1.Wymienić grupy równań tworzące model matematyczny ciała sprężystego w
sformułowaniu lokalnym. Krótko scharakteryzować poszczególne grupy.*równania
równowagi- podstawowe równania opisujące stan równowagi ciała. Sumaryczna siła
i moment siły działające na ciało są równe 0 *równania geometryczne- warunki
brzegowe- zespół warunków, jaki ma spełniać (w określonym miejscu przestrzeni)
funkcja będąca rozwiązaniem równania różniczkowego (np. na brzegu obszaru
określoności rozwiązania). Określenie warunków brzegowych pozwala wybrać
jednoznaczne rozwiązanie danego równania *warunki początkowe- określają stan
wyjściowy układu, którego ewolucję mamy zamiar opisać 2.Czym różni się model
matematyczny zagadnienia w sformułowaniu lokalnym, od modelu w sformułowaniu
globalnym? Sformułowanie lokalne- opis ciała przy pomocy zależności różniczkowych
odnoszących się do każdego nieskończenie małego fragmentu konstrukcji.
Sformułowanie globalne- opis ciała przy pomocy zależności całkowych odnoszących
się do całego tego ciała. Zależności te wynikają najczęściej zastosowania pracy
wirtualnej lub równania wariacyjnego. 3.Czym są przemieszczenia wirtualne?
Przemieszczenia wirtualne to każde dowolne, możliwe przemieszczenie punktu,
zgodne z więzami. Jeżeli położenie punktu określone jest za pomocą wektora $\overset{\rightarrow}{v}$, to
przemieszczenie przygotowane oznaczamy symbolem $\delta\overset{\rightarrow}{v}$. Przemieszczenie $\delta\overset{\rightarrow}{v}$ jest
to pomyślane (wyobrażalne) przesunięcie punktu, o kierunku zgodnym z kierunkiem
możliwej prędkości tego punktu. Przemieszczenie wirtualne jest wektorem, które
można przedstawić w postaci:$\delta\overset{\overline{}}{r} = \delta x\overset{\overline{}}{i} + \delta y\overset{\overline{}}{j} + \delta z\overset{\overline{}}{k}$. Cechy:* pomyślane *możliwe,
tzn. kinematycznie dopuszczalne *niezależne od czynników zewnętrznych *bardzo
małe w porównaniu z wymiarami ciała *niezależne od czasu *ciągłe (co najmniej raz
różniczkowalne) 4.Przedstawić zasadę pracy wirtualnej. *Praca rzeczywistych sił zewn.
(biernych i czynnych) na przemieszczeniach wirtualnych jest równa pracy sił wewn.
(wynikających z działania obciążeń zewnętrznych) na wewnętrznych przemieszczeniach
wirtualnych. *Warunkiem koniecznym i wystarczającym równowagi dowolnego układu
punktów jest, aby suma prac wirtualnych wszystkich sił czynnych i sił reakcji więzów,
przy dowolnym przemieszczeniu wirtualnym była równa zero. *Wariacja funkcjonału
pracy sił wewnętrznych jest równa wariacji funkcjonału pracy sił zewnętrznych. 5.Czym
jest metoda różnic skończonych (MRS)? MRS służy do przybliżonego rozwiązywania
równań różniczkowych. Jest to metoda numeryczna (daje rozwiązanie przybliżone),
efektywna tylko przy wykorzystaniu komputera. Istotą MRS jest bezpośrednie
zastąpienie równań różniczkowych lub układów tych równań równaniami
algebraicznymi (im więcej tym rozwiązanie dokładniejsze).6.Wymień etapy zastoswania
MRS do rozwiązywania belek. Krótko omówić wybrany etap. Kolejność postępowania:
*Dyskretyzacja belki *Zamiana obciążeń skupionych na rozłożone *Ustalenie istotnych
parametrów w poszczególnych punktach dyskretyzacyjnych *Ułożenie układu równań
MRS z uwzględnieniem warunków brzeg. *Rozwiązanie układu równań i wyznaczenie
wielkości statycznych i geometrycznych W, M, T, q, ϕ *Wykonanie wykresów
a) polega na poszukiwaniu rozwiązania jedynie w określonych pktach. Proces przejścia
z układu ciągłego do układu dyskretnego. Mechaniczny model rzeczywistej konstrukcji
zmieniamy na układ dyskretny, złożony ze zbioru węzłów i elementów skończonych.
Dzielimy belkę na fragmenty 𝛌_i = const. W pktach (węzłach) wyodrębnionych w wyniku
dyskretyzacji wprowadzamy lokalne układy współrzędnych. b) Rozkładamy tylko te
obciążenia skupione, które nie znajdują się na krańcach belki, bo prościej wtedy
wyznaczyć siły wewn.. W MRS obciążenia skupione mogą być przyłożone tylko w
węzłach (pkt. dyskretyzacji), jeśli siła znajduje się między nimi to przesuwamy ją do
najbliższego węzła, gdyż nie będzie to w znaczącym stopniu rzutowało na wynik.
Ewentualnie jeśli przesunięcie byłoby zbyt duże możemy rozłożyć siłę na 2 inne
składowe, przyłożone w węzłach (P=P₁+P₂). 7.Zapisać ogólne postaci I i II różnicy
skończonej. Wyjaśnić użyte oznaczenia. -I RS $\frac{\text{Δf}_{i}}{\text{Δx}} = \frac{\partial f}{\partial x}\left( 0 \right) = \frac{{- f}_{i - 1} + f_{i + 1}}{2\lambda}$
-II RS $\frac{\Delta^{2}f_{i}}{\text{Δx}^{2}} = \frac{\partial^{2}f}{\partial x^{2}}\left( 0 \right) = \frac{f_{i - 1} - {2f}_{i} + f_{i + 1}}{\lambda^{2}}$ , Gdzie: λ – stopień dyskretyzacji belki 8.Czym
jest interpolacja? Interpolacja polega na wyznaczaniu przybliżonych wartości funkcji w
punktach nie będących węzłami oraz oszacowaniu błędu tych przybliżonych wartości.
Sprowadza się to do wyznaczenia funkcji W(x) zwanej F. INTERPOLUJĄCĄ, która w
węzłach interpolacji przyjmuje takie same wartości jak f(x). 9.Czym jest wielomian
uogólniony? Zapisać ogólną postać z wyjaśnieniami oznaczeń. Wielomian uogólniony
jest kombinacją liniowo niezależnych funkcji. W(x) = a₀φ₀(x) + a₁φ₁(x) + … ∖ n + a_nφ_n(x); $W_{i}\left( x \right) = \sum_{i = 0}^{n}{a_{i}\varphi_{i}(x)}$ Gdzie: *n – liczba punktów interpolacji *a_i-
współczynniki wielomianu interpolacyjnego, i=0,1,2,…,n *φ _i(x)- funkcje bazowe,
funkcje naszej zmiennej wybierane wcześniej przed interpolującego, aby spełnić
warunki brzegowe, i=0,1,2,…,n 10.Na czym polega interpolacja funkcjami sklejanymi?
Jest to alternatywne podejście do przybliżenia funkcji dowolnej na domkniętym
przedziale, polegająca na podziale tego przedziału na podprzedziały i skonstruowaniu
różnych wielomianów interpolacyjnych dla każdego z nich. Interpolacja ta szczególnie
jest wskazana gdy mamy dużo węzłów interpolacji, gdy dane są związane z pewną
znaną lub nieznaną funkcją, której pochodne są duże lub nie istnieją lub gdy dane
pochodzą z nienaturalnego lub nie matematycznego gniazda (np. granice państwa,
skrzydła samolotu). Najprostszym typem takiej interpolacji jest użycie funkcji liniowych
co sprowadza się do połączenia odcinkami pkt. będących węzłami interpolacji. Żeby
dokładność była zadowalająca należy przyjąć dużo punktów na wykresie. W przypadku
użycia f. kwadratowych uzyskujemy gładszą f. interpolującą, ale nie można zapewnić
by funkcja interpolująca i funkcja interpolowana miały identyczne pochodne na
końcach przedziału interpolacji. Najbardziej użyteczną interpolacją tego typu jest
interpolacja funkcjami sklejanymi 3-go stopnia. 11.Czym jest aproksymacja?
Aproksymacja funkcji polega na wyznaczeniu takiej funkcji F(x), która przybliża
funkcję f(x) w przedziale <x₁,x_n> przy określonym kryterium np. przy minimalizacji
normy zapisanej w następujący sposób Q = ||f(x)−F(x)|| 12.Przedstawić istotę
aproksymacji metoda najmniejszych kwadratów. Metoda ta ma na celu wyznaczenie
linii regresji., linii trendu dla zebranych danych. Różnice pomiędzy dokładnymi
wartościami oraz wartościami obliczonymi z równania prostej są podniesione do
kwadratu. Metoda dopasowuje linię do zebranych danych, aby ogólny błąd
oszacowany był jak najmniejszy. 13.Wymienić metody aproksymacyjnego rozwiąż.
równań różniczkowych. Krótko omówić jedną z nich. *metoda Ritza *metoda
Rayleigha-Ritza *metoda reziduów ważonych -metoda punktu kollokacji -metoda
podobszaru kollokacji -metoda najmniejszych kwadratów -metoda Galerkina
Wszystkie powyższe metody to metody całkowe, gdyż opierają się na formach
całkowych. Metoda Ritza – wymaga, by dla aproksymacji I rzędu był spełniony
warunek: ∫_ΩR(x,a₁) = 0 Powyższe wyrażenie prowadzi do równania algebraicznego
z niewiadomym parametrem a₁. Metoda Ritza polega na aproksymacji rozwiązania
równania różniczkowego z pomocą tzw. rozwiązań próbnych mających postać np.
wielomianu n tego stopnia 14.Czym jest residuum? Residuum jest pewną różnicą
(lub resztą) przy działaniach na całkach rzeczywistych. Residuum jest liczbą zespoloną
opisującą zachowania całek po „konturach” analitycznej funkcji f(x) R(x,a_i) Residuum
jest różnicą pomiędzy rozwiązaniem przybliżonym, a dokładnym. Jest błędem.
15.Przedstawić istotę metody elementów skończonych (MES) bazującej na
aproksymacji Galerkina. Polega ona na przyjęciu, że rolę funkcji wagowej pełni
przyjmowana funkcja próbna. Zakładamy więc, że i żądamy - w przypadku używania
kilku funkcji próbnych jednocześnie-spełnienia warunków:
∫_ΩNi(x) • R(x,a₁,a₂…a_n)dx = 0,  dla i = 1, 2, …n