ZADANIA Z ĆWICZEŃ: Zb otwarte,domknięte, wnętrza, brzeg. 1. jeśli G zb otwarty i A zb otwarty to x0ЄG∩Ā⊂G ∩ A. Albo x0Є G ∩ Ax0ЄG i x0ЄA=> x0Є G ∩ A Albo x0Є G ∩ A′ x0ЄG i x0 punkt skupienia zb A, ale x0 nie należy do A wtedy x0 nie należy G ∩ A. chcemy pokazać żę x0Є (G ∩ A)′. Chcemy pokazać że x0 jest punktem skupienia zb G ∩ A. Czyli każda kula B(x0,r) zawiera punkt zb G ∩ A. Wiemy że x0ЄG i jest punktem skupienia zb A. wiemy że każda kula B(x0,r) zawiera punkt zbioru A, wiemy że x0 jest punktem wewnętrznym zb G, czyli istnieje kula B(x0,ε)⊂G. Stąd dowolna kula B(x0,r)⊃B(x0,ε) ⊃aЄA=> aЄG ∩A. 2. G-zb otwarty, A-dowolne, to: G∩A= G∩A. (Jeśli A⊂b to A’⊂B’=>Ā⊂B) wiemy że G∩Ā⊂ G∩A. Stąd G∩A⊂G∩A= G∩A. Chcemy pokazać że G∩A⊂ G∩A co jest oczywiste bo wiemy że G∩A⊂ G∩A, oraz G∩A⊂ G∩A. 3.Int (A∩B)=IntA∩IntB. „$\subset "$ Niech xЄInt(A∩B) tzn. istnieje r>0 taki że B(x,r) ⊂A∩B (rys.) Zatem B(x,r) ⊂A, stąd xЄIntA. B(x,r) ⊂B, stąd xЄIntB. „⊃” Niech xЄIntA∩IntB. xЄIntA tzn. istnieje r1>0, B(x,r1) ⊂A. xЄIntB tzn. istnieje r2>0, B(x,r2) ⊂B. Niech r=min{r1,r2}. Wtedy B(x,r) ⊂B(x,r1) ⊂A B(x,r) ⊂B(x,r2) ⊂B. Stąd B(x,r) ⊂ A∩B, a więc xЄInt(A∩B). 4.Jeśli A⊂B=>IntA⊂IntB. Załóżmy że A⊂B. Chcemy pokazać że IntA⊂IntB tzn. jeśli xЄIntA to xЄIntB. xЄInt A tzn. istnieje r>0 taki że B(x,r) ⊂A⊂B, tzn. xЄIntB. 5. ∪i ∈ I IntAi⊂Int ∪i ∈ IAi L: Przypuśćmy że xЄ∪i ∈ I IntAi . chcemy pokazać że xЄ Int ∪i ∈ IAi. tzn. istnieje kula B(x,a)ЄA1 lub B(x,a)ЄA2 lub …lub B(x,a)ЄAi. Czyli B(x,a)⊂ ∪i ∈ IAi. 6. (X,d)-przestrzeń, (Y,d1)-podprzestrzeń i B⊂Y. Udowodnić: B domknięte w Yistnieje A domknięte w X takie że B=A∩Y. <=: Niech X=R^2. Chcemy pokazać żę B jest domknięty w Y czyli żę brzeg ∂B⊂Y. Weźmy punkt xЄY, który należy do ∂B, tzn. że każda kula B(x,r) zawiera punkt należący do B i nie należący do B, ale należący doY-B Chcemy pokazać że xЄA, dokładnie że xЄ ∂A. Każda kula B(x,r) zawiera punkt należący do A i punkt należący do X-A. Mamy B=A∩Y. chcemy pokazać że jeśli xЄA to x nie należy do Y-B- nie możliwe jest że xЄA i xЄY-B. czyli trzeba pokazać że A∩(Y-B)=Ø. A∩(Y- (A∩Y))=Ø. Czyli xЄA i xЄY, więc xЄA∩Y =>:Weźmy A=B (domknięte w Y). Przypominamy sobie o punktach X-Y. Pokażemy że A∩Y=B. B⊂Y, B⊂B, B⊂Y∩B. Zakładamy że B jest domknięte w Y tzn. jeśli xЄy i xЄ∂B to xЄB. Chcemy pokazać że B∩Y⊂B czyli żę jeśli xЄY i xЄ∂B to xЄB.	Iloczyn kartezjański: 7. Jeśli (X1,d1), (X2,d2) przestrzenie metryczne. (X1xX2,d). d((x1,x2),(y1,y2))=$\ \backslash n\sqrt{{d1(x1,y1)}^{2} + {d2(x2,y2)}^{2}}$ * Jeśli A otwarty w X1 i B otwarty w X2 to AxB otwarte w X1xX2. AxB={(x1,x2):x1ЄA i x2ЄB}. Chcemy pokazać że jeśli (x1,x2)ЄAxB to istnieje kula B((x1,x2),r)⊂AxB. Wiemy że A,B-otwarte, x1ЄA,x2ЄB więc istnieje kula B(x1,r1) ⊂A i kula B(x2,r2) ⊂B. Weźmy np. r=min{r1,r2}. Chcemy pokazać że B((x1,x2),r) ⊂AxB. Więc weźmy punkt (y1,y2) który należy do kuli B((x1,x2),r) ⊂AxB. Wiemy że d((x1,x2),(y1,y2))<r czyli *<r. chcemy pokazać że (y1,y2)ЄAxB czyli że y1ЄA i y2ЄB. Więc chcemy pokazać że y1ЄB(x1,r1) ⊂A i że y2ЄB(x2,r2) ⊂B, tzn. d1(y1,x1)<r1 i podobnie d1(y2,x2)<r2. Wiemy : r≤r1 i r≤r2. d1(x1,y1)^2+d2(x2,y2)^2<r^2≤r1^2 d1(x1,y1)^2< r1^2- d2(x2,y2)^2<r1^2 d1(x1,y1)<r1 $\sqrt{{d1(x1,y1)}^{2}} \leq \sqrt{{d1(x1,y1)}^{2} + {d2(x2,y2)}^{2}} < r \leq r1$. 8. A⊂X1, B⊂X2 domknięte to AxB domknięty. Chcemy pokazać że każdy punkt skupienia zbioru AxB należy do zbioru AxB. Punkt (x1,x2) i istnieje ciąg (an,bn) taki że (an,bn)→(x1,x2) oraz (an,bn)ЄAxB. Chcemy pokazać że (x1,x2)ЄAxB, czyli że x1ЄA i x2ЄB. Wiemy że an→x1, bn→x2 tzn. że x1 jest punktem skupienia zbioru A i x2 jest punktem skupienia zbioru A. Wykres funkcji i ciągłość funkcji: 9. udowodnij że wykres funkcji ciągłej jest zbiorem domkniętym. Zał: f:X1→X2, f ciągła. Wykres:A={(x1,x2)ЄX1xX2: f(x1)=x1}. Weźmy (xn,yn)ЄA i przypuśćmy że (xn,yn)→(x0,y0). Pokażemy że (x0,y0)ЄA. Wiemy że yn→y0, oraz d(xn,x0)→0 i d(yn,y0)→0. F jest ciągła to: xn→x0=> f(xn)→f(x0)=>d[f(xn),f(x0)]=> d(yn,f(x0))→0. Chcemy pokazać że y0=f(x0) i wiemy że yn→f(x0) i yn→y0 czyli yo=f(x0). 10. f jest ciągła ∀B ⊂ X2f(x)ЄIntB=>xЄIntf^-1(B). Przypuśćmy że f ciągła, f(x)ЄIntB, IntB jest zb otwartym . Niech IntB=A. Stąd f^1(A) też jest otwarty (bo f ciągła) xЄf^-1(A) to f(x)Єf^-1(A). Chcemy pokazać że xЄIntf(B). chcemy pokazać że istnieje kula B(x,r) która jest zawarta we wnętrzu f^-1(B): istnieje B(x,r) ⊂f^-1(B). wiemy że xЄf^-1(A) i że f^-1(A) otwarty, więc istnieje B(x,r) ⊂ f^-1(A) ⊂f^-1(B). W drugą stronę (<=): Założmy że prawa strona jest spełniona. Chcemy pokazać że f jest ciągła. Chcemy pokazać że jeśli B⊂X2 otwarty to f^-1(B) otwarty. Chcemy pokazać że f^-1(B) jest otwarty tzn. x1Єf^-1(B) i że jest wewnętrzny. Wiemy że f(x)ЄB, B⊂X2 otwarty, B otwarty tzn. że f(x)ЄIntB (f(x) należy do wnętrza B) więc xЄIntf^-1(B).	11. f ciągła ∀A ⊂ X1f(Ā)⊂f(A). =>: Zał że f ciągła. Pokażemy że f(x)=f(Ā)=> f(x)Єf(A). weźmy dowolny x ЄĀxЄA∪A’. Zatem: f(x)Єf(A∪A’)f(x)Єf(A) ∪f(A’)=> f(x)Єf(A)lub f(x)Єf(A’). xЄA’ dla każdego r>0 B(x,r)∋aЄA istnieje anЄA an→x. W takim razie istnieje ciąg f(an), f(an)→f(x), więc f(x)Єf(A)’. Zatem f(x)Єf(A) lub f(x)Єf(A)’=> f(x)Єf(A). <=: Zakładamy że prawa strona jest prawdziwa, pokażemy że f jest ciągła. Weźmy dow zb B⊂X2, b-domknięty. Pokażemy że f^-1(B) domknięty. Niech A=f^-1(B). Ā=f^-1(B). f(Ā) ⊂f(A). f(f^-1(B)) ⊂f(f^-1(B)) ⊂f(f^-1(B)) ⊂B=B. Jeśli f(x)Є f(f^-1(B)) to f(x)ЄB=> xЄf^-1(B). f^-1(B) f⊂f^-1(B) ). f^-1(B)=f^-1(B) 12.Niech X1=A∪B, A,B-otwarte w X1 i f|A:A→X2, f|B:B→X2 są ciągłe to f:X1→X2 jest ciągła. F jest ciągła tzn xn→x0, to f(xn)→f(x0). Przypuśćmy że xn→x0, x0ЄA, istnieje kula B(x0,r)⊂A. xn→x0 to znaczy dla każdego ε>0 istnieje N że dla każdego n>N d(xn,x0)<ε, czyli xnЄB(x0,ε), Niech ε=r czyli xnЄB(x0,r) ⊂A. Stąd f(xn)→f(x0), bo wszystko dzieje się w A. 13. jak zadanie 12 tylko dla zb domknietych. xn→x0 to f(xn)→f(x0). x0ЄA∪B czyli x0ЄA lub x0ЄB. Istnieje podciąg xnk oraz xmb są zbieżne do punktu x0. F(xnk)→f(x0), f(xmb)→f(x0). Ciąg dąży do x0 poza każdą kulą B(x0,ε) jest skończona ilość elementów ciągu. 14. f jest ciągła ∀B ⊂ x2xЄf^-1(B)=> f(x)ЄB. =>: Zał że g jest ciągła. Weźmy dow xЄf^-1(B). pokażemy że f(x)ЄB. xЄf^-1(B) xЄ[f^-1(B)∪f^-1(B)’] A zatem: f(x)Є[f^-1(B)∪f^-1(B)’]) f(x)ЄB lub f(x)Єf(f^-1(B)’). Jeśli xЄf^-1(B) to dla każdego r>0 B(x,r)∋bЄf^-1(B). ponieważ f jest ciągła to z def istnieje ciąg f(xn)Є f(f^-1(B))=B, f(xn)≠f(x), f(xn)→f(x), a z tego wynika że f(x) jest punktem skupienia zbioru B. mamy więc: f(x)Єb lub f(x)ЄB’=> f(x)ЄB. <=: Zał że prawa strona jest prawdziwa. Pokażemy że f jest ciągła. Tzn pokażemy że jeśli B zb domknięty to f^-1(B)=f^-1(B). Inkluzja w jedną stronę jest oczywista (f^-1(B) ⊂f^-1(B)) zatem wystarczy pokazać że f^-1(B) ⊂f^-1(B). Weźmy dow xЄf^-1(B) z zalożenia mamy więc że f(x)ЄB=B, zaś z własności przeciwobrazu wynika że f(x)ЄB=>xЄf^-1(B). Zatem f^-1(B) ⊂f^-1(B) Metryki równoważne: 15. Niech (X,d) przestrzeń metryczna. Niech d1(x1,x2)=$\frac{d(x1,x2)}{1 + d(x1,x2)} < 1$. Pokazać że d i d1 są równoważne (tzn. że (X,d) i (X,d1) są homeomorficzne) Czyli dla każdego x i dla każdego ε>0 istnieje δ1,δ2>0 że Bd1(x,δ1) ⊂Bd(x,ε) i Bd(x,δ2) ⊂Bd1(x,ε). Chcemy pokazać że jeśli punkt yЄBd1(x,δ1) to yЄBd(x,ε). Bd1(x,δ1)={y:d1(x,y)<δ1} d1(x,y)<δ1. $\frac{d(x,y)}{1 + d(x,y)} < \delta 1/ \bullet (1 + d(x,y)$) Niech d(x,y)=z. z<δ1(1+z)-liczymy stąd z. mamy d(x,y)<$\frac{\delta 1}{1 - \delta 1}$. Chcemy d(x,y)<ε. Mamy:$\ \frac{\delta 1}{1 - \delta 1}$<ε liczymy δ1. W drugą stronę: musimy znaleźć δ2(tak samo).	16. Metryki d1,d2 sa równoważne [(xn→^d1x0)(xn→^d2x0)] => zał że d1,d2 równoważne, xn→x0, Bd1(x,r)∋xn. Weźmy Bd2(xo,r1)⊃Bd1(x0,r) ∋xn xn→x0. <= Pokażemy że każdy zb domknięty w metryce d1 jest domknięty w metryce d2. Niech A⊂X, A-domknięty w d1. Chcemy pokazać że A domknięty w d2, tzn że zawiera swoje punkty skupienia. Przypuśćmy że x jest punktem skupienia zb A w metryce d2 tzn. istnieje ciąg wyrazów xn zb A zbieżnych do punku x w d2, dla każdego n xnЄA. Wiemy że skoro xn→x to xn→x a skoro A jest domknięty to xЄA. 17. Jeśli ciąg Cauchy ma podciąg zbieżny to jest zbieżny. Ciąg Cauchy: dla każdego ε>0 istnieje n1 dla każdego k,l≥n1 d(xk,xl)<ε. Przypuśćmy że Mn jest zbieżny do x0. Chcemy pokazać że xm jest zbieżny do x0. xm→x0 dla każdej δ1 istnieje M dla każdego r>M d(xmr,x0)<δ1. Chcemy pokazać że d(xp,x0)<δdla dow p. d(xp,x0)≤d(xp,xm)+d(xmr,x0)<δ. Weźmy δ1=δ/2 i ε=δ/2. Chcemy żeby dla p>N zachodzily następujące dwie nierówności: p>N1, mr>N1, r>M weźmy M>N1, r>M wtedy mr>m>N1. czyli mr≥r. 18. Znaleźć w R^2 dwa zbiory domknięte rozłączne że d(A,B)=0. W R d(A,B)=0 tzn istnieje an,bn że d(an,bn)→0 (anЄA, bnЄB). Jeżeli d(an,bn)→0, d(bn,b0)→0. 0≤d(bn,b0)≤dd(bn,an)+d(an,a0). Więc an i bn nie maja granicy.