Temat: Wyznaczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
Cel ćwiczenia:
Celem ćwiczenia laboratoryjnego jest wyznaczenie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego.
Zasada pomiaru:
Aby wyznaczyć przyśpieszenie ziemskie za pomocą wahadła matematycznego należy wprawić je w ruch pod kątem α<7° i zmierzyć czas w jakim pokonuje ono n=25 wahnięć. Powyższą czynność należało powtórzyć z różnymi długościami l wahadła.
Wyniki pomiarów i obliczenia:
Pomiar długości wahadeł
| Wahadło l | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| h [cm] | Pomiar 1 | 47,3 | 38,7 | 40,6 |
| Pomiar 2 | 47 | 39 | 40,8 | |
| Pomiar 3 | 46,9 | 38,8 | 40,2 |
Pomiar czasu 25-ciu wahnięć wahadeł
| Wahadło l | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| t [s] | Pomiar 1 | 33,8 | 30,3 | 31,2 |
| Pomiar 2 | 33,2 | 30,1 | 30,8 | |
| Pomiar 3 | 33,3 | 30,8 | 31,7 | |
| Pomiar 4 | 33,9 | 29,9 | 31,3 | |
| Pomiar 5 | 34 | 30,5 | 31,1 |
| Wahadło l | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
T [s]
|
Pomiar 1 | 1,35 | 1,21 | 1,25 |
| Pomiar 2 | 1,33 | 1,2 | 1,23 | |
| Pomiar 3 | 1,33 | 1,23 | 1,27 | |
| Pomiar 4 | 1,36 | 1,2 | 1,25 | |
| Pomiar 5 | 1,36 | 1,22 | 1,24 |
Obliczanie średniej długości wahadeł
| Wahadło | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| hśr [cm] | 47,07 | 38,83 | 40,53 | 47,9 |
| ∆l | 0,535 | 0,152 | 0,305 | 0,3 |
wahadło nr 1
$$h_{sr} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{h_{i}}{3} = \frac{h_{1} + h_{2} + h_{3}}{3} = \frac{47,3 + 47 + 46,9}{3} = 47,07\lbrack cm\rbrack$$
wahadło nr 2
$$h_{sr} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{h_{i}}{3} = \frac{h_{1} + h_{2} + h_{3}}{3} = \frac{38,7 + 39 + 38,8}{3} = 38,83\lbrack cm\rbrack$$
wahadło nr 3
$$h_{sr} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{h_{i}}{3} = \frac{h_{1} + h_{2} + h_{3}}{3} = \frac{40,6 + 40,8 + 40,2}{3} = 40,53\lbrack cm\rbrack$$
wahadło nr 4
$$h_{sr} = \sum_{i = 1}^{3}\frac{h_{i}}{3} = \frac{h_{1} + h_{2} + h_{3}}{3} = \frac{47,9 + 48,2 + 47,6}{3} = 47,9\lbrack cm\rbrack$$
Obliczanie średniego czasu wahadeł
| Wahadło l | 1 | 2 | 3 | 4 |
|---|---|---|---|---|
| tśr [s] | 33,64 | 30,32 | 31,22 | 33,92 |
| ∆t | 0,36 | 0,35 | 0,46 | 0,8 |
wahadło nr 1
$$t_{sr} = \sum_{i = 1}^{5}\frac{t_{i}}{5} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5}}{5} = \frac{33,8 + 33,2 + 33,3 + 33,9 + 34}{5} = 33,64\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 2
$$t_{sr} = \sum_{i = 1}^{5}\frac{t_{i}}{5} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5}}{5} = \frac{30,3 + 30,1 + 30,8 + 29,9 + 30,5}{5} = = 30,32\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 3
$$t_{sr} = \sum_{i = 1}^{5}\frac{t_{i}}{5} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5}}{5} = \frac{31,2 + 30,8 + 31,7 + 31,3 + 31,1}{5} = = 31,22\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 4
$$t_{sr} = \sum_{i = 1}^{5}\frac{t_{i}}{5} = \frac{t_{1} + t_{2} + t_{3} + t_{4} + t_{5}}{5} = \frac{33,7 + 33,2 + 34,7 + 34,2 + 33,8}{5} = = 33,92\lbrack s\rbrack$$
Obliczanie średniego okresu drgań
Ogólny wzór $T_{sr} = \frac{t}{n}$
t – średni czas ruchu wahadła
n = 25
wahadło nr 1
$$T_{sr} = \frac{33,64}{25} = 1,35\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 2
$$T_{sr} = \frac{30,32}{25} = 1,22\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 3
$$T_{sr} = \frac{31,22}{25} = 1,25\lbrack s\rbrack$$
wahadło nr 4
$$T_{sr} = \frac{33,92}{25} = 1,37\lbrack s\rbrack$$
Obliczanie wartości przyspieszenia ziemskiego
wahadło nr 1
$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$
$$g = 4{(3,14)}^{2}\frac{0,4707}{{1,35}^{2}} \approx 10,1\frac{m}{s^{2}}$$
wahadło nr 2
$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$
$$g = 4{(3,14)}^{2}\frac{0,3883}{({1,22)}^{2}} \approx 10,2\frac{m}{s^{2}}$$
wahadło nr 3
$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$
$$g = 4{(3,14)}^{2}\frac{0,4053}{({1,25)}^{2}} \approx 10,2\frac{m}{s^{2}}$$
wahadło nr 4
$$g = 4\pi^{2}\frac{l}{T^{2}}$$
$$g = 4{(3,14)}^{2}\frac{0,479}{({1,37)}^{2}} \approx 10,05\frac{m}{s^{2}}$$
Obliczanie średniej wartości przyspieszenia ziemskiego
$$g_{sr} = \sum_{i = 1}^{4}\frac{g_{i}}{4} = \frac{g_{1} + g_{2} + g_{3} + g_{4}}{4} = \frac{10,1 + 10,2 + 10,2 + 10,05}{4} = 10,14\frac{m}{s^{2}}$$
Obliczyć względny błąd przyspieszenia ziemskiego
wahadło nr 1
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{\text{ΔT}}{T_{sr}} + \frac{\text{Δl}}{l} \right)100\%$$
$$\text{ΔT} = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{sr} - T_{i} \right)^{2}}{n - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( T_{sr} - T_{1} \right)^{2} + \left( T_{sr} - T_{2} \right)^{2} + \ldots + \left( T_{sr} - T_{5} \right)^{2}}}{5 - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( 1,35 - 1,35 \right)^{2} + \left( 1,35 - 1,33 \right)^{2} + \ldots + \left( 1,35 - 1,36 \right)^{2}}}{5 - 1}} = \sqrt{0,00025} \approx 0,016$$
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{0,016}{1,35} + \frac{0,535}{47,07} \right)100\%$$
$$\frac{\Delta g}{g} = 2,3\%$$
wahadło nr 2
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{\text{ΔT}}{T_{sr}} + \frac{\text{Δl}}{l} \right)100\%$$
$$\text{ΔT} = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{sr} - T_{i} \right)^{2}}{n - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( T_{sr} - T_{1} \right)^{2} + \left( T_{sr} - T_{2} \right)^{2} + \ldots + \left( T_{sr} - T_{5} \right)^{2}}}{5 - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( 1,22 - 1,21 \right)^{2} + \left( 1,22 - 1,2 \right)^{2} + \ldots + \left( 1,22 - 1,22 \right)^{2}}}{5 - 1}} = \sqrt{0,00025} \approx 0,016$$
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{0,016}{1,22} + \frac{0,152}{38,83} \right)100\%$$
$$\frac{\Delta g}{g} = 1,7\%$$
wahadło nr 3
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{\text{ΔT}}{T_{sr}} + \frac{\text{Δl}}{l} \right)100\%$$
$$\text{ΔT} = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{sr} - T_{i} \right)^{2}}{n - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( T_{sr} - T_{1} \right)^{2} + \left( T_{sr} - T_{2} \right)^{2} + \ldots + \left( T_{sr} - T_{5} \right)^{2}}}{5 - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( 1,25 - 1,25 \right)^{2} + \left( 1,25 - 1,23 \right)^{2} + \ldots + \left( 1,25 - 1,24 \right)^{2}}}{5 - 1}} = \sqrt{0,00023} \approx 0,015$$
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{0,015}{1,25} + \frac{0,305}{40,53} \right)100\%$$
$$\frac{\Delta g}{g} = 1,9\%$$
wahadło nr 4
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{\text{ΔT}}{T_{sr}} + \frac{\text{Δl}}{l} \right)100\%$$
$$\text{ΔT} = \pm \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}\left( T_{sr} - T_{i} \right)^{2}}{n - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( T_{sr} - T_{1} \right)^{2} + \left( T_{sr} - T_{2} \right)^{2} + \ldots + \left( T_{sr} - T_{5} \right)^{2}}}{5 - 1}}$$
$$\text{ΔT} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{5}{\left( 1,37 - 1,35 \right)^{2} + \left( 1,37 - 1,33 \right)^{2} + \ldots + \left( 1,37 - 1,35 \right)^{2}}}{5 - 1}} = \sqrt{0,0007} \approx 0,026$$
$$\frac{\Delta g}{g} = \left( \frac{0,026}{1,37} + \frac{0,3}{47,9} \right)100\%$$
$$\frac{\Delta g}{g} = 2,5\%$$
Wnioski:
Otrzymana przez nas średnia wartości przyśpieszenia ziemskiego za pomocą wahadła matematycznego g = 10, 14 nieco odbiega od wartości tablicowej przyśpieszenia ziemskiego wynoszącej: $g = 9,80665\ \frac{m}{s^{2}}$ . Błąd spowodowany jest niedokładnością w pomiarze czasu drgań wahadeł oraz niepoprawny pomiar długości wahadeł. Aby wyeliminować błąd należało by sięgnąć po dokładniejsze urządzenia pomiaru czasu, np. fotokomórka. Mimo wszystko wahadło matematyczne może przysłużyć do określenia przyśpieszenia ziemskiego, ale pod warunkiem, że wykonane przez nas pomiary będą dokładne.