Wydział: Inżynierii Lądowej	Dzień/godzina 14.15-17.00 Poniedziałek	NR zespołu: 16
	Data:	22.10.2012
1. Aleksandra Czapla 2. Łukasz Rogula 3. Jakub Sutryk	Ocena z przygotowania	Ocena z sprawozdania
Prowadzący: ……………………………….	Podpis Prowadzącego: …………………

Sprawozdanie

1.Temat:

Badanie anharmoniczności drgań wahadła matematycznego. Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła różnicowego.

2.Cele ćwiczenia:

1. Badanie anharmoniczności wahadła czyli badanie zależności okresu T od maksymalnego wychylania .

2. Wyznaczenie wartości przyspieszenia ziemskiego g.

3.Wprowadzenie:

Wahadło matematyczne jest to punkt materialny ( np. w postaci kulki o masie m i bardzo małym promieniu ) zawieszony na nieważkiej i nierozciągliwej nici. Wychylając nić o niewielki kąt φ od położenia pionowego i puszczając swobodnie kulkę M, wywołujemy jej drgania dookoła położenia równowagi D. W praktyce amplituda tych drgań wskutek pokonywania oporów ruchu stopniowo maleje, ale okres wahań można uważać za stały.

Ruch drgający, lub wprost – drgania to każdy ruch lub zmiana stanu, które charakteryzuje powtarzalność w czasie wartości wielkości fizycznych, określających ten ruch lub stan. Z drganiami spotykamy się przy badaniach różnych zjawisk fizycznych: dźwięku, światła, prądów zmiennych, fal radiowych, wahań wahadeł itp. Okazuje się, że zarówno prawa rządzące tymi zjawiskami, jak i metody matematyczne ich badania są ogólne. Dlatego podstawowe prawa nauki o drganiach mechanicznych powinny posłużyć jako fundament dla zbadania różnych rodzajów drgań w dalszych działaniach fizyki.

Ruch drgający nazywamy okresowym (periodycznym), jeżeli wartości wielkości fizycznych zmieniające się podczas drgań, powtarzają się w równych odstępach czasu.

Okresem tego ruchu, czyli okresem wahań wahadła T , nazywamy czas potrzebny na przebycie przez wahadło drogi od punktu maksymalnego wychylenia poprzez przejście przez punkt równowagi do maksymalnego wychylenia w druga stronę i z powrotem, a wiec czas potrzebny na wykonanie jednego pełnego wahnięcia.

W przypadku małych wychyleń od położenia równowagi możemy ruch wahadła harmonicznego uważać za ruch harmoniczny. A okres opisywać uproszczonym wzorem: Niestety dla większych wychyleń wahadło matematyczne nie zachowuje się jak harmoniczne. I trzeba stosować nieuproszczony wzór któy ma postać:

którą przedstawiamy jako:

Przyjmujemy że 4 początkowe składniki sumy z ostatniego wzoru pozwolą na dokładne obliczenia.

Z związku z niemożliwością dokładnego zmierzenia długości wahadła , stosujemy wahadło różnicowe które wymaga od nas znajomości „tylko” zmiany długości wahadła. :

4.Przebieg wykonywania ćwiczenia:

Do ćwiczenia użyto wahadła z zawieszonym małym ciężarkiem. Długość wahadła była regulowana na suwnicy góra-dół. Do pomiarów posłużył nam elektryczny układ pomiarowy okresów. Wahadło było zawieszone na sprężystej, nierozciągliwej nici. Odchylenie było mierzone za pomocą podziałki ze stopniami.

1. Ustawienie elektronicznego układu pomiarowego n- liczba okresów=1
2. Pomiar czasu okresu w zależności od wychylania . Podczas pomiarów zmieniamy od 15 ^º do 50 ^º co 5^º, a także dokonujemy pomiaru dla małych kątów 3 ^º, 5 ^º, 8 ^º.Każdy pomiar wykonano po 10 razy.
3. Pomiar czasu okresu w zależności od różnicy długości x wahadła. Podczas pomiarów zmieniamy długość wahadła co 2cm (zaczynając od punktu odległego o 10 cm od najwyższego punktu). Każdy pomiar wykonano 10 razy.

5.Otrzymane pomiary:

Tabela 1. Wyniki pomiarów okresów drgań wahadła w zależności od kąta wychylenia φ

T [s]	φ [°]
1,8168	3	1,8292	20	1,8709	40
1,8159		1,8296		1,8726
1,8120		1,8296		1,8720
1,8145		1,8293		1,8711
1,8155		1,8296		1,8725
1,8158		1,8297		1,8729
1,8123		1,8293		1,8729
1,8143		1,8297		1,8723
1,8144		1,8301		1,8711
1,8158		1,8302		1,872
1,8164	5	1,8382	25	1,8869	45
1,8155		1,8374		1,8874
1,8159		1,8382		1,8876
1,8155		1,8375		1,8866
1,8152		1,8374		1,8867
1,8163		1,8379		1,8867
1,8167		1,8380		1,8873
1,8149		1,8379		1,8878
1,8160		1,8380		1,888
1,8153		1,8379		1,8883
1,8195	8	1,8465	30	1,9026	50
1,8177		1,8469		1,9046
1,8188		1,8459		1,9022
1,8183		1,8462		1,9044
1,8179		1,8464		1,9033
1,8187		1,8465		1,9037
1,8185		1,8459		1,9032
1,8173		1,8466		1,9022
1,8185		1,8463		1,9035
1,8178		1,8467		1,9027
1,8229	15	1,8581	35
1,8230		1,8578
1,8239		1,8589
1,8247		1,8591
1,8247		1,8582
1,8232		1,8580
1,8245		1,8575
1,8248		1,8577
1,8239		1,8580
1,8235		1,9581

Tabela 2. Wyniki okresów drgań wahadła w zależności różnicy jego długości l. Wychylenie wahadła było stałe i wynosiło 15 ^º.

φ = 15°
T [s]	x [cm]
1,5847	30	1,6846	22	1,7554
1,5849		1,6846		1,756
1,5854		1,6854		1,7553
1,5852		1,6836		1,7565
1,5840		1,6844		1,7548
1,5854		1,6843		1,7555
1,5855		1,6851		1,7545
1,5861		1,6851		1,7554
1,5856		1,6839		1,7546
1,5855		1,6843		1,7548
1,6110	28	1,7083	20	1,7784
1,6113		1,7088		1,7774
1,6115		1,7082		1,7785
1,6116		1,7079		1,7779
1,6116		1,7088		1,7783
1,6112		1,7096		1,7774
1,6111		1,7082		1,7782
1,6103		1,7085		1,7782
1,6111		1,7083		1,778
1,6117		1,7095		1,7785
1,6358	26	1,7316	18	1,8019
1,6357		1,7327		1,801
1,6360		1,7319		1,8013
1,6354		1,7314		1,8013
1,6352		1,7312		1,8003
1,6356		1,7331		1,8012
1,6351		1,7323		1,8007
1,6361		1,7316		1,8017
1,6364		1,7316		1,8008
1,6357		1,7321		1,801
1,6604	24
1,6608
1,6593
1,6602
1,6610
1,6604
1,6608
1,6604
1,6603
1,6614

6.Opracowanie wyników i wnioski:

φ [°]	Tsr [s]
3	1,8147
5	1,8158
8	1,8183
15	1,8239
20	1,8296
25	1,8378
30	1,8464
35	1,8681
40	1,8720
45	1,8859
50	1,9032

a) analiza błędów

średnia arytmetyczna okresu dla poszczególnych kątów:

σ(Tsr) [s]	φ [°]
±0,0005	3
±0,0003	5
±0,0002	8
±0,0002	15
±0,0001	20
±0,0001	25
±0,0001	30
±0,0100	35
±0,0002	40
±0,0005	45
±0,0003	50

niepewność standardowa typu a dla poszczególnych kątów:

n=10

φ [°]	Uc(T)
3	±0,00050
5	±0,00027
8	±0,00021
15	±0,00024
20	±0,00012
25	±0,00011
30	±0,00012
35	±0,01000
40	±0,00025
45	±0,00050
50	±0,00027

niepewność stand. typu b:

niepewność stand. całkowita:

b) badanie anharmniczności

φ [°]	Tsr [s]	F(φ0)
3	1,8147	1,0002
5	1,8158	1,0005
8	1,8183	1,0012
15	1,8239	1,0043
20	1,8296	1,0077
25	1,8378	1,0120
30	1,8464	1,0174
35	1,8681	1,0238
40	1,8720	1,0313
45	1,8859	1,0400
50	1,9032	1,0498

Wykres 1. Zależność T(φ)

Błąd wynikający z pomiaru okresu jest tak mały, że na wykresie 1 jest niewidoczny.

Wniosek 1.1 Na podstawie wykresu 1.1 łatwo zauważyć że T jest zależny od wychylania φ , ponieważ T≠const oraz T rośnie wraz z wzrostem φ. To zjawisko świadczy o anharmoniczności wahadła.

Wniosek 1.2 Na wykresie 1.2 widzimy że wraz ze wzrostem czasu równomiernie rośnie poprawka dla f(φ) (zależność linowa) Można powiedzieć że poprawka f(φ) spełnia swoje zadanie i można jej używać do obliczania T(φ).

c) obliczanie przyspieszenia ziemskiego g

Tsr [s]	x [m]	T0^2-Ti^2	F(15)*di
1,58523	0,30	0,00	0,30129
1,61124	0,28	0,08	0,2812
1,63570	0,26	0,16	0,26112
1,66050	0,24	0,24	0,24103
1,68453	0,22	0,32	0,22095
1,70861	0,20	0,41	0,20086
1,73195	0,18	0,49	0,18077
1,75528	0,16	0,57	0,16069
1,77808	0,14	0,65	0,1406
1,80112	0,12	0,73	0,12052

Przyspieszenie g obliczamy odwołując się do wzoru:

gdzie:
czyli:
Z wykresu 1.3 obliczamy metodą najmniejszych kwadratów współczynnik a funkcji czyli stosunek: a następnie odwrotność mnożymy przez i otrzymujemy:
a= 4,03549

g= /a = 9,78282 [m/s^2]

Wniosek 2.Otrzymana wartość g jest niewiele mniejsza w porównaniu do wartości tabelowej tj. 9,81m/s^2. Na błędny pomiar mogły mieć wpływ następujące czynniki: wytłumienie wahadła i odchylanie od płaszczyzny ruchu, rozbieżność miedzy czasem rzeczywistym a zmierzonym.