Wykłady

1. Różniczkowe równanie ciągłości ma postać: . ką zasadę zachowania wyraża to równanie, podać postać tego równania dla: a) ustalonego ruchu płynu ściśliwego; b) płynu nieściśliwego, c) dla przepływu jednowymiarowego płynu idealnego. Rozpisz wykorzystując do tego pochodną substancjalną.

a) ustalonego ruchu płynu ściśliwego; $\frac{\partial\rho}{\partial t} = 0\text{\ \ }\text{div}\left( \rho\overrightarrow{v} \right) = 0$

b) płynu nieściśliwego, $\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} = 0\ ,\rho = const\ \ \text{div}\overrightarrow{v} = 0$

c) dla przepływu jednowymiarowego płynu idealnego. (ρ = const) , Q = v * S = const.

Równanie to wyraża zasadę zachowania masy.

Rozpisz wykorzystując do tego pochodną substancjalną.

$$\frac{\text{dρ}}{\text{dt}} = \frac{\partial\rho}{\partial t} + \frac{\partial\rho}{\partial x}\frac{\text{dx}}{\text{dt}} + \frac{\partial\rho}{\partial z}\frac{\text{dz}}{\text{dt}} + \frac{\partial\rho}{\partial y}\frac{\text{dy}}{\text{dt}}$$

1. Opisz wielkości występujące w tensorze naprężeń . Napisz tensor dla przepływu nielepkiego.

Postac ogólna: $\pi = \left| \left| \begin{matrix} p_{\text{xx}} & p_{\text{yx}} & p_{\text{zx}} \\ p_{\text{xy}} & p_{\text{yy}} & p_{\text{zy}} \\ p_{\text{xz}} & p_{\text{yz}} & p_{\text{zz}} \\ \end{matrix} \right| \right|$

Postac dla płyu niescisliwego: $\pi = \left| \left| \begin{matrix} p_{\text{xx}} & 0 & 0 \\ 0 & p_{\text{yy}} & 0 \\ 0 & 0 & p_{\text{zz}} \\ \end{matrix} \right| \right|$

1. Z jakiego równania podstawowego i przy jakich założeniach można otrzymać:

1. podstawowe równanie różniczkowe hydrostatyki (należy również napisać podstawowe równanie różniczkowe hydrostatyki);

otrzymujemy je z równania statyki Eulera $\ \rho\overrightarrow{F} = \text{gradp}$
Podstawowe równanie różniczkowe hydrostatyki ma postać: dp = ρ • g • dz

1. równanie ruchu płynu idealnego;

równanie ruchu płynu idealnego otrzymamy z równań Naviera–Strokesa gdy przyjmiemy, że v=0równanie ruchu płynu idealnego ma postać $\rho\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \rho\overrightarrow{F} - \text{gradp}$

1. równanie ruchu płynu lepkiego

Równanie ruchu płynu lepkiego wyprowadzimy wykorzystując różniczkową postać $\rho\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \rho\overrightarrow{F} + \text{Div}\text{\ Π}$ równania zachowania ilości ruchu uwzględniając w nim zależność $\Pi = 2\mu T_{d} - \left( p + \frac{2}{3}\mu\ \text{div}\overrightarrow{v} \right)I$ określającą tensor naprężeń Π. Równanie ruchu płynu idealnego ($\rho\frac{d\overrightarrow{v}}{\text{dt}} = \rho\overrightarrow{F} + \text{Div}\lbrack\ 2\mu T_{d} - \left( p + \frac{2}{3}\mu\ \text{div}\overrightarrow{v} \right)I\rbrack$

Ćwiczenia i laboratoria

1. Tor elementu płynu (definicja + równanie). Czy tory elementu płynu mogą się przecinać – uzasadnić odpowiedź

Torem elementu płynu nazywamy linie, która zakreśli w czasie ruchu element płynu traktowany jako punkt materialny

$$\frac{\text{dx}}{v_{x}(x,y,z,t)} = \frac{\text{dy}}{v_{y}(x,y,z,t)} = \frac{\text{dz}}{v_{z}(x,y,z,t)} = dt$$

W przepływie ustalonym przez dowolny punkt Mo przechodzi tylko jeden tor elementów płynu.

W przepływie nieustalonym tory elementów punktu mogą się przecinać (nie odbywa się to w jednym czasie, myślowe linie zakreślone przed różne elementy toru mogę się przecinać).

1. Linia prądu (definicja + równanie) Czy linie prądu mogą się przecinać – uzasadnić odpowiedź;

Linia prądu nazywamy linię wektorowego pola prędkości, do której wektory prędkości są styczne w danej chwili czasu.

$$\frac{\text{dx}}{v_{x}(x,y,z,t)} = \frac{\text{dy}}{v_{y}(x,y,z,t)} = \frac{\text{dz}}{v_{z}(x,y,z,t)}$$

Linie prądu nie mogą się przecinać, ponieważ w przeciwnym wypadku w punkcie przecięcia prędkości byłaby nieokreślona (równocześnie dwie wartości, co jest niemożliwe).

1. Pochodna substancjalna

$$\frac{\text{dA}}{\text{dt}} = \frac{\partial A}{\partial t} + (\overrightarrow{v} \nabla)A$$

-d/dt określa zmiany związane z substancją

-∂/∂t  określa zmiany zachodzące z upływem czasu w stałym pkt przestrzeni- pochodna lokalna

-$\overrightarrow{(v} \nabla) (\ )$ odpowiada zmianom związanym z przesunięciem elementu płynu w przestrzeni – pochodna konwencjonalna

1. Wzór manometryczny (manometr „pionowy” i manometr „pochyły”)

- manometr „pionowy” p = pa + ρgh

- manometr „pochyły” p = pa + ρglsinα

1. Jaką zasadę zachowania wyraża równanie ciągłości?

Równanie ciągłości wyraża zasadę zachowania masy, w zamkniętym układzie fizycznym masa płynu nie może ani powstań ani ulec anihilacji.

1. Napisz równanie Bernoulliego dla płynu idealnego. Jaką zasadę zachowania wyraża to równanie?

$$\frac{v^{2}}{2} + \frac{p}{\rho} + gz = const$$

Wyraża zasadę zachowania energii.

1. Interpretacja fizyczna współczynnika Coriolisa.

Jest to stosunek rzeczywistej energii kinetycznej strumienia w pewnym przekroju poprzecznym do energii kinetycznej, obliczonej według prędkości średniej w tym przekroju.

1. Wymienić rodzaje podobieństwa przepływów i krótko je scharakteryzować

- Podobieństwo geometryczne- obejmuje geometryczne podobieństwo opływanych ciał i zewnętrznych granic strumieni.

$$\frac{b_{2}}{b_{1}} = \frac{g_{2}}{g_{1}} = k_{|}$$

$$\frac{g_{1}}{b_{1}} = \frac{g_{2}}{b_{2}} = \overset{\overline{}}{g}$$

b-długość cięciwy

g- grubość cięciwy

k_|- współczynnik skali liniowej

$\overset{\overline{}}{g}$-grubość względna profilu

- Podobieństwo kinematyczne- jest równoznaczne z geometrycznym podobieństwem wektorowych pól prędkości.

$$\frac{v_{M1}}{v_{M2}} = \frac{v_{\infty 2}}{v_{\infty 2}} = k_{v}$$

k_v współczynnik skali prędkości

- Podobieństwo dynamiczne oznacza geometryczne podobieństwo odpowiednich wektorów pól sił

1. Krytyczna liczba Reynoldsa – rodzaje, wartości dla przepływów w rurociągach . Opisz rodzaje ruchu płynu korzystając z krytycznych liczb Reynoldsa. Podaj jednostki wielkości występujących we wzorze na Re

Krytyczną liczbą Reynoldsa nazywany tę wartość liczby Re, przy której przepływ

laminarny zaczyna przechodzić w przepływ burzliwy (turbulentny). Dla przepływów w

rurociągach wartość krytycznej liczby Reynoldsa waha się w szerokich granicach:

2320<Re_kr<50000

Poniżej 2320 występuje przepływ laminarny a powyżej 50000 przepływ burzliwy. W przedziale pomiędzy 2320 i 50000 może występować przepływ burzliwy albo laminarny.

Wzór na Re jest następujący: gdzie V [m/s] prędkość średnia przepływu , d[m] charakterystyczny wymiar liniowy (w naszym przypadku jest to średnica rury),v [m²/s]- kinematyczny współczynnik lepkości.

1. Opisz wpływ turbulencji strumienia w tunelu aerodynamicznym na Re_kr opływu kuli.

W tunelach aerodynamicznych wartość Rekr opływu kuli jest inna dla każdego tunelu. Im większy stopień „nasycenia” drobnymi wirami (tunel o większej turbulencji przepływu), tym szybciej następuje przejście z opływu laminarnego do turbulentnego. Innymi słowy, liczba Reynoldsa szybciej osiąga wartość krytyczną.

Dla opływu turbulentnego kuli wartość współczynnika opływu C₀= 0,45. W przypadku przepływu laminarnego współczynnik ten oblicza się ze wzoru C₀ = 24/R_e za pomocą liczby Reynoldsa.

Po przekroczeniu Re_krObszar śladu aerodynamicznego za opływanym ciałem jest węższy, co powoduje spadek współczynnika oporu. Zwężenie się śladu aerodynamicznego spowodowane jest trybalizacją warstwy granicznej w płynie, która uzyskuje wówczas większą energię kinetyczną i nie ulega tak łatwo oderwaniu.

1. Z jakich wzorów (praw) korzystamy przy obliczaniu parametrów przepływu w zwężce Ventouriego

Korzystamy z równania ciągłości i równania Bernoulliego. Równanie Bernoulliego dla gazu nieściśliwego( ρ = const) dla przekroju 1(szerszego) i 2(węższego) wynosi $p_{1}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{1}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*\rho}}{\mathbf{2}}\mathbf{=}\ p_{2}\mathbf{+}\frac{{\mathbf{v}_{\mathbf{2}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{*\rho}}{\mathbf{2}}$ , zaś równanie ciągłości dla gazu nieściśliwego v₁F₁ = v₂F₂ gdzie $F_{1} = \frac{\pi*D^{2}}{4}\ $ i $F_{2} = \frac{\pi*d^{2}}{4}$ .

1. Jakie ciśnienia są mierzone rurką Prandtla a jakie rurką Pitota?

Rurką Prandtla mierzymy ciśnienie statyczne i ciśnienie spiętrzenia, natomiast rurką Pitota możemy zmierzyć ciśnienie spiętrzenia ( całkowite).

1. Rodzaje strat przepływu. Wzory na straty

Straty występujące podczas przepływu to straty: miejscowe i tarcia.

Straty tarcia:

$$h_{\tau} = \lambda\frac{l}{d}\frac{V^{2}}{2g}$$

Straty miejscowe:

$$h_{m} = \xi\frac{V^{2}}{2g}$$

1. Interpretacja fizyczna liczby Reynoldsa

Stosunek sił bezwładności do sił lepkości działających w rozpatrywanym przepływie.

1. Na czym polega cechowanie zwężki Ventouriego

Cechowanie zwężki Ventouriego polega na określeniu funkcji k_v=f(Re) dla zakresu ściśliwego i nieściśliwego , przy czym funkcję tę wyznacza się doświadczalnie, mierząc bezpośrednio natężenie przepływu Q i obliczając odpowiadającą im wartość Q_t w oparciu o wzór.

1. kie skutki w pracy instalacji hydraulicznej (w rurach) wywołują straty przepływu?

Konsekwencją strat przepływu jest spadek ciśnienia całkowitego lub naporu całkowitego w instalacji hydraulicznej

1. Wpływ charakteru opływu ( laminarny i turbulentny) na ciała „dobrze” opływane.

W przypadku ciał dobrze opływanych, korzystnym jest jak najdłuższe utrzymanie przepływu laminarnego, podczas którego współczynnik oporu ciśnieniowego ciała jest większy od współczynnika oporu tarcia. W momencie przejścia w przepływ turbulentny, wartość współczynnika tarcia może osiągnąć wartość równą lub nawet przewyższyć opór ciśnieniowy.

1. Wpływ charakteru opływu ( laminarny i turbulentny) na ciała „źle” opływane

W przypadku ciał źle opływanych(np. kula), podczas opływu laminarnego występuje duża różnica ciśnień (przed i za ciałem). Korzystnym jest zatem, utrzymanie przepływu turbulentnego, podczas którego współczynnik oporu ciśnieniowego ulega zmniejszeniu (różnica ciśnień i zawirowania maleją).

1. Wzór na obliczanie naporu pionowego

N = ρ ⋅ g ⋅ h ⋅ F

F- powierzchnia płaska pozioma

ρ-gęstości cieczy

h- wysokość

1. Napisz równanie Bernoulliego dla płynu rzeczywistego

$$\frac{v_{1}}{2g}^{2} + \frac{p_{1}}{\text{ρg}} + z_{1} = \frac{v_{2}}{2g}^{2} + \frac{p_{2}}{\text{ρg}} + z_{2} + \sum_{}^{}h_{\text{str}}$$