Wydział Budowy Maszyn i Informatyki Data przeprowadzenia ćw.: 14.01.2015

Kierunek : Automatyka i Robotyka

Semestr 3

Grupa 1b

Ćwiczenie numer 65

Wyznaczanie pojemności kondensatorów metodą drgań relaksacyjnych

Wykonali:

• Artur Puda

• Mateusz Ray

• Marcin Szabla

1. Wstęp teoretyczny:

Kondensator -  element elektryczny (elektroniczny), zbudowany z dwóch przewodników (okładek) rozdzielonych dielektrykiem.. Doprowadzenie napięcia do okładek kondensatora powoduje zgromadzenie się na nich ładunku elektrycznego. Po odłączeniu od źródła napięcia, ładunki utrzymują się na okładkach siłami przyciągania elektrostatycznego. Jeżeli kondensator, jako całość, nie jest naelektryzowany to cały ładunek zgromadzony na obu okładkach jest jednakowy co do wartości, ale przeciwnego znaku. Kondensator charakteryzuje pojemność określająca zdolność kondensatora do gromadzenia ładunku:

gdzie:

C – pojemność, w faradach

Q – ładunek zgromadzony na jednej okładce, w kulombach

U – napięcie elektryczne między okładkami, w woltach.

Pojemność wyrażana jest w faradach. Jeden farad to bardzo duża jednostka, dlatego w praktyce spotyka się kondensatory o pojemnościach piko-, nano-, mikro- i milifaradów. Odwrotnością pojemności elektrycznej jest elastancja wyrażana w darafach (nie jest to jednostka układu SI).

Przy połączeniu szeregowym kondensatorów wypadkowa pojemność jest mniejsza niż najmniejsza ze składowych pojemności:

$\frac{1}{C}$ = $\frac{1}{C_{1}}$ + $\frac{1}{C_{2}}$ + $\frac{1}{C_{3}}$ +… +$\frac{1}{C_{n}}$

Natomiast przy połączeniu równoległym wypadkowa pojemność jest sumą składowych pojemności:

C = C₁ + C₂ + C₃ + … + C_n

Praca generatora drgań relaksacyjnych opiera się na okresowo powtarzanym ładowaniu kondensatora poprzez opornik i gwałtownym jego rozładowywaniu, gdy napięcie na kondensatorze osiągnie pewną wartość progową. Po włączeniu napięcia zasilającego wzmacniacz operacyjny , na jego wyjściu pojawi się napięcie +U. Pod wpływem tego napięcia zaczyna się ładować kondensator C. Gdy napięcie na kondensatorze osiąga wartość +0,5U, wzmacniacz operacyjny przełącza napięcie na wyjściu na wartość –U. W tym momencie kondensator zaczyna się rozładowywać do zera, a następnie ładować napięciem o przeciwnym znaku. Gdy wartość napięcia na kondensatorze wynosi -0,5U, wzmacniacz operacyjny ponownie zmienia znak napięcia na przeciwny i cały cykl powtarza się nieskończenie wiele razy.

1. Opis metody pomiarowej:

Do wyznaczenia pojemności kondensatora potrzebna jest znajomość równania:

T = K*RC+t₀

gdzie:

K- stała

t₀ – stała

R – rezystancja opornika

C – pojemność kondensatora

T – okres drgań (funkcja liniowa iloczynu R*C)

Po wyznaczeniu wartości stałych K i t₀ w pierwszej części ćwiczenia do układu generatora włącza się rezystor R o znanej wartości (R=1MΩ) oraz kondensator dekadowy, pozwalający zmienić wartość pojemności C. Dokonując pomiaru okresu drgań relaksacyjnych T przy różnych znanych wartościach pojemności, można doświadczalnie określić zależność funkcyjną T = f(RC). Jak wynika z powyższego równania zależność ta jest funkcją liniową, której współczynnik kierunkowy jest równy stałej K , a wyraz wolny stałej czasowej t₀. Wartość stałych K i t₀ można wyznaczyć, znajdując parametry prostej korelacji dopasowanej do wyznaczonego doświadczalnie wykresu funkcji T = f(RC). Prosta korelacji stanowić będzie jednocześnie prostą kalibracji układu pomiarowego dla wybranej wartości R.

Zastępując kondensator dekadowy w układzie pomiarowym kondensatorem o nieznanej pojemności C_x i dokonując pomiaru okresu drgań T_x, wartość iloczynu RC_x odczytać można wprost z prostej kalibracyjnej lub pojemność C_x obliczyć można ze wzoru:

C_x = $\frac{t_{x} - \ t_{0}}{\text{KR}}$

Generator do pomiaru pojemności kondensatora:

3 Obliczenia

Tabela nr 1

L.P	C [uF]	RC [s]	t10	T [s]
1	1	1	22,5	2,25
2	2	2	44,85	4,485
3	3	3	67,31	6,731
4	4	4	89,79	8,979
5	5	5	112,22	11,222
6	6	6	135,14	13,514
7	7	7	157,75	15,775
8	8	8	174,65	17,465
9	9	9	202,53	20,253
10	10	10	224,47	22,447
R= 1[MΩ]
K=2,233±0,019	to=0,029±0,116
		t10 [s]	Tx [s]
11	C1	23,15	2,31
12	C2	105,34	10,53
13	Cs	18,91	1,89
14	Cr	128,6	12,86

Obliczyliśmy wartości iloczynów RC i okresów T badanych drgań oraz wartości: T₁, T₂, T_s, T_r okresów badanych drgań.

Wyniki pomiarów i obliczeń wprowadziliśmy do programu komputerowego, wykorzystującego metodę najmniejszych kwadratów i otrzymaliśmy następujące wartości parametrów a i b, oraz ich błędy:

a = 2,233 K ∆a = 0,019 K
b = 0,029 t₀ ∆b = 0,116 t₀

Równanie T = K • RC + t₀ jest funkcją liniową iloczynu RC, której współczynnik nachylenia jest równy stałej K, a wyraz wolny stałej czasowej t₀.

Nieznaną pojemność kondensatora C₁, C₂, C_s, C_r obliczyliśmy ze wzoru:

$C_{x} = \frac{T_{x} - t_{0}}{\text{KR}}$ $\lbrack\ \frac{s}{\mathrm{\Omega}} = s \bullet \frac{A}{V} = s \bullet \frac{C}{s} \bullet \frac{1}{V} = \frac{C}{V} = F\ \rbrack$

$$C_{1} = \frac{2,315 - 0,029}{2,233 \bullet 1 \bullet 10^{- 6}} = 1,02 \bullet 10^{- 6}\ \lbrack F\rbrack$$

$$C_{2} = \frac{10,534 - 0,029}{2,233 \bullet 1 \bullet 10^{- 6}} = 4,7 \bullet 10^{- 6}\ \lbrack F\rbrack$$

$${C_{s} = \frac{1,891 - 0,029}{2,233 \bullet 1 \bullet 10^{- 6}} = 0,83 \bullet 10^{- 6}\ \lbrack F\rbrack\backslash n}{C_{r} = \frac{12,860 - 0,029}{2,233 \bullet 1 \bullet 10^{- 6}} = 5,7 \bullet 10^{- 6}\ \lbrack F\rbrack}$$

Na podstawie poniższego wzoru ustaliliśmy błąd bezwzględny wartości pojemności C_x:

$$C_{x} = C_{x} \bullet (\frac{T_{x} + t_{0}}{T_{x} - t_{0}} + \frac{K}{K} + \frac{R}{R})$$

dla: ΔTx ≈ 0,2 [s]
ΔR/R = 0,02

$$C_{1} = 1,02 \bullet \left( \ \frac{0,2 + 0,116}{2,315 - 0,029} + \frac{0,019}{2,233} + 0,02 \right) \approx 0,35\ \lbrack\mu F\rbrack$$

$$C_{2} = 4,7 \bullet \left( \ \frac{0,2 + 0,116}{10,534 - 0,029} + \frac{0,019}{2,233} + 0,02 \right) \approx 0,24\ \lbrack\mu F\rbrack$$

$$C_{s} = 0,83 \bullet \left( \ \frac{0,2 + 0,116}{1,891 - 0,029} + \frac{0,019}{2,233} + 0,02 \right) \approx 0,19\ \lbrack\mu F\rbrack$$

$$C_{r} = 5,7 \bullet \left( \ \frac{0,2 + 0,116}{12,860 - 0,029} + \frac{0,019}{2,233} + 0,02 \right) \approx 0,23\ \lbrack\mu F\rbrack$$

Błędy względne dla C_s i C_r:

$$\frac{C_{r}}{C_{r}} = \frac{0,23}{5,7} \approx 0,04\%$$

Pojemność zastępcza kondensatorów połączonych szeregowo i równolegle:

C₁ = 1, 02 [μF], C₂ = 4, 7 [μF]

C_ZR – pojemność zastępcza kondensatorów połączonych równolegle.

C_ZR = C₁ + C₂ = 1, 02  + 4, 7 = 5, 72 [μF]

C_ZS – pojemność zastępcza kondensatorów połączonych szeregowo.

$$C_{\text{ZS}} = \frac{C_{1} \bullet C_{2}}{C_{1} + C_{2}} = \frac{1,02\ \bullet 4,7}{1,02\ + 4,7} \approx 0,84\ \lbrack\mu F\rbrack$$

Obliczanie względnej różnicy wyrażonej w procentach pomiędzy wartościami C_S i C_ZS oraz C_R i C_ZR ze wzorów:

Tabela 2

C1±∆C1 [μF]	C2±∆C2 [μF]	Cs±∆Cs [μF]	Cs/∆Cs [%]	CZS [μF]	δS [%]	Cr±∆Cr [μF]	Cr/∆Cr [%]	CZR [μF]	δR [%]
1, 02 ±0, 35	4, 7 ± 0, 24	0, 83 ± 0, 19	0, 23	0, 84	1,2	5, 7 ± 0, 23	0, 04	5, 72	0,35

Obliczenia z wykresu

T₁=2,31 [s] RC₁=1,1[s]

T₂=10,53 [s] RC₂4,7[s]

T_s=1,89 [s] RC_s=0,7[s]

T_r=12,86 [s] RC_r=5,6[s]

Dzieląc stałą czasową RC przez rezystancje R możemy otrzymać pojemność kondensatora.

R= 1[MΩ]

A wiec

C₁=$\ \frac{\text{\ RC}1}{R}$ = $\frac{\ 1,1}{1*10^{6}}$ = 1, 1 • 10⁻⁶ [F] = 1,1 [µF]

C₂=4,7 [µF]

C_s=0,7 [µF]

C_r=5,6 [µF]

4. Wnioski

Z przeprowadzonego ćwiczenia możemy wywnioskować, że pojemność kondensatora oraz opór kondensatora zwiększa okres drgań relaksacyjnych, co pozwala na pomiar nieznanej pojemności kondensatora. Z pomiarów można zaobserwować że kondensatory połączone szeregowo mają mniejszą pojemność niż kondensatory połączone równolegle.