Rozważmy rurę grubościenną o promieniu wewnętrznym „a” oraz o promieniu zewnętrznym „b” poddaną równomiernemu ciśnieniu od strony zewnętrznej i wewnętrznej. Załóżmy, że materiał części rury o promieniu „c” przeszedł w stan plastyczny.

W celu rozwiązania konstrukcji korzystamy z rozwiązania Lame’go. Rozpatrujemy obciążony tylko brzeg wewnętrzny Pb=0.

Na etapie sprężysto-plastycznym każdy przekrój rury można rozpatrywać jako złożony z

dwóch warstw: plastycznej (0 ≤ r ≤ c) i sprężystej (c≤ r≤b ). Naprężenia w strefie

sprężystej wyznaczamy z poniższego wzoru zamieniając „a” na „c” , a „p”na „q”

Tutaj r=c jest niewiadomą granicą rozdzielającą sprężystą i plastyczną strefę :

q - nieznane ciśnienie przyłożone do tej granicy

W celu określenia naprężeń plastycznych rozważmy równanie równowagi w płaskim stanie

odkształcenia

w płaskim stanie odkształcenia

Dla uproszczenia przyjmijmy że materiał jest nieściskany t.j.

Na skutek symetrii osiowej układ równań przekształca się do postaci :

Załóżmy, że materiał rury nie posiada wzmocnienia i przyjmijmy kryterium plastyczności w

postaci :

Zapisujemy wyrażenie dla intensywności naprężeń

dla stanu odkształcenia płaskiego mamy

Ponieważ to stąd

Korzystając z kryterium (11) otrzymujemy :

Podstawiamy ten związek do równania równowagi:

Równanie różniczki o zmiennych rozdzielnych:

Po obustronnym całkowaniu otrzymujemy równanie:

Stałą całkowania C otrzymujemy z warunku brzegowego:

P=Pa jest ciśnieniem przyłożonym od powierzchni wewnętrznej rury grubościennej, a więc otrzymujemy:

Naprężenie określamy ze związku:

Następnie z warunków ciągłości naprężeń otrzymujemy

Różnica ciśnień (pa-pb) potrzebna do całkowitego uplastycznienia rury wynosi:

Analizując konstrukcje wykonane z materiału idealnie sprężysto-plastycznego, można zauważyć, że przy powolnie narastającym obciążeniu znajduje się ona najpierw w stanie równowagi statecznej, by następnie przejść w stadium nośności granicznej, przy którym staje się układem geometrycznie zmiennym. Nośność graniczna związana jest zatem z obciążeniem granicznym, dla którego określamy współczynnik μ_G obciążenia przy rozpoczynającym się ruchu ośrodka.

Obciążenie graniczne μ_Gq stanowi podstawę do określania sił wewnętrznych związanych z tym obciążeniem. Dla każdej konstrukcji istnieje nieskończenie wiele statycznie dopuszczalnych pól naprężeń i kinematycznie dopuszczalnych pól przemieszczeń związanych z określonym ruchem.