ROZWIĄZYWANIE BELEK

Zadanie S-1.  Znaleźć siły przekrojowe M, Q, N w punkcie C podanej belki.

Przykład 1.  Znaleźć siły przekrojowe M, Q, N w punkcie C podanej belki.

 

1. Obliczenie reakcji.
       Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:

               

               

               

Układając równania statyki wygodnie jest stosować układ równań nie sprzężonych, tzn. z każdego równania obliczamy tylko jedną niewiadomą. W przypadku jednego ciała sztywnego (jedna tarcza, belka bez przegubów) zawsze jest to możliwe. Dzięki układowi równań nie sprzężonych rozwiązanie jest szybsze a błąd popełniony w jednym równaniu nie przenosi się na równania pozostałe.
Aby sprawdzić poprawność obliczenia reakcji postępujemy odwrotnie - układamy takie równanie w którym wystąpią wszystkie reakcje. W naszym przykładzie może to być na przykład równanie momentu względem punktu D o współrzędnych D(2,1).

       

Powyższa niedokładność jest dopuszczalna wynika bowiem z zaokrągleń poczynionych przy obliczaniu reakcji.

2. Obliczenie sił przekrojowych w punkcie C.

Aby znaleźć siły przekrojowe w punkcie C należy przez ten punkt poprowadzić przekrój, dzielący belkę na dwie części i zredukować w punkcie C układ sił zewnętrznych przyłożonych do jednej z tych części. Bez względu na to, którą część weźmiemy do redukcji  otrzymamy ten sam wynik (wartości sił przekrojowych w danym punkcie są stałe). Praktycznie wybiera się tą część belki do której jest przyłożony mniej skomplikowany układ sił, w celu uproszczenia obliczeń.
W naszym przykładzie, w celach dydaktycznych, dokonamy obliczeń redukując układ sił zewnętrznych zarówno z lewej jak i z prawej strony punktu C.

2.1. Redukcja układu sił zewnętrznych przyłożonych do lewej części belki.

Przy obliczaniu wypadkowej zredukowanego układu sił będziemy od razu rozkładali ją na siłę podłużną N (równoległą do osi belki) i siłę poprzeczną Q (prostopadłą do osi belki). Pamiętając o przyjętej konwencji znakowania zapiszemy:

       

2.2. Redukcja układu sił zewnętrznych przyłożonych do prawej części belki.

       

Zadanie S-2.  Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

Przykład 2.  Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:

 Sprawdzenie:

2. Funkcje sił przekrojowych

Budując równania jakiejkolwiek funkcji, musimy przyjąć układ współrzędnych, w którym te równania zapiszemy. Dla belek prostych najwygodniej jest przyjąć układ jak na rysunku, tzn. na początku belki. Zdarza się jednak, że dla uproszczenia obliczeń, przyjmuje się dwa układy współrzędnych (na obu końcach belki). Sposób przyjęcia układu współrzędnych nie ma oczywiście żadnego wpływu na wykres siły przekrojowej jaki otrzymamy na podstawie jej równania.

Przed przystąpieniem do układania funkcji sił przekrojowych, należy w belce wyznaczyć tzw. punkty i przedziały charakterystyczne. Powodem jest inna postać funkcji sił przekrojowych w każdym przedziale charakterystycznym. Dla każdego przedziału należy napisać osobne równanie.

Punkty charakterystyczne są to:
- początek i koniec belki,
- punkty podparcia belki,
- miejsca przyłożenia sił i momentów skupionych,
- początek i koniec obciążenia ciągłego.

Przedziały charakterystyczne to odcinki belki pomiędzy punktami charakterystycznymi.

W analizowanej belce występuje pięć przedziałów charakterystycznych.

Przedział: 0 < x < 4

Pisząc równania w pierwszym przedziale dokonujemy podziału belki przekrojem przechodzącym przez ten przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych z lewej części przekroju (można oczywiście redukować układ sił po prawej stronie ale jest to bardziej pracochłonne).

Położenie przekroju nie jest ustalone w konkretnym punkcie, ale w odległość x od początku układu współrzędnych. Zapisując wynik redukcji układu sił zewnętrznych w miejscu o odciętej x otrzymujemy "automatycznie" funkcję danej wielkości.

Przedział: 4 < x < 6

Analogicznie do poprzedniego przedziału dzielimy belkę przekrojem przechodzącym przez analizowany przedział i redukujemy układ sił zewnętrznych położonych po jego lewej stronie.

Należy zwrócić uwagę na fakt, że do redukcji należy wziąć teraz pełną wartość obciążenia ciągłego i że położenie wypadkowej tego obciążenia jest już ustalone (x = 2). W pierwszym przedziale położenie wypadkowej było zależne od położenia przekroju.

Przedział: 6 < x < 8

Przedział: 8 < x < 10

Przedział: 10 < x < 14

Wyznaczyliśmy funkcje sił przekrojowych w każdym przedziale możemy zatem przejść do rysowania wykresów. Zanim to jednak zrobimy, zaznaczmy, że sposób tworzenia równań w dwóch ostatnich przedziałach został tutaj zamieszczony tylko w celach dydaktycznych. W praktyce, gdy belka ma więcej niż trzy, cztery przedziały charakterystyczne, przyjmuje się nowy układ współrzędnych na drugim końcu belki, co znacznie upraszcza obliczenia. Zaletę takiego podejścia pokażemy na przykładzie. Przyjmiemy mianowicie układ współrzędnych (x₁,z) jak na rysunku i wyznaczymy dla porównania funkcje sił przekrojowych w dwóch ostatnich przedziałach belki.

Przedział: 0 < x₁ < 4

Przedział: 4 < x₁ < 6

W wyniku prostszych obliczeń otrzymaliśmy funkcje, które w przyjętym układzie współrzędnych dadzą te same wykresy jak w układzie (x,z). Dla sprawdzenia można porównać wartości sił przekrojowych w odpowiadających sobie punktach charakterystycznych obliczone dla obu układów równań. Weźmy na przykład przedostatni przedział:

8 < x < 10	2 < x1 < 6

3. Wykresy sił przekrojowych

Po wyznaczeniu funkcji sił przekrojowych narysowanie ich wykresów nie przedstawia żadnych trudności. Ponieważ jednak będzie się od studentów wymagać dużej biegłości w rysowaniu tych wykresów, zwrócimy uwagę na kilka właściwości,  których znajomość znacznie uprości zadanie.

Gdy przyjrzymy się funkcjom momentu i siły poprzecznej w poszczególnych przedziałach spostrzegamy, że siła poprzeczna jest pochodną momentu. Obciążenie ciągłe q(x) jest pochodną siły poprzecznej pomnożoną przez (-1). Nie jest to przypadek, zachodzą bowiem zależności:

       zobacz dowód

W naszym przykładzie mamy:

0 < x < 4	4 < x < 6

Z zależności różniczkowych pomiędzy siłami przekrojowymi wynikają następujące wnioski, wykorzystywane przy rysowaniu wykresów:

• Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe q(x) = 0, to wykres sił poprzecznych w tym przedziale jest stały (aby narysować wykres wystarczy wyznaczyć wartość siły poprzecznej w jednym punkcie), natomiast wykres momentów zginających jest liniowy (do narysowania wykresu wystarczą dwie wartości, policzone na przykład w punktach charakterystycznych na końcach przedziału).

• Jeżeli w przedziale charakterystycznym obciążenie ciągłe jest równomiernie rozłożone q(x) = const, to wykres siły poprzecznej jest liniowy, a wykres momentu zginającego parabolą drugiego stopnia, (itd. funkcja siły poprzecznej zawsze o stopień wyższa od funkcji obciążenia q(x), a funkcja momentu o stopień wyższa od funkcji siły poprzecznej).

• Dana funkcja ma wartość ekstremalną w tym punkcie gdzie jej pochodna jest równa zeru i jest to maksimum, gdy pochodna zmienia w tym punkcie znak z "+" na "-" a minimum gdy zmienia znak z "-" na "+". Zatem ekstremalne wartości na wykresie momentu zginającego występować będą wszędzie tam gdzie funkcja siły poprzecznej zmienia znak.

• Krzywoliniowy wykres momentu zginającego w każdym punkcie charakterystycznym jest styczny do prostej, której współczynnik kierunkowy jest równy wartości siły poprzecznej w tym punkcie. Liniowy wykres momentu jest odchylony od osi belki o kąt, którego tangens jest równy wartości siły poprzecznej w tym samym przedziale charakterystycznym. Powyższe zależności wynikają z interpretacji geometrycznej pochodnej funkcji.

Widzimy zatem, że wykres siły poprzecznej należy narysować przed wykresem momentu zginającego, aby właściwie wykorzystać powyższe właściwości.

Wykresy sił przekrojowych należy rysować w skali, która umożliwi dokładne pokazanie wszystkich charakterystycznych elementów wykresu. Skala do każdego wykresu może być inna.

Przed przystąpieniem do rysowania wykresów prowadzimy pod schematem belki linie odnoszące przechodzące przez wszystkie punkty charakterystyczne. W każdym punkcie charakterystycznym wyliczamy wartości poszczególnych sił przekrojowych, redukując układ sił zewnętrznych z prawej lub z lewej strony tego punktu.

Siła podłużna N(x)

Wartości siły podłużnej są jednakowe we wszystkich przedziałach charakterystycznych:
N(x) = 20 kN = const.
Wykres siły podłużnej nie wymaga komentarza.

Siła poprzeczna Q(x)

Wyznaczamy wartości siły poprzecznej w każdym punkcie charakterystycznym, pamiętając o tym że w punktach, w których jest przyłożona siła skupiona (czynna lub bierna) te wartości musimy wyznaczyć z lewej i prawej strony każdego punktu.

Powstałe w ten sposób punkty łączymy linią prostą. Na odcinkach AC i BF wykres jest liniowo zmienny, gdyż występuje tu obciążenie q = 10 kN/m. Na pozostałych odcinkach wykres siły poprzecznej jest stały.
Dodatkowo spostrzegamy, że na odcinku AC funkcja Q(x) osiąga wartość zero, a więc w tym punkcie moment zginający będzie miał wartość ekstremalną. Ponieważ siła poprzeczna zmienia w tym punkcie znak z "+" na "-" będzie to maksimum.

Moment zginający M(x)

Tak jak w przypadku siły poprzecznej redukujemy odpowiednie układy sił zewnętrznych w punktach charakterystycznych.

Należy jeszcze wrócić do przedziału AC celem wyliczenia momentu maksymalnego. Punkt, w którym moment przyjmuje wartość maksymalną w tym przedziale wyznaczymy, przyrównując do zera równanie funkcji siły poprzecznej w tym przedziale:

Współrzędną tego punktu można również wyznaczyć bezpośrednio z wykresu, korzystając z twierdzenia Talesa:

Moment maksymalny:

We wszystkich przedziałach, gdzie obciążenie q = 0 wykres momentów jest liniowy. Wartości w punktach charakterystycznych wystarczą zatem, aby narysować wykres w tych przedziałach.
W przedziałach AC i BF wykres momentu jest parabolą drugiego stopnia. Do narysowania wykresu w tych przedziałach wykorzystujemy następujące dane: wartości na końcach przedziału, miejsca ekstremum i jego wartości oraz styczne do wykresu na końcach przedziału.

Tak więc w przedziale AC:

• na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = 22

• na końcu przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = - 18 (jednocześnie jest to wykres momentu w sąsiednim przedziale)

• wartość ekstremalna w punkcie x₀ = 2.2 m, tutaj oczywiście wykres styczny do linii poziomej.

W przedziale BF:

• na początku przedziału wykres styczny do prostej o współczynniku kierunkowym m = 40

• na końcu przedziału wykres styczny do linii poziomej (w tym punkcie moment osiąga wartość maksymalną bo siła poprzeczna jest równa zeru).

UWAGI:

Wypukłość wykresu momentu zginającego określa zwrot obciążenia ciągłego - wykres jest zawsze wypukły w kierunku działania obciążenia.

Wykres momentów (albo styczna do części krzywoliniowej) ulega załamaniu w tych punktach charakterystycznych, gdzie działa siła skupiona. W tych punktach bowiem na wykresie siły poprzecznej występuje skok wartości.

W miejscu przyłożenia do belki momentu skupionego nie ma na wykresie załamania, jest tylko skok o wartość przyłożonego momentu, natomiast sąsiednie fragmenty wykresu są równoległe.

W naszym przykładzie odcinki DE i EB wykresu momentu są do siebie równoległe. Ich kąt nachylenia spełnia zależność:

W przedziale CD:

Zadanie S-4.  Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

Przykład 4.  Dla podanej belki napisać równania i sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

1. Obliczenie reakcji.
Obliczając reakcje, korzystamy z trzech równań statyki:

Sprawdzenie:

2. Funkcje sił przekrojowych

Funkcje sił przekrojowych zapiszemy w kolejnych przedziałach, przyjmując jeden układ współrzędnych, a następnie pokażemy jak upraszają się obliczenia w ostatnim przedziale charakterystycznym po zmianie układu.

Przedział: 0 < x < 3

Obciążenie ciągłe jest rozłożone w sposób liniowo zmienny, zatem dla każdego przekroju musimy określić jego wartość. Należy zatem w pierwszej kolejności wyznaczyć funkcję obciążenia ciągłego. Możemy to zrobić pisząc jej równanie w przyjętym układzie współrzędnych (prosta przechodząca przez punkty (0, 0) i (3, 20)) lub korzystając z proporcji w trójkącie:

 

Teraz możemy napisać równania sił przekrojowych, redukując obciążenie trójkątne o zmiennej rzędnej q₁(x).

Spełnione są oczywiście zależności różniczkowe między siłami przekrojowymi:

Przedział: 3 < x < 5

W tym przedziale do redukcji będziemy brać całkowitą wartość wypadkowej obciążenia ciągłego. Wypadkowa jest ustalona w punkcie x = 2.

Przedział: 5 < x < 8

Jak już powiedziano na wstępie, dużo szybciej otrzymamy równania sił przekrojowych w tym przedziale, przyjmując układ współrzędnych na końcu belki. Teraz jednak w celach dydaktycznych napiszemy te równania nie zmieniając na razie układu.
Widzimy, że obciążenie ciągłe w tym przedziale zmienia się liniowo - od wartości największej do zerowej. W związku z tym do redukcji należy wziąć obciążenie w kształcie trapezu. Wypadkową tego obciążenia jest oczywiście równa  polu powierzchni tego trapezu i położona jest w jego środku ciężkości. Unikniemy jednak wyznaczania tej wypadkowej stosując zasadę superpozycji. Pozwala ona zastąpić dane obciążenie trapezem, innym statycznie równoważnym obciążeniem, złożonym z prostokąta i trójkąta.

Funkcję obciążenia zmiennego q'₂ (x) korzystając z proporcji w trójkącie:

Funkcje sił przekrojowych możemy teraz zapisać następująco:

Sprawdzamy zależności różniczkowe:

Przedział: 0 < x₁ < 3

Po zmianie układu współrzędnych sposób tworzenia równań znacznie się upraszcza.

Podstawiając do powyższych równań wartości w punktach charakterystycznych , można się przekonać, że wyniki są identyczne z otrzymanymi dla układu Oxz.

3. Wykresy sił przekrojowych

Przed narysowaniem wykresów momentu zginającego i siły poprzecznej, obliczymy wartości tych sił w punktach charakterystycznych belki:

Spostrzegamy, że funkcja poprzeczna w przedziale AC zmienia znak (z +15 na -15), musimy zatem określić jej miejsce zerowe, gdyż w tym punkcie moment ma wartość maksymalną. Ponieważ wykres funkcji jest parabolą, nie możemy miejsca zerowego obliczyć bezpośrednio z wykresu, jak to ma miejsce w przypadku wykresu liniowego, czyli wtedy, gdy obciążenie ciągłe jest równomiernie rozłożone. Konieczne jest zatem skorzystanie z równania siły poprzecznej w tym przedziale:

Wartość ujemna nie należy do dziedziny rozwiązania, ponieważ punkt o takiej współrzędnej nie jest położony na belce. Wybieramy zatem punkt o współrzędnej x₀ = 2.12 m jako miejsce maksymalnego momentu.

Po obliczeniu wszystkich potrzebnych wartości możemy przystąpić do narysowania wykresów.

Rysunek rozpoczynamy od wykresu siły poprzecznej. W przedziale AC wykres jest parabolą, przechodzącą na początku przedziału przez 15 na końcu przez -15 i w punkcie x₀ = 2.12 przez zero. Dodatkowa informacja jaką mamy o tym wykresie wynika z zależności różniczkowej między siłą poprzeczną a obciążeniem ciągłym.
Ponieważ obciążenie jest pochodną siły poprzecznej, wartość obciążenia q w danym punkcie jest równa tangesowi kąta nachylenia stycznej do wykresu siły poprzecznej. Jest to analogiczna zależność jak między wartością siły poprzecznej i nachyleniem stycznej do wykresu momentów. (Patrz przykład 2).
Mamy zatem w punkcie A wartość obciążenia q = 0 więc wykres siły poprzecznej musi być styczny do linii poziomej.
Ta informacja, plus wartości funkcji na końcach przedziału, wystarczają aby poprawnie określić wypukłość wykresu.

UWAGA: Do określenia wypukłości wykresu siły poprzecznej nie ma ogólnej zależności, jak w przypadku wykresu momentu zginającego, który jest zawsze wypukły w kierunku działania obciążenia. Wypukłość wykresu siły poprzecznej określamy każdorazowo, korzystając z zależności różniczkowych.

Na odcinku CB wykres siły poprzecznej jest stały. Na odcinku BD mamy znów funkcję paraboliczną, o której wiemy, że na początku przedziału przechodzi przez 15, na końcu przedziału przez zero, oraz że na końcu przedziału wykres musi być styczny do linii poziomej (bo w tym punkcie obciążenie q = 0).

Wykres momentów w przedziale AC jest funkcją trzeciego stopnia, która osiąga wartość maksymalną w punkcie x₀ = 2.12 oraz jest styczna do wykresu liniowego w przedziale CB. Z kolei w przedziale BD funkcja trzeciego stopnia jest styczna w punkcie D do linii poziomej, bo tutaj siła poprzeczna Q_D = 0.
Wypukłość wykresu momentów zawsze w kierunku działania obciążenia.

Zadanie S-5.  Dla podanej belki przegubowej sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

Przykład 5.  Dla podanej belki przegubowej sporządzić wykresy sił przekrojowych M, Q, N.

1. Obliczenie reakcji.

Przed przystąpieniem do wyznaczenia reakcji należy zbadać geometryczną niezmienność i statyczną wyznaczalność konstrukcji. Podana belka składa się z czterech tarcz połączonych ze sobą przegubami (dwa pręty) oraz z podłożem za pomocą podpór. Podpory występujące w belce można zastąpić pojedynczymi prętami - zamocowanie trzema, a podpory przegubowo-przesuwne jednym. Mamy zatem całkowitą liczbę prętów łączących tarcze:

Liczba tarcz wynosi t = 4, zatem spełniony jest warunek konieczny geometrycznej niezmienności:

Spostrzegamy też, że żadna z tarcz nie może poruszać się względem drugiej i względem podłoża, zatem stwierdzamy, że układ jest geometrycznie niezmienny.
Spełnienie powyższego równania jest też warunkiem koniecznym i wystarczającym statycznej niewyznaczalności, gdyby bowiem prawa strona równania była większa od lewej, mielibyśmy za dużo niewiadomych (lub co na jedno wychodzi za mało równań) aby móc wyliczyć reakcje.
W analizowanej belce do wyznaczenia jest sześć sił reakcji i taka sama jest liczba niezależnych równań, które możemy ułożyć: trzy równania równowagi i trzy równania przegubów. Te ostatnie wynikają z warunku, że aby konstrukcja była w równowadze, to układ sił przyłożonych z każdej strony przegubu nie może powodować obrotu części belki w tym przegubie. Brak obrotu oznacza zerowanie się momentu od wszystkich sił przyłożonych po jednej stronie przegubu.
Wyznaczając reakcje musimy więc rozwiązać układ sześciu równań liniowych:

 

Po obliczeniu reakcji można przystąpić do rysowania wykresów sił przekrojowych, zanim to jednak zrobimy, pokażemy inny sposób na obliczenie reakcji w belkach przegubowych. Sposób podany powyżej, który można nazwać analitycznym, ma jedną wadę, mianowicie rozwiązanie układu równań jest pracochłonne. Oczywiście jeżeli dysponujemy programem komputerowym (lub dobrym kalkulatorem) kwestia pracochłonności w ogóle nie ma znaczenia i wtedy lepsza wydaje się właśnie metoda analityczna. Jednak nie zawsze możemy skorzystać z komputera (kolokwium) i wtedy lepiej jest stosować metodę, polegającą na zastąpieniu belki przegubowej belkami prostymi.

Procedura rozwiązywania belek przegubowych metodą rozkładu na belki proste jest następująca:

1. Obliczenie reakcji poziomej dla całej belki. W statycznie wyznaczalnej belce reakcja pozioma może być tylko jedna, możemy ją zatem policzyć z warunku zerowania się sumy rzutów sił na kierunek osi belki. W przypadku, gdy na belkę nie działają siły ukośne i poziome, liczba reakcji poziomych nie ma znaczenia - wszystkie muszą być równe zero, co wynika z zasady akcji i reakcji. Jeżeli nie ma działania w danym kierunku - nie pojawi się również przeciwdziałanie.
2. Wykluczenie w dalszej analizie sił poziomych.
3. Rozkład na belki proste poprzez rozcięcie w przegubach. Belka przegubowa składa się z kilku tarcz połączonych ze sobą przegubami. Po rozcięciu w przegubach dostaniemy pojedyncze tarcze, czyli belki proste. Należy teraz wyodrębnić te belki, które są geometrycznie niezmienne, czyli posiadają podpory (jedno utwierdzenie lub dwie podpory przegubowe lub utwierdzenie z pionowym przesuwem i podporę przegubową) uniemożliwiające ruch belek. Nie analizujemy już ruchów poziomych. Belki geometrycznie niezmienne rysuje się na samym dole a nad nimi belki pozostałe, w taki sposób, że swobodny koniec zastępuje się podporą przegubową. Tak narysowane belki górne, również muszą być geometrycznie niezmienne, z czego wynika, że belka która miała na obu końcach przeguby musi być narysowana nad dwiema innymi belkami (fizycznie oznacza to, że taka belka opiera się na belkach sąsiednich).
4. Obliczenie reakcji w belkach prostych. Obliczamy najpierw belki górne, stopniowo schodząc w dół. Reakcje od belek górnych przekazujemy na belki dolne, pamiętając o zmianie zwrotu reakcji.
5. Narysowanie wykresów. Wykresy sił przekrojowych można rysować dla każdej belki prostej oddzielnie lub od razu dla całości. Sprawdzeniem poprawności rozwiązania mogą być przeguby, w których moment musi być równy zeru, a na wykresie siły poprzecznej nie powinno być skoku wartości (chyba że w przegubie jest  przyłożona siła poprzeczna).

2. Rozkład na belki proste.

Przed rozkładem na belki proste obliczamy poziomą reakcję w utwierdzeniu. Ponieważ do belki nie przyłożono żadnych sił poziomych więc ta reakcja jest równa zeru.
Rozcinamy belkę w przegubach i analizujemy powstałe w ten sposób belki proste. Idąc od lewej strony spostrzegamy, że belka AB jest geometrycznie niezmienna (wspornik), narysujemy ją zatem na samym dole. Następna belka nie posiada żadnej podpory, jest chwiejna i musi się opierać na dwóch sąsiednich belkach. Taka belka zawsze będzie narysowana na samej górze. Belka CE posiada jedną podporę przegubową może zatem stanowić podparcie dla belki BC, sama jednak musi się opierać na innej belce. Tym oparciem może być belka EG, która jest geometrycznie niezmienna (belka swobodnie podparta). Powyższa analiza daje również odpowiedź co do geometrycznej niezmienności całego układu. Gdyby belka EG miała tylko jedną podporę nie mogłaby stanowić oparcia dla belki CE i cały układ byłby chwiejny.
Na rysunku poniżej przedstawiono rozkład na belki proste. Podpory i reakcje przyjęte w miejscach przegubów zaznaczono innym kolorem niż podpory rzeczywiście przyłożone do belki.

 Zadanie S-8.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

Przykład 8.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

1. Obliczenie reakcji.

Sprawdzenie:

2. Wykresy sił przekrojowych.

Wykresy sił przekrojowych rysujemy  na trzech rysunkach, oddzielnie moment zginający, siła poprzeczna i siła podłużna. Zależności różniczkowe pomiędzy siłami przekrojowymi są spełnione również w ramach i wszystkie wynikające stąd zasady rysowania wykresów są takie same jak dla belek.
Stosujemy tą samą konwencję znakowania co w belkach, przy czym dla prętów ukośnych, bądź słupów układ należy obrócić jak na rysunku poniżej.

Aby przyjąć znak momentu zginającego należałoby wyróżnić pewne włókna i określić moment rozciągający te włókna na przykład jako dodatni. Można jednak tego nie robić, pamiętając tylko o tym, że wykres momentów zawsze musi być narysowany po stronie włókien rozciąganych.

W punktach charakterystycznych każdego pręta obliczamy wartości poszczególnych sił przekrojowych i zaznaczamy je na liniach odnoszących, prostopadłych do osi każdego pręta. Jeżeli w danym przedziale nie występuje obciążenie ciągłe (w przypadku ram obciążenie to może być pionowe i poziome, a także ukośne) to wykres siły poprzecznej i podłużnej jest stały, a wykres momentu liniowy. Gdy występuje obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, to wykresy siły poprzecznej i podłużnej są liniowo zmienne, a wykres momentu jest parabolą. Dodatkowo w miejscu zerowania się siły poprzecznej moment ma wartość ekstremalną.

Obliczając wartości sił w punktach charakterystycznych, redukujemy układ sił przyłożonych do jednej z części belki podzielonej przekrojem. Oczywiście wygodniej jest przyjąć do redukcji prostszy układ sił co upraszcza obliczenia i zmniejsza możliwość wystąpienia pomyłki.

 

 

 Dla sprawdzenia poprawności rozwiązania sprawdza się równowagę węzłów ramy. W tym celu wycina się każdy węzeł i do ścianek przekroju przykłada się, odczytane z wykresu, wartości sił przekrojowych. Jeżeli rozwiązanie jest poprawne, to każdy z wyciętych węzłów powinien być w równowadze, czyli powinny być spełnione dla niego równania statyki.

Sprawdzimy równowagę węzłów D i G. Siły przywęzłowe narysowano i opisano na rysunku poniżej. Widzimy, że równania równowagi są spełnione:

dla węzła D                                          dla węzła G  

               

Zadanie S-9.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

Przykład 9.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

1. Obliczenie reakcji.

Sprawdzenie:

2. Wykresy sił przekrojowych.

Pręt BF

Siły przekrojowe są składowymi wypadkowej układu sił zewnętrznych zrzutowanymi na kierunek osi pręta i na prostopadłą do osi. Należy zatem, w przypadku pręta ukośnego BF, rozłożyć wypadkową redukowanego układu na te właśnie kierunki.
Do pręta BF jest przyłożone obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, zatem wykresy siły podłużnej i poprzecznej będą liniowe. Wystarczy więc obliczyć wartości tych sił na końcach pręta, aby narysować wykresy.
Jeżeli liczba sił do redukcji jest duża, można ułatwić sobie zadanie, rozkładając na kierunek pręta wypadkową pionową i poziomą wszystkich sił. Jeżeli redukujemy układ sił przyłożonych z prawej strony przekroju to siły podłużna i poprzeczna będą równe:

       

Obliczając wartości sił przekrojowych w punkcie B otrzymujemy:

Dla punktu F:

Wykres momentu zginającego na pręcie BF jest parabolą. Ponieważ siła poprzeczna nie zmienia tutaj znaku, wykres momentu nie będzie miał ekstremum. Wartość momentu w punkcie B jest oczywiście równa zeru a w punkcie F:

Przyjęliśmy tutaj znak minus dla momentu rozciągającego włókna górne.

Pręt CF

Poziomy pręt CF składa się z dwóch przedziałów charakterystycznych, na końcach których musimy znać wartości sił przekrojowych.
Redukując układ sił zewnętrznych idąc z lewej strony otrzymujemy:

Dla momentu przyjęto znak plus jeżeli rozciąga włókna dolne pręta CF.

Pręt AC

Siła podłużna w tym pręcie jest równa zeru, redukując bowiem układ sił zewnętrznych idąc od punktu A nie napotykamy sił równoległych do osi pręta. Siła poprzeczna jest w całym przedziale stała i wynosi Q = 22.5 kN.
Moment zginający rozciąga włókna po lewej stronie pręta i zmienia się liniowo od zera do M = 45 kNm.

Pręt DC

Również w tym pręcie siła podłużna jest równa zeru, natomiast siła poprzeczna zmienia się liniowo (obciążenie równomiernie rozłożone) od zera w punkcie D do wartości Q_C = 40 kN. Wykres momentu zginającego jest parabolą styczną w punkcie D do osi pręta. Wartość w punkcie D jest równa zeru, natomiast w punkcie C 40 kNm. Moment rozciąga włókna po lewej stronie pręta.

3. Sprawdzenie równowagi w węzłach.

Węzeł C

       

Węzeł F

   

Zadanie S-9.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

rzykład 9.  Narysować wykresy sił przekrojowych w podanej ramie.

1. Obliczenie reakcji.

Sprawdzenie:

2. Wykresy sił przekrojowych.

Pręt BF

Siły przekrojowe są składowymi wypadkowej układu sił zewnętrznych zrzutowanymi na kierunek osi pręta i na prostopadłą do osi. Należy zatem, w przypadku pręta ukośnego BF, rozłożyć wypadkową redukowanego układu na te właśnie kierunki.
Do pręta BF jest przyłożone obciążenie ciągłe równomiernie rozłożone, zatem wykresy siły podłużnej i poprzecznej będą liniowe. Wystarczy więc obliczyć wartości tych sił na końcach pręta, aby narysować wykresy.
Jeżeli liczba sił do redukcji jest duża, można ułatwić sobie zadanie, rozkładając na kierunek pręta wypadkową pionową i poziomą wszystkich sił. Jeżeli redukujemy układ sił przyłożonych z prawej strony przekroju to siły podłużna i poprzeczna będą równe:

       

Obliczając wartości sił przekrojowych w punkcie B otrzymujemy:

Dla punktu F:

Wykres momentu zginającego na pręcie BF jest parabolą. Ponieważ siła poprzeczna nie zmienia tutaj znaku, wykres momentu nie będzie miał ekstremum. Wartość momentu w punkcie B jest oczywiście równa zeru a w punkcie F:

Przyjęliśmy tutaj znak minus dla momentu rozciągającego włókna górne.

Pręt CF

Poziomy pręt CF składa się z dwóch przedziałów charakterystycznych, na końcach których musimy znać wartości sił przekrojowych.
Redukując układ sił zewnętrznych idąc z lewej strony otrzymujemy:

Dla momentu przyjęto znak plus jeżeli rozciąga włókna dolne pręta CF.

Pręt AC

Siła podłużna w tym pręcie jest równa zeru, redukując bowiem układ sił zewnętrznych idąc od punktu A nie napotykamy sił równoległych do osi pręta. Siła poprzeczna jest w całym przedziale stała i wynosi Q = 22.5 kN.
Moment zginający rozciąga włókna po lewej stronie pręta i zmienia się liniowo od zera do M = 45 kNm.

Pręt DC

Również w tym pręcie siła podłużna jest równa zeru, natomiast siła poprzeczna zmienia się liniowo (obciążenie równomiernie rozłożone) od zera w punkcie D do wartości Q_C = 40 kN. Wykres momentu zginającego jest parabolą styczną w punkcie D do osi pręta. Wartość w punkcie D jest równa zeru, natomiast w punkcie C 40 kNm. Moment rozciąga włókna po lewej stronie pręta.

3. Sprawdzenie równowagi w węzłach.

Węzeł C

       

Węzeł F

   

ROZWIĄZYWANIE ŁUKÓW

 Zadanie S-12.  W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich wykresy.

 

Przykład 12.  W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych i narysować ich wykresy.

1. Obliczenie reakcji.

2. Równanie łuku.

Zanim przystąpimy do wyznaczenia funkcji sił przekrojowych w łuku, przypomnijmy, że układ sił zewnętrznych redukujemy w punkcie, który jest przecięciem osi pręta przekrojem do niej prostopadłym. Siły przekrojowe są składowymi zredukowanego układu sił zewnętrznych, zrzutowanymi na kierunki prostopadły i równoległy do przekroju. Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku, siła podłużna będzie styczna, a siła poprzeczna prostopadła do jego osi. Inaczej mówiąc, w każdym punkcie łuku wypadkową poziomą i pionową układu sił zewnętrznych, należy rzutować na inne kierunki. Aby napisać równania sił przekrojowych, konieczne jest zatem zapisanie zmiany tych kierunków w przyjętym układzie współrzędnych.
Przyjęcie układu jest oczywiście sprawą dowolną, dla łuku kołowego można na przykład przyjąć układ jak na rysunku powyżej. W tym układzie zapiszemy równanie łuku we współrzędnych biegunowych:

Promień łuku jest stały, więc zmienną niezależną w równaniu łuku, a także w równaniach sił przekrojowych będzie kąt a.

3. Równania sił przekrojowych.

0º < a < 90º

Po przecięciu łuku przekrojem prostopadłym do jego osi, redukujemy układ sił zewnętrznych przyłożonych po prawej stronie przekroju.

Zmienną niezależną jest kąt a. Wraz z jego wzrostem zwiększa się wartość współrzędnej z a zmniejsza współrzędna x. Równanie momentu zginającego zapiszemy następująco:

Kierunki siły podłużnej i poprzecznej, jak już wspomnieliśmy we wstępie, zmieniają się wraz ze zmianą kąta a. Aby ułatwić uwzględnienie tego w równaniach, zredukujmy sumę wszystkich sił poziomych H i pionowych V, działających na prawo od przyjętego przekroju i zrzutujmy je na kierunki sił N i Q, zgodnie ze schematem przedstawionym na rysunku poniżej:

   

Pozostaje teraz tylko wyznaczyć funkcje sił H(a) i V(a) i podstawić do powyższych równań, aby otrzymać funkcje siły poprzecznej i podłużnej:

90º < a < 120º

Granicę tego przedziału charakterystycznego określa położenie siły skupionej. Współrzędna pozioma tego punktu jest równa x = - 3, zatem:

Pisząc równanie momentów w tym przedziale spostrzegamy, że współrzędna x zmienia się od zera w stronę wartości ujemnych, stąd odległość reakcji od bieżącego punktu wynosi 6 - x. Obciążenie ciągłe pionowe i poziome działają z pełną wartością i mają ustalone położenie wypadkowej. 

Do rozkładu sił poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny wykorzystujemy ten sam schemat co w poprzednim przedziale (zobacz uzasadnienie). Tak więc siła poprzeczna i podłużna będą równe:

Należy teraz obliczyć sumę sił poziomych i pionowych na analizowany i przekrój i podstawić do powyższych wzorów.

120º < a < 180º

W tym przedziale pojawia się siła skupiona, której pozioma odległość od bieguna redukcji wynosi (- 3 - x).
Dla x = -3 (punkt przyłożenia siły) daje to zero, a dla x = -6 (koniec przedziału) mamy odległość równą trzy.
Zauważmy też, że wszystkie człony wchodzące do równania momentów w poprzednim przedziale, tutaj będą miały identyczną postać. Można zatem przepisać równanie z przedziału 90º < a < 120º i dodatkowo uwzględnić wpływ siły skupionej.

Dla siły poprzecznej i podłużnej stosujemy oczywiście ten sam schemat co powyżej, zmieniają się tylko wypadkowe pionowa i pozioma:

4. Wykresy sił przekrojowych.

Trygonometryczna postać funkcji sił przekrojowych nie daje możliwości dokładnego narysowania wykresów tylko na podstawie wartości w kilku punktach przedziału charakterystycznego, jak w belkach i ramach. Aby otrzymać dokładny wykres funkcji, należy zastosować matematyczny aparat, polegający na określeniu wszystkich charakterystycznych elementów krzywej i na tej podstawie narysować wykres. Oczywiście można skorzystać z programów komputerowych rysujących wykresy funkcji, na przykład Mathcad, Mathematica.
Wykresy w niniejszym przykładzie narysujemy w sposób przybliżony, na podstawie wartości policzonych w kilku punktach. W tym celu wygodnie jest sporządzić tabelkę, w której wpiszemy wartości funkcji M, Q, N dla poszczególnych kątów. Pamiętać tylko należy, że w miejscu przyłożenia siły skupionej, musimy policzyć wartości siły poprzecznej i podłużnej z lewej i prawej strony.

a	M(a)[kNm]	Q(a)[kN]	N(a)[kN]
0°	0	0	-70
15°	-10.22	12.94	-71.70
30°	-40.19	25	-76.70
45°	-87.87	35.35	-84.65
60°	-150	43.30	-95
75°	-222.35	48.30	-107.06
90°	-300	50	-120
105°	-353.11	17.24	-128.85
120°	-353.54	-16.70	-128.92
120°	-353.54	17.94	-148.92
135°	-350.95	-21.21	-148.49
150°	-287.65	-58.92	-137.94
165°	-167.95	-92.62	-117.99
180°	0	-120	-90

Wyróżnione kolorem liczby, to wartości sił przekrojowych w punktach, w których łatwo możemy kontrolować poprawność obliczeń. Są to te punkty w łuku kołowym, gdzie styczna do łuku jest pozioma lub pionowa, w związku z czym siła poprzeczna i podłużna będą wprost równe zredukowanym siłom poziomej lub pionowej.

Wykresy narysujemy, podobnie jak w ramach, bezpośrednio na osi łuku, nanosząc wartości na liniach prostopadłych do osi. Można też rysować wykresy w takiej konwencji jak w belkach, tzn. na osi poziomej pod schematem statycznym łuku.

 

Równania sił przekrojowych zapisano w tym przykładzie w jednym układzie współrzędnych, co jak wiemy nie musi być zasadą. Można na przykład jedną ćwiartkę łuku zapisać w układzie jak wyżej, a drugą przyjmując układ jak na rysunku poniżej (przykład 13). Korzyścią jest prostszy układ sił do redukcji i operowanie wartościami kątów ostrych dla całego łuku. Trzeba natomiast dwukrotnie rozrysowywać schemat, określający kierunki podłużny i poprzeczny.

Ekstremalne wartości momentu zginającego wystąpią tam, gdzie siła poprzeczna się zeruje. Dla łuków kołowych bowiem, również istnieje zależność pomiędzy momentem zginającym i siłą poprzeczną. Dla układu współrzędnych takich jak przyjęty w tym przykładzie związek ten ma postać:

Dla układu współrzędnych jak na rysunku powyżej będzie zaś:

Związki powyższe łatwo sprawdzić, na przykład w przedziale 0º < a < 90º mamy:

 Zadanie S-13.  W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich wykresy.

rzykład 13.  W podanym łuku kołowym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych i narysować ich wykresy.

1. Obliczenie reakcji.

Przed wyznaczeniem reakcji należy określić współrzędną pionową punktu przyłożenia siły skupionej.

Teraz mamy określone wszystkie wielkości, które posłużą do ułożenia trzech równań równowagi:

2. Funkcje sił przekrojowych.

Przedział: 0° < a < 60°

Równanie parametryczne łuku ma postać:

Funkcja momentu zginającego:

Do określenia kierunków podłużnego i poprzecznego przy redukcji układu sił zewnętrznych posłużymy się schematem pokazanym na rysunku poniżej.

   

Teraz obliczamy sumę wszystkich sił poziomych i pionowych, działających po lewej stronie przekroju i podstawiając do powyższych wzorów otrzymujemy równania sił poprzecznej i podłużnej.
Przyjmując siły V i H ze schematu jako dodatnie, otrzymamy:

Przedział: 60° < a < 90°

2. Wykresy sił przekrojowych

Wykresy sił przekrojowych narysujemy na podstawie wartości policzonych w kilku punktach:

a	M(a)[kNm]	Q(a)[kN]	N(a)[kN]
0°	0	-220	-48.375
15°	-356.59	-119.98	-82.23
30°	-508.15	-27.77	-71.89
45°	-491.16	38.64	-29.77
60°	-370.70	70.46	25.29
60°	-370.52	20.46	-61.31
75°	-298.68	43.90	-23.05
90°	-200	48.375	0

Pomiędzy równaniem momentu a siły poprzecznej istnieje związek:

Wynika z niego, że ekstremalna wartość momentu będzie występować w miejscu zerowania się siły poprzecznej. (Zobacz zależności różniczkowe w belkach).

Na naszym przybliżonym wykresie widać tą zależność. Aby wyznaczyć ekstremum momentu, należy w przedziale 0° < a < 60° przyrównać do zera równanie siły poprzecznej i dla znalezionego pierwiastka tego równania wyznaczyć wartość momentu.

Zadanie S-14.  W podanym łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich wykresy.

Przykład 14.  W podanym łuku parabolicznym wyznaczyć funkcje sił przekrojowych M, Q, N i narysować ich wykresy.

1. Obliczenie reakcji.

Konstrukcja jest symetryczna zatem na każdą reakcję pionową V przypada połowa wypadkowej obciążenia ciągłego:

Reakcje poziome, jako jedyne siły działające  w kierunku poziomym, muszą się równoważyć, natomiast ich wartości wyznaczymy z warunku zerwania się momentu od wszystkich sił z lewej lub prawej strony przegubu:

2. Geometria łuku.

Łuk jest paraboliczny, zatem jego oś jest opisana ogólnym równaniem:

Równanie to możemy wyznaczyć, gdyż znamy położenie trzech punktów należących do osi łuku. Przyjmując układ współrzędnych (x, z) w punkcie A, obliczamy:

Równanie łuku będzie zatem:

lub w postaci parametrycznej:

Określimy teraz zmianę kierunków stycznego i prostopadłego do osi łuku, celem późniejszego wyznaczenia równań sił podłużnej i poprzecznej. W tym celu obliczymy współrzędne wersora stycznego do krzywej łuku.

Wektor w styczny do krzywej, która jest określona równaniem parametrycznym, ma współrzędne:

Współrzędne wersora (kosinusy kierunkowe), zapiszemy zatem następująco:

3. Równania sił przekrojowych

Z uwagi na symetrię wystarczy rozpatrzyć połowę łuku, czyli przedział AB.

Przedział 0 < t < 4

Stosując konwencję znakowania analogiczną jak w belkach równanie momentu zginającego zapiszemy następująco

Widzimy zatem, że w każdym punkcie łuku wartości momentu zginającego są równe zeru. Możemy powiedzieć, że dany łuk nie podlega zginaniu.

Aby wyznaczyć równania sił podłużnej i poprzecznej zbudujmy schemat rozkładu sił poziomych i pionowych na kierunki podłużny i poprzeczny.

   

Obliczając wypadkową sił poziomych i pionowych działających na łuk po lewej stronie przekroju i podstawiając tak policzone wartości do powyższych równań, otrzymamy funkcje siły poprzecznej i podłużnej:

Widzimy zatem, że również siła poprzeczna jest zerowa w każdym punkcie łuku. Możemy powiedzieć, że dany łuk nie jest poddany ścinaniu. Jedyną niezerową siłą przekrojową jest siła podłużna.

Wyników otrzymanych w niniejszym przykładzie nie można uogólnić. Zerowanie się momentu zginającego i siły poprzecznej występuje tylko dla łuku parabolicznego, trójprzegubowego, obciążonego symetrycznie obciążeniem równomiernie rozłożonym na rzut poziomy łuku. Niemniej jednak dla wszystkich łuków (również kołowych), dla których dominującym obciążeniem jest obciążenie pionowe (np. ciężar własny), wartości ściskającej siły podłużnej są decydujące przy projektowaniu. Ta właściwość łuków została wykorzystana już przez starożytnych Rzymian, którzy przekrywali imponujących rozmiarów pomieszczenia łukowymi sklepieniami, dysponując tylko bloczkami kamiennymi lub ceglanymi łączonymi zaprawą. Siła podłużna, dociska bloczki do siebie tak silnie, że mała siła poprzeczna nie jest w stanie "wypchnąć" poszczególnych bloczków z łuku.

4. Wykres siły podłużnej