Elementy systemów dynamicznych - człony inercyjne

Poniedziałek 17:05

1. Cel ćwiczenia

Celem ćwiczeni a jest zapoznanie się z podstawowymi elementami systemów dynamicznych – obiektami inercyjnymi, oraz metodami symulacji przebiegu ich charakterystyk skokowych. W tym celu wykorzystano arkusz kalkulacyjny Excel oraz Simulink (Matlab).

1. Wprowadzenie

Człon inercyjny jest układem w automatyce, w którym sygnał wyjściowy jest proporcjonalny do sygnału wejściowego dopiero po upływie pewnego czasu.
Człony inercyjne I-rzędu w dziedzinie można opisać wzorem:

$h\left( t \right) = k \bullet \left( 1 - e^{- \frac{t}{\tau}} \right)$,

gdzie : k- wzmocnienie sygnału

τ – stała czasowa

Człon inercyjny II-rzędu w dziedzinie czasu opisuje się następująco:

$$h\left( t \right) = k(1 - \frac{\tau_{1}}{\tau_{1} - \tau_{2}} \bullet e^{\frac{- t}{\tau_{1}}} + \frac{\tau_{1}}{\tau_{1} - \tau_{2}} \bullet e^{\frac{- t}{\tau_{2}}}) \bullet \mathbf{1}\left( t \right)$$

1. Przebieg ćwiczenia

Po uruchomieniu programu Microsoft Office Excel, w arkuszu kalkulacyjnym wykonano obliczenia wartości funkcji h(t) dla τ ∈ {1,2,3}. Na podstawie otrzymanych wyników utworzono wykresy y = h(t) dla 3 wartości stałych czasowych, na który naniesiono również funkcję stałą y = 1 − e⁻¹ = 0, 6321. Po ustaleniu punktów przecięcia wykresów funkcji z funkcją stałą dodano kolejny wykres funkcji. Manipulowano nim zmieniając wartość τ, w celu poznania sumy kwadratów różnic odległości między wykresami (jest to jeden ze sposobów określenia trafności dopasowania dwóch wykresów do siebie – im mniejsza suma, tym dopasowanie dokładniejsze).

Uruchomiono program Simulink i tworzono układy zgodne z zamieszczonymi niżej schematami (punkt V). Dla każdego układu wykorzystując funkcje programu tworzono wykresy.

1. Wyniki obliczeń i wykresy – arkusz kalkulacyjny

Tabela 1 Tabela wartości skoku funkcji dla 3 stałych czasowych (dla 10 sekund)

czas	h(τ = 1)	h(τ = 2)	h(τ = 3)	y=0.6321		5,0	0,9933	0,9179	0,8111	0,6321
s	Y	Y	Y	Y		5,1	0,9939	0,9219	0,8173	0,6321
0,0	0,0000	0,0000	0,0000	0,6321		5,2	0,9945	0,9257	0,8233	0,6321
0,1	0,0952	0,0488	0,0328	0,6321		5,3	0,9950	0,9293	0,8291	0,6321
0,2	0,1813	0,0952	0,0645	0,6321		5,4	0,9955	0,9328	0,8347	0,6321
0,3	0,2592	0,1393	0,0952	0,6321		5,5	0,9959	0,9361	0,8401	0,6321
0,4	0,3297	0,1813	0,1248	0,6321		5,6	0,9963	0,9392	0,8454	0,6321
0,5	0,3935	0,2212	0,1535	0,6321		5,7	0,9967	0,9422	0,8504	0,6321
0,6	0,4512	0,2592	0,1813	0,6321		5,8	0,9970	0,9450	0,8553	0,6321
0,7	0,5034	0,2953	0,2081	0,6321		5,9	0,9973	0,9477	0,8601	0,6321
0,8	0,5507	0,3297	0,2341	0,6321		6,0	0,9975	0,9502	0,8647	0,6321
0,9	0,5934	0,3624	0,2592	0,6321		6,1	0,9978	0,9526	0,8691	0,6321
1,0	0,6321	0,3935	0,2835	0,6321		6,2	0,9980	0,9550	0,8734	0,6321
1,1	0,6671	0,4231	0,3070	0,6321		6,3	0,9982	0,9571	0,8775	0,6321
1,2	0,6988	0,4512	0,3297	0,6321		6,4	0,9983	0,9592	0,8816	0,6321
1,3	0,7275	0,4780	0,3517	0,6321		6,5	0,9985	0,9612	0,8854	0,6321
1,4	0,7534	0,5034	0,3729	0,6321		6,6	0,9986	0,9631	0,8892	0,6321
1,5	0,7769	0,5276	0,3935	0,6321		6,7	0,9988	0,9649	0,8928	0,6321
1,6	0,7981	0,5507	0,4134	0,6321		6,8	0,9989	0,9666	0,8963	0,6321
1,7	0,8173	0,5726	0,4326	0,6321		6,9	0,9990	0,9683	0,8997	0,6321
1,8	0,8347	0,5934	0,4512	0,6321		7,0	0,9991	0,9698	0,9030	0,6321
1,9	0,8504	0,6133	0,4692	0,6321		7,1	0,9992	0,9713	0,9062	0,6321
2,0	0,8647	0,6321	0,4866	0,6321		7,2	0,9993	0,9727	0,9093	0,6321
2,1	0,8775	0,6501	0,5034	0,6321		7,3	0,9993	0,9740	0,9123	0,6321
2,2	0,8892	0,6671	0,5197	0,6321		7,4	0,9994	0,9753	0,9151	0,6321
2,3	0,8997	0,6834	0,5354	0,6321		7,5	0,9994	0,9765	0,9179	0,6321
2,4	0,9093	0,6988	0,5507	0,6321		7,6	0,9995	0,9776	0,9206	0,6321
2,5	0,9179	0,7135	0,5654	0,6321		7,7	0,9995	0,9787	0,9232	0,6321
2,6	0,9257	0,7275	0,5796	0,6321		7,8	0,9996	0,9798	0,9257	0,6321
2,7	0,9328	0,7408	0,5934	0,6321		7,9	0,9996	0,9807	0,9282	0,6321
2,8	0,9392	0,7534	0,6068	0,6321		8,0	0,9997	0,9817	0,9305	0,6321
2,9	0,9450	0,7654	0,6197	0,6321		8,1	0,9997	0,9826	0,9328	0,6321
3,0	0,9502	0,7769	0,6321	0,6321		8,2	0,9997	0,9834	0,9350	0,6321
3,1	0,9550	0,7878	0,6442	0,6321		8,3	0,9998	0,9842	0,9371	0,6321
3,2	0,9592	0,7981	0,6558	0,6321		8,4	0,9998	0,9850	0,9392	0,6321
3,3	0,9631	0,8080	0,6671	0,6321		8,5	0,9998	0,9857	0,9412	0,6321
3,4	0,9666	0,8173	0,6780	0,6321		8,6	0,9998	0,9864	0,9431	0,6321
3,5	0,9698	0,8262	0,6886	0,6321		8,7	0,9998	0,9871	0,9450	0,6321
3,6	0,9727	0,8347	0,6988	0,6321		8,8	0,9998	0,9877	0,9468	0,6321
3,7	0,9753	0,8428	0,7087	0,6321		8,9	0,9999	0,9883	0,9485	0,6321
3,8	0,9776	0,8504	0,7182	0,6321		9,0	0,9999	0,9889	0,9502	0,6321
3,9	0,9798	0,8577	0,7275	0,6321		9,1	0,9999	0,9894	0,9518	0,6321
4,0	0,9817	0,8647	0,7364	0,6321		9,2	0,9999	0,9899	0,9534	0,6321
4,1	0,9834	0,8713	0,7450	0,6321		9,3	0,9999	0,9904	0,9550	0,6321
4,2	0,9850	0,8775	0,7534	0,6321		9,4	0,9999	0,9909	0,9564	0,6321
4,3	0,9864	0,8835	0,7615	0,6321		9,5	0,9999	0,9913	0,9579	0,6321
4,4	0,9877	0,8892	0,7693	0,6321		9,6	0,9999	0,9918	0,9592	0,6321
4,5	0,9889	0,8946	0,7769	0,6321		9,7	0,9999	0,9922	0,9606	0,6321
4,6	0,9899	0,8997	0,7842	0,6321		9,8	0,9999	0,9926	0,9619	0,6321
4,7	0,9909	0,9046	0,7913	0,6321		9,9	0,9999	0,9929	0,9631	0,6321
4,8	0,9918	0,9093	0,7981	0,6321		10,0	1,0000	0,9933	0,9643	0,6321
4,9	0,9926	0,9137	0,8047	0,6321

$$h\left( t \right) = k(1 - e^{\frac{- t}{\tau}})$$

Przykładowo dla τ = 1 i k = 1

$${h\left( 0 \right) = 1 - e^{\frac{- 0}{1}} = 1 - 1 = 0}{h\left( 0,1 \right) = 1 - e^{\frac{- 0,1}{1}} = 0,0952}{h\left( 0,2 \right) = 1 - e^{\frac{- 0,2}{1}} = 0,1813}$$

1. Wykresy – Simulink
   

Wykonano poniższy układ – element generujący skok jednostkowy połączono szeregowo z trzema członami inercyjnymi. Każdy z elementów oraz źródło sygnału stałego połączono z multipleksem, a następnie z oscyloskopem. Dla każdego członu inercyjnego wartość wzmocnienia k jest równa 1.

Schemat 1 Połączenie układu symulacyjnego; τ_I=1, τ_II=2,  τ_III=3

Wykres 1 Zależności wartości skoku od czasu dla źródła skoku jednostkowego, członów inercyjnych I-rzędu i sygnału stałego (kolory wykresów odpowiadają kolorom elementów na schemacie)

Następnie do układu dołączono czwarty człon inercyjny tak, by tworzył on szeregowe połączenie z pierwszym członem inercyjnym. Zmieniono wartości stałych czasowych w następujący sposób:

Schemat 2 Połączenie układu symulacyjnego. τ_I=3, τ_II=1,  τ_III=2,  τ_IV=1

Szeregowe połączenie członów I-rzędu daje człon II-rzędu .

Wykres 2 Zależności wartości skoku od czasu dla źródła skoku jednostkowego, członów inercyjnych I-rzędu, sygnału stałego oraz członu inercyjnego II-rzędu

Następnie przed człon inercyjny II dodano element opóźniający.

Schemat 3 Połączenie układu zawierającego człon inercyjny I i II-rzędu oraz blok opóźniający połączony z członem inercyjnym I-rzędu (τ_I=1, τ_II=3,  τ_III=3,  τ_IV=3)

Wykres 3 Zależności wartości skoku od czasu dla źródła skoku jednostkowego, członu inercyjnego I-rzędu, sygnału stałego, członu inercyjnego I-rzędu z opóźnieniem oraz członu inercyjnego II-rzędu

Manipulując czasem opóźnienia oraz wartością τ_II próbowano przybliżyć przebieg charakterystyki skokowej członu inercyjnego II-rzędu.

1. Aproksymacja członu inercyjnego II-rzędu członem inercyjnym I-rzędu z opóźnieniem

Wyrażenia opisujące człon inercyjny I-rzędu w dziedzinie czasu ma postać:

$$h\left( t \right) = k(1 - e^{\frac{- t}{\tau}})$$

a członu inercyjnego II-rzędu:

$$h\left( t \right) = k(1 - \frac{\tau_{1}}{\tau_{1} - \tau_{2}} \bullet e^{\frac{- t}{\tau_{1}}} + \frac{\tau_{1}}{\tau_{1} - \tau_{2}} \bullet e^{\frac{- t}{\tau_{2}}}) \bullet \mathbf{1}\left( t \right)$$

Numer schematu	Wartość k	Wartość τ	Opis matematyczny członu I rzędu
		τI	τII
1	1	1	2
2		3	1
3		1	3

Numer schematu	Opis matematyczny członu II-rzędu	Opis matematyczny elementu członu I-rzędu z opóźnieniem
1	-	-
2	$$1 - \frac{3}{2} \bullet e^{\frac{- t}{3}} + \frac{1}{2} \bullet e^{\frac{- t}{1}}$$	-
3	$$1 + \frac{1}{2} \bullet e^{\frac{- t}{1}} - \frac{3}{2} \bullet e^{\frac{- t}{3}}$$	$$1 - e^{- \frac{t - \tau_{D}}{3}}$$

gdzie τ_D to czas opóźnienia.

Wykorzystując wyniki symulacji układu 3 dla członu inercyjnego II-rzędu starano się znaleźć takie τ_x i τ_D, aby wykresy dla członów I i II rzędu były do siebie jak najbardziej zbliżone. Obliczenia przeprowadzano w arkuszu kalkulacyjnym Excel wykorzystując schemat przeprowadzony w pierwszej części ćwiczenia – obliczając sumę kwadratu różnicy między przebiegami. Otrzymano następujące wyniki:

Wykres 4 Zależność skoku od czasu dla członu inercyjnego I i II-rzędu

czas	Człon II-rzędu	Człon I-rzędu z opóźnieniem	Kwadrat różnicy		4, 9	0, 7108	0, 7136	7, 819 • 10^−6
					5,0	0,7201	0,7221	4,236•10^−6
s	Y	Y	Y^2		5,1	0,7290	0,7304	1,817•10^−6
0	0	0	0		5, 2	0, 7377	0, 7384	4, 445 • 10^−7
0, 1	0, 0016	0, 0000	2, 5432 • 10^−6		5, 3	0, 7461	0, 7462	1, 997 • 10^−10
0, 2	0, 0061	0, 0000	3, 727 • 10^−5		5, 4	0, 7543	0, 7537	3, 715 • 10^−7
0, 3	0, 0132	0, 0000	1, 730 • 10^−4		5, 5	0, 7622	0, 7610	1, 451 • 10^−6
0, 4	0, 0224	0, 0000	5, 018 • 10^−4		5, 6	0, 7699	0, 7681	3, 136 • 10^−6
0, 5	0, 0335	0, 0000	1, 125 • 10^−3		5, 7	0, 7773	0, 7750	5, 331 • 10^−6
0, 6	0, 0463	0, 0000	2, 145 • 10^−3		5, 8	0, 7845	0, 7817	7, 948 • 10^−6
0, 7	0, 0605	0, 0000	3, 655 • 10^−3		5, 9	0, 7915	0, 7882	1, 090 • 10^−5
0, 8	0, 0758	0, 0135	3, 880 • 10^−3		6,0	0, 7982	0, 7945	1, 413 • 10^−5
0, 9	0, 0921	0, 0428	2, 427 • 10^−3		6, 1	0, 8048	0, 8006	1, 754 • 10^−5
1, 0	0, 1091	0, 0712	1, 437 • 10^−3		6, 2	0, 8111	0, 8065	2, 110 • 10^−5
1, 1	0, 1269	0, 0988	7, 859 • 10^−4		6, 3	0, 8172	0, 8123	2, 473 • 10^−5
1, 2	0, 1451	0, 1256	3, 802 • 10^−4		6, 4	0, 8232	0, 8178	2, 840 • 10^−5
1, 3	0, 1637	0, 1516	1, 476 • 10^−4		6, 5	0, 8289	0, 8233	3, 205 • 10^−5
1, 4	0, 1827	0, 1768	3, 426 • 10^−5		6, 6	0, 8345	0, 8285	3, 565 • 10^−5
1, 5	0, 2018	0, 2013	2, 461 • 10^−7		6, 7	0, 8399	0, 8336	3, 918 • 10^−5
1, 6	0, 2210	0, 2250	1, 623 • 10^−5		6, 8	0, 8451	0, 8385	4, 259 • 10^−5
1, 7	0, 2402	0, 2480	6, 108 • 10^−5		6, 9	0, 8501	0, 8433	4, 587 • 10^−5
1, 8	0, 2594	0, 2704	1, 199 • 10^−4		7, 0	0, 8550	0, 8480	4, 900 • 10^−5
1, 9	0, 2786	0, 2921	1, 825 • 10^−4		7, 1	0, 8597	0, 8525	5, 196 • 10^−5
2, 0	0, 2975	0, 3131	2, 420 • 10^−4		7, 2	0, 8643	0, 8569	5, 475 • 10^−5
2, 1	0, 3164	0, 3335	2, 945 • 10^−4		7, 3	0, 8687	0, 8611	5, 734 • 10^−5
2, 2	0, 3349	0, 3533	3, 375 • 10^−4		7, 4	0, 8730	0, 8653	5, 974 • 10^−5
2, 3	0, 3533	0, 3725	3, 702 • 10^−4		7, 5	0, 8771	0, 8693	6, 194 • 10^−5
2, 4	0, 3714	0, 3912	3, 925 • 10^−4		7, 6	0, 8812	0, 8732	6, 393 • 10^−5
2, 5	0, 3891	0, 4093	4, 050 • 10^−4		7, 7	0, 8850	0, 8769	6, 573 • 10^−5
2, 6	0, 4066	0, 4268	4, 085 • 10^−4		7, 8	0, 8888	0, 8806	6, 732 • 10^−5
2, 7	0, 4237	0, 4439	4, 043 • 10^−4		7, 9	0, 8924	0, 8841	6, 872 • 10^−5
2, 8	0, 4405	0, 4604	3, 935 • 10^−4		8, 0	0, 8959	0, 8876	6, 992 • 10^−5
2, 9	0, 4570	0, 4764	3, 774 • 10^−4		8, 1	0, 8993	0, 8909	7, 093 • 10^−5
3, 0	0, 4731	0, 4920	3, 572 • 10^−4		8, 2	0, 9026	0, 8942	7, 176 • 10^−5
3, 1	0, 4888	0, 5071	3, 340 • 10^−4		8, 3	0, 9058	0, 8973	7, 242 • 10^−5
3, 2	0, 5042	0, 5217	3, 087 • 10^−4		8, 4	0, 9089	0, 9004	7, 290 • 10^−5
3, 3	0, 5191	0, 5359	2, 821 • 10^−4		8, 5	0, 9119	0, 9033	7, 322 • 10^−5
3, 4	0, 5337	0, 5497	2, 551 • 10^−4		8, 6	0, 9148	0, 9062	7, 339 • 10^−5
3, 5	0, 5480	0, 5631	2, 282 • 10^−4		8, 7	0, 9175	0, 9090	7, 341 • 10^−5
3, 6	0, 5619	0, 5761	2, 020 • 10^−4		8, 8	0, 9202	0, 9117	7, 329 • 10^−5
3, 7	0, 5754	0, 5887	1, 769 • 10^−4		8, 9	0, 9229	0, 9143	7, 305 • 10^−5
3, 8	0, 5885	0, 6009	1, 531 • 10^−4		9, 0	0, 9254	0, 9169	7, 268 • 10^−5
3, 9	0, 6013	0, 6128	1, 309 • 10^−4		9, 1	0, 9278	0, 9193	7, 220 • 10^−5
4, 0	0, 6138	0, 6243	1, 104 • 10^−4		9, 2	0, 9302	0, 9217	7, 161 • 10^−5
4, 1	0, 6259	0, 6354	9, 181 • 10^−5		9, 3	0, 9325	0, 9240	7, 093 • 10^−5
4, 2	0, 6376	0, 6463	7, 509 • 10^−5		9, 4	0, 9347	0, 9263	7, 016 • 10^−5
4, 3	0, 6490	0, 6568	6, 028 • 10^−5		9, 5	0, 9368	0, 9285	6, 931 • 10^−5
4, 4	0, 6601	0, 6670	4, 733 • 10^−5		9, 6	0, 9389	0, 9306	6, 838 • 10^−5
4, 5	0, 6709	0, 6769	3, 618 • 10^−5		9, 7	0, 9409	0, 9327	6, 739 • 10^−5
4, 6	0, 6813	0, 6865	2, 676 • 10^−5		9, 8	0, 9428	0, 9347	6, 633 • 10^−5
4, 7	0, 6914	0, 6958	1, 896 • 10^−5		9, 9	0, 9447	0, 9366	6, 522 • 10^−5
4, 8	0, 7013	0, 7048	1, 269 • 10^−5		10, 0	0, 9465	0, 9385	6, 407 • 10^−5

Metodą prób i błędów dobrano poniższe wartości τ_x i τ_D. Dla właśnie tych wartości uzyskano najmniejszą sumę kwadratów różnic.

Suma kwadratów różnic	Wartość τx	Wartość τD
Y^2	s	s
0, 02607	3, 315	0, 755

Wnioski

Programy wykorzystywane podczas ćwiczenia okazały się skutecznymi narzędziami w badaniu przebiegu charakterystyki skokowej obiektów inercyjnych. Bardziej wygodnym i szybszym sposobem jest wykorzystywanie Simulinka (Matlab) – ma więcej funkcji oraz nie wymaga on też wykonywania skomplikowanych operacji matematycznych. Arkusz kalkulacyjny okazał się jednak bardziej użyteczny przy aproksymacji członu II-rzędu członem I-rzędu z opóźnieniem.

Z analizy wykresów wynika, że im mniejsza jest stała czasowa, tym szybciej sygnał wyjściowy staje się proporcjonalny do sygnału wejściowego.

Element opóźniający z inercją pierwszego stopnia może aproksymować dużą ilość połączonych szeregowo członów I-rzędu o małych stałych czasowych(lub dodatkowo o jednej dużej stałej czasowej). W ćwiczeniu udało się przybliżyć przebieg charakterystyki członu inercyjnego drugiego stopnia przebiegiem charakterystyki członu inercyjnego pierwszego stopnia.