych.

Ogólna postać macierzy indukcyjności :

$$\begin{bmatrix} \psi_{s1} \\ \psi_{s2} \\ \psi_{r1} \\ \psi_{r2} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} L_{s1s1} & L_{s1s2} & L_{s1r1} & L_{s1r2} \\ L_{s2s1} & L_{s2s2} & L_{s2r1} & L_{s2r2} \\ L_{r1s1} & L_{r1s2} & L_{r1r1} & L_{r1r2} \\ L_{r2s1} & L_{r2s2} & L_{r2r1} & L_{r2r2} \\ \end{bmatrix}\begin{bmatrix} i_{s1} \\ i_{s2} \\ i_{r1} \\ i_{r2} \\ \end{bmatrix}$$

Założenia:

Ls1s2 = Ls2s1	Ls = Ls1 = Ls2
Ls1r1 = Lr1s1	Lr = Lr1 = Lr2
Ls1r2 = Lr2s1	Lsr = Ls1r1 = Ls2r2
Ls2r1 = Lr1s2	Ls1s2 = Lr1r2 = 0
Ls2r2 = Lr2s2	Ls2r1 = Ls2r2 = 0
Lr1r2 = Lr2r1

Macierz można zatem uprościć do postaci:

$\begin{bmatrix} L_{s} & 0 & L_{\text{sr}} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{\text{sr}} \\ L_{\text{sr}} & 0 & L_{r} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}} & 0 & L_{r} \\ \end{bmatrix}$,

która zawiera 3 niewiadome:

L_s − indukcyjnosc wlasna stojana

L_r − indukcyjnosc wlasna wirnika

L_sr − indukcyjnosc wzajemna miedzy stojanem a wirnikiem

Prąd płynący przez cewkę 1-3 stojana (oś pionowa) przyjęto na poziomie:

i_s1 = 3 A

Przepływ prądu spowodował powstanie strumienia stojanie na cewce 1-3, który wynosi:

ψ_s1 = 0, 1847905336643 Wb

Indukcyjność cewki 1-3 stojana można wyliczyć ze wzoru:

$$L_{s} = L_{s1} = \frac{\psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0,1847905336643\text{\ Wb}}{3\text{\ A}} = 0,0616H = 61,6\text{mH}$$

Prąd płynący przez cewkę 1-3 wirnika (oś pionowa) ustalono na:

i_r1 = 3 A

Strumień uzyskany w wirniku na cewce 1-3 dla założonego prądu wirnika:

ψ_r1 = 0, 001855228736427 Wb

Indukcyjność cewki 1-3 wirnika oblicza się przy użyciu wzoru:

$$L_{r} = L_{r1} = \frac{\psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{0,001855228736427\ \text{Wb}}{3\text{\ A}} = 0,00061841H = 0,61841mH \approx 0,62mH$$

Strumień wytworzony w cewce 1-3 wirnika i przenikający cewkę 1-3 stojana ma wartość:

ψ_s1r1 = 0, 01813342324673 Wb

Indukcyjność wzajemną cewki 1-3 stojana i cewki 1-3 wirnika można obliczyć z wykorzystaniem wzoru:

$$L_{\text{sr}} = L_{s1r1} = \frac{\psi_{s1r1}}{i_{r1}} = \frac{0,01813342324673\text{\ Wb}}{3\text{\ A}} = 0,00604H = 6,04\text{mH}$$

Schematy indukcyjności uzwojeń stojana i wirnika przedstawia rysunek 2, a ich schemat zastępczy typu T – rysunek 3.

Rys.2. Schemat indukcyjności uzwojeń wirnika i stojana

Rys.3. Schemat zastępczy indukcyjności wirnika i stojana typu T

W celu uzyskania poprawnych wyników należy sprowadzić parametry uzwojeń wirnika na stronę stojana. Dokonuje się tego poprzez przemnożenie przez kwadrat przekładni oraz przez przekładnię.

Przekładnia została podana wyżej.

Po dokonaniu mnożeń otrzymuje się wartości parametrów sprowadzonych na stronę stojana:

L_r^′ = L_r * n² = 0, 61841mH * 10² = 61, 841mH ≈ 61, 8mH

L_sr^′ = L_sr * n = 6, 04mH * 10 = 60, 4mH

Powyższe obliczenia pozwoliły uzyskać poszukiwane wartości indukcyjności. Przy ich pomocy możemy uzupełnić macierz indukcyjności:

$$\begin{bmatrix} L_{s} & 0 & L_{\text{sr}}^{'} & 0 \\ 0 & L_{s} & 0 & L_{\text{sr}}^{'} \\ L_{\text{sr}}^{'} & 0 & L_{r}^{'} & 0 \\ 0 & L_{\text{sr}}^{'} & 0 & L_{r}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 61,6 & 0 & 60,4 & 0 \\ 0 & 61,6 & 0 & 60,4 \\ 60,4 & 0 & 61,8 & 0 \\ 0 & 60,4 & 0 & 61,8 \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$

1. Wyznaczenie indukcyjności rozproszeń oraz macierzy indukcyjności.

Kolejnym etapem jest wyznaczenie indukcyjności rozproszeń, a następnie w oparciu o nie obliczenie wyrazów macierzy indukcyjności. Ma to na celu pokazanie innej metody dojścia do wyniku.

Prąd stojana na cewce 1-3 nie ulega zmianie w stosunku do poprzedniego przypadku:

i_s1 = 3 A

Zmianie ulega prąd wirnika, który przyjmuje dwie wartości:

i_r1 = i_s1 * n = 30 A         lub         i_r1 = −i_s1 * n = −30 A

Strumień magnetyczny przenikający cewkę 1-3 stojana przyjmuje wartość:

ψ_s1 = 0, 003477455128598 Wb

Indukcyjność rozproszenia stojana oblicza się ze wzoru:

$$L_{\text{σs}} = \frac{\psi_{s1}}{i_{s1}} = \frac{0,003477455128598\text{\ Wb}}{3\text{\ A}} = 0,0012H = 1,2mH$$

Strumień magnetyczny przenikający cewkę 1-3 wirnika przy prądzie i_r1 = −30 A uzyskuje wartość:

ψ_r1 = −0, 0004221024405861 Wb

Indukcyjność rozproszenia wirnika oblicza się ze wzoru:

$$L_{\text{σr}} = \frac{\psi_{r1}}{i_{r1}} = \frac{- 0,0004221024405861\text{\ Wb}}{- 30\ A} = 0,000014070H = 0,014070\text{mH} = 14,070\text{μH}$$

Indukcyjność rozproszenia wirnika należy sprowadzić na stronę stojana, przez co otrzymuje się:

L_σr^′ = L_σr * n² = 0, 014070mH * 10² = 1, 4070mH ≈ 1, 4mH

Energia pola magnetycznego dla i_r1 = i_s1 * n:

E(i_s1, i_r1=i_s1*n) = 1, 099472792736 J

Energia pola magnetycznego dla i_r1 = −i_s1 * n:

E(i_s1, i_r1=−i_s1*n) = 0, 01154771935232 J

Mając wartości energii można obliczyć indukcyjność wzajemną cewek stojana i wirnika:

$$L_{\text{sr}} = \frac{E\left( i_{s1},\ i_{r1} = i_{s1}*n \right) - E\left( i_{s1},\ i_{r1} = {- i}_{s1}*n \right)}{2{*i}_{s1}{*i}_{r1}}$$

$$L_{\text{sr}} = \frac{1,099472792736\ J - 0,01154771935232\text{\ J}}{2*3*30} = 0,00604H = 6,04\text{mH}$$

Indukcyjności główne można obliczyć ze wzorów, które zostały podane poniżej:

L_μ = L_sr * n = 6, 04mH * 10 = 60, 4mH

L_s = L_σs + L_μ = 1, 2mH + 60, 4mH = 61, 6mH

L_r^′ = L_σr^′ + L_μ = 1, 4mH + 60, 4mH = 61, 8mH

Macierz indukcyjności własnych i wzajemnych, której wartości otrzymano w obliczeniach powyżej wygląda następująco:

$$\begin{bmatrix} L_{\mu} + L_{\text{σs}} & 0 & L_{\mu} & 0 \\ 0 & L_{\mu} + L_{\text{σs}} & 0 & L_{\mu} \\ L_{\mu} & 0 & L_{\mu} + L_{\text{σr}}^{'} & 0 \\ 0 & L_{\mu} & 0 & L_{\mu} + L_{\text{σr}}^{'} \\ \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 61,6 & 0 & 60,4 & 0 \\ 0 & 61,6 & 0 & 60,4 \\ 60,4 & 0 & 61,8 & 0 \\ 0 & 60,4 & 0 & 61,8 \\ \end{bmatrix}\text{mH}$$

Graficzne wyniki otrzymane w programie MagNet przedstawiono poniżej.

• Natężenie indukcji magnetycznej B – kontur (rysunek 4)

Rys.4. Natężenie indukcji magnetycznej B - kontur

• Rozkład pola magnetycznego – kontur (rysunek 5)

Rys.5. Rozkład pola magnetycznego - kontur

W wyniku dokonanych symulacji i obliczeń otrzymano macierze indukcyjności. W obu przypadkach
są one identyczne, co dowodzi, że zarówno metoda bezpośredniego obliczania wyrazów macierzy jak i metoda obliczeń poprzez wyznaczenie indukcyjności rozproszeń są tak samo skuteczne.