Stereometria

Zestaw XVII

Zad. 1

Wszystkie krawędzie graniastosłupa prawidłowego trójkątnego są równe 2. Pole powierzchni całkowitej tego graniastosłupa jest równe?

a= 2
H = 2
Pp = ¼ * a² * √3
Pp = ¼ * 4 * √3
Pp = √3 [j²]

Pb = 3 * a * H
Pb = 3 * 2 * 2
Pb = 12 [j²]

Pc = 2Pp + Pb
Pc = (2√3 + 12) [j²]

odp. szukane pole to 2√3 + 12.

ZAd. 2

Przekątna sześcianu o krawędzi 10 ma długość? 

a - krawędź sześcianu,
d=a√2 - przekątna podstawy sześcianu,
I - przekątna sześcianu,

a²+ (a√2)²=I²
10²+ (10√2)²=I²
100+200=I²
I=√300 = 5√12= 5√4*3 = 10√3

Zad. 3

Przekątna prostopadłościanu o długości 6 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem α. Przekątna podstawy ma długość 3. Jaka jest miara kąta α?

60 stopni poniewaz na przeciwko przekątnej prostopałościanu jest kąt 90 stopni. naprzeciwko przekątnej podstawy o dł 3 jest kąt 30 stopni , suma miar kątów w trójkącie wynosi 180 czyli kąt nachylenia przekątnej prostopadłościany do płaszczyzny podstawy wynosi 60 stppni

cosα = 3/6 = 1/2, cosinus przyjmuje wartosc 1/2 dla kąta równego 60 stopni.

Zad.4. przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku 6cm. oblicz pole powierzchni i objętość stożka

-wysokość tr równobocznego (h), a zarazem wysokość stożka można obliczyć z wzoru:
h = (a√3)*½
h = (6√3)*½ = 3√3cm

-promień podstawy (r) jest to połowa długości boku tr równobocznego więc
r = 3cm

-Pole podstawy stożka obliczamy z wzoru:
Pp = πr² = 9πcm²

-Pole powierzchni bocznej obliczamy z wzoru
Pb = πrl
gdzie l jest tworzącą stożka, ma taką samą dlugość jak bok tr równobocznego,
czyli l = 6cm

Pb=3*6*π cm²=18π cm²

-czyli pole powierzchni całkowitej
Pc=Pb+Pp
Pc=9π cm²+18π cm²=27π cm²

-objętość stożka obliczamy ze wzoru
V=⅓*Pp*h

V=⅓*9π cm²*3√3cm=9π√3 cm³

Zad. 5 Prostokąt o bokach 2 i 3 obraca się wokół dłuższego boku tworząc bryłę o objętościv1. Z obrotu wokół krótszego boku powstaje bryła o objętości v2. Jaka jest prawdziwa zależność?

V₁=πr²×H

V=π2²×3
V=4π×3
V=12π

Wokół krótszego boku
V₂=πr²×H
V=π3²×2
V=9π×2
V=18π

Zatem V₁ <V₂

Zad. 6 Producent chce wyprodukować puszkę w kształcie walca o pojemności 3000 cm³ i wysokości 2 decymetrów. Ile wynosi promień podstawy puszki w zaokrągleniu do części dziesiątych?

Dane:
H=2dm=20cm
V=3000cm³

V=π r² H
3000 = 3,14 * r² * 20cm
3000 = 62,8 * r²
r² = 3000I:62,8
r² = 48
r =√48
r ≈ 6,9 cm

Zad. 7 w ostrosłupie prawidłowym trójkątnym krawędź boczna nachylona do płaszczyzny podstawy 45stopni ,a wysokość bryły jest równa 4cm. Jaka jest wysokość podstawy tego ostrosłupa

Jeżeli kąt między krawedzią boczną ostrosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45° to między wysokością a krawędzią boczną również 45°.
Prosta biegnąca od wysokości do krawędzi bocznej ma również 4 cm i jest 2/ wysokości podstawy.
2/3-4cm
3/3-x
x=3/3×4÷2/3
x=12÷2
x=6cm
h=6cm

Zad. 8 Wysokość stożka i promień jego podstawy mają długość 2, zatem kąt rozwarcia stożka ma miarę: ??

kąt α 
tgα=2:2=1
tg ma 1 dla kata =45⁰

czyli 45⁰ dla pół kata rozwarcia
czyli kąt rozwarcia stożka =2α=2×45=90⁰

Zad. 9 .Pewien ostrosłup ma 70 wierzchołków. Liczba krawędzi tego ostrosłupa jest równa

70-1=69 odjąć 1 dlatego ze to jest wierzchołek i 
wiem że w podstawie jest 69 wierzchołków tyle samo jest krawędzi w podstawie 
krawędzi bocznych jest tyle samych co w podstawie wiec
2*69=138

Zad. 10 Objętość stożka o kącie rozwarcia 60° oraz wysokości 9 cm wynosi ??

Kąt rozwarcia jest równy kątowi przekroju osiowego stożka i jest rzutem wierzchołka stożka. W naszym zadaniu trójkąt ten jest równoboczny. Wysokość h=½a√3, więc a = 2h /√3 = 2h√3/3, gdzie a=bok trójkąta równy średnicy podstawy stożka, więc r = a/2 = h√3/3

V = ⅓ Ph = ⅓πr²h = ⅓πh³/3 = πh³/9 = 81π

Zad. 11 Stosunek długości trzech krawędzi prostopadłościanu o wspólnym wierzchołku wynosi 2:3:5. Jakie jest pole powierzchni tego prostopadłościanu , jeśli jego objętość wynosi 810?

stosunek dugosci 2:3:5
1 krawędź - 2x
2 krawedź - 3x 
3 krawedź - 5x

810 -objętość prostopadłościanu
V=a*b*h - wzór na objętość prostopadłościanu
V = 810 = 2x * 3x * 5x = 30x do trzeciej
x do trzeciej = 27
x = 3
2x = 6
3x = 9 
5x = 15
Pp= 6*9 = 54
Pb= 2 * (6+9) * 15 = 450
Ppc = 2 * 54 + 450 = 558

Zad. 12 Pole powierzchni kuli o objętości 288π wynosi ??

V - objętość kuli
V = 288 π
(4/3)* π *r³ = 288 π
r³ = 288 *(3/4) = 216
r = ∛216 = 6
P = 4 π r² = 4 π *6² = 4*36 π = 144 π

Zad. 13 stalowy walec o objętości 36pi cm2 przetopiono na kulki o promieniu 3 mm. Ile takich kulek otrzymano?

V=4/3πr³
r=3 mm=0,3 cm
V=4/3π*0,3³
V=4/3π*0,027
V=0,036π cm³

36π/0,036π=1000 kule

Zad. 14 Tworząca stożka o długości 12 cm jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30stopni. Oblicz pole powierzchni bocznej i objętość tego stożka.
l=12
r=6√3
h=6
V=1/3×π×(6√3)²×6
V=1/3×108×6
V=108×2
V=216cm³
Pc=π(6√3)²+π×6√3×12
Pc=108π+72√3π !8 π +π × 72√3π
Pc=180√3πcm²

Zad. 15 Z wycinka kołowego o powierzchni 72 pi  promieniu 12 zwinięto powierzchnię boczną stożka. jego objętość jest równa ??

I =12
α:360×πr²=72 π/:π
α:360×12²=72
α:360=72:144
α:360=0,5
α=360×0,5
α=180⁰=kąt rozwarcia stożka
obwód podstawy stożka=½×2πr=12π

12π=2πr/:π
r=12:2
r=6= promień podstawy stożka

h stożka:
h²=12²-6²
h²=144-36
h=√108=6√3

v =⅓πr²h=⅓π×6²×6√3=72√3π j.³

Zad.16 Wszystkie krawędzie ostrosłupa prawidłowego czworokątnego mają jednakową długość 1. Jewgo objętość wynosi

a = 1 - krawędź podstawy ( kwadratu)
b = 1 - krawędź boczna ostrosłupa
d = a√2 - przekatna podstawy ( kwadratu)
Pp- pole podstawy ( kwadratu)
H - wysokość ostrosłupa

V = ? - objetość ostrosłupa

-. Obliczam przekatną d podstawy

d = a√2
d = 1√2 = √2

-Obliczam wysokość H ostrosłupa z trójkąta prostokątnego i tw. Pitagorasa gdzie:
H - przyprostokątna 
1/2d - przyprostokątna
b – przeciwprostokątna

H² + (1/2d)² = b²
H² = b² - (1/2d)²
H² = 1² - (1/2* √2)²
H² = 1 - (1/4 *2)²
H² = 1 – 1/2
H² = 1/2
H = 1/√2

3. Obliczam objetość graniastosłupa V
V = 1/3*Pp*H
V = 1/3*a²* H
V = 1/3*1² *1/√2
V = 1/ 3√2 / 3√2
V = 3√2/ 18

V = √2/ 6
Objetość wynosi √2/ 6

Zad.17 Krawędź podstawy graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 4, a przekątna tego graniastosłupa 9. Jego objętość V wynosi

Graniastosłup prawidłowy czworokątny ma w podstawie kwadrat, zatem

Zad.18 Prostokąt o bokach 4cmx8cm zwinięto tworząc powierzchnię boczną walca. Jeżeli tworząca tego walca wynosi 8cm, to promień podstawy walca jest równy

Zad.19 Krawędź podstawy graniastosłupa prostego o podstawie rombu ma długość 2m, a krawędź boczna 4 m. Łączna długośc wszystkich krawędzi tego graniastosłupa jest równa ..

Romb to równoległobok, którego wszystkie boki są równe.
Graniastosłup czworokatny ma 2*4 krawędzie podstaw i 4 krawędzie boczne
2*4*2m+4*4m=16m+16m=32m

Zad.20 Promień podstawy stożka r=5, a tworząca l=13. Pole powierzchni bocznej tego stożk =5
l=13
Pboczne="Pi"x R x L
Pb="pi" x 5 x 13
Pb=65 "Pi"a jest równe

Zad.21 Wysokość ostrosłupa prawidłowego czworokątnego jest dwa razy krótsza od wysokości ściany bocznej. Miara kąta dwusiecznego między ścianą boczną a podstawą wynosi

Zad.22 Pole powierzchni całkowitej sześcianu wynosi 180cm². Krawędź tego sześcianu ma długość

Pc = 6 * a² = 180
a²= 30
a = √30

Zad.23 Dane są dwa sześciany;. Objętość pierwszego jest 8 razy większa od objętości drugiego wówczas pole powierzchni pierwszego sześcianu jest większe od pola powierzchni drugiego 

V₁- objętość 1 sześcianu
a₁ - krawędź 1 sześcianu
V₂ - objętość 2 sześcianu
a₂ - krawędź 2 sześcianu
P₁ - pole powierzchni 1 sześcianu
P₂ - pole powierzchni 2 sześcianu
V₁=a₁³
V₂=a₂³
"Objętość pierwszego jest osiem razy większa od objętości drugiego"
V₁=8V₂
a₁³=8a₂³
a₁=2a₂
krawędź 1 sześcianu jest 2 razy większa od krawędzi drugiego
"pole powierzchni pierwszego sześcianu jest większe od pola powierzchni drugiego sześcianu:8 razy,6 razy,4 razy 2 razy."
P₁=6*a₁²
P₂=6*a₂²
a₁=2a₂

P₁=6*(2a₂)²=6*4a₂²=4*6a₂²=4P₂
P₂=6*a₂²
czyli P₁=4P₂

Zad.24 Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jednego z boków. Powstała bryła ma objętość

H=2 - wysokość
r=2 - promień podstawy

V = pi r^2 H
V = pi * 2^2 * 2
V = 8 pi

Zad.25 Kwadrat o boku długości 2 obrócono wokół jego przekątnej. Powstała bryła ma pole równe

Pole powierzchni tej bryły wynosi 4π√2 , a to dlatego ,ze kiedy będziemy obracać ten kwadrat wokół własnej osi utworzy nam się bryła w kształcie dwóch połączonych ze sobą stożków. Masz obliczyć pole powierzchni, więc musisz policzyć poprostu pole ściany bocznej jednego z tych stożków ze wzoru : Pc = π*r*l

Pole boczne jednogo z tych stożków wynosi = π * r * l = π * √2 * 2 = 2π√2
później,aby uzyskać pole powierzchni tej bryły, mnożysz wynik

 pola bocznego *2 i wychodzi ci pole powierzchni bryły

Pc = 2 * 2π√2 = 4π√2

Zestaw XVIII

Zadanie 1. W graniastosłupie prawidłowym przedstawionym na rysunku tg α = 2. Wówczas długość krawędzi podstawy a równa jest:

tgα=2

H/d=tgα

d-przekątna kwadratu d=a√2 

8√2/a√2=2
2a√2=8√2/:2√2
a=8√2/2√2 pozbywamy się niewymierności mnożąc licznik i mianownik przez ten pierwiastek
a=16/4=4
a=4cm

Zadanie 2 .Z sześcianu wycięto ostrosłup ABCD (rysunek). Stożek objętości sześcianu, do objętości ostrosłupa jest równy:

Zadanie 3. Jeżeli długość krawędzi sześcianu jest równa a, to pole powierzchni całkowitej ostrosłupa ABCD (patrz rysunek) wynosi:

Pc=Pp+Pb
Pp=d²√3/4 --->przekątna kwadratu d= a√2
Pp= (a√2)²×√3/:4
Pp=2a²√3/4=a²√3/2

Pb=3×½ d×hb

hb- wysokość ściany bocznej ostrosłupa
hb²+(½d)²=a²
hb²+(½a√2)²=a²
hb²+2a²/4=a²
hb²=a²-½a²
hb²=(2a²-a²)/2
hb²=a²/2
hb=a/√2
hb=a√2/2

Pb=3×½a√2× a√2/2
Pb=(3×a²×2)/4
Pb=6a²/4
Pb=³/₂a²

Pc= Pp+Pb
Pc=a²√3/2 + ³/₂a²
Pc=4a²/2
Pc=2a²cm²

Zadanie 4. W prostopadłościanie o podstawie kwadratowej wysokość jest dwa razy dłuższa od krawędzi podstawy. Przyjmując, że krawędź podstawy ma długość x długość przekątnej prostopadłościanu jest równa:

a = x
h = 2x
d = √a²+b²+c²
d = √x²+x²+(2x)²
d = √6x²
d = x√6

Zadanie 5. Krople deszczu mają zwykle kształt kuli o średnicy 2mm. Wskaż ile kropel deszczu napełni szklankę w kształcie walca o średnicy 6 cm i wysokości 8 cm.

wzór na objętość kuli [tablice matematyczne lub internet

] i wzór na objętość walca. podzielić jedno przez drugie i już.

Zadanie 6. W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym długość wysokości H=5. Miara kąta, jaki tworzy krawędź boczna tego ostrosłupa z płaszczyzną podstawy, jest równa 45°. Pole podstawy ostrosłupa wynosi:

H=5
α=45°
Pp=?
Pp=a²
a=?

H/½d= tg45°
5/½d=1
5=½d/2
d=10
d=a√2
10=a√2
a=10√2/2
a=5√2

Pp= a²= (5√2)²=50cm²

Zadanie 7. Rysunek przedstawia siatkę ostrosłupa o podstawie trójkątnej. Dwie ściany tego ostrosłupa są prostopadłe do jego podstawy. Objętość tego ostrosłupa wynosi:

Zadanie 8.Promień kuli o objętości 36πi cm³ jest równy:

V= 4/3 pir³

4/3 pir³ = 36pi

pr³ = 36 . ¾

r³ = 27

r= 3

Zadanie 9 W ostrosłupie prawidłowym czworokątnym krawędź boczna o długości 6 jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 30°. Wysokość tego ostrosłupa jest równa:

b=6
α=30°
H/b=sin30°
H/6=½
2H=6/:2
H=3

Zadanie 10 Walec ma taką samą podstawę i dwa razy dłuższą wysokość niż stożek. Ile razy objętość walca jest większa od objętości stożka?
V walca = Pp * H
V stożka = Pp * H * 1/3 

V walca = x * 2y
v stożka = x * y * 1/3 

x * 2y : x * y * 1/3 = 

x * 2y y
---------- = ----- = 3y - to jest odpowiedź.... 
Zadanie 11 Rozwinięcie powierzchni bocznej stożka jest półkolem o promieniu r=10 cm. Pole podstawy stożka wynosi:

jest półkolem a wiec polowa koła o promieniu r=10cm
długość łuku wyliczamy z obw
obw=2πr
obw=20π cm
połowa obwodu czyli dlugość łuku która jest obwodem podstawy wynosi 10π cm
promien podstawy wynosi:
2πr=10π cm
r=5cm
pole podstawy wynosi:
πr²=25π cm²

Zadanie 12. Ściana boczna ostrosłupa prawidłowego czworokątnego o krawędzi podstawy długości a=6 cm tworzy z płaszczyzną podstawy kąt alfa = 60 stopni. Wysokość ostrosłupa ma długość:

Ponieważ ściana jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod katem 60 stopni to mamy do czynienia z połowa trójkąta równobocznego czyli wysokość ostrosłupa równa jest wysokości trójkąta równobocznego.

H= a√3/2 = 6√3/2 = 3√3

Zadanie 13. Przekątna przekroju osiowego walca tworzy z płaszczyzną podstawy kąt o mierze 60°. Jeżeli średnica walca jest równa 6, to pole powierzchni bocznej tego walca wynosi:
2 r = 6

R=3

tg 60 stopni = h/6

pierw. z 3 = h/6

h= 6 pierw z 3

Pole boczne = 2*pi*r *h

Pb = 2^.3^. 6 pierw z 3 pi

Pb = 36pi pierw z 3

Zadanie 14 Objętość prostopadłościanu o wymiarach a x a x h wynosi 144, a pole powierzchni 168. Wymiary prostopadłościanu wynoszą:

a*a*h=144 => h=144/a^2
2*a*a+4*a*h=168
2*a^2+4*144/a=168
a^2+288/a=84
a^3+288=84a
a^3-84a+288=0
a^3-6*a^2+6*a^2-36*a-48*a+288=0
a^2(a-6)+6a(a-6)-48(a-6)=0
(a-6)(a^2+6a-48)=0
dalej z równania kwadratowego (delta) i podstawić pod h

Zadnie 15. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem równobocznym o boku długości 8cm. Pole powierzchni bocznej tego stożka jest równa: 

a=8=l=2r
2r=8/:2
r=4
Pb=πrl
Pb=π×4×8
Pb=32πcm²

Zadanie 16. Przekrój osiowy walca jest prostokątem o wymiarach 4 cm x 5 cm (rysunek). Objętość walca jest równa:
V=πr²×H
H=5
2r=4/:2
r=2
V=π2²×5
V=20πcm³

Zadanie 17. Przekątna graniastosłupa prawidłowego czworokątnego ma długość 12 cm, a wysokość tego graniastosłupa ma długość 6 cm. Przekątna graniastosłupa jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem:

^{= 30 stopni}

Zadanie 18. Przekrój osiowy walca jest kwadratem polu równym 12. wówczas promień podstawy tego walca jest równy:
P=a² r=?
12=a²
a=√12
a=2√3
a=2r
2√3=2r/:2
r=√3
Zadanie 19 Podstawą graniastosłupa prostego jest romb o przekątnej długości 7 cm i 10 cm. Wysokość graniastosłupa jest równa 8 cm. Objętość graniastosłupa wynosi:
e=7
f=10
H=8
V=PpH

Pp=½ef
Pp=½×7×10=35cm²

V=35×8=280cm³

Zadanie 20. Objętość sześcianu jest równa 8 cm³. Pole powierzchni całkowitej tego sześcianu wynosi:
V=8cm³
Pc=6a²=?
V=a³
8=a³
a=2
Pc= 6×2²=6×4=24cm
Korzystając ze wzoru na objętość wyznaczamy a
V=a³
8cm³ = a³ / ∛
a = ∛8 cm³
a = 2 cm
pole powierzchni całkowitej
Pc = 6a²
Pc = 6 * (2cm)²
Pc = 6 * 4cm²
Pc = 24 cm² 

Zadanie 21. Objętość kuli jest równa 36 pi. Pole jej powierzchni wynosi:
V=36*pi
V=4/3*pi*R3

36*pi=4/3*pi*R3 obustronnie dzielimy przez 4/3*pi
R3=36*pi/4/3*pi
R3=27
R= pierwiastek trzeciego stopnia z 27
R=3
Pc- pole całkowite
Pc=4pi*r²
Pc=4 ^.3² pi
Pc=36 pi

Zadanie 22. Dany jest ostrosłup prawidłowy trójkątny o krawędzi podstawy 4 i wysokości 12. Objętość tego ostrosłupa wynosi:
V= ph/3Gdzie:
P-pole podstawy ostrosłupa
h-wysokość ostrosłupa 

a=4 H=12
Pp trójkąta =a²√3/4
Pp=4²√3/4 = 16√3/4 =4√3
V=1/3Pp*H
V=1/3*4√3*12=16√3

Zadanie 23 Przekątna przekroju osiowego walca ma długość 8 i tworzy z podstawą kąt 60°. Promień podstawy walca wynosi:
Obliczam promień r podstawy z trójkąta prostokątnego, gdzie:
2r - przyprostokatna leżąca przy kącie α = 60°
H - przyprostokatna leżąca naprzeciw kąta α = 60°
D - przeciwprostokątna

2r : D = cos α
2r = D*cos 60°
2r = 8 cm*1/2
2r = 4 cm /:2
r = 4 cm :2
r = 2cm

Zadanie 24. Przekątna prostopadłościanu jest nachylona do płaszczyzny podstawy pod kątem 45°. Krawędzie podstawy mają długość 3 i 4. Objętość bryły jest równa:

Objętość:


Zadanie 25. Przekrój osiowy stożka jest trójkątem prostokątnym. Objętość stożka jest równa 9π. Tworząca l stożka ma długość:
V = 1/3 πr² * h = 1/3 πr² * r = 9 π
r³ = 27
r = 3 = h
r² + h² = l²
3² + 3² = l²
9 + 9 = l²
l² = √18
l = 3√2