Szkoła Wyższa im. Pawła Włodkowica w Płocku

MATERIAŁY DO STUDIOWANIA DYDAKTYKI MATEMATYKI

pod redakcją dr Jerzego Żabowskiego

CZĘŚĆ I

Prace prof. dr hab. Anny Zofii Krygowskiej

WYBORY PRAC DOKONALI: prof. dr hab. Bogdan J.Nowecki dr Maciej Klakla

do użytku wewnętrznego

Płock 2000

Redaktor: Tomasz Kruszewski Skład komputerowy: Jacek Kubacki Redaktor techniczny: Cezary Supeł Projekt okładki: : Cezary Supeł

© Copyright by Szkoła Wyższa im. Pawła Włodkowica w Płocku

© Copyright by Wydawnictwo Naukowe NOVUM sp. z o.o.

ISBN 83-88193-25-2

WYDAWNICTWO NAUKOWE NOVUM sp z.o.o.,

09-402 Płock, Al, Kilińskiego 12, tel. [phone]

DRUKARNIA lf§ RYTTER

ul. Przemysłowa 20

09-400 Ptock

tel. [phone]

fax [phone]

Spis treści

1 O metodzie czynnościowej w nauczaniu matematyki w klasach VI i VII szkoły podstawowej 7

2. Zasada poglądowości w nauczaniu matematyki 15

3. Z praktyki nauczania 21

4. O poprawne rozumienie przez uczniów symbolu literowego w nauce algebry 27

5. O niebezpieczeństwie formalizmu w nauczaniu algebry w szkole 43

6. Metodologiczne i psychologiczne postawy czynnościowej metody nauczania matematyki 57

7. O zadaniach matematycznych rozwiązywanych w szkole 77

8. Jak uczyć dowodzenia twierdzeń 87

9. Przyczyny trudności i niepowodzeń uczniów w matematyce 103

10. Niektóre tendencje występujące w matematyce współczesnej a nauczanie matematyki w szkole powszechnej 113

11. Główne problemy i kierunki badań współczesnej dydaktyki matematyki 127

12. Elementy aktywności matematycznej, które powinny odgrywać znaczną rolę w matematyce dla wszystkich 177

13. Zrozumieć błąd w matematyce 191

14. CIAEM 39 199

15. Operatywny charakter matematyki i czynnościowe jej nauczanie 213

ZASADA POGLĄDOWOŚCI W NAUCZANIU MATEMATYKI¹

W „Pedagogice" opracowanej pod redakcją prof. I. Kairowa¹ przy formułowaniu ogólnych, kierowniczych zasad nauczania przyjętych przez dydaktykę radziecką stwierdza się na wstępie:

„Postulat, że w procesie nauczania uczniowie mają uzyskać rzetelne wiadomości - przede wszystkim na podstawie postrzegania konkretnych danych - wymaga zwrócenia się do samych przedmiotów i zjawisk jako źródła poznania, zakłada rozpoczynanie nauki od rzeczy konkretnych, wy­maga rozwijania spostrzegawczości u dzieci. Wypływa z tego zasada poglądowości.

A dalej: „Zasada poglądowości, to postulat takiego podania materiału nauczania, przy którym wyobrażenia i pojęcia uczniów kształtują się na żywym, bezpośrednim postrzeganiu badanych przez nich zjawisk lub obra­zów i zjawisk".

*

Nie ma chyba nauczyciela matematyki, który by nie widział w kon­sekwentnym stosowaniu zasady poglądowości podstawowego warunku osiągania celów nauczania swego przedmiotu. Bliższa jednak obserwacja praktyki szkolnej wykazuje, że ten powszechnie uznawany postulat dydak­tyczny bardzo często albo nie jest w całej pełni stosowany, albo też w reali­zacji ulega wypaczeniu.

Omówieniu tych właśnie dwóch spraw będą poświęcone poniższe uwagi.

Poglądowość bezpośrednia

Zanim sformułujemy, co mamy rozumieć przez poglądowość bez­pośrednią, rozważmy takie oto przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej:

1. Nauczyciel ma wprowadzić pojęcie jednostek miary pola. Wychodzi więc z uczniami na podwórze szkolne, przy pomocy taśmy mierniczej, sznura i kołków wytycza na ziemi kwadrat o boku 10 m; uczniowie wi­dzą wyraźnie obszar o polu I a ra, próbują, ilu uczniów może się ustawić na tym obszarze, ilu uczniów wziąwszy się za ręce może obstawić jego obwód; oceniają ile arów ma całe podwórze.

2. Na lekcji stereometrii nauczyciel omawia pojęcie wielościanu i posłu­guje się modelami pełnymi lub szkieletowymi. Uczniowie sporządzają rozwinięcia powierzchni brył, sklejają modele brył. Na tych konkret­nych przedmiotach pokazuje się (przed podaniem ścisłych definicji pojęć) ściany, krawędzie, wierzchołki, kąty płaskie, dwuścienne, bry­łowe. Uczniowie rozwiązują zadania konstrukcyjne i rachunkowe ma­jąc przed oczyma model, mogąc go dotknąć, wziąć w rękę, obrócić itd.

3. Nauczyciel demonstruje przebieg zmienności funkcji trygonometrycz­nych przy pomocy ruchomego modelu koła trygonometrycznego. Wła­sności funkcji występują tu przy obserwowaniu konkretnego ruchu.

4. Nauczyciel objaśnia pojęcie i własności rzutu równoległego ukośnego sześcianu wykorzystując świetlną plamę słoneczną na białej ścianie klasy i rzucając na nią cień szkieletu sześcianu. Zmieniając położenie modelu uczniowie obserwują omawiają i rysują rzuty sześcianu w róż­nych położeniach.

We wszystkich opisanych wyżej przypadkach zastosowano w nau­czaniu metodę bezpośredniej poglądowości, Oparto bowiem osiąganie no­wych wiadomości i zrozumienie nowych pojęć na „aktywnym postrze­ganiu" rzeczywistych przedmiotów i zjawisk i zwrócono się do poznania zmysłowego, tj. do „praźródła wiedzy").²

Konieczność stosowania takiej poglądowości jest dla ogółu nauczycieli oczywista. To, że nauczyciele nie wykorzystują w tej dziedzinie wszystkich możliwości dydaktycznych, wypływa często z trudności technicznych, z pośpiechu, w jakim nauczyciel pracuje, gdzieniegdzie zaś z braku pomy­słowości lub z bierności w pracy, a także z tego, że niejednokrotnie dosko­nałe pomysły nie są dostatecznie szeroko rozpowszechniane; za mało się o nich pisze i mówi na konferencjach nauczycielskich.

W związku ze stosowaniem bezpośredniej poglądowości w nauczaniu matematyki należy jednak zwrócić uwagę na pewne niebezpieczeństwo przesady w realizacji tej zasady. Poglądowość bezpośrednia powinna być środkiem do wykształcenia w uczniach zdolności myślenia abstrakcyjnego j wyobraźni stosunków przestrzennych, a nie celem sama w sobie. Rozsąd­ne stosowanie tej metody powinno doprowadzić do tego, żeby uczeń na­uczył się myśleć abstrakcyjnie i potrafił rozwiązać zadanie również i wtedy, gdy nie ma bezpośrednio do czynienia z konkretem. Źle jest, jeżeli nauczy­ciel uczy stereometrii bez modeli; źle jest, jeżeli uczeń poznaje własności sześcianu bez oparcia się o obserwację konkretnego sześcianu; ale również źle jest, jeżeli uczeń -- po zdobyciu wiadomości o sześcianie z modelem w ręku - nie potrafi rozwiązać prostego zadania na temat tej bryły nie mając w ręku modelu i nie może sobie jej wyobrazić.

Doświadczony nauczyciel, stosuje poglądowość bezpośrednią celowo i świadomie: uczeń pracuje z modelem w ręku często, ale nie zawsze,

Poglądowość pośrednia

Jak poprzednio, za punkt wyjścia przy wyjaśnianiu pojęcia poglądo­wości pośredniej przyjmiemy przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej:

1. Temat lekcji w klasie VII: wprowadzenie układu współrzędnych. Na­uczyciel zapytuje uczniów, jak wyznaczamy położenie miejscowości na kuli ziemskiej (temat znany już uczniom z nauki geografii). W krótkiej pogadance uczniowie omawiają siatkę geograficzną konieczność wyboru południka zerowego i równoleżnika zerowego, określanie położenia punktu na Ziemi przez podanie dwóch liczb: szerokości geograficznej i długości geograficznej. Teraz wprowadzamy siatkę na płaszczyźnie dla wyznaczenia położenia punktu. Zastąpienie równika i zerowego południka wybranymi osiami nie nasuwa szczególnych trudności. Mamy tu więc „długość", czyli odciętą, i „szerokość", czyli rzędną. Określenia: „wschodnia" i „zachod­nia", „północna" i „południowa" zastępujemy odpowiednimi znakami. Wyznaczanie współrzędnych danego punktu i punktu o danych współrzęd­nych odbywa się w sposób prosty i naturalny.

Trzeba tu zwrócić uwagę na to, że pojęcie siatki geograficznej jest dla ucznia, który się z nim po raz pierwszy spotyka, trudne i abstrakcyjne. Równoleżnika i południka nie można ani zobaczyć, ani dotknąć, a przecież przez każde miejsce w klasie przechodzi - w sposób dla dziecka zadziwiają­cy - zupełnie określony południk i równoleżnik. Z czasem jednak przez ćwiczenia i związanie z konkretnymi czynnościami, a w omawianym przy­padku - przez wyznaczanie długości i szerokości geograficznej, to abstrak­cyjne pojęcie staje się dla dziecka coraz bardziej zrozumiałe, coraz silniej skonkretyzowane. Wobec tego nauczyciel przechodząc do nauki o układzie współrzędnych może już posłużyć się siatką geograficzną jako ilustracją poglądową nowego, znowu abstrakcyjnego pojęcia.

2. Tematem lekcji w klasie VII jest twierdzenie o stosunku pól figur po­dobnych. Na ścianie wisi mapa Polski w skali np. 1: 1 000 000. Nauczyciel pyta dzieci, ile razy rzeczywista odległość Krakowa od Warszawy jest większa od odpowiedniego odcinka na mapie, i otrzymuje poprawną odpo­wiedź. Natomiast na pytanie, ile razy pole obszaru Polski jest większe od odpowiedniego pola na mapie, pada odpowiedź błędna: „milion razy". Nauczyciel pyta więc dalej, ile dzieci może stanąć obok siebie na mapie Polski. Uczniowie stwierdzają, że z trudnością zmieści się tam czworo dzie­ci. Nauczyciel wysuwa zagadnienie: Jeżeli obszar Polski jest milion razy większy od obszaru mapy, a na mapie stanąć może najwyżej czworo dzieci, to ile dzieci mogłoby się w ten sposób ustawić na obszarze całej Polski? Otrzymany wynik (4 miliony) zaskakuje dzieci, które znają liczbę ludności Polski. Budzi się twórczy niepokój, wywołany pozornym paradoksem. Ten moment nauczyciel wyzyskuje dla dalszego rozwinięcia tematu i utrwalenia poprawnego już wniosku otrzymanego przez rozumowanie i dowód geo­metryczny.

3. Omawiając zagadnienie interpolacji logarytmów nauczyciel odwołuje się do wykresu funkcji logarytmicznej i funkcji liniowej; podobnie na lek­cjach algebry wzory mnożenia skróconego ilustrujemy przy pomocy pro­stokątów - i w ogóle często wskazujemy obraz geometryczny związany z rozważanym tematem.

4. Tematem lekcji jest pojęcie granicy ciągu. Nauczyciel wyjaśnia je na

przykładzie ciągu a„ = (--f . Na tablicy przygotowano oś liczbową

2

o dużej jednostce. Po obu stronach punktu początkowego osi umieszczamy symetrycznie dwie kreseczki symbolizujące dwie przeszkody na torze przedstawionym przez oś. Wyobraźmy sobie, że przeszkody są ruchome i że zmniejszamy ich odległość. Jeden uczeń liczy: raz, dwa, trzy, .... drugi palcem pokazuje skaczący punkt, który - zgodnie ze wzorem określającym ciąg - zajmie w odpowiedniej chwili odpowiednią pozycję na torze. Pyta­my: Od którego momentu począwszy punkt będzie już „skakał" tylko mię­dzy przeszkodami? Co będzie, gdy przeszkody zbliżymy do punktu począt­vnweeo na odległość 1 cm, — cm, cm? Do ilu trzeba będzie wtedy

Kowcg => _{1Q 10Q}

liczyć, by punkt zaczął poruszać się wyłącznie między przeszkodami? Jak rozwiązać to zadanie rachunkiem?

5 Uczeń uzasadniając twierdzenie szkicuje odręcznie figurę dowodową. Nakreślona przez niego linia zamknięta nie jest najczęściej kołem; odcinki, które mają być z założenia równe, nie są równe na rysunku; proste, które zgodnie z tematem mają być równoległe, są na rysunku często prostymi przecinającymi się. A jednak uczeń „umawia się" jakby sam z sobą, że figura dowodowa ma wymienione w założeniu własności, i rozumuje po-prawnie. Brak rysunku utrudniłby, a często nawet uniemożliwiłby dowo­dzenie. Pomoc „umownego modelu", jakim jest zniekształcona - bo nary­sowana odręcznie - figura dowodowa, jest tu konieczna.

W opisanych wyżej przykładach zastosowano w nauczaniu mate­matyki metodę poglądowości pośredniej. W Pedagogice pod redakcją J. Kairowa³ tak scharakteryzowano tę metodę: „W klasach wyższych, gdy uczniowie posiadają już znacznie bardziej rozwiniętą zdolność myślenia abstrakcyjnego, potrzeba uciekania się do bezpośredniej obserwacji przed­miotów jest mniejsza, ale i tutaj nie odpada jednak konieczność stosowania poglądowości w nauczaniu. Istotna różnica polega na tym, że nauczyciel ma możność częściej uciekać się do tych wyobrażeń, które uczniowie nabyli w poprzednim doświadczeniu. W klasach wyższych znajdzie częściej zasto­sowanie poglądowość pośrednia (oparta na obrazach umownych)".

Tak np. dużą rolę w nauczaniu poglądowym matematyki odgrywa ry­sunek uczniowski. Wraz z rozwojem umysłowym ucznia zmienia się jednak rodzaj poglądowości zawartej w rysunku. W pierwszej fazie nauczania geometrii sam rysunek jest dla ucznia konkretnym przedmiotem jego roz­ważań. Rozumowanie odnosi się bezpośrednio do figury narysowanej, do jej zupełnie szczególnych własności. Później rysunek staje się mniej lub więcej dokładnym obrazem przedmiotów, o które chodzi w zagadnieniu. Łatwo można zauważyć, że znaczenie dokładności tego obrazu przy dowo­dzeniu maleje i jego części składowe stają się tylko umownymi znakami pewnych tworów geometrycznych. Rozważając np. własności ogólne rów-ⁿołegłoboków, formułując i udowadniając twierdzenie prawdziwe dla każ­dego równoległoboku, rysujemy zawsze równoległobok o kątach nieprostych i bokach nierównych, a więc figurę która ma własności inne niż pro-stokąt, kwadrat czy romb, Tylko dzięki umowie przyjmujemy narysowam równoległobok za reprezentanta wszystkich równoległoboków. Podobnie wprowadzamy umowny „model" wykonując nienaturalnie zniekształcona rysunek przy dowodzeniu nie wprost.

Poglądowość pośrednia wyrazi się również w sposobie formułowania definicji twierdzeń w postaci czynnościowej, a także w odpowiednio pomy­słowej terminologii, wprowadzanej przez nauczyciela w tych wypadkach, w których nie obowiązują z góry ustalone terminy.

*

Przy tak szeroko rozumianym pojęciu poglądowości stałe realizowanie zasady poglądowości na lekcjach matematyki może i powinno stać się świadomie wprowadzanym do nauczania elementem i nawykiem dydak­tycznym nauczyciela. Stosowanie poglądowości wiąże abstrakcję z rzeczy­wistością, z drugiej zaś strony jest środkiem do osiągania rzetelnych wyni­ków nauczania. Ma ono pomóc uczniowi w przejściu od myślenia konkret­nego do myślenia abstrakcyjnego, od umiejętności poprawnego i wnikliwe­go postrzegania konkretnych przedmiotów do wykształcenia wyobraźni stosunków przestrzennych, ma go doprowadzić do umiejętności rozwiązy­wania zadań nawet wtedy, gdy bezpośredniego konkretu zabraknie. Jedno­cześnie ma go nauczyć samodzielnego posługiwania się w pracy umysłowej poglądowością bezpośrednią i pośrednią. Znaczenie nauczania matematyki sięga pod tym względem daleko poza wyniki nauczania samej matematyki, według bowiem określenia z Pedagogiki pod redakcją I. Kairowa „studio­wanie matematyki jesfprzygotowaniem do pracy naukowej w ogóle").⁴

ENTY AKTYWNOŚCI MATEMATYCZNEJ, KTÓRE HRRMNY ODGRYWAĆ ZNACZNĄ ROLĘ W MATEMATYCE _A WSZYSTKICH

Dyskusja na temat matematycznego kształcenia nie może pomijać problemu dalszych i bliższych celów takiej edukacji. Można wyróżnić trzy poziomy celów, formułowanych w toku tej dyskusji. Pierwszy dotyczy podstawowych wiadomości i umiejętności w dziedzinie matematyki, które uznaje się za konieczne dla wszystkich. Te elementy określa zwykle treść programu szkolnego, często w postaci wyników nauczania mniej lub więcej zoperacjonalizowanych (np. umieć sformułować twierdzenie Pitagorasa, zinterpretować je i stosować w standardowych sytuacjach, umieć zdefinio­wać funkcję liniową, znać jej własności, jej wykres kartezjański, umieć stosować te podstawowe własności w rozwiązywaniu typowych problemów itp.). Stwierdzamy w tej dziedzinie różnorodność koncepcji od radykalnego minimalizmu do programów bogatych i nawet przeciążonych.

.< Drugi poziom dotyczy postaw i zachowań specyficznych dla aktyw­ności matematycznej oraz pewnej świadomości niektórych elementów ma­tematycznej metodologii (np. aktywna postawa wobec problemów mate­matycznych, pewna dyspozycja do dostrzegania i formułowania takich problemów w sytuacji bliskiej uczniowi, ale otwartej, umiejętność posługi­wania się pewnymi prostymi strategiami w toku ich rozwiązywania, pewien poziom wyobraźni przestrzennej zorganizowanej geometrycznie, pewne ^r°zumienie sensu dowodu i aktywna postawa w poszukiwaniu dowodu, znowu w sytuacji bliskiej uczniowi, pewne rozumienie sensu definicji 'Dostawa aktywna zarówno w toku poszukiwania definicji jako opisu poję-I poprzednio ujętego intuicyjnie, jak i w badaniu tekstu z góry danej defi-l^ji w celu uświadomienia sobie pojęcia przez interpretację tego tekstu "P-).

Te postawy i te zachowania, specyficzne dla aktywności matema-^ ^neJ, powinny rozwijać się stopniowo w toku uczenia się treści i zdoby­ta umiejętności określonych programem. Oczywiście specyficzne za­dania i postawy intelektualne można rozwijać u ucznia jedynie w toku

"J^T^iiZLKocziiiki Polskiego Towarzystwa Matematycznego. Seria V: Dydaktyka Mate-■P*» 6(1986)

jego specyficznej aktywności. Treść programu powinna więc zap_e\y_n- • warunki sprzyjające takiej aktywności na każdym poziomie nauczania

Trzeci poziom celów dotyczy postaw i zachowań intelektualnych funkcjonujących poza aktywnością matematyczną i rozwijanych p_rze2 transfer i dostosowanie postaw i specyficznych zachowań do innych dzie dzin ludzkiej aktywności. W tym sensie uznaje się, że znaczenie uczenia si matematyki w ramach ogólnego kształcenia polega między innymi na i_nt_e lektualizacji postaw i zachowań szerokich warstw społeczeństwa, rozwija­nej przez kontakt młodego umysłu na etapie szkolnym z elementami nauki tak podstawowej dla ludzkiej kultury.

W rzeczywistości konstruuje się programy bez głębokiej refleksji nad drugim i trzecim poziomem celów. W szczególności wiemy bardzo mało na temat transferu, o którym tu mówimy. Co więcej nie znamy jeszcze środków metodologicznych, które by nam pozwoliły na prowadzenie po­ważnych badań na temat mechanizmów takiego transferu u uczniów śred­nich lub słabszych. Pewne nasze badania ujawniają, że uczenie się mate­matyki przez niektórych uczniów nie tylko nie rozwija u nich postaw i za­chowań drugiego poziktórych merywala to, co nazywamy zdegenerowanym formalizmem i co charakteryzuje się nieobecnością w myśli ucznia seman­tycznego sensu terminów i symboli i chaosem w stosowaniu reguł syntak-tycznych (a liczba tych uczniów nie jest tak mała, by można było z punktu widzenia społecznego ignorować to zjawisko). Nasze obserwacje świadczą o fałszywości przekonania, że cele drugiego i trzeciego poziomu realizują się prawie automatycznie w toku zdobywania wiadomości i ćwiczenia sprawności określonych przez treść programu. Uczeń, który cytuje po­prawnie twierdzenie Pitagorasa, który przedstawia jego dowód, który umie je nawet stosować w pewnych sytuacjach typowych, bardzo często w sytu­acji niewiele zmienionej ujawnia zupełne zagubienie się w stosunku do tego, co zdawało się być poprzednio już dobrze zrozumiane. Jego myśl staje się otwarta dla nonsensów, jak najbardziej zadziwiających i niepojętych dla tych, którzy nie mieli okazji analizować głębiej zjawiska zdegenerowanego formalizmu.

Wydaje się, że jedną z głównych przyczyn tego zjawiska jest między innymi uczenie się oparte przede wszystkim na recepcji treści w postaci gotowej matematyki. W szkolnej rzeczywistości przyjmuje się nawet - m»' cząco - ten stan rzeczy za normalny i nieunikniony, uważając, że aktywność _matyczna jest dostępna tylko dla uczniów uzdolnionych i interesują-się matematyką, natomiast niedostępna dla większości uczniów śred-°^ i dla tych wszystkich, których się traktuje w szkole jako słabych. We-"L ^teJ °P^imi' ^dość rozpowszechnionej, uwzględniając w planie edukacji polnej dla wszystkich matematykę jako przedmiot obowiązujący wszyst­kich trzeba pogodzić się z tym faktem i oprzeć uczenie się tego przedmiotu zez słabszych uczniów na ich pamięci i na rozwijaniu pewnych automaty­ków w toku ćwiczeń, podobnych i wielokrotnie powtarzanych. Taka jest oczywistość szkolna mimo tendencji współczesnej pedagogiki.

Wynika to też między innymi z pewnych nieporozumień związanych z samą koncepcją matematycznej aktywności na poziomie szkolnym, a może nawet z braku takiej koncepcji.

. To prawda, że akt twórczy matematycznej myśli pozostaje jeszcze _cjągle pasjonującym przedmiotem badań, podejmowanych przez filozofów, metodologów, psychologów i samych matematyków, aktywnością w swym istotnym jądrze wymykającą się ostatecznie próbom analizy bardziej precy­zyjnej, próbom opisu, próbom modelizacji. Ale z drugiej strony matema­tyczna aktywność nie redukuje się do tego jądra niedostępnego dla takiej analizy. Jak to przyznają sami matematycy, akt iluminacji następuje zwykle po ogromnej pracy wstępnej oraz poprzedza następny etap pracy, organizo­wanej świadomie, złożonej z różnych procedur, które odgrywają rolę istotną nie tylko w badaniach matematycznych, ale które charakteryzują aktywność intelektualną w ogólności. O specyfice tych procedur w matematyce decy­duje przede wszystkim przedmiot, który się stwarza, który się odkrywa, Przedmiot, na którym matematyczna myśl działa.

W toku pewnej dyskusji Marshall Stone podkreślił mocno, że tak ^ane olśnienie w myśli matematycznej polega na raptownej, totalnej orga­nizacji wielu elementów wypracowanych poprzednio. Nie znamy mechani­ków tej totalnej organizacji, ale to, co ją poprzedza i co po niej następuje ^ bardziej dostępne dla analizy, oczywiście zawsze mało precyzyjnej, ościowej. Ta analiza umożliwia nam wyróżnienie pewnych składników ^teJ aktywności, mających szczególne znaczenie. Łącznej struktury tych Ptocedur składowych nie można oczywiście przedstawić w postaci sche­matu - drzewa. To raczej dżungla, gdzie gałęzie poszczególnych drzew są ^ktane. Każda próba wyróżnienia podstawowych składowych matema-fi^ej aktywności, nawet tam, gdzie to jest bardziej dostępne dla takiej analizy, prowadzi niewątpliwie do grubych uproszczeń rzeczywistości dla dydaktyki matematyki taka próba nawet za cenę takiego nm/i/ ^
konieczna.

Z tego punktu widzenia należałoby skoncentrować uwasę na właśnie elementach i 1° badać i analizować ich funkcjonowanie w twórc ■ pracy matematycznej, 2° poszukiwać środków ich prowokowania i ^ rozwijania na różnych poziomach nauczania, 3° badać warunki sprzyjającej nie sprzyjające temu rozwojowi, warunki określone zarówno przez treść i strukturę programu, jak i przez dydaktyczną aktywność nauczyciela. Trze ba w ten sposób „odmistyfikować" samą koncepcję matematycznej aktyw­ności, gdy myśli się o aktywności dziecka, rozpoczynającego naukę szkol­ną, lub o aktywności ucznia szkoły średniej. Chodzi tu przecież także o procedury intelektualne, które mają znaczenie ogólne, ale funkcjonują specyficznie w tym sensie, że dotyczą obiektów specyficznych takich, jak: liczby, figury geometryczne, funkcje, relacje, różne struktury itp.

W referacie ograniczonym w czasie poprzestanę na zasygna­lizowaniu tylko kilku przykładów takich aktywności, które wydają mi się 1° szczególnie ważne w nauczaniu, 2° możliwe do ich prowokowania i roz­wijania w postaci dostosowanej do poziomu szkolnego w uczeniu się ma­tematyki dla wszystkich. Te składowe matematycznej aktywności oczywi­ście nie funkcjonują w izolacji, nie można ich traktować niezależnie jed­nych od drugich.

W)ści edukacji intelektualnej otwierają się nawet przed uczniami zymi, gdy wykorzystuje się szeroko różne analogie w sposób zarówno ^tematycznie, jak i pedagogicznie racjonalny. Począwszy od prostych Jobieństw j skojarzeń, stanowiących podstawę dla formowania się ele­mentarnych pojęć, aż do analogii procedur, jako jednej z podstaw uświada­miania sobie metod, na każdym kroku, dokoła każdego elementu treści _aUczania można koncentrować rozmaite aktywności uczniów, ukierunko­wane na percepcję specyficznej analogii, istotnej w danej sytuacji, na trans­fer własności z jednej sytuacji do innej, ujętej jako analogiczna, na uogól­nienia, na hipotezy, na dostrzeganie nowych problemów itp. Uczeń, który proponuje spontanicznie hipotezę dotyczącą wzorów na objętość i powierz­chnię kuli „podnosząc wymiar" w odpowiednich wzorach na pole koła i długość okręgu, w jednym przypadku konstruuje wzór poprawny (po­wierzchnia kuli), w drugim wzór błędny (objętość kuli), ale ten uczeń jest oczywiście matematycznie aktywny. Matematycznie aktywny jest także uczeń, który poszukuje tego, co się zmienia i co się nie zmienia w pewnej transformacji. Jest on już bliski dostrzeżenia analogii strukturalnej. Do­strzeganie analogii odgrywa rolę istotną w uświadamianiu sobie przez dziecko rekurencji, w przechodzeniu od geometrii płaszczyzny do geometrii przestrzeni trójwymiarowej itp. Oczywiście nie chodzi tu o analogie wska­zane przez nauczyciela, ale o organizowanie sytuacji, prowokujących sa­mych uczniów do ich dostrzegania i wykorzystywania.

dostrzega ći wykorzystywa ć a nałogie

Według Stefana Banacha percepcja analogii i ich wykorzystanie -to istotny mechanizm matematycznej twórczości (Steinhaus, 1948, str. 22} Matematyk posługuje się analogiami na różnych poziomach i różnymi spo­sobami, zarówno w stosunku do intuicyjnych i jeszcze tylko zarysowanych idei, jak i w ramach specyficznej aktywności na poziomie formalnym, np-identyfikując struktury na podstawie morfizmów. Jest prawdą, że analog'³ odgrywała zawsze pewną rolę w uczeniu się matematyki na poziom'^e szkolnyrą, bo bez odwoływania się do różnych analogii nauczanie mate matyki nie byłoby w ogóle możliwe. Ale, jeżeli interpretuje się ^terlTlin „analogia" w sensie szerokim, podkreślanym przez Banacha, dostrzega ^ łatwo, jak w rzeczywistości szkolnej rola analogii jest jeszcze uboga U^a

ematyzować

Hans Freudenthal uważa ten rodzaj aktywności za zasługujący szczególnie na głębokie studium dydaktyczne (Freudenthal, 1983);. Takie zdania są jednak jeszcze bardzo skromne w porównaniu na przykład ² pracami poświęconymi dydaktycznym problemom wprowadzania ^zniów w myślenie dedukcyjne, w dowodzenie, w rozwiązywanie proble­mów i_tp _{Te braki są S}p_OWOd_owane przede wszystkim trudnościami w ob­cowaniu procedur intelektualnych ukierunkowanych na schematyzację, ^w szczególności na schematyzację uogólniającą, istotny element matematy­ki. Według Hansa Freudenthala matematyzowanie znaczy porządkowa­li Pewnej rzeczywistości środkami matematycznymi. W pewnym sensie Ł*^tematyzowano w ciągu wieków i matematyzuje się dziś nawet samą

matematykę (Freudenthal, 1974, str. 49). Jednym z mechanizmów t_eg₀ procesu jest schematyzacja.

Praktyka szkolna posługuje się często schematami o różnych fb_r. mach, spełniającymi różne funkcje, mającymi różne znaczenie. Proces ma-tematyzacji jest często prowokowany przez schematy materialne (np. rysu­nek lub model fizyczny jakiejś sytuacji geometrycznej, graf, diagram, orga-nigram itp.). Te czynności manualne i przygotowywanie projektów kon­strukcji takich przedmiotów, opierają się na intelektualnej aktywności schematyzacji, skierowanej do w7odrębnienia pewnej szczególnej struktury wśród bogactwa struktur istotnych dla badanej sytuacji. Podkreślałam wagę percepcji analogii. Czynność schematyzowania to nie tylko uświadominie sobie strukturalnej analogii, ale także konstrukcja obiektu strukturalnie podobnego do innego obiektu, konstrukcja obiektu z pewnego punktu wi­dzenia prostszego, bo z pewnego punktu widzenia bardziej abstrakcyjnego.

Schemat przekazuje sens takiej reprezentacji dzięki odpowiedniemu kodowi, przyjętemu albo ogólnie, albo zastosowanemu tylko lokalnie w danej okazji. W ten sposób czynność schematyzowania jest ściśle zwią­zana z kodowaniem.

Wielowartościowość jest konstytutywną cechą pojęcia schematu. Ale uczeń konstruuje często swój materialny schemat bez świadomości jego wielowartościowości. Schemat staje się na tym poziomie wielowartościo-wym, gdy uczeń zdaje sobie sprawę ze zmiennych i ich znaczeń. Tak na przykład diagram skonstruowany ad hoc w toku rozwiązywania szczegól­nego problemu może się przekształcić w myśli ucznia w schemat wielo-wartościowy pewnego algorytmu. To uświadomienie sobie zmiennych cha­rakteryzuje schematyzację od początku ukierunkowaną na generalizację.

Zatrzymałam się może zbyt długo na aktywności schematyzowania związanej z konstruowaniem materialnego schematu. Czy w ten sposób porządkuje się pewną rzeczywistość środkami matematycznymi? Oczywi­ście, tak. Te środki funkcjonują w myśli ucznia, który w aktywności mate­rialnej znajduje podporę dla tej myśli.

Schematyzacji jako fundamentalnego składnika matematycznej ak­tywności na poziomie szkolnym nie wyczerpują takie tylko czynności. J^e' żeli uczenie się matematyki jest matematycznie i pedagogicznie racjonalnie zorganizowane zarówno przez program, jak i przez nauczyciela, większość uogólnień, do których myśl ucznia dociera w tym procesie, opiera się ¹¹³ czynności schematyzowania przez samego ucznia wyrażonej ostatecznie

182

^wnie dobrze przez schemat materialny, jak i werbalnie, symbolicznie, pj2ez definicję, przez twierdzenie, przez algorytm itp.

definiować, interpretować daną definicję, używa ć ra cjona lnie definicji

Konstruowanie definicji pojęcia ujętego poprzednio intuicyjnie to aktywność bardzo bogata w różne procedury intelektualne, szczególnie zasługujące na dydaktyczne studium. Formalnie definicja jest konwencją, sformułowaną w pewnej teorii według określonych reguł syntaktycznych, która pozwala zastępować w tym systemie jeden zapis przez inny. Ale rozważając tu aktywność matematyczną związaną z konstrukcją i interpre­tacją definicji i z jej korzystaniem na poziomie szkolnym, nie interesujemy się aspektami czysto formalnymi, lecz przede wszystkim semantyczną rolą definicji. Z tego punktu widzenia definicja zarówno w matematyce, jak iw innych dziedzinach ustala i przekazuje znaczenie pewnego nowego terminu lub wyrażenia zawierającego takie terminy.

Definicja nie jest jedyną formą przekazywania znaczenia. Można to robić w języku pokazu (langagg demonstratif w terminologii H. Freuden-thala), na przykład przez wskazanie obiektu, nazywanego danym termi­nem, lub wielu takich obiektów, lub przez pokaz materialnego modelu ta­kiego obiektu itp. Można przekazać znaczenie w języku stosunków (langa-ge relationne.l według Hansa Freudenthala), na przykład odwołując się do

analogii.

Definicja, której celem jest również przekaz znaczenia z punktu wi­dzenia semantycznego, funkcjonuje jednak zawsze w pewnym systemie, ^ uniwersum pewnego ograniczonego języka i podlega pewnym syntak-tycznym regułom formalnym.

Definiuje się jakiś obiekt, jakąś relację, jakąś strukturę, których idea ^stała już poprzednio ujęta. Zdarza się jednak, że w toku definiowania ta Kfea. precyzuje się, przechodzi przez pewne korektury, staje się stopniowo ^coraz jaśniejsza. Konstruowanie definicji nie jest więc tylko zdawaniem ^sprawy z tego, co już zostało uprzednio ujęte, nie tylko projektem nadania ^Wy pewnemu obiektowi, ale także aktywnością analizującą głęboko ^natUrę tego obiektu.

Znaczenie zdefiniowanego terminu wykracza daleko poza to przedstawia definicja. Definiowanie - to wybór cech konstytutywny^ obiektu wśród wielu jego cech, to wybór warunków koniecznych i wyst_ar czających w danym systemie dla obiektu oznaczonego zdefiniowanym terminem.

Są to oczywiście uwagi banalne. Pozwalam sobie jednak je przyto czyć, ponieważ chciałabym podkreślić bogactwo procedur intelektualnych które można prowokować również u uczniów i które często zaniedbuje się w praktyce szkolnej, ponieważ tradycyjnie definicje są narzucane przez nauczyciela i podręcznik w gotowym sformułowaniu.

Niemniej jednak obserwowaliśmy proces definiowania w niektórych przypadkach na różnych poziomach szkoły, w charakterystycznych jego etapach: 1° uchwycenie idei pojęcia w toku pracy w klasie (np. rozwiązywa­nie problemu, materialna konstrukcja, klasyfikacja, obserwacja itp.), 2° termin wprowadzony przez nauczyciela jako nazwa przyjęta w matema­tyce, 3° próby podejmowane przez uczniów, ukierunkowane na ustalenie i przekazanie znaczenia tego terminu. Ten ostatni etap rozwija się na róż­nych poziomach szkoły rozmaicie. U uczniów młodszych obserwujemy posługiwanie się językiem pokazu i stosunków aż do sformułowania defini­cji włączonej do własnej matematyki na podstawie ostatecznego uzgodnienia tekstu. Starsi, bardziej oswojeni z kontekstem formalnym, przechodzą od razu do tego ostatniego etapu. W każdym z przypadków obserwujemy pro­ces pewnej konkretyzacji idei, obrazów, intuicji.

Droga odwrotna, skierowana do uświadomienia sobie obiektu defi­niowanego za pomocą definicji werbalnej lub symbolicznej, z góry danej, stoi także otworem dla aktywności matematycznej bardzo bogatej, w której na poziomie szkolnym fundamentalną rolę odgrywa odformalizowanie werbalnego lub symbolicznego tekstu przez konstrukcję przykładów i kontr-przykładów. Czas nie pozwala mi zatrzymać się dłużej przy tym ważnym z punktu widzenia dydaktyki temacie. Poprzestaję tylko na jego zasygn³* lizowaniu.

Poprawne stosowanie definicji w toku matematycznego i'^o7'^U" mowania wymaga koordynacji dwóch aktywności, w pewnym sensie p^rze' ciwstawnych. Z jednej strony posługujemy się intuicyjną wiedzą i obrażam¹ związanymi ze zdefiniowanym obiektem, które szeroko wykraczają poza ^t0, co bezpośrednio podaje tekst definicji, z drugiej trzeba uznać formaln^e

^nagania systemu, a więc w toku rozumowania zachować to, co się na-_zywa disciplina mentis i ograniczyć się do formalnych konsekwencji przy-• tei definicji. Ta koordynacja może i powinna być rozwijana krok za kro­kiem, stopniowo, także na poziomie szkolnym. Niebezpieczne jest nato-0]jast narzucanie zbyt wczesne tej disciplinae mentis więzów niezrozu-yo formalizmu.

deduko waci red uko w a ć

Tradycyjna dydaktyka traktowała tę aktywność jako najbardziej cha­rakterystyczną dla matematycznej myśli i wprowadzenie ucznia w ścisłą dedukcję jako pierwszy cel matematycznego kształcenia. Dziś nie podzie­lamy tego naiwnego poglądu, gdyż aktywność matematyczna nie redukuje się do łańcuchów inferencji. Niemniej jest prawdą, że sama natura mate­matycznych obiektów, abstrakcyjnych struktur, jest tego rodzaju, że deduk­cja odgrywa zasadniczą rolę zarówno w aktywności badawczej, jak i w końcowej weryfikacji wyników badania. Jeżeli uczeń nie rozumie tego naturalnego charakteru dedukcji w matematyce, metoda, którą jest zobo­wiązany stosować, staje się dla niego pancerzem sztucznego formalizmu; równocześnie droga do zdegenerowanego formalizmu staje się dlań otwarta. Dlatego koniecznie potrzebne wprowadzenie w rozumowanie dedukcyjne wiąże się z subtelnymi problemami dydaktyki, wymagającymi jeszcze głę­bokich studiów.

Dedukcji przeciwstawia się często redukcję. W pierwszym przypad­ku szuka się warunków koniecznych, w drugim - wystarczających. W toku rozwiązywania problemu, w toku poszukiwania dowodu, w toku wstępnego Penetrowania jakiejś dziedziny, postępuje się naprzód zarówno krokami dedukcyjnymi jak redukcyjnymi. Ale redukcja zawiera także kroki deduk-^cYJne; aby być pewnym, że jeden warunek jest wystarczający dla innego, trzeba ostatecznie odwołać się do łańcucha inferencji. Wprowadzenie w tę 8^rC dedukcji i redukcji powinno znaleźć odpowiednio ważne miejsce ^w matematycznej edukacji dla wszystkich.

W praktyce matematycznej dedukcja nigdy nie jest formalnie czysta, ^nauczaniu szkolnym wymogi stawiane ścisłości w dedukcji są naturalnie •iszczę bardziej luźne i dostosowane do poziomu nauczania. Ale mimo tych ^r°zluźnień w łańcuchach inferencji, mimo pewnych aktów globalnego Woskowania, nie powinno się fałszować dedukcji nawet na poziomie

szkolnym przez inferencje pozorne; uczeń powinien być stopniowo o_S\y ■
ny z aktywnością dedukowania od początku. ^a~

Matematyk stwarza i rozwija teorie zorganizowane dedukcyjnie sjomatyka definiuje pewną strukturę, teoria jest teorią tej struktury. Ta ^ tywność w matematyce dla wszystkich może się odzwierciedlić tylk₀ w małych fragmentach kursu uporządkowanych lokalnie, z punktu widzenia organizacji dedukcyjnej, które łącznie wyczerpują treść nauczania. To także poważny i delikatny problem dydaktyki matematyki.

KODOWAĆ, KONSTRUOWAĆ ISTOSOWAĆ RACJONALNIE JĘZYK SYMBOLICZNY

Henri Poincare podkreślał rolę symboliki w twórczej pracy mate­matyka, mówiąc, że symbol wraz z regułami syntaktycznymi manipulowa­nia nim, pracuje czasem za matematyka, który może wtedy skoncentrować się nad nowymi, głębszymi ideami. Zawdzięczamy to specyficznemu cha­rakterowi matematycznej symboliki, bo jest ona operatywna. Historia ma­tematyki ujawnia, w jakiej mierze rozwój symbolicznego języka wpłynął na rozwój matematyki i jak go przyspieszył. Zarówno aktywność kodowania, konstruowania odpowiednich symboli, używanych lokalnie w toku badania, jak i umiejętność posługiwania się symbolami ogólnie przyjętymi, umiejęt­ność stosowania konwencji i reguł syntaktycznych powinny być także roz­wijane w nauczaniu. Ale istnieje w związku z tym niebezpieczeństwo zde-generowanego formalizmu, utraty semantycznego znaczenia symboli. Oczywiście symbolika pracuje nieraz za nas dzięki temu, że można się nią posługiwać bez odwoływania się do znaczenia stosowanego i przekształca­nego zapisu. Ale istotną sprawą jest możliwość powrotu do tego znaczenia, gdy to okazuje się potrzebne. Z tym zastrzeżeniem konstruowanie własnej symboliki, racjonalne posługiwanie się symboliką, jako matematyczna aktywność uczącego się powinna odgrywać znaczącą rolę w nauczaniu matematyki dla wszystkich.

ĄlGORYTMIZOWAĆ, POSŁUGIWAĆ SIĘ RACJONALNIE ALGORYTMAMI

pojęcia matematyczne mają charakter operatywny. Młody umysł jest szero­ko otwarty do operacjonalizacji matematycznych treści, gdyż często intere­suje się on raczej tym Jak się to robi"?, Jak się to konstruuje"?, niż tym, Icotojest?".

Te dwa fakty szczególnie sprzyjają wprowadzaniu ucznia w proce­dury algorytmizacji. W praktyce szkolnej stworzono już wiele sytuacji dy­daktycznych, organizowanych i eksploatowanych w tym celu. Aktywności kodowania i schematyzowania znajdują tu podstawę szczególnie naturalną, nawet u dzieci rozpoczynających naukę szkolna. Uczniowie formułują rów­nież chętnie definicje w postaci łańcuchów operacji, rozwiązanie problemu w postaci organigramu itp.. Inny problem dydaktyczny - to wprowadzenie ucznia w racjonalne stosowanie algorytmu. Nie mogę tu analizować tego problemu głębiej, tylko go sygnalizuję. Ze względu na znaczenie zarówno algorytmizacji, jak i szerokiego wykorzystywania gotowych algorytmów, nie tylko w ramach aktywności matematycznej, ale i w innych dziedzinach, te procedury zasługują na naszą szczególną uwagę, gdy rozważamy pro­blemy matematyki dla wszystkich.

Można by oczywiście przedłużać o wiele dalej listę, którą tu przed­stawiłam (porównywać, porządkować, klasyfikować itp.). Wszystko to razem funkcjonuje w ramach bardziej złożonej aktywności matematycznej, jak matematyzacja, zastosowania do innych dziedzin, rozwiązywanie róż­nych problemów itp.

Wypada mi jeszcze jednak zrobić końcową uwagę. Wszystkie te ak­tywności są dostępne uczniowi na każdym poziomie nauczania pod warun­kiem, że porusza się on w dziedzinie sytuacji, problemów, pojęć dostatecz­ne mu bliskich. Uczeń może być aktywny tylko w takiej - odpowiedniej dla ⁿiego strefie. Ta strefa ciągle się rozszerza, właśnie w wyniku jego aktyw­ności organizowanej w jej wnętrzu, ale nie jest nigdy całkowicie od począt­ku otwarta.

Jeżeli na danym etapie przekracza się jej granice, to uczeń, aktywny Poprzednio, przestaje być aktywny i natychmiast otwiera się w jego myśli ^°ga do zdegenerowanego formalizmu. Często wynika to ze zbyt ambit-tych programów w zakresie treści, umiejętności i sprawności albo z pro­

gramów przeciążonych wiadomościami. Omawiając problemy mate
dla wszystkich nie można tych spraw pomijać. ^matyk

TURA CYTOWANA

jjANS FREUDENTHAL: Mathematik ais padagogische Aufgabe, Klett,

Stuttgart 1974.

HANS FREUDENTHAL: Major Problems of Mathematics Education,

Proceedings ot' 1,1948, str. 19-25.

OPERATYWNY CHARAKTER MATEMATYKI [CZYNNOŚCIOWE JEJ NAUCZANIE *

J, Operatywny charakter matematyki

1.1. Gdy zapytamy ucznia, co to jest całka oznaczona od a do b funkcji określonej w przedziale [a, b] i ciągłej w tym przedziale, to usłyszymy fejednokrotnie odpowiedź następującego typu: jest to liczba, którą otrzy­mamy w sposób, następujący: dzielimy przedział [a, b] na n kolejnych izedziałów [a_w a,], [a, , a₂], .. , [a„._h aj o długościach 5/, S₂ 5„ tak, ma₀=a, a_n=b; wyznaczamy liczbę m„ równą minimum f(x) w przedziale, ffl,-./, ci/] i liczbę M, równą maksimum f(x) w przedziale [a,.!, a\,] oraz su­my:

n 11

S = X 111:5; i i^- = X M,<5;

orzymy zbiór wszystkich sum s przy wszystkich możliwych podziałach I b]\ podobnie tworzymy zbiór wszystkich sum S przy wszystkich możli­wych podziałach [a, b]. Liczbę równą kresowi górnemu pierwszego zbioru I równocześnie równą kresowi dolnemu drugiego zbioru (jeżeli kresy te Btnieją i SA równe) nazywamy całką oznaczoną f(x) od a do b i oznacza­my:

b

\f{x)dx

Zauważamy, że podane określenie pojęcia całki oparte zostało na mienieniu ciągu myślowych czynności; opisano bowiem konstrukcję pewnego przedmiotu abstrakcyjnego. Zauważamy też jakby osobisty, bez­pośredni czynny udział osoby opisującej tę konstrukcję w jej wykonywaniu. |0 „my dzielimy" przedział [a, b], to „my tworzymy" zbiór itd., to „my pnstruujemy" przedmiot oznaczony symbolem

b

\f{x)dx

Ggdrukz: Z. Krygowska, Zarys dydaktyki matematyki, część I., WsiP. Warszawa, I977r.

Twierdzenie: Jeżeli f(x) jest funkcją ciągłą w przedziale [a, b], to istnieje

/>

\f(x)dx

zapewnia nas, że przy podanym założeniu nasza konstrukcja jest wykonal­na. Równocześnie to twierdzenie upoważnia nas w każdym przypadku w którym f(x) jest ciągła w [a, bj, do traktowania symbolu

h

jf(x)dx

a

jako symbolu zupełnie określonego przedmiotu i do wykonywania pewnych czynności z nim związanych zgodnie z innymi twierdzeniami. Na przykład w tym przypadku, jeżeli c jest liczbą, to zamiast

b

jcf(x)dx możemy zawsze napisać

b

cjf(x)dx

wiemy bowiem, że konstruując funkcję c f(x), a następnie według opisanego planu wyznaczając

b

\cf{x)dx

otrzymamy tę samą liczbę, którą otrzymalibyśmy wyznaczając

\f(x)dx

i mnożąc otrzymaną liczbę przez c.

1.2. W definicji całki podano bezpośrednio ciąg czynności, których wykonanie prowadzi do konstrukcji tego przedmiotu. Niejednokrotnie defi­nicja matematyczna ma inną postać; operacje nie są ujawnione od razu w sformułowaniu. Trzeba czasem czytany tekst rozwikłać ze względu na te operacje. Dzieje się to np. wtedy, gdy na jakimś szczególnym modelu usi­ujemy wniknąć w treść definicji. Oto przykłady zaczerpnięte z praktyki zkolnej:

1. Obserwujemy uczennicę klasy X czytającą definicję: ,jednokładno-ścią względem środka O w skali k * 0 nazywamy przekształcenie płaszczy­zny, które punktowi X przyporządkowuje punkt X' tak, że OX' = k OX". Uczennica stwierdza: „nic z tego nie rozumiem". Nauczyciel zachęca: „przeczytaj jeszcze raz i od razu ilustruj na rysunku to, co czytasz; wybierz punkt O, przyjmij np. k=2 oraz punkt X i skonstruuj X' zgodnie z tą defini­cją"- Uczennica czyta uważnie tekst, jednocześnie rysując. „To bardzo pro-Iste" - mówi - „nie wiem, czego tu nie rozumiałam". Definicja interpretowa­na w toku lektury krok za krokiem w języku operacji równocześnie kon­kretnie realizowanych w modelu rysunkowym, stała się jasna. Uczennica myśli i mówi: „aby wyznaczyć obraz punktu X w jednokładności względem środka O i w skali k, biorę pod uwagę wektor OX. Ten wektor mnożę przez k i otrzymuję wektor OX'. Punkt X' jest szukanym punktem".

2. Uczeń czyta definicję: „księżycem Hipokratesa nazywamy figurę postaci k(Oi, n) - w (0₂, r₂), gdzie o(0,, r,,) i o(0₂, r₂)' są dwoma okręga­mi przecinającymi się dokładnie w dwóch punktach". Aby zrozumieć tę

efinicję, uczeń konstruuje rysunkowy obraz księżyca Hipokratesa. Rysuje ^Jwa koła, których brzegi przecinają się: zacieniowuje obszar przedstawiają­cy wnętrze jednego z tych kół, czym symbolizuje odrzucenie punktów tego wnętrza z koła drugiego, koloruje rysunek pozostałej z drugiego koła figury, aby graficznie zilustrować skonstruowany przedmiot i uchwycić jego kształt.

c) Uczniowie czytają definicję: „przy założeniu, że n jest liczbą natu-
ralną: 11 = ] i (n+l)!-n!(n + 1)". Nie rozumiejąjej od razu. Nauczyciel nic
nie wyjaśnia sam, proponuje natomiast: „spróbujcie obliczyć liczbę ozna-
czoną symbolem 2/". Po krótkiej refleksji pada odpowiedź: „aha! trzeba
napisać: 21= 1! 2=2, i dalej już. szybko: 31-21 3=6, 41=31 4=6 4=24 itd.
.,Co nam daje druga informacja?" - pyta nauczyciel. „Sposób wyznaczenia
(n + I)!, gdy znamy n!" mówią uczniowie. Jeden z uczniów zauważa:
„przecież to można od razu wyznaczyć" i pisze: n! = 12... n.

Uczniowie od definicji jawnie rekurencyjnej przeszli do wzoru, który nie wymaga już pozornie stosowania rekurencji (jest ona ukryta

¹ o(A, a) - okrąg o środku -4 i promieniu a, k(A, a) - kolo o środku A i promieniu a, w(A, a) -wnętrze kola o środku A i promieniu a.

w samej definicji iloczynu). Widzą teraz wyraźnie, jakie operacje trzeba wykonać, aby wyznaczyć n!

d) Wprowadzono w klasie trzynastoletnich uczennic liczby wymierne i jako punkt wyjścia do definicji sumy rozważano różne sytuacje konkretne ilustrowane wektorami na prostej liczbowej. Uczennice dodają już popraw­nie dwie liczby wymierne, ale definicji jeszcze nie sformułowano. Nauczy­cielka pyta: Co to jest suma, dwóch liczb wymiernych? Uczennice nie radzą sobie z odpowiedzią. Jedna proponuje: „Ja mogę powiedzieć, jak obliczam sumę dwóch liczb wymiernych; biorąc te dwie liczby; patrzę, czy mają jednakowe znaki; jeżeli są te same znaki, to moduły tych liczb dodaję i daję ten sam znak, jeżeli znaki nie są te same, to moduły odejmuję i daję znak większego modułu, a jak są moduły równe, to piszę 0. Ta liczba, co mi z tego wyjdzie, to jest suma".

Nauczycielka mówi: „a więc sumą dwóch liczb wymiernych na­zwiemy liczbę, którą wyznaczamy w sposób następujący ... dokończcie". Uczennice formułują definicję „czynnościową". W dalszym ciągu nauczy­cielka dąży do otrzymania innej postaci definicji przechodząc od operacji do rezultatu: „sumą dwóch liczb jednakowego znaku nazywamy liczbę tego samego znaku, której moduł jest sumą modułów tych liczb...". Operacje, które stanowiły podstawę wypowiedzenia tej definicji występują tu już w sposób mniej wyraźny, nie „osobisty". Uczennice uważają tę wypowiedź za trudniejszą ale ją akceptują. Na odwrót, uczeń, któremu na podstawie tej tylko definicji, bez uprzedniego wprowadzenia poglądowego, polecilibyśmy dodać dwie liczby wymierne, musiałby odbyć drogę w przeciwnym kierun­ku; musiałby ujawnić i ostatecznie uświadomić sobie te same czynności, które w danej sytuacji na lekcji były punktem wyjścia do definicji.

Operatywny charakter myślenia matematycznego ujawnia się w matematycznym języku ucznia w każdej sytuacji. Na przykład: obserwu­jemy ucznia poszukującego dowodu twierdzenia geometrycznego. Uczeń „myśli głośno", mówiąc: ,.tu prowadzę odcinek; utworzyłem trójkąt, ale to mi nic nie daje; spróbuję połączyć te dwa punkty; znowu mam trójkąt . Rozwiązując równanie, mówi: „przenoszę 2x z prawej strony równania na lewą; redukuję; dzielę przez 5; otrzymuję 7; podstawiam i sprawdzam, czy lewa strona równa się prawej".

Uczeń cały czas - czy poszukując aktywnie rozwiązania drogą P^r°b i błędów czy stosując gotowy schemat rozwiązania, wykonuje świadomie pewne czynności: potrafi je nazwać, potrafi je uszeregować.

1.3. Dowiadując się, że wzór „(a + bf=a² + 2ab + b² jest w ramach pewnej teorii prawdziwy, możemy to twierdzenie rozumieć rozmaicie. Je­żeli wzór traktujemy czysto formalnie jako zbiór znaków, to gdybyśmy nie wiedzieli, co mamy z tym zespołem znaków czynić, nie przedstawiałby on dla nas żadnej wartości. W najbardziej nawet sformalizowanym ujęciu tak jednak nie jest; jeżeli temu zespołowi znaków nie towarzyszy żadna inter­pretacja semantyczna, to znamy reguły przekształcania takich zapisów. Wiemy np., że ilekroć wystąpi znak (a + bf, to możemy go zastąpić zna­kiem a² + lab + b². Jeżeli uznaliśmy (a + bf=a² + 2ab + b² za tezę teorii, to możemy uznać też za tezę teorii a² +2ab+b² = (a + bf.

W sformalizowanym ujęciu cytowany zapis wiąże się z naszymi potencjalnymi czynnościami. Ma on dla nas sens tylko wtedy, gdy wiemy, co mamy z nim robić.

Uwzględniając semantyczny sens zapisu na przykład w arytmety­ce, możemy go interpretować statycznie lub operatywnie. W pierwszym przypadku stwierdzamy tylko, nie analizując wzoru, że znaki (a + b)² i a² + 2ab-\- b² oznaczają tę samą liczbę. W drugim odczytujemy z zapisu przede wszystkim dwa różne ciągi operacji (działań); uświadamiamy sobie: jeżeli dodamy do liczby a liczbę b i tę sumę podniesiemy do kwadratu, to otrzy­mamy liczbę, którą moglibyśmy otrzymać też inaczej: a mianowicie podno­sząc a do kwadratu, mnożąc a przez b i otrzymany iloczyn mnożąc przez 2, podnosząc b do kwadratu i dodając tak obliczone składniki. Teraz zapis wskazuje nam dwa ciągi czynności i informuje, że niezależnie od tego, który z tych ciągów czynności zastosujemy do liczb a, b, otrzymamy ten sam rezultat.,

Najczęściej nasze rozumienie wzoru (a+ bf = a²+ 2ab+b² zawiera wszystkie wyżej wymienione elementy.

Jeżeli jednak uczeń nie rozumie go przede wszystkim w znaczeniu trzecim, nie umie z tego wzoru korzystać.

1.4. Pojęcia, twierdzenia, rozumowania matematyczne mają charakter jawnie operatywny, operatywny charakter ma w dużej mierze także język fnatematyki, jej słownik. Myślenie matematyczne nie jest bierną kontem­placją danej nam a priori sytuacji: jest bardzo wyraźną aktywnością, wyko­nywaniem różnego typu czynności. Te czynności mogą być początk jeszcze chaotyczne, mogą mieć na celu jakąś próbną tylko eksplorację^⁰ sytuacji. Ale zawsze jakoś w niej działamy. Na stopniu elementarnym obliczamy, porządkujemy jakiś zbiór, wykonujemy działanie na jakichś zbiorach, porównujemy co do wielkości dwie liczby, wybieramy pomocn' cze punkty, prowadzimy pomocnicze proste, wyróżniamy w zawiłej konfi guracji jakąś część, jak sądzimy, szczególnie ważną, przekształcamy fig_Urę geometryczną, odwzorowujemy, oznaczamy, symbolizujemy itp. Na po­ziomie wyższym operacje stają się bardziej skomplikowane, ale i one opie­rają się, jak na rusztowaniu, na pewnym zespole elementarnych, podstawo­wych czynności myślowych; są one złożonymi bardzo kombinacjami tych podstawowych czynności.

Operatywny charakter matematyki umożliwia w jej zastosowa­niach w różnych dziedzinach coraz szersze wykorzystanie maszyn do roz­wiązywania zagadnień nieraz pozornie bardzo trudnych do ujęcia w czyn­nościowe schematy. Z drugiej strony rozwój maszyn wpływa też na szcze­gólny rozwój pewnych działów matematyki i na kierunek podejmowanych badań.

Pojęcie formalizacji systemu aksjomatycznego jest także wyrazem uświadomienia sobie „operatywności" matematyki. W pięknym artykule „O matematyce"⁵ jeden z najwybitniejszych współczesnych matematyków radzieckich A. N. Kołmogorow pisze: „wyniki, które mogą być uzyskane w granicach jednej teorii dedukcyjnej, mogą być również otrzymywane za pomocą rachunku przeprowadzonego według określonych raz na zawsze reguł". Stąd wielkie znaczenie teorii algorytmów i badań nad problemem ogólnej rozwiązalności algorytmicznej zagadnień matematycznych oraz perspektywy wykorzystania aparatów matematycznych i w teorii.

Oczywiście algorytmem nie można wyczerpać możliwości żywego umysłu i byłoby np. nonsensem wysnuwać z tego, co powiedziałam, wnio­ski sugerując jakieś przesadne „algorytmizowanie" matematyki elementar­nej i zaprawianie myśli ucznia do mechanicznych a priori określonych czynności. Maszyna może „działać" za człowieka, jeżeli on dla niej opra­cuje program; dużego teoretycznego przygotowania ze strony człowieka wymaga „myślenie" maszyny. Uczniowie od początki zaprawiani tylko do sprawnego posługiwania się gotowymi schematami rachują może dobrze,

^rozumują źle, są bezradni wobec nowych sytuacji. Mówiąc o tych spra-Kh, ^cnc? podkreślić natomiast fakt bardzo ważny dla dydaktyki: myślenie ^-dziedzinie matematyki nie jest kontemplacją, ale dynamicznym syste-K . ostrzej niż w innych dziedzinach - sprecyzowanych w świadomości operacji Toteż jest duża doza słuszności w lapidarnym określeniu: Les 0themtiqucs son moins savoir ąue savoir faire (matematyka - to w mniej­szym stopniu wiedzieć, co umieć działać)⁶.

J,Myślenie jako działanie

Zgodnie z naszą metodą skonfrontujemy te obserwacje na temat matematycznego działania z psychologicznymi danymi na temat myślenia w ogóle.

2.1. Na pytanie, co jest źródłem abstrakcyjnych operacji matematycz­nych znajdujemy odpowiedź w psychologii działania, która w przeciwień­stwie do psychologii sensualistyczno-mechanicznej wysuwa na pierwszy plan w procesie poznania działający podmiot, działające dziecko, działają­cego ucznia. Upraszczając koncepcję sensualistyczno-mechanicznej psy­chologii można powiedzieć, że w jej pierwotnym, zarzuconym już ujęciu modelem świadomości jest klisza fotograficzna, na której się rzeczywistość odbija bez udziału lub z nieistotnym udziałem podmiotu. Z takiego rozu­mienia wynikają też wnioski dydaktyczne: stwarzanie warunków dogod­nych dla tego biernego odbicia, mechaniczne powtarzanie tego samego, wzory rozumowania przekazywane uczniowi w gotowej, od początku do­skonałej formie. Stąd przesadna obawa przed popełnianiem przez ucznia błędu (możliwość utrwalonego odbicia błędnej sytuacji), przed prowadze­niem go drogą prób i błędów: stąd wyolbrzymiona rola wykładu i pokazu w nauczaniu.

Psychologia działania, przeciwnie, wysuwa na plan pierwszy sprzężenie zwrotne" występujące między podmiotem działającym w rze­czywistości i będącym jej cząstką, a tą rzeczywistością. T. Tomaszewski w swojej książce, o której już wspomniałam, przypomina, że - zgodnie

z poglądem Marksa „teorii poznania nie można budować na pojęciu pozna nia jako biernego odbicia rzeczywistości, lecz trzeba uwzględnić czynny stosunek człowieka do otaczającego go świata, wynikający z konieczności przeobrażenia go i oddziaływania nań".⁷ S. L. Rubinstejn - psycholog ra­dziecki stwierdza, że w świadomości podmiotu odbija się przedmiot spo­strzegany „w taki sposób, w jaki ukazuje się on w działaniu człowieka skie­rowanym na ten przedmiot"." W innej książce Rubinstejn pisze: „sania świadomość człowieka nosi w sobie piętno działania; samo działanie czło­wieka staje się aktem świadomym, który - kierując się do świadomego celu - wychodzi od uświadomienia sobie motywów i podlega świadomej regula­cji. Owa jedność, owa „komórka" posiada na różnych stopniach rozwoju historycznego i indywidualnego różną treść i różną strukturę... Pierwotny akt ludzkiej działalności posiada przeważnie charakter umysłowo-praktyczny. Na wyższych stopniach rozwoju zdobywają w poznawczej stronie tej jedności coraz większy udział momenty intelektualne, z początku czysto elementarne i wplecione bezpośrednio w różne rodzaje materialnej działalności praktycznej. Później wyodrębniają się z niej czynności idealne, teoretyczne i nabierają względnej samodzielności".

S. L. Rubinstejn na plan pierwszy wysuwa dwie podstawowe ope­racje myślowe - analizę i syntezę, które są ściśle ze sobą związanymi, pier­wotnymi mechanizmami procesu myślenia. Jednakże „nie wolno zapomi­nać, że odnosi się on zawsze do określonej przedmiotowej treści (arytme­tycznej, geometrycznej, gramatycznej itp.), zatem przejawia się w różno­rodnych arytmetycznych, geometrycznych itp. operacjach. Każda z tych operacji może i powinna być badana w jej specyfice. Ale badanie tej rozmaitości różnych operacji myślowych z ich przedmiotowo uwarunkowanymi własnościami nigdy nie stworzy ogólnej teorii myślenia ujmującej myślenie w jego istotnych właściwościach, które są wspólne dla wszystkich operacji".⁸ „Każda próba przyjmowania operacji za pierwotne elementy i sprowadzania procesu myślenia do mechanicznego funkcjono­wania tak zinterpretowanych operacji jest zasadniczo błędna i niemożli^'³ do przeprowadzenia".⁹

Z drugiej strony w różnych psychologicznych teoriach współcze­snych, opartych niejednokrotnie na bardzo odmiennych założeniach, wysu­wa się na pierwszy plan badanie struktury, mechanizmu, powstawania, klasyfikacji tych „wtórnych" według Rubinstejna operacji. Dla dydaktyka matematyki ze względu na operatywny charakter i język jego dyscypliny oraz ze względu na rzeczywiste fakty obserwowane w praktyce nauczania, szczególnie interesujące są badania tych szkół psychologicznych, które przyjmują jako podstawowy mechanizm ludzkiego myślenia interioryzację, uwewnętrznienie - to jest proces przebiegający od konkretnych czynności do abstrakcyjnych operacji. Mimo istotnych różnic taką koncepcję repre­zentują na Zachodzie szkoła Piageta oraz w ZSRR szkoła Wygotskiego (A. N. Leontiew, A. R. Łuria, L. W. Zankow, P. J. Galpierin, D. B. Elkonin, obecnie także N. A. Mienczynskaja i in).

Rubinstejn neguje istnienie interioryzacji. Z punktu widzenia na­uczania ta różnica poglądów wydaje się wprawdzie pryncypialna teoretycz­nie, ale tylko pozorna praktycznie. Podobnie jak w związku z transformacją i niezmiennikiem nie wnikaliśmy w dyskusję psychologiczną na temat tego, co jest wcześniejsze: utworzenie pojęcia, czy dostrzeżenie niezmiennika transformacji, ponieważ w'procesie nauczania to się odbywa jak gdyby równocześnie, tak i w obecnie rozważanym zagadnieniu nie mamy ze względu na nasze doświadczenia dydaktyczne podstawy do odrzucenia a priori jednej z tych odmiennych koncepcji psychologicznych i przyjęcia jako jedynych kierujących idei dydaktycznych konsekwencji drugiej. Od­wrotnie, zarówno jedna jaki druga znajdą zastosowanie naszych rozważa­niach dydaktycznych, ponieważ zarówno jedna jak i druga wysuwają na pierwszy plan działanie.

W nauczaniu mamy zawsze do czynienia z procesem bardzo zło­żonym, którego laboratoryjne rozszczepienie na jakieś istotnie pierwotne, czyste elementy nic byłoby ani celowe, ani możliwe, nawet gdyby takie pierwotne elementy obiektywne można było wyróżnić w teorii psycholo­gicznej .

Syntetyczne omówienie tych zagadnień zawiera cytowana już książka Wstąp do psychologii T. Tomaszewskiego, s. 192-202 i 214-228. Zob. również: Z. Krygowska: Metodologiczne <■ psychologiczne podstawy nauczania matematyki. Dziesięciolecie Wyższej Szkoły Pedago­gicznej w Krakowie, Kraków 1957, s. 449-465 oraz H. Aebli: Dydaktyka psychologiczna, PWN, Warszawa 1959.

2.2. J. Piaget za punkt wyjścia rozwoju myślenia przyjmuje konkretne czynności dziecka wykonywane w okresie niemowlęcym. Powtarzanie tych czynności, jako reakcji na bodźce zewnętrzne, prowadzi do wytworzenia się pierwszych schematów postępowania, które dziecko stosuje w pierwszej fazie niezależnie od szczególnych sytuacji. Na przykład niemowlę chce uchwycić przedmioty w jednakowy sposób niezależnie od ich wielkości i kształtu. Ten proces nazywa J. Piaget asymilacją rzeczywistości do danego schematu. Dziecko napotyka jednak w swym doświadczeniu wiele sytuacji, które „nie dają się zasymilować" do przyswojonego schematu (np. nie wszystko może zacisnąć w rączce). Schemat ulega zmianom, dostosowa­niem do rzeczywistych własności przedmiotów; ten proces nazywa Piaget akomodacją schematu do rzeczywistości.

Proste, pierwotne czynności z czasem w procesie kolejnych asy­milacji i akomodacji koordynują się - łączą w bardziej skomplikowane, czynności dziecka stają się bardziej złożone, powstają nowe bardziej złożo­ne schematy równocześnie dziecko uczy się bardziej elastycznego stoso­wania już przyswojonych „planów postępowania" do sytuacji nowych.

Może się nasunąć pytanie, dlaczego o tym procesie pierwotnym, występującym w okresie niemowlęctwa, mówimy, zajmując się zagadnie­niami nauczania matematyki, które przecież dotyczą tylko dzieci i młodzie­ży w wieku szkolnym. Odpowiem tu krótko - rozwinięcie bowiem tej od­powiedzi znajdziemy w wielu fragmentach dalszych rozważań. To, co w postaci bardzo prymitywnej obserwujemy w rozwoju myślenia niemow­lęcia, w postaci bardziej złożonej powtarza się na różnych poziomach abs­trakcji. Przykładem może być formowanie się pojęcia długości odcinka w procesie naturalnej schematyzacji i doświadczenia. I tu mamy schemat operacji, nieudaną próbę asymilacji nowej sytuacji do tego schematu i jego akomodację do nowej sytuacji. Pierwszy etap - to sprecyzowanie się w myśli ucznia schematu czynności, które należy wykonać, aby zmierzyć odległość dwóch miejsc, zmierzyć długość przedmiotu. Rezultat wyraża się w antycypacyjnym schemacie, tj. w - skończonym jeszcze - ciągu pomyśla­nych czynności, który uczeń również „w myśli" z czasem zaczyna ze zro­zumieniem stosować do abstrakcyjnego odcinka. Uczeń opisuje ten ciąg słowami, mówiąc np.: odkładam na danym odcinku jednostkę miary, jeżeli mi się „nie mieści" całkowitą liczbę razy, to odkładam dalej jej dziesiąta, część itd.; postępuję podobnie, aż ostatecznie „wypełnię odcinek". Uczeń

/daje sobie sprawę z tego, że w niektórych przypadkach trzeba będzie do­konać pomiaru dokładniejszego, że więc ciąg, o którym myśli, może się wyrażać w mniejszej lub większej ilości kolejnych kroków. Jest jednak przekonany, że zawsze jest to ciąg skończony. Zastosowanie tak utworzo­nego schematu antycypacyjnego w eksperymencie myślowym: „wiemy, że

cinek jest równy 2— danej jednostki; ktoś o tym nie wie, polecamy mu

3

wymierzyć ten odcinek w znany nam sposób tą jednostką; co powinien otrzymać?" wywołuje ogromne zaskoczenie u uczniów. Asymilacja w daw-Iry schemat zawodzi. Następuje akomodacją schematu do nowej sytuacji. Bczniowie uświadamiają sobie różnicę między mierzeniem rzeczywistym 1 pomyślanym. W praktyce mówią - mierzenie się kiedyś kończy. W myśli -fco dowolnym kroku musi nastąpić zawsze jeszcze dalszy, nigdy nie wypeł-fnimy odcinka, będziemy w rezultacie naszego pomyślanego pomiaru zaw­rze otrzymywać coraz to dalsze cyfry (2, 333333333 ...). Ciąg pomyślanych czynności wymierzania może być nieskończony. W tym momencie uczeń [uświadamia sobie nowy schemat antycypacyjny, utworzenie którego wy-fmagało przekroczenia konkretnych danych, ich ekstrapolacji poza doświad­czenie.

i

2.3. Rozwój myślenia zaczyna się więc od czynności konkretnych, od -działania w rzeczywistości materialnej; charakterystyczną cechą czynności [konkretnej jest jej nieodwracalność. Jeżeli rozetniemy tekturowy sześcian, [demonstrując jego rozwinięcie w płaszczyźnie, a więc jego siatkę, to doko­paliśmy nieodwracalnych zmian w rzeczywistości; sklejając sześcian |z powrotem otrzymamy już inny przedmiot.

Drugą cechą czynności konkretnych na pierwotnym poziomie jest Ito, że są one często w działaniu dziecka izolowane, gdyż nie ujmuje ono [początkowo jeszcze stosunków między czynnościami, co wymaga wyższe-[go stopnia rozwoju myśli. Tak np. związku między dwiema czynnościami, [wyrażającego się w tym, że jedna z nich umożliwia wykonanie drugiej, Idziecko musi się dopiero uczyć.

Interioryzacja czynności konkretnej prowadzi do czynno­ści wyobrażeniowej dziecko może już wykonywać pewne czynności w myśli, ale związane są one jeszcze ściśle bądź bezpośrednio z konkretną sytuacją, bądź z reprezentacją obrazową tej sytuacji. Aby uwydatnić różnicę

eta)

między tymi typami „oglądowego" (intuicyjnego w terminologii Pj_a myślenia, posłużymy się przykładem z lekcji szkolnej. Pokazu uczniom przyrząd złożony z ramki w kształcie trójkąta równoramienne^

i trójkątnego przedmiotu wyciętego z blachy, wypełniającego ramkę, k.t_0ry można obracać dokoła osi ramki. Uczeń obracając blaszany „trójkąt" dokoła osi o 180°, aby zbadać, czy po obrocie wypełni on znowu ramkę, wykonuje czynność konkretną. Przypuśćmy jednak, że model nie jest ruchomy. Uczeń patrzy nań i wykonuje obrót w „wyobraźni", ale stosuje tę czynność jeszcze do konkretnego przedmiotu. Nie rozporządzając w ogóle żadnym modelem wyobrazić sobie może trójkąt równoramienny, jego oś i wykonać „w wy­obraźni" obrót tego trójkąta dokoła tej osi.

Czynności wyobrażone mogą już być odwracalne, choć - jak tego dowodzą np. doświadczenia J. Piageta, B. Inhelder i A. Szemińskiej - nie są takimi od początku. Myślenie „oglądowe" jest bowiem jeszcze u małych dzieci związane silnie z konkretną sytuacją. Podobnie czynności wyobrażo­ne mogą się już łączyć w pewne systemy, dziecko może sobie uświadomić ich stosunki, ale nie jest tak od początku.

Proces interioryzacji prowadzi dalej do myślenia abstrakcyjnymi operacjami.

Nawiązując do podanego przykładu obrotu trójkąta, możemy wskazać pomyślany obrót dowolnego nieokreślonego bliżej wielokąta fo­remnego o 180° dokoła jego osi, jako operację abstrakcyjną powstałą przez interioryzację wspomnianych poprzednio operacji konkretnych i wyobraże­niowych. Tu nie występuje już żaden obraz; nie wiadomo, o jaki wielokąt chodzi. Możemy jednak o nim i o jego obrocie dokoła osi pomyśleć.

⁹ T. Tomaszewski, op. cit, s. 201.

Pojęcie „operacji" w sensie Piageta charakteryzuje T. Tomaszew­ski w sposób następujący: „Operacje są to czynności umysłowe niezależne od działań wykonywanych realnie na realnych przedmiotach, ani od bezpo­średniego wyglądu przedmiotów. Izolowane dotychczas schematy ujmowa­nia przez dziecko rzeczywistości łączą się w jednolity system stosunków, który pozwala ujmować je z różnych punktów widzenia równocześnie-przechodzić swobodnie z jednego punktu widzenia do innego, dochodzić do tego samego wyniku różnymi drogami, tworzyć hipotezy i wycofywać^^e w razie nie sprawdzenia się, wracać do punktu wyjścia w razie błędu itp- •

Operacje są więc w sensie Piageta odwracalnymi i wiążącymi się W systemy czynnościami mylić.

Systemy te Piaget nazywa ugrupowaniami. Działanie w myśli jed­nokierunkowe tylko, nieodwracalne, nie jest jeszcze operacją. Podobnie idziałanie izolowane od innych nie jest jeszcze operacją. Jeżeli np. przyswo­iliśmy uczniowi wzór (a+ b)~ =a² + lab + b² tylko w ten sposób, że potrafi [on przejść od strony lewej równości do prawej, ale na odwrót w wyrażeniu L² + 2ab+ b² nie dostrzega wyrażenia (a + bf, to przyswoiliśmy mu jedno­kierunkowy nawyk, ale nie operację. Jeżeli nauczyliśmy ucznia „wyzna­czać" wartości funkcji .v —> sin x (np. w drodze konstrukcji geometrycznej), jale uczeń ten nie umie sobie poradzić z zadaniem: „skonstruuj taki kąt, aby

i ²

[sinus miary tego kąta byt równy — ", to przyswoiliśmy mu wprawdzie me-

2

Fchaniczny nawyk, ale nie opanował on operacji wyrażonej w pojęciu funk-Icji x —> sin x, nie rozumie więc tego pojęcia. W obu przypadkach uczeń nie rumie odwrócić mechanicznego schematu postępowania, jego działanie Iw myśli nie jest odwracalne. Jeżeli uczeń zapoznał się z układem współ­rzędnych prostokątnych i pozornie swobodnie posługuje się pojęciami rzęd-jnej i odciętej^ jeżeli na lekcji geometrii poznał twierdzenie o dwusiecznej Hcąta, gładko wypowiada zdanie: „dwusieczna Z AOB jest zbiorem wszyst-tkich punktów należących do obszaru tego kąta równo odległych od prostych \OA i OB" i nawet bez trudu przeprowadza jego dowód, ale nie wie w ogóle, ■jak zabrać się do szukania odpowiedzi na pytanie: „co jest zbiorem wszyst-ikich punktów płaszczyzny, mających w danym układzie współrzędnych [Współrzędne x i y takie, że* = y", to jego czynności myślowe nie są jeszcze | operacjami, bo nie ma między nimi w myśli ucznia tego związku, którego fpowinien on być świadomy, jeżeli pojęcia, o których mówimy, rozumie.

2.4. Ważnym zagadnieniem jest rola czynnika społecznego w procesie Iinterioryzacji. Piaget nie neguje znaczenia wymiany doświadczeń, korygo-fwania własnych schematów w konfrontacji z innymi, wychowania, znacze-Inia mowy, ale nie uważa tych czynników za decydujące, zwłaszcza w pierwszej fazie, w czym jego poglądy różnią się od poglądów radzieckich Psychologów, również ujawniających rolę interioryzacji w rozwoju myśle­nia, ale wysuwających na pierwszy plan właśnie społeczne czynniki tego rozwoju.

T. Tomaszewski tak charakteryzuje tę ideę: „We współczesnej po­staci można by przedstawić ją jako proces stopniowego zmniejszania się bezpośredniej zależności czynności ludzkich od czynników zewnętrznych a zwiększania się tej zależności od czynników wewnętrznych. Do przebiegu każdej czynności potrzebne są początkowo ruchy zewnętrzne i bezpośrednia obecność przedmiotów materialnych, czy to jako bodźców wywołujących aktywność przedmiotu, czy jako obiektów, na które aktywność jest skiero­wana. Później wystarczą już tylko ich reprezentacje, wyobrażenia, nazwy pojęcia.

Tak z czynności „zewnętrznych" powstają czynności „umysłowe". Podobny proces zachodzi w zakresie społecznego uwarunkowania czynno­ści. Początkowo do prawidłowego przebiegu każdej czynności niezbędny jest udział innych ludzi, uczestniczących w tym procesie za pomocą gestów lub odpowiednich instrukcji słownych. Później staje się możliwa „samore-gulacja" przez „samo instrukcję", stwarzanie sobie samemu przez podmiot działający potrzebnych bodźców i dawanie sobie samemu potrzebnych instrukcji. W ten sposób „interioryzacja" prowadzi do przekształcenia się pierwotnych reakcji na bodźce w czynności dowolne".¹⁰

T. Tomaszewski przedstawia dalej dokładniej tę koncepcję w uję­ciu szkoły Leontiewa, zajmującej się badaniem procesów rozwojowych tego typu, w szczególności odzwierciedlającej się w pracach A. N. Leon­tiewa, P. I. Galpierina i A. N. Łurii. Zwracam uwagę na szczególną rolę, przypisywaną w tym procesie słowu i mowie, ponieważ zagadnienie to będzie niejednokrotnie poruszane w naszych rozważaniach. Galpierin uwa­ża „głośną mowę" liczącego dziecka, któremu zabrano liczmany. pozba­wiając je w ten sposób możliwości wykonania konkretnych czynności, prowadzących do zamierzonego celu, za czynność wykonywaną na ,.licz-manach wyobrażonych". W ten sposób pierwotna czynność konkretna prze­kształca się w czynność prostszą szybciej i sprawniej wykonywaną oraz bardziej elastyczną w zastosowaniu do różnych sytuacji. Jest to już przej­ście na wyższy stopień abstrakcji, bowiem słowo jest schematem i „działa­nie słowami" jest operowaniem schematami, a nie indywidualnymi kon­kretnymi przedmiotami. Dalszy etap - to przekształcenie „mowy głośnej" w „mowę cichą", wewnętrzną, która realizuje się czasem w tak wielkich skrótach, że nie zdajemy sobie już z niej sprawy. Rolę mowy w tym proce-

|je charakteryzuje Luria w sposób następujący: „Formy czynności, które jjjerwotnie były rozdzielone między dwoje ludzi (tzn. powstawały w trakcie ₃bcowania ludzi ze sobą), stają się następnie formami czynności jednego człowieka"."

Dialog przekształca się więc w dyskusję wewnętrzną. To stwier­dzenie zwraca naszą uwagę na bardzo istotny element rozwoju myślenia lyskursywnego, który będziemy uwzględniać w toku naszych rozważań ('daktycznych. Jest np. faktem stwierdzonym niewątpliwie w doświadcze-liu szkolnym, że uczeń kierujący się intuicją w geometrii i nie odczuwający jotrzeby dowodu jakiegoś oczywistego twierdzenia, postawiony wobec wątpliwości - prawdziwych, czy fikcyjnych - nauczyciela, czy kolegów, szuka ścisłego uzasadnienia swych tez - z początku tylko ze względu na cogoś drugiego. Z czasem, już bez tego bodźca zewnętrznego, zaczyna ;oraz częściej, coraz precyzyjniej toczyć sam z sobą dyskusję, sam wysuwa /ątpliwości i sam siebie próbuje zwalczać. Niekiedy myśli przy tym głośno [j oto słyszymy np.: „prosta a jest prostopadła do b\ ale skąd ja to mogę /iedzieć? Trzeba by to udowodnić. Jestem pewny, że tak jest, ale jak to idowodnić...?".

Interioryzacja dialogu - to bardzo ważny mechanizm w kształto­waniu rozumowania matematycznego.

Wypada mi zaznaczyć, że matematycy nie są zgodni co do tego, Iczy zawsze: myślimy słowami", czy „myślenie", „rozumowanie" matema-ftyczne można uważać zawsze za „cichą mowę". Sprawie tej wiele uwagi )oświęca np. zmarły niedawno wybitny matematyk J. Hadamard w swoich refleksjach na temat psychologii odkryć matematycznych.¹"

Hadamard pisze o sobie: „Co do słów, to nie ma ich w moim umy-Ule aż do czasu, kiedy wypowiadam swoje myśli na piśmie lub w mowie, bądź też (zupełnie wyjątkowo), gdy ujmują słowami wyniki pośrednie"; Iw tym ostatnim przypadku słowa mogą jak to zauważył Hamilton, „być [potrzebne, aby nadać naszym procesom intelektualnym stabilność, aby umocnić każdy krok naszych rozważań tak, by mógł stanowić punkt wyj­ścia do kroku następnego".¹³

Hadamard wymienia jednak tak wybitnych matematyków, jak

Cytuje za T. Tomaszewskim, op. cit., s. 226.

T. Tomaszewski, op. cit., s. 222. 223.

[ ²J. Hadamard: Psychologia odbyć matematycznych, Omega PWN, Warszawa 1964. J. Hadamard, op. cit., s. 80.

G. Polya, czy G. D. Birkhoff, którzy są zdania przeciwnego. Pierwszy p_0cj. kreślą rolę słowa w myśleniu matematycznym, drugi twierdzi, że jego my­ślenie odbywa się w ten sposób, że wyobraża on sobie symbole i w wy­obraźni tylko nimi manipuluje.

W nauczaniu musimy jednak uwzględnić przede wszystkim obiektywnie obserwowane fakty. Oto przykład: uczeń zgłasza się do na­uczyciela: „ja nic z tego nie rozumiem". Nauczyciel nie przyjmuje takiego zgłoszenia z zasady, ale żąda w każdym przypadku dokładnego sprecyzo­wania tego, czego uczeń nie rozumie. Doświadczenie dowodzi, że zmusze­nie ucznia do próby werbalnego sformułowania tego, czego nie rozumie kończy się niejednokrotnie okrzykiem „aha - już wiem" bez interwencji nauczyciela. Jeżeli „cicha mowa" jest ogromnie przyspieszoną i uwew-nętrznioną „mową głośną", to zachodzi czasem potrzeba odwrócenia tego procesu zwolnienia „mowy cichej" i przekształcenia jej w „mowę głośną". To zwolnienie ma duże znaczenie w procesie nauczania matematyki. Warto zwrócić uwagę na to, że nawet Hadamard, negujący rolę słów w myśleniu matematycznym, podkreśla ich znaczenie umacniające, nadające „stabilność naszym procesom intelektualnym".

3. Czynność konkretna i operacja abstrakcyjna w nauczaniu matematyki

3.1. Konfrontacja operatywnego charakteru matematyki z psycholo­giczną koncepcją interioryzacji wskazuje dydaktyce matematyki specy­ficzną drogę, od konkretu do abstrakcji matematycznej", drogę, którą nazy­wać będziemy „czynnościowym nauczaniem matematyki". Punktem wyj­ścia dla takiego nauczania jest stwierdzenie, że:

1° Typowe elementarne struktury matematyczne są związane z pew­nymi również typowymi operacjami, których konkretne źródła dostrzegamy już w prymitywnych czynnościach dziecka. Dla struktur algebraicznych taką operacją jest działanie, którego konkretną genezą jest przyporządko­wywanie parom przedmiotów przedmiotu trzeciego, dla struktur porządko­wych - ustalanie relacji porządkowych w abstrakcyjnych zbiorach i - j^a^° geneza - porządkowanie konkretnego zbioru; dla struktur topologicznych odwzorowanie ciągłe i wzajemnie jednoznaczne i - jako geneza - czynno^sC rozciągania, kurczenia, odkształcania bez rozrywania itp.

2° Każda sytuacja w matematyce elementarnej nasuwa potrzebę wyko­nywania różnych, specyficznych już dla rozważanej dziedziny operacji abstrakcyjnych i towarzyszących im konkretnych zupełnie czynności, któ­rych rola jest rozmaita; czasem stanowią one pobudzenie jakiejś myślowej czynności, czasem tylko ją podpierają ustalając to, co jest w myśli chwiej­ne, czasem ją tylko wyrażają (rysunek, zapis, spontanicznie tworzony mo­del, gest itp.).

Dobór i organizowanie konkretnych czynności ucznia, i tych które powinny poprzedzać operację abstrakcyjną i tych które powinny jej towa­rzyszyć, i tych które po niej następują, i kierowanie nimi jest więc ważnym elementem procesu dydaktycznego. Przygotowujemy się do tego procesu przez dydaktyczną analizę danej sytuacji matematycznej (definicja nowego pojęcia, nowe twierdzenie, dowód, konstrukcja, klasyfikacja itp.) mającą na celu ujawnienie tych czynności konkretnych, wyobrażonych, czy pomyśla­nych, które mogłyby się stać bądź pierwszym ogniwem przyspieszonej w procesie nauczania interioryzacji, prowadzącej do abstrakcyjnych opera­cji występujących w danej sytuacji matematycznej, bądź mogłyby służyć jej upoglądowieniu czy etapowej konkretyzacji myśli ucznia - łatwo gubiącej się w rozumowaniu bez takiej chwilowej stabilizacji - czy „wprawieniu w ruch" tego rozumowania, do czego często właśnie jakaś konkretna czy wyobrażona czynność wystarcza, itp.

3.2. Następujące przykłady zaczerpnięte z praktyki szkolnej ilustrują to postępowanie dydaktyczne w rozmaitych sytuacjach matematycz­nych.

a) Dydaktyczna analiza pojęcia liczby naturalnej w ujęciu teorii mno­gości wysuwa na plan pierwszy dwie operacje: wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania elementów dwóch zbiorów oraz porządkowania zbioru. W tym ujęciu liczba naturalna może być traktowana bądź jako skończona liczba kardynalna, bądź, jako skończona liczba porządkowa.

W niektórych aksjornatycznych teoriach mnogości (np. A. Mo­stowskiego)- liczba kardynalna jest pojęciem pierwotnym; związek tego pojęcia z relacją równoliczności zbiorów ustala aksjomat. Analogicznym -odrębnymi - aksjomatem dla liczb porządkowych jest aksjomat ustalający związek pierwotnego pojęcia ,.typ porządkowy" z relacją podobieństwa porządków (ponieważ liczba porządkowa jest szczególnym przypadkiem typu porządku, jest typem porządku dobrego). Wiemy też, że można przy­porządkować każdej liczbie porządkowej dokładnie jedną liczbę kardynalną (moc dowolnego zbioru, który wraz z odpowiednio dobranym porządkiem tworzy model tej liczby porządkowej), ale nie na odwrót. Przyjmując ak­sjomat Zermeli dowodzi się wprawdzie, że każdy zbiór można uporządko­wać dobrze, ale różne takie uporządkowania tego samego zbioru mogą być różnego typu. Na przykład zbiór liczb całkowitych możemy uporządkować dobrze według schematu:

0, 1,-1,2, -2, 3,-3, ... ,

lub

0, 1, 2, ... , -1,-2, -3, ...

co daje dobre porządki różnych typów, a więc różne liczby porządkowe. W tym przypadku więc liczba kardynalna nie wyznacza dokładnie jednej liczby porządkowej.

Wszystko to staje się prymitywne i banalne, gdy rozważa się wy­łącznie zbiory skończone, bowiem dowolne dwa uporządkowania zbioru skończonego są dobre i podobne, zatem każda liczba naturalna - kardynalna wyznacza dokładnie jedną liczbę naturalną - porządkową i na odwrót. Zbiór wszystkich skończonych liczb kardynalnych i zbiór wszystkich skończo­nych liczb porządkowych są izomorficzne ze względu na działanie arytme­tyczne i relację mniejszości. Z punktu widzenia tej ich struktury są one nierozróżnialne.

Jakkolwiek więc w nauce liczba naturalna-kardynalna i liczba na-turalna-porządkowa, to inne konstrukcje abstrakcyjne, w nauczaniu liczba naturalna formuje się w umyśle dziecka jako jedno pojęcie na gruncie syn­tezy dwóch relacji: 1° równoliczności zbiorów i 2° podobieństwa porząd­ków; uświadomienie sobie przez dziecko tych relacji opiera się na wyko­nywanych przez nie: operacji wzajemnie jednoznacznego przyporządkowa­nia elementów jednego zbioru elementom drugiego zbioru, operacji porząd­kowania zbioru i odwzorowywania porządków. Dziecko ustala więc rów-noliczność zbiorów (na obrazku dziewczynki i lalki, żetony dwóch kolorów, różne przedmioty i kulki na liczydle itd.), wykonując manipulacyjne lub wizualnie przyporządkowanie wzajemnie jednoznaczne. Dziecko „odlicza": jeden, dwa, trzy, cztery, ... elementy zbioru, porządkując ten zbiór. Synteza liczby naturalnej opiera się na uświadomieniu sobie przez dziecko, że „odli­czając" elementy dowolnego zbioru z rodziny równolicznych zbiorów, wymieni na końcu zawsze to samo słowo i na odwrót, że jeżeli „odliczanie" każdego z dwóch zbiorów kończy się na tym samym słowie, to są one rów-noliczne, a więc, że można ich elementy wymienić „jeden za jeden", że można te zbiory jeden na drugi odwzorować wzajemnie jednoznacznie. Dziecko może umieć liczyć i porządkować zbiory przez odliczanie, ale może nie mieć jeszcze pojęcia liczby. Dopiero powiązanie takiego „licze­nia" z „ilością", staje się podstawą uformowania się liczby naturalnej z jej dwoma aspektami: kardynalnym i porządkowym. Mówimy tu tylko o pod­stawie tego pojęcia, bowiem ta synteza nie jest jednorazow7in aktem, ale długim procesem stopniowego uświadamiania sobie całej struktury zbioru liczb naturalnych określonej przez działania i relację większości w tym [zbiorze.

Analiza matematycznego materiału elementów arytmetyki ujawnia więc różne operacje tu występujące: przyporządkowywanie elementów dwóch zbiorów, sumowanie zbiorów, wyróżnianie w zbiorze podzbiorów, tworzenie iloczynu kartezjańskiego dwóch zbiorów, porządkowanie zbioru różnymi sposobami, odwzorowywanie zbioru na zbiór z zachowaniem po­rządku, transport porządku z jednego zbioru do drugiego itp.

Zgodnie z koncepcją czynnościowego nauczania matematyki na­uka o liczbie powinna być poprzedzona przygotowaniem dziecka do tych abstrakcyjnych operacji przez ich interioryzację z konkretnych czynności, dla których te abstrakcje są pomyślanymi tylko elementami. Te czynności dziecko powinno wykonywać w zabawie i w toku rozwiązywania zadań o charakterze jakościowym, a nie ilościowym. Tak obecnie organizuje się niektóre zajęcia dziecka w nowoczesnych przedszkolach. Konstruuje się w tym celu specjalne materiały, zestawy prostych przedmiotów porządko­wane przez dzieci według różnych zasad, grupowane w zbiory z różnych punktów widzenia, klasyfikowanie, wzajemne przyporządkowywanie itp.

Jak to pokazali psychologowie zajmujący się myśleniem dzieci, te operacje są rezultatem długiego rozwoju myśli dziecka. Umiejętność wza­jemnie jednoznacznego przyporządkowania elementów dwóch konkretnych zbiorów za pomocą manipulacji (np. przez położenie na każdym żetonie czerwonym żółtego i stwierdzenie, że każdy; czerwony żeton jest pokryty i żółtych wolnych nie ma) nie świadczy jeszcze o tym, że dziecko opano­wało abstrakcyjną operację wzajemnie jednoznacznego przyporządkowania od czego zależy ujęcie równoliczności. Jak już wspominałam, małe dzieci nie rozumieją tej operacji w oderwaniu od przestrzennego rozmieszczenia przedmiotów; gdy eksperymentator na oczach dzieci zdejmie żółte żetony z czerwonych , dzieci nie wiedzą już, czy jest tych i tych żetonów „tyle samo". Układają pary na nowo, niezależnie od poprzedniego układu. Wy­konana czynność zdejmowania żetonów (a więc i nakładanie żetonów) nie jest w świadomości dzieci odwracalna; dzieci nie umieją w myśli powrócić do pierwotnej sytuacji i przenieść w myśli każdy zdjęty przez eksperymen­tatora żeton żółty na ten czerwony, z którego zdjęto. Dzieci wykonują nową konkretną czynność, tak jakby nic się przedtem nie działo.

Dzieci układają żetony żółte na czerwonych; wszystkie czerwone są przykryte i nie ma wolnych żółtych. Stwierdza się: żółtych i czerwonych jest tyle samo. Na oczach dzieci zdejmuje się żetony żółte z czerwonych i przykrywa żółte niebieskimi, wszystkie żółte są przykryte i nie ma wol­nych niebieskich. Jest tyle samo żółtych co niebieskich. Czy wystarczy niebieskich do przykrycia czerwonych? Wiele dzieci w wieku przedszkol­nym nie umie tego przewidzieć, muszą to sprawdzić przez konkretne czyn­ności. Dzieci te nie potrafią jeszcze w myśli złożyć dwóch przyporządko­wań, dlatego nie są świadome przechodniości relacji równoliczności.

Czynności dziecka towarzyszy oczywiście myśl o tym, co robi. Dziecko myśli o nakładaniu żetonów, o łączeniu żetonów w pary.

Używając terminologii J. Piageta - powiemy jednak, że ta myśl nie jest jeszcze operacją przyporządkowywania: dziecko nie umie bowiem się jeszcze oderwać od transformacji przestrzennej układu krążków i myślą powrócić do pierwotnego stanu (czynność nie jest odwracalna) i nie umie wiązać poszczególnych czynności w systemy (czynności nie tworzą ugru­powania).

Ponieważ ujęcie równoliczności jako relacji równoważnościowej jest koniecznym warunkiem abstrahowania liczby od zbioru, wnioski dy­daktyczne sąjasne. Nauka o liczbie w tym ujęciu powinna być poprzedzana świadomie kierowanym procesem interioryzacji prowadzącym od konkret­nych doświadczeń dziecka do myślowej operacji przyporządkowywania.

Podobnie - jak dowodzą tego liczne doświadczenia psychologów ­ujęcie relacji porządku musi być przygotowane konkretnymi doświadcze­niami dziecka. Wiele dzieci badanych przez J. Piageta nie zdawało sobie sprawy z niezmienności „położenia między", gdy w zabawie zmieniano położenie przedmiotów bez zmiany ich uporządkowania (zabawa w pranie; papierowe koszulki lalek zawieszano kolejno na sznurze, następnie zbierano je w tej samej kolejności, układając jedną na drugiej w stos; niektóre dzieci mimo powtarzania zabawy nie umiały długo przewidzieć, czy koszulka wisząca na sznurze między innymi znajdzie się w stosie na wierzchu, u spodu, czy wewnątrz stosu). Dzieci manipulując prętami różnej długości i „przymierzając" jeden do drugiego ustawiały je kolejno według wielkości.

Stwierdziły konkretnie, że np. pręt a jest dłuższy od b, oraz znowu przez przymierzanie, że b jest dłuższy od c. Gdy następnie eksperymentator zakrywając pręty a i c spytał, który z nich jest dłuższy, wiele dzieci doma­gało się pokazania im prętów, uważając, że inaczej nie można sprawy roz­strzygnąć. Dzieci te nie ujmowały jeszcze pojęciowo wykonywanej operacji w sensie abstrakcyjnego porządkowania, nawet wtedy gdy w rezultacie przymierzania jednego pręta do drugiego, w drodze prób i błędów, osta­tecznie konkretnie uporządkowały zbiór prętów według wielkości, takie porządkowanie nie jest jeszcze związane z rozumieniem abstrakcyjnego pojęcia porządku, bo dla pełnego rozumienia tej relacji świadomość jej przechodniości jest konieczna. Dlatego w nowoczesnych przedszkolach na ten element jakościowego przygotowania nauki o liczbie zwraca się dużą uwagę w organizacji zajęć dzieci. Że sprawa nie jest błaha, dowodzą ob­serwacje dzieci w pierwszej klasie szkoły podstawowej. Uświadomienie sobie przechodniości relacji „... jest wyższy od ..." w zupełnie konkretnej sytuacji wymagało od uczniów rozpoczynających naukę w pierwszej klasie wyraźnego wysiłku umysłowego. Dzieci stwierdziły konkretnie, że ze stoją­cych osób A, B - A jest nieco wyższa (różnica była nieznaczna) od osoby B- Osoba A usiadła. Dzieci stwierdziły dalej, że B jest nieco (znów nie­znacznie) wyższa od C. Wszystkie osoby usiadły. Na pytanie, kto jest wyż-■ szy, A czy C, dzieci odpowiedziały poprawnie, ale po intensywnym namy­śle, przy czym wcale nie wiadomo, na czym ta odpowiedź była oparta; może na odtworzeniu w wyobraźni trzech osób w pozycji stojącej. Bardziej zróżnicowaną reakcję obserwowaliśmy, gdy dwójce siedmioletnich dzieci (pierwszy rok nauczania), które rozwiązywały już różne zadania za pomocą '/grafów strzałkowych, przedstawiliśmy graf na rysunku 17a).

Wyjaśniono przy tym (do takich interpretacji grafu dzieci były przyzwy­czajone), że punkty reprezentują trzy osoby, zaś strzałkę należy czytać „osoba... jest starsza od osoby ..." Dzieci odczytały poprawnie dane zapisa­ne grafem, wskazując odpowiednie punkty: „ta osoba jest starsza od tej, a ta od tej". Postawiono następnie pytanie: Czy możesz jeszcze poprowadzić inne strzałki? Na przykład gestem ręki wskazano trzecią strzałkę przedsta­wioną na rysunku 17b). Dzieci zaprotestowały: Jak ta osoba jest starsza od tej, to ta nie może być starsza od tej. Ona jest młodsza. Powtórzono pytanie: Możesz jeszcze narysować jakąś strzałkę? Dzieci uzupełniły poprawnie (graf, ale wyjaśnienia były różne. Dziecko wskazując punkty na rysunku mówiło 1) Jak ta jest starsza od tej a ta starsza od tej, to ta jeszcze jest bardziej starsza od tej" lub 2) ,ja sobie pomyślałem, że to jest babcia, a to mama, a to ja, bo babcia jest starsza od mamy, a mama jest starsza ode mnie, babcia jest starsza ode mnie, więc narysowałem strzałkę". W pierw­szym przypadku dziecko rozumowało „na zmiennych", ujmowało więc daną relację tak, że uświadamiało sobie jej przechodniość. W drugim praw­dopodobnie tego jeszcze nie było, dziecko potrzebowało konkretyzacji, aby sobie możliwość poprowadzenia jeszcze jednej strzałki uświadomić. W tej samej wypowiedzi tego dziecka nie było śladu jakiejś dedukcji, tylko stwierdzenie faktów.

Zatrzymałem się dłużej nad tym przykładem, ponieważ nauczanie elementów arytmetyki jest dla rozwoju prawidłowego matematycznego myślenia dziecka niejednokrotnie decydujące. Jeżeli tu nastąpi zbyt wcze­sne zmechanizowanie przed właściwym pojęciowym ujęciem, niedostatecz­nie przygotowanym, dziecko może nawet pozornie dobrze liczyć, ale w przyszłości spotka się z ogromnymi trudności: To przygotowanie wyma­ga organizowania konkretnych czynności dziecka. Ale nie mogą to być czynności jakiekolwiek i wykonywane na jakimkolwiek materiale. Analiza struktury matematycznej, która jest przedmiotem nauczania w danym okre­sie, ujawnia znajdujące się u jej podstaw określone operacje myślowe; ana­liza psychologiczna tych operacji ujawnia ich genezę w określonym kon­kretnym działaniu. Prawidłowy proces nauczania uwzględnia ten porządek, przyspieszając równocześnie interioryzację. Nauczyciel powinien o tym wiedzieć; jeżeli tego nie rozumie, może używać nawet najwspanialszych pomocy naukowych w sposób dla rozwoju myśli matematycznej ucznia szkodliwy, może się łudzić, że wyjaśnia problem, gdy go tylko zaciemnia.

Dla podkreślenia roli, jaką w koncepcji dydaktycznej czynnościo­wego nauczania odgrywa jasna koncepcja naukowa, wspomnę tu o nieco innym podejściu do elementów arytmetyki, mianowicie o ujęciu opartym na itzw. materiale Cuisenaire.¹⁰ Teoretycznie wychodzimy tu od struktury alge­braicznej arytmetyki liczb całkowitych nieujemnych, czyli półgrupy. Dzieci rozwiązują różne zadania, posługując się zespołem kolorowych klocków

0 przekroju 1 cm² i długościach 1 cm, 2 cm, 3 cm, 10 cm. Przygotowanie do arytmetyki polega na wykorzystaniu struktury tego materiału do manipula­cji poprzedzających porównywanie liczb i działania na nich. Klocki jedna­kowego koloru są jednakowej długości. Każdy klocek reprezentuje jedną rodzinę klocków, jedną długość. Nazwy: klocek 1, 2, 3, 10 wyrażają z początku to samo, co nazwy: klocek biały, różowy, żółty, ... pomarańczo­wy. Na polecenie: „pokaż klocek 2", dzieci szukają klocka różowego. Na

polecenie „wyciągnij z worka, nie zaglądając doń, klocek różowy", dzieci tylko dotykiem porównując długości klocków wyciągają odpowiedni klocek 2. Dalej wprowadza się operację zsuwania dwóch klocków końcami (po­ciąg) i zastępowania tych dwóch: klocków „ze względu na długość" jednym (jeżeli to możliwe) klockiem. Klocek ten reprezentuje „długość" równą sumie długości, reprezentowanych przez zsunięte klocki. Dzieci, jeszcze nie wykonując rachunków, uświadamiają sobie przemienność i łączność tego działania, jego związek ze stosunkiem „mniejszości" w zbiorze „długości", działania odwrotne. Tę samą sytuację konkretną dzieci ujmują jednocześnie

1 opisują różnymi sposobami, np.:

3 + 2-5, 5-3 = 2, 5-2 = 3. Już na wstępie więc organizuje się czynności dziecka z punktu widzenia całej struktury arytmetyki liczb naturalnych; pojęcie liczby for­muje się od początku w ścisłym związku z działaniami arytmetycznymi; a więc nie najpierw liczba, a potem działania, ale z systemu działań alge­

braicznych, z ich własności wyłania się pojęcie liczby. Znaczenie tego dla rozwoju myśli matematycznej ucznia rozumie dobrze ten nauczyciel, który nie może wytępić błędów w rozwiązywaniu równań typu:

a-x-b => x = b - a lub a ■ x = b ==> x = b - a itp., gdy uczniowie nie widzą związków między działaniami, przyswajano im bowiem mechaniczne nawyki, które często zawodzą, ale nie zrozumienie struktury algebraicznej.

Jeszcze inne ujęcie dydaktyczne eksperymentują niektórzy dydak­tycy w ZSRR opierając się na psychologicznych sugestiach W. W. Dawi­dowa.¹⁵ Wychodzi się tu od ogólnego pojęcia wielkości i stosunku wielko­ści jednorodnych, od konkretnych manipulacji na wielkościach (pojemność długość, ciężar itp.), przez literowe „kodowanie" obserwacji i ich schema­tyczne przedstawianie na rysunku aż do rachunku numerycznego, który pojawia się na końcu tego procesu. Oczywiście tu koncepcja naukowa licz­by jako miary wymaga innego opracowania „czynnościowego" niż po­przednie.

W koncepcji naszej liczba powinna być syntezą tych wszystkich aspektów mnogościowego, miarowego i algebraicznego. Dlatego tu szuka­my wielostronnego przygotowania czynnościowego ujęcia pojęciowego przez konkretne, wyobrażone, kodowane, pomyślane operacje.

b) Piętnastoletni uczniowie rozwiązują zadanie: jaką izometrią jest złożenie dwóch symetrii środkowych? Rozumowanie jest oparte na równo­czesnym wykonywaniu czynności rysunkowych i zapisu symbolicznego. Rysunek 18 ilustruje poszczególne fazy tych dwóch równoległych konkret­nych operacji:

Uczniowie wybierają punkty A, B jako środki danych symetrii środkowych. Wiedzą, że symetrię środkową można złożyć z dwóch symetrii osiowych względem osi prostopadłych, przechodzących przez środek danej symetrii środkowej. Każdą z symetrii względem punktu A i względem punktu B można więc zastąpić złożeniem dwóch symetrii osiowych.

SA W.

Rys. 18

Zgodnie z zasadą racjonalizacji uczniowie badają możliwość zmniejszenia liczby operacji. W danym przypadku wystarczy posłużyć się trzema symetriami osiowymi, wybierając jako jedną z nich symetrię wzglę­dem prostej przechodzącej przez A i przez B i oznaczonej literą c. Następnie uczniowie gestem ilustrują składanie symetrii osiowych, które wzięli pod uwagę: ręka przenosi się od (1) do (2), od (2) do (3) i wraca od (3) do (2), przenosi się dalej od (2) do (4). Następuje znowu racjonalizacja wykony­wanych czynności: przejście od (2) do (3) i z powrotem od (3) do (2) jest niepotrzebne. Symetrię S_c można usunąć. Wymazanie wykreślonej kredą kreski oznaczonej literą c i równoległe skreślenie S_c S_c, we wzorze symbo­licznym - to dwie czynności konkretne odpowiadające abstrakcyjnej opera­cji wykonanej na przekształceniach z uwzględnieniem własności łączności składania przekształceń oraz tego, że S_c S_c jest przekształceniem tożsamo­ściowym. Pozostaje ostatni rysunek i ostatni zapis, oraz stwierdzenie: po­nieważ a 11 b, więc S_BS_A = S_bS_a jest translacją zgodnie ze znaną definicją. Twierdzenie: iloczyn dwóch symetrii środkowych jest translacją - zostało wykryte i udowodnione przez uczniów. Rusztowaniem całego toku rozu­mowania są wykonywane przez uczniów konkretne czynności. W dalszym ciągu większość uczniów będzie się już bez nich obchodzić w analogicznej sytuacji; pozostali będą do nich powracać: jeszcze wielokrotnie.

¹⁵ W. W. Dawidów, Widji obobszenia w obuczenii. Pedagogika. Moskwa 1972. 236

c) W klasie bardzo słabych uczniów, w nauczaniu których trzeba by}₀ stosować specjalne zabiegi dydaktyczne, nauczyciel wprowadza pojęcie granicy ciągu.¹¹

W przyjętym układzie materiału definiuje się najpierw wyrażenie lim a_n = 0, następnie zaś lim a„ = a przez lim (a„ - a) - 0. Rysunek na ta­blicy ilustruje prostą skalibrowaną w systemie dwójkowym. Rozważa się

ciąg n —> a„ = (-1)" • —. Nauczyciel poleca jednemu uczniowi rachować 1 2"

2, 3, drugiemu zaś wskazywać palcem pozycję skaczącego pajaca, który na rozkaz „/?" zajmuje pozycję „a," w prostej liczbowej zilustrowanej na rysunku. Z dwóch stron punktu 0 stawia się „płotki" oddalone od tego

1

punktu o —. Czv nastąpi taki rozkaz, od którego począwszy pajac będzie 2

skakał między płotkami? Od jakiego rozkazu począwszy tak będzie?

„ ,1

Zmniejsza się odległość płotków od 0 do —. Następuje podobne pytanie

7

i odpowiedź uczniów. Nauczyciel proponuje analogiczne zadanie, gdy od-
ległość „płotków" od zera jest równa . Konkretna ilustracja na rysunku

100

staje się niemożliwa. Doświadczenie kontynuuje się w myśli. Uczniowie

1111 11 liczą: -—, — , - —, —,-—, — (pajac ciągle jest na zewnątrz „płot-2 4 8 16 32 64

1

ków"), (pajac wpadł między płotki i już z nich nie wyjdzie). Od roz-

128

kazu „7" począwszy, pajac będzie skakał między płotkami oddalonymi od 1

zera o . Nauczyciel proponuje dalej rozwiązać zadanie w przypadku

100

1

odległości „płotków' od zera równej —ftt . Tu byłobv już trudno stosować

10

metodę kolejnych obliczeń. Uczniowie samodzielnie sprowadzają zadanie

do rozwiązania nierówności:

Od „rozkazu 167" począwszy, pajac skacze między „płotkami" oddalonymi 1

od punki ii /.ero o —r- .

10^5U

Nauczyciel sugeruje uczniom ogólnie sformułować zadanie w Ję­zyku matematyki", gdy odległość „płotka" od punktu zero jest równa e i również rozwiązać je matematycznie. Uczniowie bez trudu dokonują prze­kładu: dana jest liczba c > 0 (odległość „płotka" od punktu zero); czy można dobrać taką liczbę naturalną;; (rozkaz „n"), że dla każdej liczby naturalnej m >n (od rozkazu „/(" począwszy) jest:

- e <a„,<c (pajac skacze między „płotkami")?

Uczniowie poszukują odpowiedzi; rozwiązując nierówność

?<«

i 1

formułują odpowiedź: jeżeli e > 1, wystarczy wybrać n = 1, jeżeli 0 < e < 1, wystarczy wybrać:

- log £

n = C

log 2

Dla każdej liczby dodatniej e można więc dobrać taką liczbę naturalną 77, że dla dowolnej liczby naturalnej m >n, jest

-e< a,„ < e

Nauczyciel, sugerując powrót do historii skaczącego pajaca, proponuje rozwiązać podobne zadanie dla ciągu:

gdzie p(n) oznacza największy dzielnik liczby n, który nie jest liczbą złożo­ną. Uczniowie, opisując kolejne „pozycje pajaca":

1 11 11 11 11 1 1 .11.11

' J'T 5' 3'" 7' 2' 3'5' U '3' 13' 7" 5' 2""

zauważają, że jakikolwiek wydadzą rozkaz, to zawsze nastąpi „po nim roz­kaz", przy którym pajac zajmie pozycję - lub -- (dla każdego n będące­go naturalną potęgą liczby 2).

Gdy „plotki" zostaną ustawione w odległości mniejszej niż —

2 '

pajac będzie zawsze co jakiś czas „wyskakiwał poza płotki". Uczniowie przekładają tę sytuację na język matematyki: jest taka liczba £, że dla każdej naturalnej liczby n znajdzie się liczba naturalna m taka, że m > n i b„, < -g lub b_m > £..

Zestawienie tych dwóch przykładów prowadzi ostatecznie do defi­nicji zwrotu „ciąg a„ ma granicę 0". Termin podaje nauczyciel, określenie formułują czasami uczniowie bez żadnych trudności. Precyzuje się robocze reguły postępowania: Co wystarczy udowodnić, aby mieć pewność, że dany ciąg ma granicę zero? Jakie czynności wykonać, aby zbadać, czy ciąg a„ ma granicę zero? Co wystarczy pokazać aby udowodnić, że ciąg a„ nie ma granicy zero?

Zauważmy, że do sformułowania definicji formalnie skompliko­wanej, w której występują w definiensie aż trzy kwantyfikatory, uczniowie doszli opisując w terminach matematycznych wykonywane poprzednio konkretnie i przedłużone w wyobraźni czynności, następnie zaś od tej defi­nicji powrócili znowu do czynnościowego sformułowania, precyzując re­guły robocze, mające postać schematu postępowania, schematu, będącego równocześnie sprawozdaniem z czynności wykonywanych przed sformuło­waniem definicji i planem czynności, które będzie się wykonywać, gdy się definicję będzie stosować. Logiczno-formalna struktura definicji staje się w ten sposób łatwiejsza do ujęcia przez słabszych uczniów. Cytując do­kładnie ten przykład chcę zwrócić uwagę na zagadnienie ogólniejsze. Na­uczyciel w opisanym przypadku nie zrezygnował, mimo przewidywanych trudności, z wprowadzenia pewnej definicji w sposób zupełnie precyzyjny, szukał natomiast odpowiednich środków' dydaktycznych, które umożliwi­łyby jego uczniom skonstruowanie własnej definicji, bo własne definicje pamięta się i rozwinie lepiej. Tym środkiem było odwołanie się do aktyw­ności konkretnej przedłużanej następnie w wyobraźni i wreszcie wykony­wanej za pomocą znanego już aparatu matematycznego formalnego, aktyw­ności bardzo wyraźnie rozłożonej na pewne proste operacje. Mieliśmy i tu proces idealizacji i ekstrapolacji doświadczenia, oraz konstrukcję schematu sprawozdawczo-antycypacyjnego, jako operatywnie wyrażonej definicji.

Niektórzy nauczyciele matematyki uważają za żenujące tego ro­dzaju upoglądawianie matematycznych pojęć na poziomie szkoły' średniej. W naszej koncepcji dydaktycznej tego rodzaju zabiegi na każdym poziomie nauczania można i należy stosować, jeżeli tylko są potrzebne i prowadzą do poprawnego i operatywnego ujęcia naukowej treści. Decyduje fakt, że uczeń uznany za niezdolnego, który sam siebie uznaje za antytalent mate­matyczny, może przekroczyć próg bardzo istotny w matematycznym my­śleniu, nie odczuwając tego, że to próg bardzo wysoki i że ostatecznie może działać w abstrakcji tak swobodnie, jak w pierwszym etapie działał w konkrecie gestu, rysunku, głośnej mowy.

d) Wiadomo, ile trudności sprawia uczniom rozróżnianie twierdzeń wzajemnie odwrotnych, szczególnie wtedy, jeżeli są one równocześnie prawdziwe lub równocześnie fałszywe. Uczeń rozwiązuje poprawnie zada­nie: zbudować kwadrat mając dany odcinek równy jego przekątnej, ale dowodzi poprawności konstrukcji błędnie, mówiąc: „bo w kwadracie prze­kątne są prostopadłe, równe i połowią się". Dla ucznia w szkole podstawo­wej twierdzenia: „w trójkącie naprzeciw równych boków leżą równe kąty" i „naprzeciw równych kątów leżą równe boki" wyrażają to samo. Uczeń mówi: „na trapezie równoramiennym można opisać okrąg, ponieważ w czworokącie wpisanym w okrąg sumy przeciwległych kątów są równe". Uczniowie mylą warunek konieczny z warunkiem wystarczającym. Wszystkie te fakty obiektywnie stwierdzone dowodzą, że w zrozumieniu wynikania, założenia i tezy twierdzenia, stosowania twierdzenia (odrywania tezy) tkwią duże trudności pojęciowe, które trzeba w nauczaniu pokonywać odpowiednimi zabiegami dydaktycznymi. Będziemy do tych spraw często powracać; obecnie w związku z przykładami czynnościowego nauczania chcę tylko zwrócić uwagę na rolę, jaką w przygotowaniu ucznia do właści­wego ujęcia wynikania mogą odegrać jego konkretne czynności w począt­kowym nauczaniu geometrii. Uczeń rysuje trójkąt tak, aby jego dwa boki były równe. W rezultacie wykonanej czynności otrzymał dwa kąty. Nie może ich już wybrać dowolnie. Symetria figury sugeruje mu, że te kąty muszą już być równe. W opisie odróżnia wyraźnie: konstrukcję od jej wy­niku. Następnie uczeń konstruuje trójkąt, w którym dwa kąty są równe („przenosi" kąt). Otrzymuje boki równe. T tu w opisie odróżnia konstrukcję od jej wyniku. Uczeń mówi w skrócie: gdy skonstruowałem równe boki, otrzymałem równe kąty; gdy skonstruowałem równe kąty, otrzymałem równe boki. Te dwie sytuacje - to już nie to samo w świadomości ucznia. W pierwszym przypadku wykonywał inne konkretne czynności cyrklem i linijką, w drugim inne. W pierwszym co innego uważał za rezultat wyko­nanej operacji niż w drugim.

Gdy to doświadczenie ucznia zostanie uogólnione (na tym pozio­mie jeszcze intuicyjnie), przechodzi się od poziomu „czynność-rezultat" na poziom wyższy przesłanka-wniosek: Jeżeli stwierdzę, że dwa boki trójkąta są równe, to mogę być pewny, że kąty tego trójkąta przeciwległe tym bo­kom są równe; „jeżeli stwierdzę, że kąty trójkąta są równe, to mogę być pewny, że przeciwległe tym kątom boki trójkąta są równe". Jest to już po­ziom logicznej inferencji. To rozumienie jest wystarczające w dużym zakre­sie matematyki szkolnej. Droga genetyczna, którą naszkicowałam, to wła­śnie fragment czynnościowego nauczania matematyki.

Nie należy jej pomijać, gdy uczeń przechodzi do bardziej złożonej dedukcji. Obserwowałam lekcję, w toku której dowodzono twierdzeń wza­jemnie odwrotnych o czworokącie wpisanym w okrąg, w obu przypadkach zaczynając rysunek od nakreślenia okręgu i wpisania weń czworokąta. Część uczniów nie rozumiała istoty rzeczy. Natomiast te trudności nie wy­stępowały, gdy nauczyciel kierował lekcją tak, aby kolejność wykonywa­nych operacji rysunkowych odpowiadała kolejności: założenie - teza. Uczniowie kreślili więc najpierw okrąg i wpisywali weń czworokąt, gdy dowodzili twierdzenia: „jeżeli czworokąt jest wpisany w okrąg, to suma jego przeciwległych kątów jest równa 180°". Przy badaniu twierdzenia odwrotnego do tego twierdzenia postępowano inaczej. Uczeń czytał założe­nie: „suma przeciwległych kątów czworokąta równa się 180°" i szkicował odręcznie „mniej więcej" rysunek czworokąta, czyniącego zadość temu warunkowi. Formułowano zagadnienie: czy na takim czworokącie można opisać okrąg? Uczniowie stwierdzili, że przez trzy wierzchołki czworokąta można poprowadzić okrąg i tylko jeden. Zagadnienie sprowadzone zostało do badania, czy czwarty wierzchołek tego czworokąta musi wtedy do tego okręgu już należeć. W ten sposób szkicowanie danych na rysunku nasunęło uczniowi ideę dowodu.

Tego rodzaju postępowanie, w którym odpowiednio dobrane czyn­ności konkretne sprzyjają prawidłowemu tokowi myśli, prawidłowemu powiązaniu założenia z tezą interioryzuje się z czasem w postaci swobod­nych, giętkich operacji myślowych. Uczeń mając przed oczyma szkic tej samej niezmiennej konfiguracji geometrycznej, może ją już wtedy inter­pretować rozmaicie, przyjmując pewne stosunki jako dane i pomijając inne, w różnych kombinacjach logicznych. To, co pierwotnie wykonywał kon­kretnie, wykonuje teraz tak samo, z taką samą wyrazistością w myśli. Uczeń przenosi się swobodnie od przypuszczenia, że jakieś dwa odcinki są równe, do przypuszczenia, że te dwa odcinki nie są równe; odwracając twierdzenie mienia swobodnie punkt widzenia: to, co poprzednio uznawał za wniosek, staje się teraz dlań założeniem. Tę giętkość myśli trzeba jednak wykształcić w procesie dydaktycznym, kierowanym świadomie przez nauczyciela.

4. Prawidłowe kształtowanie sprawozdawczo-antycypacyjnych sche­matów postępowania w nauczaniu matematyki

4.1. Uświadomiliśmy sobie już rolę czynności konkretnych w aktyw­ności matematycznej ucznia i to zarówno tych czynności, które wykonuje on w określonej sytuacji praktycznej dla osiągnięcia celu bezpośrednio iązanego z tą sytuacją (np. gdy dobiera dwa pręty równej długości, aby skonstruować ramkę w kształcie równoramiennego trójkąta), jak i czynno­ści, które wykonuje wprawdzie konkretnie, ale w znaczeniu symbolicznym

- dla celów pozostających poza tą sytuacją rzeczywistą (np. gdy kreśli od­ręcznie na tablicy trójkąt, przyjmując umownie, ze dwa boki tego trójkąta sa równe, choć na rysunku wizualnie są one nierówne). Zwróciłam uwagę na istotne znaczenie doboru tych czynności, który powinien być kierowany głęboką analizą matematycznej struktury materiału nauczania. Podkreśliłam również dydaktyczne walory przekładania treści nauczania (definicji, twier­dzeń) na sprawozdawczo-antycypacyjne plany postępowania, sprawozdaw­cze w tym znaczeniu, że sformułowane w wyniku interioryzacji ciągu pew­nych czynności wykonywanych poprzednio materialnie i w wyobraźni, antycypacyjne, ponieważ są planami postępowania, które mogą być stoso­wane w dalszym ciągu jako przyswojone narzędzie w rozwiązywaniu pro­blemów określonego typu. Aby takie plany nie funkcjonowały jednak jako

I recepty opanowane mechanicznie, bez zrozumienia, potrzebne są przy ich opracowywaniu pewne zabiegi dydaktyczne, z których niektóre o charakte­rze bardziej ogólnym omówię ilustrując je bardzo - jak zwykle w tej książce

- prostym przykładami zaczerpniętymi z praktyki szkolnej.

a) Powiązanie czynności z czynnościami do niej odwrotnymi.

W tradycyjnej dydaktyce matematyki w niższych klasach szkoły podstawowej starano się zachować ogólną zasadę izolowania pewnych operacji na pierwszym etapie zaznajamiania z nimi dzieci, aby się im te operacje „nie myliły". Na przykład najpierw stosowano pojęcie ułamka jako operatora w ćwiczeniach typu: „wyznacz dany ułamek z a", potem osobno w ćwiczeniach typu Jakim ułamkiem b jest a", wreszcie znowu osobno w ćwiczeniach typu: „wiemy, że dane a jest danym ułamkiem b, wyznacz b". Zupełnie analogicznie organizowano naukę rachunku procentów' (z kolei zresztą w izolacji czasowej i często pojęciowej od nauki o ułam­kach). Ćwiczenia obejmowały kilka kolejnych etapów: wyznaczanie pro­centu danej liczby, obliczanie, jakim procentem jednej liczby jest druga liczba, obliczanie liczby, gdy wiadomo, jaką liczbą jest jej dany procent. Dopiero po przerobieniu trzech odrębnych cykli ćwiczeń przystępowano do ćwiczeń „różnych". Wystarczy przejrzeć typowe tradycyjne podręczniki arytmetyki, aby dostrzec, że taki układ jest realizacją ogólnej zasady „od­dzielanie" operacji, co miało rzekomo pomagać uczniowi w opanowaniu pewnych algorytmów. Rzeczywistość szkolna przeczy jednak słuszności tej zasady. Rezultatem były znane trudności uczniów i dorosłych na przykład w posługiwaniu się procentami i nieśmiertelne wątpliwości „czy pomnożyć, czy podzielić".

Psychologiczna teoria operacji sugeruje postępowanie dydaktyczne kierowane zasadą „łączenia", a nie „oddzielania".

Jeżeli ułamek wprowadza się na drodze tradycyjnej jako operator na wielkościach (można to tradycyjne ujęcie poglądowe zalegalizować teoretycznie), to uczeń od samego początku powinien ułamek rozumieć tak, aby równoważności

• A = B <=* V_r[A = nC a B = mC J n

• A = fi » A = — fi (rys. 19) n m

były przezeń ujmowane dwukierunkowo, w tym znaczeniu, że informacja stanowiąca jedną stronę równoważności wiąże się bezpośrednio z informacją wyrażoną przez drugą stronę równo­ważności.

Podobnie w tradycyjnym nauczaniu ćwiczyło się najpierw długo mnożenie wielomianów, dowodziło tak zwanych „skróconych wzorów mnożenia", następnie w osobnym rozdziale ćwiczono rozkładanie na czyn­niki wielomianów, które sprawiało- uczniom ogromne trudności.

Sprawa ta wiąże się z ogólniejszym problemem przyswajanie sobie przez uczniów twierdzeń w postaci równości tylko w jednym kierunku" z lewa na prawo". Wzór (x + y) (x - y) = x² - y² uczeń ujmuje wizualnie jednokierunkowo, bo tak go czyta, motorycznie jednokierunkowo, bo tak go pisze, w sekwencji czasowej też jednokierunkowo, bo czytanie i pisanie przebiega w czasie też w określonym kierunku. Równość symetryczna po­jęciowo, jako identyczność nie jest często symetryczna w praktyce dla ucznia. Aby to uwarunkowanie przezwyciężyć, trzeba od początku tego typu wzory zapisywać w dwóch kierunkach, w dwóch kierunkach je od­czytywać i, co najważniejsze, równolegle je w dwóch kierunkach stosować.

Wprowadzając pojęcie pochodnej można i warto od razu na tej samej lekcji wprowadzić pojęcie funkcji pierwotnej i znowu wzory na po­chodne wykorzystywać od razu w dwóch kierunkach: wyznaczanie pochod­nej danej funkcji oraz podawanie przykładów funkcji pierwotnych danej funkcji (mówimy tu tylko o przykładach, bowiem twierdzenie o pełnym zbiorze funkcji pierwotnych poznaje uczeń później, gdy rachunek pochód nych jest już bardziej rozwinięty).

Udowodniono w klasie twierdzenie: przekształcenie płaszczyzny jest podobieństwem wtedy i tylko wtedy, gdy jest złożeniem odpowiednio dobranej izometrii z odpowiednio dobraną jednokładnością. Bezpośrednio potem uczniowie wykonują ćwiczenia konstrukcyjne - rysunkowe w róż­nych kierunkach, na przykład: a) zbuduj figurę podobną do danej figury, b) udowodnij, że dane dwie figury są podobne, c) figura /, jest utworzona z wszystkich punktów figury / i z punktu 0\ figura / jest podobna do /. Uzupełnij ją takim punktem O', aby było:

fi~f'v{0')

W pierwszym przypadku uczeń wybiera dowolnie jednokładność i izometrię i przekształca pierwszą figurę/przez złożenie tych dwóch prze­kształceń na figurę/'. Rezultatem tych operacji jest konstrukcja pary figur podobnych. W drugim, na odwrót, figury /i/' są dane, uczeń zaś poszukuje jednokładności i izometrii, których złożenie przekształciłoby/na/. Rezul­tatem jest para przekształceń poprzednio obierana dowolnie. W trzecim przypadku uczeń najpierw przechodzi w jednym kierunku od/do / wyzna­czając parę przekształceń, następnie zaś w drugim kierunku wykonując złożenie tych przekształceń na punkcie O, od O do O'.

Następują układy ćwiczeń - już nie rysunkowych, ale pomyśla­nych: a) zbadaj, kiedy dwie figury, z których każda jest złożona z prostej i punktu, są podobne, b) podaj możliwie najprostsze warunki wystarczające do podobieństwa dwóch rombów itp. Chodzi tu przy tym ciągle jeszcze o bezpośrednie zastosowanie wspomnianego twierdzenia. Aby te zadania rozwiązać, uczeń wykonuje konstrukcje w abstrakcji, i to w obu kierunkach.

Wprowadzając pojęcie potęgi, od razu na tej samej lekcji zorgani­zujemy ćwiczenia, w toku których uczniowie będą przechodzić od zapisu a ■ a- a ■ a ■ a do zapisu a⁵ i, na odwrót, od ćwiczenia „oblicz szóstą potęgę

2 . 27

liczby — " do ćwiczeń typu: „przedstaw liczbę — jako naturalną potęgę

3 64

16

pewnego ułamka", „zbadaj, czy liczbę można przedstawić jako natu-

121

ralną potęgę pewnego ułamka itp. Sens dydaktyczny tych ćwiczeń jest ja­sny.

Wychodząc od konkretnych przykładów wprowadziliśmy pojęcie proporcjonalności prostej. Uczniowie wyrażają to przyporządkowanie każdym konkretnym przypadku w postaci funkcji liniowej; polecamy im )dnaleźć sytuacje, z którymi spotkali się w nauce fizyki, chemii, w zaję­ciach technicznych itp. i w których występuje proporcjonalność prosta; polecamy im odszukać sytuacje matematyczne, które można opisać z góry lanymi funkcjami x—> 5x, x—> -7x, x—> -x, x—>x.

Ten bardzo prosty przykład ćwiczeń na poziomie niższym ilustruje :elowe organizowanie dwu przeciwnie skierowanych aktyw-lości, którym na poziomie wyższym odpowiada w jednym kierunku ak-kjomalyzacja oparta na zdefiniowaniu ogólniejszej struktury wyabstrahowa-lej przez analizę jednej lub więcej konkretnych sytuacji, w drugim poszu-ciwanie różnych konkretyzacji zadanej a priori aksjomatycznie struktury. Ja przykład aksjomaty incydencji afmicznej mogą być sformułowane na »runcie idealizacji i ekstrapolacji przestrzennych doświadczeń i intuicji, [następnie można dla nich poszukiwać innych konkretyzacji, między innymi hv geometriach skończonych. Wtedy zarówno sens metodologiczny aksjo-matyki jako definicji wieloznacznej struktury będzie dla uczniów zrozu-jmiały i treść aksjomatów dokładnie i trwale przyswojona.

Siedmioletnie dzieci oswajają się z używaniem terminu „zbiór" [i wyrażenia „warunek określający zbiór" w znaczeniu funkcji zdaniowej określonej na pewnym zbiorze przyjętym w danej sytuacji za „świat mowy" („Kleine Welt" H. Freudenthala), czyli pełny zbiór, z którego ten warunek wydziela w sposób jednoznaczny odpowiedni podzbiór. Ćwiczenia zmie­rzające do oswojenia dzieci z tą terminologią są organizowane w dwóch kierunkach, od danego warunku określonego na pełnym zbiorze do wyzna­czonego przezeń zbioru i, na odwrót, od zadanego z góry explicite zbioru do propozycji warunku określającego jednoznacznie ten zbiór, jako podzbiór pełnego zbioru. Oczywiście taki warunek może polegać na bezpośrednim wyliczeniu elementów tego podzbioru. Ale dzieci bardzo dobrze rozumieją, że można inaczej zbiór określić, podając wspólną własność jego elementów (zbiór klocków czerwonych, zbiór dzieci siedzących w pierwszym szeregu ławek itp.). Dzieci ośmioletnie otrzymują swoje współrzędne w układzie rzędów i kolumn ławek (para: numer rzędu i numer kolumny, na przykład liczonych od stolika nauczyciela i od drzwi klasy). Przyporządkowanie uczniom par liczb odwzorowuje w arytmetyce każdą relację określoną

w zbiorze dzieci danej klasy, a więc i każdą wyróżnioną strukturę opartą _na tym zbiorze. W ten sposób zbiór dzieci zostaje „kartezjańsko ustrukturow ny". Można definiować warunki wydzielające z tego zbioru jego podzbio używając języka arytmetyki. Uczeń prowadzi „gimnastykę kartezjańską" wymieniając jakiś arytmetyczny warunek, na przykład x > y i wzywając kolegów, których współrzędne spełniają ten warunek, do wykonania pew­nego ćwiczenia. W ten sposób wyodrębnia się zbiór dzieci określony wa­runkiem x > y, idąc „od warunku do zbioru". Nauczyciel wskazuje ręką dzieci siedzące „na jednej z przekątnych". Dzieci dobierają arytmetyczny warunek x = y. Tu mamy ćwiczenie w kierunku: „dany podzbiór - waru­nek". W dalszym ciągu tego rodzaju ćwiczenia będą organizowane w zasto­sowaniu do układu współrzędnych w płaszczyźnie i zbiorów punktów płaszczyzny. Dzieci jedenastoletnie znają tylko liczby wymierne. Ich płasz­czyzna zaopatrzona w układ współrzędnych nie jest jeszcze pełną płaszczy­zną ich nauczyciela. Nie porusza jednak on na razie tego delikatnego pro­blemu. Od początku natomiast organizuje ćwiczenia w dwóch kierunkach: figura geometryczna - warunek, warunek - figura geometryczna. Ćwiczeniu „wyznaczyć figurę określoną w danym układzie współrzędnych warunkiem x > 0 i y = -*" towarzyszy bezpośrednio ćwiczenie: Jakim warunkiem w tym układzie określisz dwusieczną trzeciej ćwiartki układu współrzęd­nych"? Po rozwiązaniu zadania „wyznacz figurę geometryczną określoną warunkiem 3 <x< 5 i 2 <y < 8", nauczyciel stawia pytanie: Jak zmienisz te warunki, aby określić figurę powstałą z poprzedniej przez dołączenie do niej jej brzegu?"' Uczeń wykonuje tu znowu czynności dwukierunkowe, od warunków do figury, od figury do warunków.

Rozmaite wariacje na temat tego samego zadania stwarzają natu­ralne sytuacje sprzyjające analogicznym ćwiczeniom. Mając dane a, b, c i niewiadomą*, dzieci obliczają*, następnie zaś próbują wyznaczyć układ a, b, c, gdy * jest dane. Dzieci są niejednokrotnie zaskoczone tym, że droga odwrotna do tej, którą przebyły poprzednio, nie prowadzi do jednoznacznej odpowiedzi. Ćwiczeniu: „oblicz pole prostokąta, gdy dane są długości 6, 10 jego boków" towarzyszy ćwiczenie: Jakie są długości boków prostokąta, którego pole jest równe 30"? Dzieci po dyskusji otrzymują zbiór par liczb czyniących zadość warunkom zadania. Interpretacja geometryczna tego rozwiązania (rys. 20) w sposób naturalny prowadzi do pierwszego spotkania dzieci z figurą określoną równaniem o dwóch niewiadomych (zbiór punk­tów zawarty w gałęzi hiperboli).

Dzieci powinny też formułować i rozwiązywać zadania „częścio­wo odwrotne". Po rozwiązaniu zadania prowadzącego od danych a, b, c do wyznaczenia *, rozważa się zadania typów: dane a, b, x, obliczyć c; dane a, c, x, obliczyć £ itp.

Rys. 20

Może się przy tym jeszcze - podobnie jak poprzednio - zdarzyć, że jeżeli * zostało wyznaczone jednoznacznie z danych a, b, c, to dane *, a, c nie wy­starczają do wyznaczenia b.

Zdarzyć się także może, że to jest możliwe, ale uczeń jeszcze nie rozporządza odpowiednią techniką potrzebną do rozwiązania tego zadania. Powstaje wtedy otwarty problem: Jak to rozwiązać", jako wstęp do nowe­go tematu nauczania.

Opisane przykłady tylko ilustrują to, co rozumiemy intuicyjnie przez „odwracanie czynności" w bardzo prostych, codziennych szkolnych sytuacjach. Podanie jakiegoś zadowalającego ze względu na ścisłość sche­matu takiego „odwracania" nie jest możliwe, bowiem sytuacje dydaktyczne na ogół nie są podatne do ujmowania ich w sztywne reguły. Zwróćmy jed­nak uwagę na to, co jest wspólne w opisanych przykładach. Wszędzie tam występował pewien warunek. Operatywne rozumienie relacji określonej tym warunkiem było istotne dla rozumienia definicji czy twierdzenia. Zgodnie z sugestiami metody czynnościowej należy to rozumienie pogłę­biać i utrwalać przez wielokierunkowe ćwiczenia, których składowymi podstawowymi są: 1) sprawdzanie, czy dla danych konkretyzacji zmiennych ten warunek jest spełniony, 2) podawanie przykładów takich konkretyzacji zmiennych, aby warunek był spełniony, 3) gdy są podane konkretyzacje niektórych zmiennych, dobieranie (jeżeli to możliwe) konkretyzacji innych aby warunek był spełniony — to ostatnie w możliwie różnych kombina' cjach. Ćwiczenia typu 1) i 2) oraz 1) i 3) stanowią pary ćwiczeń wzajemnie odwrotnych. W ćwiczeniu typu 3), zmieniając rolę danych z poszukiwany mi, otrzymujemy również pary ćwiczeń odwrotnych. Często rozwiązanie jednego z zadań odwrotnych uczeń opiera na przyswojonym schemacie Rozwiązanie drugiego z tych zadań jest wtedy dlań trudniejsze, bo odwra­canie znanego schematu postępowania najczęściej nie jest łatwe. W zada­niu zilustrowanym na rysunku 18 warunkiem, o którym mówimy, jest wa­runek „złożenie symetrii środkowych s_h s₂ jest translacją T" (warunek ten zawiera trzy zmienne). Twierdzenie o składaniu dwóch symetrii środko­wych wyraża się praktycznie w schemacie postępowania: jeżeli spotkam w jakiejś sytuacji dwie symetrie środkowe, to ich złożenie mogę traktować jako translację, której wektor jest dwukrotnością wektora wyznaczonego przez parę: środek pierwszej i środek drugiej symetrii. Ćwiczenia podsta­wowe związane z tym tematem powinny być wielokierunkowe. Uczeń sto­suje najpierw wprost ten schemat postępowania, rozwiązując zadanie: jaką izomelrią jest złożenie symetrii względem środków boków wielokąta o parzystej liczbie boków (symetrie składamy w porządku ustalonym przez cykliczny porządek boków). Inne ćwiczenia wymagają odwrócenia sche­matu. Na przykład: przedstaw daną translację jako złożenie dwóch symetrii środkowych, uwzględnij wszystkie możliwe takie rozkłady: dane są trans­lacja i symetria środkowa s, dobierz tak drugą symetrię środkową s\ aby dana translacja była złożeniem a) ss\ b) s's; ustalono jedną symetrię środ­kową s₀, udowodnij, że zbiór izometrii postaci s_a s lub s s_0l gdzie s przebie­ga zbiór wszystkich symetrii środkowych, jest zbiorem wszystkich transla­cji; udowodnij, że każdą translację można przedstawić jako iloczyn 2n sy­metrii środkowych, z których 2n - 1 można zadać dowolnie (n jest dowol­nie z góry zadaną liczbą naturalną). Oczywiście w związku z każdym twierdzeniem rozwiązuje się zawsze różne zadania. Chodzi jednak o to, aby w doborze tych zadań, między innymi kryteriami, decydowało świadomie przez nauczyciela stosowane kryterium wielokierunkowości w stosowaniu schematu postępowania sformułowanego na podstawie definicji czy twier­dzenia.

W rozważanych w 5.4.1 przykładach za warunki, o których wyżej wspomniałam, można uznać warunki:

1) ^— A = B

n

2. Iloczyn wielomianów P i Q jest wielomianem R.

3. Pochodną funkcji w danym przedziale jest funkcja g.

Ą) Podobieństwo p przekształca zbiór punktów/ na zbiór punktów/. 5) Liczba a jest n-tą potęgą liczby b.

6)/jest proporcjonalnością prostą, odwzorowującą zbiór Z na zbiór Z'. 7) Z jest zbiorem utworzonym z tych i tylko tych elementów zbioru Z, które spełniają warunek określony na Z'. x=f(a, b, c). 9) Aksjomaty incydencji w płaszczyźnie:

A V A V

(xźy=> x, yea); x,y,zea;

x,yeZ_{ aeZ₂ aeZ, x,y,zeZ,

v A

(x g a v y g a v z <£ a)

b) Kontrastowanie

Bardzo ważnym zabiegiem dydaktycznym w prawidłowym kształtowaniu operatywnych schematów matematycznych w myśli ucznia (operatywnie ujmowanych definicji i twierdzeń) jest kontrastowanie. Oto przykłady pytań, na które w związku, z poznanymi definicjami uczeń powi­nien sobie wyraźnie w postaci planu postępowania odpowiedzieć.

Jakie czynności wykonam odwołując się do definicji granicy ciągu, aby pokazać, że granicą ciągu liczbowego a„ jest liczba g, a jakie, aby pokazać, że g nie jest granicą ciągu a„l Jakie czynności wykonam odwołu­jąc się do definicji ciągłości funkcji, aby pokazać, że funkcja/jest ciągła w punkcie x_ol a jakie, że nie jest ciągła w punkcie x„l

Jak będę sprawdzać, że jakiś zbiór punktów jest wypukły, a jak że nie jest wypukły? Jak sprawdzę, że pewna relacja jest w zbiorze T prze­chodnia, a jak, że jest nieprzechodnia, a jak, że nie jest przechodnia?

Podobnie kontrastowanie wystąpi w konstrukcji przez ucznia przykładów. Wyróżnij w grupie izometrii jej dowolną podgrupę. Wyróżnij w zbiorze izometrii podzbiór, do którego należy przekształcenie tożsamo­ściowe, zamknięty ze względu na składanie przekształceń, ale który nie tworzy grupy przekształceń. Wyróżnij w zbiorze izometrii jego podzbiór o tej własności, ze wraz z każdym przekształceniem doń należącym, należy

doń też przekształcenie odwrotne do przekształcenia, ale mimo to ten pod­zbiór nie tworzy grupy przekształceń. Kontrastowanie w przypadku defini­cji powinno dotyczyć każdego z czynników koniunkcji tworzącej definiens. Każdy z warunków zostanie w ten sposób szczególnie wyraziście w myśli ucznia utrwalony. W przypadku omawiania twierdzeń kontrastowanie bę­dzie dotyczyć poszczególnych członów koniunkcji stanowiącej założenie twierdzenia, w celu uświadomienia uczniowi istotności każdej z tych prze­słanek. Na przykład, omawia się w klasie twierdzenie: jeżeli funkcja jest określona na przedziale domkniętym i ciągła w tym przedziale, to jest w tym przedziale ograniczona. Czy ciągłość funkcji jest tu istotnym założe­niem? Czy nie wystarczy założyć, że funkcja jest określona na przedziale domkniętym? Dla uczniów, których myślenie o funkcjach jest często spola­ryzowane przez doświadczenia ograniczone do funkcji elementarnych, odpowiedź nie jest wcale oczywista. Czy możesz zdefiniować funkcję okre­śloną w każdym punkcie przedziału domkniętego i nieograniczoną? Czy wystarczy zatem założyć tylko o funkcji, że jest określona na przedziale domkniętym, aby mieć pewność, że jest ona w tym przedziale ograniczona? Czy funkcja ograniczona, określona na przedziale domkniętym, musi być ciągła? Przykłady. Czy warunek, że przedział ma być domknięty, jest istot­ny? Czy mógłbyś skonstruować funkcję ciągłą na przedziale otwartym choćby jednostronnie, która nie byłaby ograniczona?

Schemat sprawozdawczo-antycypacyjny oparty na twierdzeniu formułuje się w myśli ucznia, gdy wyraźnie, explicite, sobie uświadamia: gdy stwierdzę w danej sytuacji, że spełniony jest warunek wyrażony w założeniu, to mogę być pewny, że jest też spełniony warunek podany w tezie. Otóż uczeń bardzo często zapomina o niektórych istotnych założe­niach i otrzymuje wnioski fałszywe lub prawdziwe nawet, ale jego rozu­mowanie jest niepoprawne. Dlatego uświadamianie mu istotności przesła­nek przez kontrprzykłady, których konstruowanie jest jedną z szczególnych form kontrastowania, jest tak bardzo ważne.

Wypada tu zrobić jedno zastrzeżenie. Czym innym jest istotność pewnej przesłanki w dowodzie, a czym innym jej istotność dla potencjalnej wywiedlności twierdzenia w ramach pewnej teorii. W szkole często for­mułujemy twierdzenia z mocniejszymi, niż to jest konieczne, założeniami i w dowodzie te mocne założenia wykorzystujemy. Nie myślimy tu o ma­tematycznie głębokim sensie istotności założenia, której to istotności nie możemy gwarantować dotąd, dokąd nie pokażemy, że założenia już osłabić nie można, co zachodzi na przykład wtedy, gdy twierdzenie ma postać równoważności. Chodzi jednak o to, aby ujawnione w sformułowaniu twierdzenia założenia mocno utrwalić w myśli ucznia, zarówno przez sto­sowanie twierdzenia wprost, jak i przez opisane kontrastowanie.

Kontrastowanie - to środek szczególnie mocny i skuteczny przy eliminowaniu błędów. Uczeń twierdzi: Jeżeli figura ma środek symetrii, to ma także dwie prostopadłe osie symetrii, bowiem każdą symetrię środkową można przedstawić jako złożenie dwóch symetrii o osiach prostopadłych. Nauczyciel może sprowokować sytuację, w której uczeń sam się zorientuje, że twierdzenie jest fałszywe, co więcej, uświadomi sobie, dlaczego jego rozumowanie jest fałszywe. Czy równoległobok nierównoboczny i niepro-stokątny ma środek symetrii? A czy ma oś symetrii? Obserwujemy zasko­czenie ucznia i niepokój wywołany sprzecznością między poprawnym -jego zdaniem - rozumowaniem i fałszywym twierdzeniem otrzymanym jako wniosek. W wyniku analizy tego rozumowania przeprowadzonej z aktywnym udziałem ucznia ujawnia się, że rozumował on tak: jeżeli zło­żenie przekształceń f\ g przekształca daną figurę na tę samą figurę, to każ­de z tych przekształceń przekształca tę figurę na tę samą figurę. Już przy­kład równoległoboku nieprostokątnego i nierównobocznego pokazuje, że twierdzenie jest fałszywe. Uczniowie podają wiele innych przykładów. Czy twierdzenie odwrotne jest prawdziwe?

Obserwowaliśmy w opisanej sytuacji rzeczywisty niepokój my­ślowy ucznia, niepokój twórczy, wewnętrzną konieczność wyjaśnienia powodu błędu dla samego siebie. Taki niepokój może nauczyciel wywołać w celu naturalnej motywacji prowadzonego przez uczniów badania. Jako przykład zacytujemy przebieg wstępu lekcji w klasie trzynastoletnich uczniów, uczonych według jeszcze bardzo ubogiego i tradycyjnego pro­gramu geometrii. Tematem było twierdzenie o stosunku pól figur podob­nych, przy czym na poprzednich lekcjach naukę o figurach podobnych stosowano także w zadaniach geografii (mapa jako „ figura podobna" do pewnej wyidealizowanej z terenu rzeczywistego figury).

Nauczyciel przyniósł mapę Polski w skali 1 : 1 000 000 i rozwiesił ją na ścianie. Dzieci obliczyły odległość Krakowa od Warszawy, mnożąc odległość wymierzoną na mapie przez 1 000 000. Nauczyciel - bez żadnych wyjaśnień - sformułował pytanie: jak obliczycie pole obszaru przedstawio­nego na mapie? Dzieci zastosowały poznany i używany poprzednio wielo­krotnie schemat wyznaczania z mapy „rzeczywistej odległości" do oblicza­nia „rzeczywistego pola", a więc zaproponowały pomnożenie pola map przez 1 milion. Nauczyciel przyjął tę odpowiedź i zapytał dalej: „ilu z was mogłoby stanąć na tej mapie, jeden przy drugim, tak abyście za bardzo nie rozpychali się łokciami"? Dzieci - jeszcze niczego nie podejrzewając stwierdziły, że czterech uczniów, „zmieściłoby się na mapie, ale już chyba ■ nie więcej". Pytanie: wobec tego na całym obszarze przedstawionym na mapie, a więc większym niż obszar Polski, ilu co najwyżej uczniów można by ustawić „łokieć przy łokciu"? wywołało konsternację! „Jak to możliwe"? wołali uczniowi?, ..przecież by tych gęsto ustawionych ludzi było tvlko 4 miliony, a w Polsce jest przeszło 30 000 000"!

Sytuacja była konfliktowa; uczniowie koniecznie chcieli ją wyja­śnić, usunąć sprzeczność, którą byli zaniepokojeni. Ta emocjonalna posta­wa uczniów stała się punktem wyjścia do bardzo interesującej lekcji, opartej na twórczym poszukiwaniu odpowiedzi na postawione pytanie.

Schemat okazał się nieodpowiedni do rozwiązania problemu, sformułowano nowy. Co więcej, dokonano dalszego kroku naprzód, gdy rozważano także podobieństwo w trójwymiarowej przestrzeni. Teraz można już było dokonać uogólnienia, uwzględniając wszystkie trzy przypadki. Otrzymano schemat schematów. Uczniowie uświadomili sobie przy tym, że trzeba być bardzo ostrożnym przy korzystaniu z poznanych przepisów postępowania i stosować je tylko w tym zakresie, w którym ich poprawność została zweryfikowana. Emocjonalne przeżycie próby asymilacji nowej sytuacji do przyswojonego schematu, konfliktu między głębokim przekona­niem a rzeczywistym stanem rzeczy i adaptacji schematu do nowej sytuacji wpłynęło na głębsze zrozumienie i utrwalenie poznanego ogólnego twier­dzenia.

Z przekraczaniem zakresu poprawności schematu postępowania spotykamy się często, gdy uczniowie stosują automatycznie reguły rachun­ku. Tutaj kontrastowanie powinno wystąpić już od początku, gdy tę regułę uczniowie poznają. Udowodniono twierdzenie: jeżeli obie strony równania pomnożymy przez liczbę różną od zera, to otrzymamy równanie mu rów­noważne. Nauczyciel wie jednak z góry, że jego uczniowie niejednokrotnie będą popełniać błędy, uznając za równoważne równania, z których jedno powstaje z drugiego przez pomnożenie obu stron przez - tradycyjnie tak zwane - „wyrażenie algebraiczne". Nauczyciel uprzedza ten błąd przez podanie układu równań nierównoważnych tego typu, na przykład:

-2x + x + 2 = 3(x² -4),

z których drugie otrzymał z pierwszego przez pomnożenie obu stron przez dwumian (x² - 4).

Uczniowie uświadamiają sobie wyraźnie, czynnościowo wszystkie elementy poznanej reguły, kontrastowanie przez przykład służy temu najle­piej, najskuteczniej.

5. Racjonalny wybór schematu

Ważnym warunkiem tego, aby czynnościowe schematy nie przera­dzały się w mechaniczne, sztywne recepty, jest stałe uświadamianie uczniom różnych sposobów postępowania prowadzących do tego samego celu, przyzwyczajanie do racjonalnego wyboru najbardziej odpowiedniej i najbardziej ekonomicznej drogi wiodącej do rozwiązania zagadnienia. Mogą to być zarówno sytuacje zupełnie prymitywne na poziomie dziecka ze szkoły podstawowej, jak i sytuacje bardziej złożone. Oto proste przykłady.

a) Uczniowie, porównując co do wielkości dwa ułamki, najczęściej prowa-
dzają je do wspólnego mianownika. Proponujemy porównać Tf'JóT

uczniowie nie przyzwyczajeni do racjonalnego wybierania schematów me­chanicznie zabierają się natychmiast do szukania wspólnego mianownika dla tych ułamków. Uczniowie uczeni od początku w sposób właściwy roz­strzygną najpierw, co się lepiej opłaci: sprowadzić ułamki do wspólnego mianownika, czy do wspólnego licznika. Oczywiście w tym przypadku sposób drugi jest bardziej racjonalny.

b) Uczniowie bardzo często nie rozumieją operatywnego sensu wzorów
algebraicznych. Twierdzenie: „potęga iloczynu równa jest iloczynowi potęg
czynników tego iloczynu o tych samych wykładnikach" wydaje się im
„tautologią" w tym znaczeniu, że nie widzą oni różnicy między wyrażenia-
mi „iloczyn potęg" i „potęga iloczynu". Dlatego na czynnościowe opraco-
wanie struktury wyrażenia algebraicznego trzeba od początku zwracać bar-
dzo baczną uwagę, kładąc nacisk na kolejność występujących w nim dzia-
łań. Na taką analizę nigdy nie należy żałować czasu. Uczeń powinien do­brze umieć zinterpretować równość (a ■ bf = a" ■ b" w Języku czynności", a więc myśleć: „Twierdzenie to zapewnia nas, że wykonując najpierw mno­żenie a ■ b i następnie podnosząc otrzymany iloczyn do n-tej potęgi, otrzy­mamy tę samą liczbę, którą otrzymamy też postępując inaczej, tj. podnosząc a do n-tej potęgi, podnosząc b do n-tej potęgi mnożąc uzyskane w ten spo­sób liczby".

Obliczając iloczyn 3 ² -12 ² opłaci się skorzystać z tego twierdzenia i zmienić porządek działań, bowiem:

(a • b )" ■ -~ = a " ■ b" ■ = a " Obliczając iloczyn (a ■ bf ■ ^ opłaci się skorzystać z tego twierdzenia

i zmienić porządek działań, bowiem:

Z wzoru (a - b) ■ (a + b) - a² - b² opłaci się korzystać „od prawej do lewej strony", np. obliczając 100²-99², bo 100² - 99² = 199 • 1 = 199. Natomiast iloczyn 1003 • 997 opłaci się obliczać według wzoru „od strony lewej do prawej", a więc obliczyć różnicę 1000²- 3" = 999991. c) Uczniowie poznają definicję jakiegoś obiektu, następnie twierdzenia dotyczące tego obiektu. Definicja bywa odczytywana często jako schemat konstrukcji tego obiektu, gdy są dane wartości parametrów, występujących w definicji.

Twierdzenia, w szczególności tak zwane wzory, stosowane w ra­chunku numerycznym, są również tak interpretowane operatywnie („obli­czam według wzoru"). Obserwacja szkolna ujawnia, że często mechaniczne stosowanie tych wzorów eliminuje z świadomości uczniów definicje i że uczeń wykonuje obliczenia, nie wiedząc już, co właściwie oblicza. Na przykład stwierdziliśmy niejednokrotnie, że uczniowie szesnastoletni wy­znaczali sprawnie granice ciągów stosując pewną ograniczoną listę twier-dzeń-wzorów, ale gdy się ich zapytano, jak rozumieją równość

lim n + 1 J_

n -> « 2n ł 3 " 2 '

otrzymaną w wyniku rachunku: lim _n + 1 lim ⁺ „ _ | + o _ l

«-h>oo 2 « + 3 "->°°2 + — ² + 0 ~ 2

n

nie umieli na pytanie odpowiedzieć i, jak się okazało, nie rozumieli zupeł­nie pojęcia granicy, choć umieli ją obliczyć w typowych przypadkach. Inną sytuację stwierdziliśmy w klasach, gdzie nauczyciel często powracał do definicji granicy ciągu bądź polecając uczniom obliczanie granicy „według twierdzeń" i dodatkowe, choć już niepotrzebne, sprawdzenie poprawności otrzymanego wyniku „według definicji", lub przeplatał ćwiczenia sprawno-ciowe, mechanizujące stosowanie twierdzeń, ćwiczeniami, w toku których uczeń, nie rozporządzając odpowiednimi twierdzeniami, stawiał intuicyjną hipotezę o wartości granicy i weryfikował ją na podstawie definicji. Obser­wowaliśmy również uczniów, których nauczono biegle różniczkować funk­cje wielomianowe w ramach wielu ćwiczeń na temat badania zmienności tych funkcji i szkicowania ich wykresów. Gdy przystąpiono do obliczania pochodnej funkcji x -» — okazało się, że żaden z uczniów nie umiał się do

tego zabrać, definicja zatarła się w ich pamięci (proponowano nawet jako odpowiedź funkcję stałą jc—>U bo „pochodna funkcji je-** jest równa lii: 1=1). I znowu inną była reakcja uczniów w klasie, w której powracano stale do definicji pochodnej, obliczając pochodne rozmaicie, „z wzorów" i „z definicji".

Można łatwo stwierdzić, że stosowanie przez dłuższy czas ćwiczeń numerycznych z zastosowaniem tablic logarytmicznych zaciera w myśli ucznia samo pojęcie logarytmu. Aby wyznaczyć liczbę lo^log3526 uczeń auto­matycznie stosuje regułę „logarytm potęgi równa się ..." i szuka w tablicach wartości przybliżonej log 3526. Inny uczeń znajduje w tablicach log sin 30° = 0,3010, ale na pytanie, jak to stwierdzenie można inaczej zapisać bez użycia symbolu „log", nie umie odpowiedzieć. Dalsze badanie ujawnia, że w istocie rzeczy nie wie, jaki sens ma ten symbol, choć biegle Wykonuje obliczenia numeryczne za pomocą tablic. Natomiast w innej klasie, w której, stosując tablice, do definicji logarytmu od czasu do czasu Powracano, uczennica, od której zażądano podania wartości tablicowej l°g 3 z pamięci i która tej wartości nie pamiętała, próbowała poradzić sobie Przez znajdowanie kolejnych przybliżeń pierwiastka równania 10^x= 3

3 2)2 12

3(10 <3³ , Więc iot<3(ioi i0.3<.v<0.5l 3^,2>10⁵ więc

j_ i

10 ^,; < 3 < 10 ² i 0,41 ( x < 0,5

Rachunek był nieco naiwny, ale pojęcie dobrze ugruntowane. Pojęciowe opanowanie materiału nauczania umożliwia oderwanie się od schematu tam, gdzie tego schematu nie można by zastosować, bądź tam, gdzie można do rozwiązania dojść drogą krótszą, czy prostszą, czy choćby ciekawszą niż ta, którą się postępuje według schematu.

Taka elastyczność myśli nie spolaryzowanej przyswojonym sche­matem jest konieczna, gdy rozwiązujemy zadania bardziej złożone. Dlatego trzeba ją kształcić przy wszystkich operacjach elementarnych podstawo­wych, przy interpretacji definicji i twierdzeń.

6. Algorytmy i algorytmizacja

Niektóre schematy postępowania mogą być formułowane jako al­gorytmy. Teoria algorytmów jest już dziś rozwiniętym działem granicznym matematyki, logiki i informatyki. Formalna definicja algorytmu wymagała­by wprowadzenia pewnego aparatu logicznego, zbyt subtelnego dla naszych celów dydaktycznych. Dlatego poprzestaniemy na wystarczającym dla tych celów definicyjnym opisie i ograniczymy ten opis do pewnych tylko typów algorytmów. Algorytmem opracowanym dla pewnej klasy zadań opartym na pewnym danym z góry zbiorze czynności podstawowych będziemy na­zywać każdy plan skończonego ciągu czynności wybranych z tego zbioru taki, że wykonanie w zaplanowanej kolejności tych czynności przy danych specyfiku]ących określone zadanie tej klasy prowadzi do rozwiązania tego zadania. Algorytm powinien więc w tym znaczeniu spełniać warunek ogól­ności, to jest zawierać parametry, których konkretyzacja określa zadanie danej klasy. Podstawiając za te parametry szczególne dane i realizując algo­rytm z tymi podstawieniami rozwiązujemy zadanie wyróżnione w danej klasie tymi danymi. Algorytm powinien wyznaczać jednoznacznie kolejne czynności. Jeżeli ktoś opanował czynności podstawowe, na których opiera się algorytm, to może zadanie, wykonując kolejne czynności zaplanowane w algorytmie, rozwiązać automatycznie. Wreszcie algorytm powinien być efektywnym planem czynności, to znaczy ma prowadzić niezawodnie do

[poprawnego rozwiązania zadania po skończonej liczbie kroków, jeżeli tylko [poszczególne czynności zostaną wykonane bez błędu i dokładnie według Iplanu.

Uczeń poznaje bardzo wcześnie pisemne algorytmy numeryczne. Jeżeli opanował tabliczkę mnożenia i dodawania liczb naturalnych, to mno-

i żenię liczb wielocyfrowych może już wykonywać bezbłędnie według od-

[powiedniego algorytmu.

Opanowanie podstawowych algorytmów arytmetyki i algebry jest konieczne. Pewne sprawności elementarne i możliwość automatycznego

[wykonywania operacji rachunkowych przede wszystkim - jest warunkiem bardziej twórczej pracy w matematyce na każdym poziomie. Ale tych algo-

Irytmów „do zapamiętania" nie powinno być zbyt wiele i w miarę rozwoju

[maszyn liczących ich liczba albo się zmniejsza, albo jedne algorytmy zni-

f kają jako zbędne, a pojawiają się inne.

Najważniejsze jest jednak to, by uczeń sam konstruował algorytmy jako rozwiązania zadania. To jest możliwe na każdym poziomie, bo na

! każdym poziomie kontaktu z matematyką przejawia się jej operatywny charakter i na każdym poziomie jej nauczania trzeba kształcić specyficzne kategorie matematycznego myślenia.

Od początku nauczania matematyki dzieci mogą i powinny być przyzwyczajane do bardzo jasnego i jednoznacznego planowania rozwiąza­nia zadania i równie jasnego i jednoznacznego formułowania tego planu. W przypadku zadań, tradycyjnie zwanych „zadaniami tekstowymi" lub „zadaniami z życia", zapis planu z użyciem nawiasów jest dla dzieci klas początkowych często zbyt trudny, zapis werbalny zbyt zawiły i nieprzejrzy­sty oraz ze względu na trudności związane z samą sztuką pisania czasem w ogóle dziecku niedostępny. Prawidłowe używanie nawiasów można po­przedzić prawidłowym budowaniem drzew-planów rozwiązania zadania. Skonstruowanie drzewa planującego rachunek numeryczny na danych sta­łych można następnie przekształcić na drzewo ze zmiennymi, a więc na zapis algorytmu w znaczeniu przepisu postępowania ważnego dla całej klasy zadań. Oto prosty przykład obserwowany w klasie dziewięcioletnich dzieci, rozwiązujących zadanie: 93 dzieci klasy pierwszej i 118 dzieci klasy drugiej ma jechać na wycieczkę pod opieką 9 nauczycieli i 8 rodziców. Wiadomo, że każdy z wynajętych autobusów zabierze 50 osób. Przewiduje się, że dla osób, które nie będą już miały miejsca w dużych autobusach, zakupi się pojedyncze bilety na miejsca w autobusie państwowej komuni­

kacji. Ile trzeba zamówić autobusów i ile biletów? Dzieci pracują dwójkami i przedstawiają rozwiązanie w postaci drzewa, w którym uwidoczniono ciąg operacji arytmetycznych prowadzący do odpowiedzi na pytanie. Interpre­tując swoje drzewo (niektóre drzewa opracowane przez dzieci różnią się kolejnością działań), jedna dwójka wyjaśnia (rys. 21): aby obliczyć ile ma jechać dzieci trzeba dodać liczby 93 i 118, aby obliczyć ile jedzie osób „opieki", trzeba dodać 9 i 8, potem obliczamy, ile potrzeba miejsc dla wszystkich osób, znowu trzeba dodać liczbę wszystkich dzieci i liczbę osób opieki, potem obliczamy, ile trzeba autobusów i ile biletów: trzeba podzielić liczbę osób przez 50, reszta to liczba biletów. Nauczycielka

Drzewo - rozwiązanie Drzewo - rozwiązanie zadania ze

zadania numerycznego zmiennymi
jeszcze o nikłej ogólności, ale której stopień dostosowano do etapu rozwoju myślenia dzieci tak, że to uogólnienie zostało dokonane przez nie samo­dzielnie.

Zapis tego algorytmu za pomocą wzoru z użyciem nawiasów jest dla dzieci trudniejszy ((*, y)=[(a + b) + (c + d)] + e); zapis w postaci drzewa stanowi dogodne wprowadzenie w umiejętność poprawnego sto­sowania nawiasów.

(+jest znakiem „dzielenia z resztą", rozumianego jako przyporządkowanie parze liczb naturalnych pary liczb).

Próby całkowitej zmiany treści zadania przez same dzieci tak, aby nowe zadanie można było rozwiązać według tego samego schematu, poka­zują, jak bardzo myśl dziecka jest spolaryzowana przez treść zadania wyj­ściowego. Od „wycieczki" z innymi danymi liczbowymi dzieci potrafiły się oderwać tylko przy wydatnej pomocy nauczyciela.

To samo drzewo może być zapisem równania, traktowanego jako matematyzacja na przykład zadania: mamy do rozporządzenia 3 autobusy 50-osobowe i 1 mikrobus na 12 miejsc. Z pierwszej klasy na wycieczkę ma jechać 80 dzieci, z drugiej 66, pod opieką 10 nauczycieli. Ilu rodziców możemy zaprosić? Proponuje się dzieciom wykorzystanie ich drzewa do zapisu zadania. Pojawia się drzewo-równanie, następnie zaś drzewo-rozwiązanie tego równania (rys. 22).

zwraca uwagę dzieci na to, że w przyszłym roku w tej szkole znowu klasy pierwsze i drugie pojadą na wycieczkę pod opieką nauczycieli i rodziców. Czy będzie można skorzystać z naszego rozwiązania? Dzieci bardzo szybko znajdują odpowiedź, wymazując na tablicy z kółek zapis liczb - liczby prze­cież mogą być inne, ale plan będzie ten sam (inna liczba uczniów, inna liczba osób-opieki, może inne autobusy?). W ten sposób ustalono algorytm rozwiązania zadania bardziej ogólnego, zadania ze zmiennymi, oczywiście

Podstaw
a: = b
	——— £
b : = r

Dane a>b

Wyznacz

resztę r z dzielenia a przez b

koniec odpowiesz: b

Rys. 23

[(80+66) = (10+x)]+50=3 r 12

x=[(50-3+12)-(80+66)]-10 x = 6

Rys. 22

Przykładem algorytmu numerycznego na wyższym poziomie może być algorytm Euklidesa dla największego wspólnego dzielnika dwóch liczb. Klasa zadań w tym przypadku jest określona poleceniem: „wyznacz naj­większy wspólny dzielnik liczb a i b"; parametry a, b przyjmują wartości w zbiorze liczb naturalnych; zbiór podstawowych czynności, to czynności: wyznaczanie reszty z dzielenia jednej liczby naturalnej przez drugą, porów­nywanie liczb, podstawianie jednej liczby za drugą (w przedstawionym niżej organigramie symbol a:-b oznacza, ze za a należy podstawić b).

Zadanie numeryczne tej klasy jest określone przez parę wartości parametrów a, b; algorytm prowadzi automatycznie, przy umiejętności wykonywania podstawowych czynności, do rozwiązania tego zadania. Na przykład zadanie: „wyznacz największy wspólny dzielnik liczb 504 i 288" rozwiązujemy według algorytmu Euklidesa wykonując kolejne czynności opisane w organigramie:

1. Wyznaczamy resztę z dzielenia 504 przez 288, ta reszta równa się 216.

2. Stwierdzamy: 216 * 0, otrzymana reszta jest różna od zera.

3. Podstawiamy 288 za 504 i 216 za 288 i przy tym podstawieniu wyko­nujemy czynność opisaną w 1, a więc wyznaczamy resztę z dzielenia 288 przez 216, ta reszta równa się 72.

4. Stwierdzamy: 72 * 0, otrzymana reszta jest różna od zera.

5. Podstawiamy 216 za 288 i 72 za 216 i przy tym podstawieniu wykonu-

jemy czynność opisaną w 3, a więc wyznaczamy resztę z dzielenia 216 przez 72, ta reszta równa się 0.

6. Stwierdzamy: otrzymana reszta jest równa zero, a więc zgodnie
z poleceniem organigramu formułujemy odpowiedź: największym
wspólnym dzielnikiem liczb 504 i 288 jest 72.

Algorytm Euklidesa jest ogólny, jednoznaczny i efektywny. Efek­tywność algorytmu zapewnia znane twierdzenie arytmetyki, gwarantując, że ciąg reszt wyznaczonych według algorytmu jest skończony i że ostatnia różna od zera reszta jest największym wspólnym dzielnikiem dwóch liczb do których algorytm zastosowaliśmy. Jest jednoznaczny, co również wynika z twierdzeń arytmetyki (jednoznaczność reszty z dzielenia) i ogólny, bo zawiera parametry, a więc prowadzi przy odpowiednim podstawieniu do obliczenia największego wspólnego dzielnika dowolnie zadanych dwóch liczb naturalnych.

Algorytm Euklidesa jest przykładem algorytmu numerycznego. Operatywny charakter matematyki pozwala na konstruowanie rozwiązań wielu problemów w postaci algorytmów nienumerycznych. Do takich pro­blemów należą klasyczne zadania konstrukcyjne.

Genezą klasycznych zadań konstrukcyjnych była metoda deduk­cyjna. Konstrukcje stanowiły bowiem dla Euklidesa dowody istnienia obiektów geometrycznych; geometryczny obiekt mógł być definiowany tylko wtedy, gdy można było go wyznaczyć przez skończony ciąg elemen­tarnych konstrukcji: wyznaczanie prostej, gdy dane są dwa różne punkty tej prostej, okręgu, gdy dany jest jego środek i promień, oraz punktów wspól­nych dla poprzednio w ten sposób wyznaczonych okręgów i prostych. „Ist­nienie" prostych i okręgów tak zdefiniowanych było zastrzeżone w aksjo­matach i postulatach, istnienie punktów przecięcia prostych, okręgów oraz prostych z okręgami w pewnych szczególnych przypadkach u Euklidesa było milcząco przemycane (brak było aksjomatów ciągłości). W nauczaniu geometrii tradycyjnej zadania konstrukcyjne nie miały już w świadomości ucznia tego metodologicznego sensu, a zmiana aksjomatyki w ogóle czasem ten metodologiczny sens eliminowała. Niemniej uważano te zadania za kształcącą inwencję twórczą ucznia oraz za bardzo dobre ćwiczenie w sto­sowaniu poznanych twierdzeń geometrycznych i ich dowodzeniu (bo po­prawność konstrukcji trzeba było udowodnić). Obecnie w nowym układzie kursu geometrii konstrukcje przy ograniczonych środkach, innych niż kla­syczne, mogą mieć nadal metodologiczny sens jako dowody istnienia (na przykład przez konstruowanie równoległych w płaszczyźnie afinicznej, realizowane materialnie za pomocą translatora). W innych układach niektó­re konstrukcje klasyczne, realizowane materialnie w rysunkach cyrklem i linijką jeszcze ciągle są uważane za pożyteczne i kształcące. Obserwacja pracy uczniów pokazuje jednak, że często nie rozumieją oni sensu tych ograniczeń. Obserwowaliśmy te trudności, gdy uczeń dwunastoletni roz­wiązujący zadanie „skonstruować styczną przechodzącą przez dany punkt" ustawiał po prostu linijkę tak, że narysowany na kartce punkt leżał na brze­gu tej linijki, i obracał ją tak długo dokoła tego punktu, aż ten brzeg „zetknął" się z narysowanym okręgiem. Uczeń twierdził, że przecież zada­nie rozwiązał cyrklem i linijką że innego instrumentu nie stosował. Tego rodzaju nieporozumienie w ogóle się nie pojawia u młodszych uczniów, gdy umówimy się z nimi, że mają przygotować ciąg „rozkazów" dla fikcyj­nej maszyny, która umie wykonać tylko pewne, ściśle określone czynności. Wyobrażamy sobie, że maszyna jest zaopatrzona w ekran, który może się rozszerzać jak tylko potrzeba, i jest ona tak skonstruowana, że możemy jej wydawać pewne rozkazy które wykonuje ilustrując rezultat rysunkiem na ekranie. Gdy się wymieni nazwy dwu różnych punktów, narysuje na ekranie te punkty i przechodzącą przez nie prostą, gdy się jej podobnie wskaże punkt i parę różnych punktów, narysuje okrąg, którego środkiem jest ten punkt, a długością promienia odległość punktów tej pary: maszyna umie wskazać i oznaczyć punkty przecięcia prostych z prostymi, okręgów z okręgami, prostych z okręgami.

Zakładamy też, że nasza maszyna umie wybrać „losowo" tyle punktów, ile ich będzie potrzeba, w danej prostej i poza nią, w danym okrę­gu i poza nim, między dwoma danymi punktami w prostej i na zewnątrz odcinka wyznaczonego przez te punkty w tej prostej. Maszyna umie rozpo­znać, czy wskazany jej punkt należy do wskazanej prostej, do wskazanego okręgu, czy do nich nie należy, i umie nam to zasygnalizować na przykład napisem na ekranie. Poza tymi rozkazami i poleceniami odpowiedzi maszy­na żadnego innego rozkazu nie rozumie. Zabawa polega na tym, że jeden uczeń wydaje rozkazy, drugi jest maszyną która automatycznie tylko wy­konuje te rozkazy. Jeżeli otrzyma rozkaz inny niż ten, który jest przewi­dziany w jej budowie, nie wykona rozkazu, zatrzyma się, daje sygnał: „nie rozumiem".

Po analizie zadania i odkryciu sposobu konstrukcji uczniowie spo­rządzają na osobnej karcie organigram czynności maszyny. Zilustrujemy to na przykładzie konstrukcji punktu symetrycznego do danego punktu wzglę­dem danej prostej (symbole pr M N. o(0, AB) oznaczają odpowiednio pro­stą, do której należą punkty M, N, oraz okrąg, którego środkiem jest punkt O i długość promienia jest równa odległości punktów A, B, S_;l (A) - punkt symetryczny do punktu A względem prostej a (rys. 24)).

Przyjmujemy dalej, że maszyna nauczyła się już w ten sposób wyznaczać punkt symetryczny do danego punktu względem danej prostej. Możemy więc korzystać z tego „podprogramu" bez wymieniania jego kolejnych kroków. Gdy trzeba będzie

Program nr.

Konstrukcja punktu symetrycz­nego do danego punktu wzglą­dem danej prostej

Progra.r, nr

Konstrukcjo proste] symetrycznej do dane/ prostej uzgteiem darni prostej

danego okręgu przechodzącą przez dany punkt. Oczywiście nie może się w tym programie znaleźć polecenie: obracaj prostą dokoła punktu A tak, aby się zetknęła z okręgiem, co

Dane proste a, 0
^!
Wypierz M,Nea
1
Wyzt N'=i

Kamee B j So(A)

Wyznacz

Be.c(M,MA)r\o(N,NA)

Rys. 24.

konstruować prostą symetryczną do danej prostej a względem prostej b, uczniowie polecą maszynie postępować według następującego organigramu (rys. 25).

Po jakimś czasie, w miarę uczenia się geometrii, ilość „podpro­gramów", którymi nasza maszyna rozporządza, wzrasta. Przypuśćmy, że maszyna już rozporządza programami do zadań: wyznacz środek odcinka, gdy masz dane jego końce, skonstruuj prostą przechodzącą przez dany punkt i prostopadłą do danej prostej, odpowiedz na pytanie, czy odległość dwóch danych punktów jest równa odległości danych także dwóch punk­tów, czy jest większa czy mniejsza od odległości tych danych punktów. Uczniowie przygotowują nowy program do zadania: skonstruuj styczną do proponował wspomniany poprzednio uczeń, bo nasza maszyna takiego rozkazu nie zrozumie. Po analizie zadania i odkryciu rozwiązania redaguje się opis konstrukcji w postaci nowego programu; powołujemy się tu na numery poprzednio opracowanych programów, których maszyna się już nauczyła, nie musimy więc ich rozpisywać (rys. 26).

W sposobie formułowania rozkazów celowo używaliśmy języka, którego dwunastoletni uczeń używa na co dzień w nauce geometrii. Nie chodzi tu bowiem o wprowadzenie od początku rygorów symboliki infor­matycznej. Trzeba się przy tym liczyć, że i dla nauczyciela nie informatyka, uczącego dzieci dwunastoletnie sporządzanie organigramów lege artis in­formatycznej byłoby trudne. Cel jest skromniejszy, ale może i bardziej istotny.

Opis rozwiązania zadania w postaci organigramu zmusza ucznia do bardzo ścisłego wyrażania swych myśli w postaci jednoznacznych ope­racji należących do a priori określonego zbioru „operacji dozwolonych". Jest to oswajanie ucznia z ideą algorytmizacji rozwiązania problemu jako rozwiązania, które doskonalić można już tylko przez racjonalizację algo­rytmu i jego upraszczanie ze względu na różne kryteria. Powoływanie się na

Program nr... Konstrukcja stycznej do tianegj okręgu pnechoazą-UJ przez dany punkt

konlzc

nie istnieje styczne do o(0)0A) przecr.oJ2qcs przez P

„podprogramy", to jest na konstrukcje już poprzednio zalgorytmizowane sprzyja stałemu odnawianiu wiedzy. Podprogramy mogą być numerowane podstawowe konstrukcje mogą być opisywane za pomocą organigramów sporządzanych na osobnych kartach, taka kartoteka kolejnych programów może stanowić materiał przy powtarzaniu materiału. W ten sposób także do zadań typu tradycyjnego można wprowadzić pewne elementy jeszcze bar­dzo naiwne, ale już ukierunkowane na informatyczne myślenie, które szkoła powinna stopniowo i systematycznie kształcić.

Skonstruuj prOP

program nr

Skonstruuj p-ostą o tak, że Pe D i b .1 pr OP

koniec

0 itst ':-,c?na JcoiO.OA)

1 Pe b

koniec ?

pr PR i pr W są <, 5/."r.-'v.7)/ ju c'0,0A) \ '.CKiimi prrez? ■>

Sporządzenie organigramu wiąże się oczywiście z rozumowaniem, z analizą i z dowodzeniem. Organigram ujawnia wszystkie wykorzystane dane i założenia, wskazuje przez „końcówki", co trzeba udowodnić.

Nie każdy sprawozdawczo-antycypacyjny schemat postępowania ma charakter algorytmu, bo nie w każdym takim schemacie wskazane czynności i ich kolejność są jednoznacznie wyznaczone.

7. Ujęcie pojęciowe i ujęcie algorytmiczne

Ważnym zabiegiem dydaktycznym jest zobiektywizowanie i rów­nocześnie subiektywnie operatywne ujmowanie przez ucznia każdej defini­cji i każdego twierdzenia. Na przykład sens zdania: „prawdopodobieństwo zdarzenia będącego sumą dwóch zdarzeń rozłącznych jest sumą prawdopo­dobieństw tych zdarzeń" uczeń powinien uświadomić sobie w dwóch wer­sjach: w jednej jako twierdzenie o własnościach pewnego przedmiotu, tj. funkcji określonej w zbiorze zdarzeń, w drugiej jako regułę postępowania: „gdy znam prawdopodobieństwa dwóch zdarzeń rozłącznych, to wyznaczę prawdopodobieństwo sumy, dodając prawdopodobieństwa tych dwóch zdarzeń". Świadome i konsekwentne organizowanie przez nauczyciela zo­biektywizowanego i równocześnie subiektywnie operatywnego poznawania matematyki jest ważnym elementem nauczania czynnościowego. Doświad­czenie uczy, że sam uczeń nie zawsze takiego „przekładu „dokonuje, a gdy tego wyraźnie nie zrobi, twierdzenie pozostanie dlań martwe. Jawnie sfor­mułowana odpowiedź na pytanie: „do czego mnie to twierdzenie (ta defini­cja) uprawnia, co mogę na tej podstawie czynić?" jest wielu uczniom, szczególnie słabszym, potrzebna. Z drugiej strony, jeżeli uczeń poprzestaje tylko na uświadomieniu sobie reguł postępowania, również nie ujmuje w pełni matematycznej treści. Na podstawie schematu operacji powinien w jego myśli kształtować się abstrakcyjny przedmiot, jako rezultat tej kon­strukcji.

Zwracamy na to uwagę, bo skrajne eksponowanie schematów o charakterze algorytmicznym bez równoczesnego wprowadzenia ucznia w myślenie pojęciowe, w globalne ujmowanie sytuacji, może być nawet hamulcem w rozwijaniu jego matematycznego myślenia. Wiadomo, że istnieją zagadnienia w matematyce, których nie można rozwiązać za pomo­cą algorytmu (twierdzenia Gódla, Churcha, Matjasiewicza). Ale nie to jest istotne, gdy myślimy o poziomie nauczania szkolnego. Istotna jest nato­miast rola globalnego, często w dużej mierze intuicyjnego uświadomienia sobie treści definiowanego pojęcia, twierdzenia czy istotnego rusztowania rozumowania z pozostawieniem szczegółów na dalszym planie. Istotne jest również szersze rozumienie algorytmu, nie tylko w klasycznym znaczeniu rachunku numerycznego czy algebraicznego. J. Dieudonne tak charaktery­zuje rolę rachunku w aktywności twórczej matematyka: „pierwszym obo­wiązkiem matematyka w ujmowaniu powstałej teorii jest dowodzenie twierdzeń wszystkimi możliwymi środkami. Wybór tych środków jest tu drugorzędny ... Rachunki, które się w związku z tym wykonuje, mogą być obrzydliwe. Przypominam sobie, jak około roku 1950, w momencie grun­towania teorii homologii z Mac Łanem, Eilenberg zwierzył mi się, że obaj przeprowadzając się przenosili walizę wypchaną rachunkami. Inaczej mó­wiąc . ci dwaj wielcy matematycy zaczynali od rachowania! Nie ma w tym nic szokującego. Jedną ze słabości natury ludzkiej jest to, że ukryte źródła i głębokie idee danej teorii nie od razu się ujawniają. Jak mawiał Hadamard: „Proste idee pojawiają się dopiero na końcu". Oczekując na nie, rachuje się, aby jakoś rozwikłać sytuację. Dzisiaj we wszystkich nowych teoriach ... badacze ciągle rachują. Jestem przekonany, że tam, jak i w całej matematy­ce, jest to etap przejściowy. Nasi synowie i wnukowie będą się z pobłaża­niem śmiać z naszych olbrzymich rachunków, mówiąc: „Ci biedni ludzie niczego nie rozumieli. Nie uświadamiali sobie podstawy tego wszystkiego. My mamy tę świadomość, prowadzimy więc dowody pojęciowe, a jeżeli chodzi o rachunki, to ich już nie potrzebujemy, wyrzucamy je „za okno", i to będzie właśnie dobrze. Wszystkie te przykłady ujawniają stałe uwalnia­nie matematyki od rachunku. Najpierw się rachuje jak można najlepiej, potem stopniowo wydobywa się podstawowe pojęcia, analizuje wewnętrzne mechanizmy, ostatecznie dostrzega, że aparat rachunkowy stał się niepo­trzebny".¹²

Ten cytat może się wydać czytelnikowi nie na miejscu w toku rozważań na temat nauczania naiwnej matematyki elementarnej. Ale z pro­cesem przechodzenia od rachunku do idei i rozumowania pojęciowego spotykamy się na każdym poziomie kontaktów człowieka z matematyką. Celowo zilustrujemy to przykładem z praktyki uczniów bardzo jeszcze mało w matematyce doświadczonych.¹³

Rys. 27

rezultat

Zadanie: na ile sposobów można ułożyć trzy żetony w pięciu pu­dełkach, umieszczając co najwyżej jeden żeton w pudełku - uczniowie dwunastoletni rozwiązują algorytmicznie: konstruują mianowicie „drzewo wszystkich możliwości" (na rys. 27 przyjęto oznaczenia: 0 - pudełko jest puste, 1 - pudełko jest pełne). Wprowadza się symbol na liczbę możli­wych rozmieszczeń k żetonów w n pudełkach i zapisuje się '5

= 10. Rozwiązanie ma charakter algorytmiczny: jest to specy-

padku brzmi;

ficzny rachunek prowadzony za pomocą drzewa (rys. 27).Następne zadanie: na ile sposobów można rozmieścić dwa żetony w pięciu pudełkach? Postę­powanie algorytmiczne prowadziłoby do budowania nowego drzewa. Czy to konieczne? Pojawia się w miejsce rachunku idea: zmienić kod, 0 oznacza pudełko pełne, 1 puste, drzewa nie trzeba zmieniać, tylko je inaczej odczy­tać. Można je powiem interpretować dualnie. Odpowiedź w danym przy-

= 10. Co więcej, od razu jest oczywiste w rezultacie uświa-

		^r ^11 )
	-

i k naturalnego mniejszego od n (sprawę osłabienia tych założeń -n = k, k=0 - pomijamy, bo nie jest ona istotna dla naszych rozważań).

Drzewo może bowiem rosnąć w górę, ilość węzłów na gałązkach można zwiększać lub zmniejszać, ale zawsze będzie można je interpreto­wać na dwa sposoby zmieniając kod, suma liczb zer i jedynek pozostaje zawsze równa liczbie pudełek.

		' 4 )
	+
,^2,		,^3J

Proponujemy dalej wyeliminowanie pierwszego pudełka i obser wację, co się wtedy stanie z. naszym schematem (na rysunku należy zasło nić pasek pod kreskowaną linią). Drzewo rozpada się na dwa drzewa, które łatwo zinterpretować; pierwsze przedstawia rozwiązanie zadania: na il_e sposobów można rozmieścić dwa żetony w czterech pudełkach, drugie -podobne zadanie dla trzech żetonów i czterech pudełek. Zatem

c

Ale i tu łatwo o natychmiastowe uogólnienie, podobnie jak poprzednio-

.)-(:::)-(v)

Zastosowanie poznanych wzorów odbywa się znowu algorytmicz-

(n jest

nie. Buduje się mianowicie tabelkę kolejnych wartości liczb

0

liczbą naturalną, k - liczbą naturalną lub zerem, k <n, przyjmuje się korzystając z rekurencyjnego wzoru:

obliczenia liczby naturalnych lub O na k, gdy n>k. Uczniowie stwierdzają, że po skończonej liczbie kroków, przedłużając i rozszerzając dostatecznie tabelkę, co można robić automatycznie, jeżeli się tylko umie dodawać, otrzyma się poszuki­waną liczbę. Ale ten algorytm okazuje się równie niewygodny jak drzewo przy „dużych" liczbach; może istnieje prostszy? Pojawia się nowy problem: ulepszenie algorytmu.

Podaliśmy ten przykład, ponieważ ilustruje on bardzo dobrze inte­rakcję algorytmicznego i pojęciowego rozwiązywania matematycznych problemów, występującą już od początku rozwoju matematycznej myśli ucznia, oraz prawidłowość, o której pisze Dieudonne, myśląc o zupełnie innym poziomie matematycznej twórczości. Naiwny rachunek - ujęcie po­jęciowe - zastosowanie odkrytego twierdzenia do ulepszenia tego rachunku, próba dalszej jego racjonalizacji jako motyw nowego aktu pojęciowego ujęcia, to jedna z wielu możliwych i naturalnych dróg wprowadzenia ucznia w istotne elementy aktywności matematycznej.

Mówiąc o czynnościowym nauczaniu matematyki, o myśleniu ope­racjami, nie myślimy więc tylko o myśleniu algorytmicznym sensu stricto. Załóżmy, że uczeń uzyskał już wzór (¹¹) = f" "¹T + f ⁿ "¹ ] pozostanie on dlań

Jfc-lj { k

martwy i nie nasunie mu pomysłu wykorzystania dla obliczenia liczb posta-jeżeli nie odpowie on sobie samemu na pytanie, Jak mogę ten wzór

czenie liczby

wykorzystać", wyrażając rekurencję w sposób osobisty, operatywny: „oblimogę zawsze sprowadzić do obliczenia liczb jeżeli je już znam, to wystarczy je dodać, aby otrzymać liczbę ,

Doświadczenie szkolne uczy, że dla wielu przeciętnych uczniów definicje i twierdzenia matematyczne pozostają martwe właśnie dlatego, że w procesie nauczania nie uwzględnia się wyraźnie, stale, konsekwentnie

świadomie ze strony nauczyciela, tego istotnego ogniwa, jakim jest prze­kład definicji czy twierdzenia na jego operatywne, czynnościowe ujęcie. Z drugiej strony przyzwyczajenie ucznia do tego, że matematyka jest zbio­rem reguł rachunkowych lub innych rytmicznych przepisów postępowania, bez. uwzględnienia pojęciowego, globalnego ujmowania istotnego przed­miotu rozważań, jest także poważnym błędem, bo wtedy także uczymy czegoś innego niż matematyki. Zharmonizowanie tych dwóch stron myśle­nia matematycznego w nauczaniu jest bardzo ważnym i niełatwym zagad­nieniem dydaktyki. Do tych spraw będziemy jeszcze często powracać w naszych rozważaniach.

8. Czynnościowe nauczanie matematyki

Czynnościowe nauczanie matematyki jest postępowaniem dydak­tycznym uwzględniającym stale i konsekwentnie operatywny charakter matematyki równolegle z psychologicznym procesem interioryzacji prowa­dzącym od czynności konkretnych i wyobrażeniowych do operacji abstrak­cyjnych. Czynnościowe nauczanie matematyki opiera się więc:

1. Na wydobyciu przez analizę teoretyczną z materiału nauczania podsta-

wowych operacji w każdej definicji, twierdzeniu, dowodzie.

2. Na świadomym organizowaniu sytuacji problemowych sprzyjających
procesowi interioryzacji i kształtowaniu myślenia matematycznego
ucznia jako specyficznego działania, jako swobodnego i świadomego
posługiwania się przyswajanymi stopniowo operacjami, oraz na konse-
kwentnym stosowaniu zabiegów dydaktycznych mających na celu za-
pewnienie prawidłowości i efektywności tego procesu, między innymi
przez:

1. Wiązanie treści matematycznych z wyraźnie formułowanymi schema­tami postępowania (np. definicje genetyczne; reguły wynikające z twierdzeń, ujawnianie ogólniejszych metod w toku całego nauczania, pytanie; jak to mogę wykorzystać?" itp.).

1. Wiązanie operacji z operacjami do nich odwrotnymi.

2. Wiązanie operacji z różnych dziedzin matematyki w bardziej złożone

schematy.

d) Uwzględnianie różnych ciągów operacji prowadzących do tego same-

go rezultatu (np. czynnościowa interpretacja „dwustronna" wzorów algebraicznych i trygonometrycznych, ujawnianie równoważności pewnych definicji, ujawnianie różnych warunków wystarczających dla tej samej tezy, różnych dowodów tego samego twierdzenia, róż­nych sposobów rozwiązywania tego samego zadania itp.).

5. Stawianie ucznia w sytuacjach konfliktowych, w których przyswojone mu schematy postępowania zawodzą i w których uczeń musi bądź do­konać przekształcenia (adaptacji) dawnego schematu, lub wypracować nowy.

6. Opis słowny operacji, którymi uczeń myśli, szczególniej w niższych klasach (co robię?).

7. Algorytmizacja rozwiązania zadania z zastosowaniem różnych form zapisu (drzewa i inne organigramy) tam, gdzie to jest celowe i możli­we.

h) Właściwe i celowe wiązanie czynności konkretnych (zapis symbolicz-
ny, rysunek, czynności rzeczywiste wykonywane na przedmiotach
materialnych) z myślowymi operacjami, przy czym czynność konkret-
na.

h|) może być źródłem procesu interioryzacji, w którym jako jej odbicie

•powstaje określona operacja myślowa, h₂) może być wykonywana równolegle z operacjami myślowymi, wspie­rać je i stabilizować - przez odbicie w konkrecie i równocześnie je po­budzać,

h₃) może być weryfikacją w konkrecie efektywności pomyślanego ciągu operacji.

i) Konsekwentne uczenie swobodnego posługiwania się poznanymi ope­racjami i przyzwyczajanie ucznia do tego, że tylko określone planowe działanie, a nie bierna kontemplacja i oczekiwanie na „natchnienie" prowadzi do rozwiązania zagadnienia (np. uczenie korzystania z lektu­ry matematycznej zawsze z ołówkiem w ręku i kartką papieru, z tłu­maczeniem tekstu słownego na ciąg operacji konkretnie lub symbo­licznie wykonywanych, a nie bierne i wielokrotne czytanie tego tekstu przy zupełnym jego nierozumieniu, tak często praktykowane przez uczniów).

j) Zwrócenie uwagi na to, aby stosowana symbolika miała również cha­rakter operatywny, aby wizualnie sugerowała operację (np. strzałki ja­ko symbol przyporządkowania).

Uwagi te oczywiście nie wyczerpują bardzo złożonego zagadnienia dydaktycznego, wskazują tylko kierunek poszukiwań dydaktycznych otwartych dla każdego nauczyciela. Celem tych poszukiwań jest racjonalne uczenie myślenia matematycznego jako naturalnego, dobrze zorganizowa­nego, ekonomicznego działania w abstrakcji.

Podobnie jak działanie w praktyce jest oparte na systemie podsta­wowych prostych specyficznych czynności elementarnych, przyswajanych dziecku w toku jego doświadczeń i wychowania, tak i działanie w abstrakcji matematycznej jest oparte na systemie podstawowych specyficznych opera­cji myślowych. Tych operacji trzeba świadomie i planowo uczyć.

---

1. ędrukzLMatematyka Nr 5, 1950r. Pedagogika pod redakcją I. Kairowa, tom 1. Nasza Księgarnia. Warszawa 1950. Zob. str. 88-90.↩

2. Pedagogika pod redakcją J.Kairowa, tom 1. Nasza Księgarnia. Warszawa 1950 Zob str. 88-90.↩

3. Tamże.↩

4. Tamże. 20↩

5. A. N. Kołmogorow: O matematyce, PWN, Warszawa, 1955, s. 72.↩

6. W Servais: Raport generał surl'enseigneneent des matkemariąucs dans les ecoles stcondni-res, XIX conffrence internationale de 1'instruction publique, BIB, Geneve 1956, s. 140.↩

7. T. Tomaszewski: Wstęp do psychologii, PWN, Warszawa 1963, s. 107.↩

8. S. L. Rubinstejn . Das Denken mul die Wege scincr Erforsciumg, VEB Deutscher Verlag

   Wissenscliaften, Berlin 1961, s. 50.↩

9. Ibid., s. 52.↩

10. Zob. np. Z. Krygowska i 1. Maioszkowa; Matematyka podstaw w pomocach naukowych. Matematyka Nr 4, 1961, PZWS. Warszawa.↩

11. Sam pomysł pochodzi od prof O. Nikodyma, matematyka i dydaktyka polskiego. Wielo­krotnie był weryfikowany w praktyce w klasach słabych, z bardzo dobrymi rezultatami.↩

12. Jean Dicudonne: Le point de vue du mathematicien concemat la place du calcu! dans la mathematiaue d'hui, Nico, 2, 1969, s. 10.↩

13. "Pomysł zaczerpnięto z książki: Maurice Glaymann, Tamas Varga: Probabilites & ićcole, Cedic, Paris, 1973.↩