POLITECHNIKA WARSZAWSKA

WYDZIAŁ TRASNPORTU

LABORATORIUM PODSTAW AUTOMATYKI

SPRAWOZDANIE:CWICZENIE NR 1

TEMAT: UKŁAD DYNAMICZNY LINIOWY

Grupa: IEPS

Zespół C:

1. Cieślak Maciej

2. Gadomski Mateusz

3. Gromulski Rafał

Wstęp teoretyczny:

Sterowalność to możliwość osiągnięcia dowolnego stanu układu w skończonym przedziale czasu za pomocą dopuszczalnego sterowania. Mówimy, że układ jest sterowalny, gdy ograniczone przedziałami ciągłe sterowanie U(t) przeprowadza układ z dowolnego stanu początkowego X(t_o) w chwili t = t_o do dowolnego stanu końcowego X(t_k) t = t_k w skończonym przedziale czasu t_{k -} t_o = 0. W takim układzie wektor sygnałów wejściowych zapewnia skuteczne sterowanie poprzez oddziaływanie na wszystkie zmienne stanu. Układ jest niesterowalny, gdy jest on niecałkowicie sterowalny. Oznacza to, że istnieją takie zmienne stanu ( przy określonym ich doborze), których nie można za pomocą ograniczonego przedziałami ciągłego sterowania przeprowadzić z dowolnego stanu początkowego do końcowego.

Obserwowalność to własność układu mówiąca czy, na podstawie przebiegu sygnału wyjściowego w skończonym przedziale czasu, można określić stan układu w dowolnej chwili tego przedziału. Układ jest obserwowalny, gdy przy danym dowolnym sterowaniu U(t) istnieje skończona chwila t_k, po której, na podstawie znajomości wektora sygnałów wyjściowych Y(t) i wektora sterowania U(t) w przedziale od t_o do t_k można wyznaczyć stan układu X(t_o) w dowolnej chwili początkowej t_o. W takim układzie istnieją relacje między wszystkimi sygnałami wektora wyjściowego a sygnałami wektora stanu.

Stabilność to niezbędny warunek pracy układu automatycznej regulacji mówiący o tym, że układ po wyprowadzeniu go ze stanu równowagi sam powraca do tego stanu. Ponieważ pojęcie stanu równowagi może być różnie interpretowane stosuje się także definicję stabilności wg Laplace’a która mówi, że układ liniowy jest stabilny, jeżeli jego odpowiedź na wymuszenia (zakłócenia) o ograniczonej wartości jest ograniczona.

1. Przebieg ćwiczenia

1.1 Zapoznanie się ze schematem modelu układu przedstawionego na płycie czołowej stanowiska laboratoryjnego.

1.2 Badanie podstawowych członów dynamicznych.

Wyznaczanie charakterystyk obiektów dynamicznych umożliwia ustalenie właściwości obiektów wtedy, gdy równania, które wyrażają te właściwości nie są wystarczająco znane. Po wyznaczeniu charakterystyk i porównując je z teoretycznymi można stwierdzić, czy badany człon spełnia zakładane własności.

Podstawa naszego badania czyli równanie stanu i równanie wyjścia:

Poszczególne macierze to:

A - macierz stanu

B - macierz wejścia

C - macierz wyjścia

D - macierz transmisyjna

Mając równania stanu i wyjścia rozpisaliśmy macierze dla poszczególnych członów:

I. Człon bezinercyjny:

Równanie: y=k_p*u

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

II. Człon całkujący:

Równanie:

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

III. Człon inercyjny:

Równanie:

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

IV. Człon różniczkujący rzeczywisty:

Równanie:

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

V. Człon dwuinercyjny:

Równanie:

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

VI. Człon proporcjonalno całkujący

Równanie:

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

VII. Człon oscylacyjny

Równanie

Charakterystyka skokowa jest zgodna z teoretyczną i jest przedstawiona w załączniku.

1.3 Badanie prostego układu regulacji którego schemat jest podany poniżej.

W tym podpunkcie naszym zadaniem było napisać równanie stanu tego układu, zamodelowanie jego działania na stanowisku oraz sprawdzenie warunków sterowalności, obserwowalności i stabilności. Mieliśmy również zarejestrować charakterystykę skokową układu (rys. 1.3).

Niezbędne do tego obliczenia wykonaliśmy w trakcie ćwiczenia i zawarte one zostały w załączniku nr 1, poniżej autorzy raz jeszcze przedstawiają swój tok myślenia.

Transmitancja elementów połączonych szeregowo:

Transmitancja z uwzględnieniem sprzężenia zwrotnego:

Wykorzystując definicję transmitancji:

równanie obiektu dynamicznego

Przejście do dziedziny czasu:

równanie różniczkowe drugiego rzędu

Można utworzyć dwa równania różniczkowe pierwszego rzędu, będą one odpowiadać dwóm równaniom stanu. Jako zmienną stanu dobieramy sygnał wyjściowy y(t).

Otrzymujemy równania dynamiczne obiektu:

Macierze odnoszące się do powyższych równań:

Udało nam się zamodelować działanie tego układu na stanowisku. Charakterystyka układu przedstawiona jest na rys. 1.3 i jest to charakterystyka członu oscylacyjnego.

Czy układ jest sterowalny?

Warunek sterowalności
Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) sterowalności jest, aby macierz o n-wierszach i m-kolumnach miała rząd n, czyli n-liniowo niezależnych kolumn.

det

Wtedy:

det S =, więc det S 0

Odp: Układ jest sterowalny.

Czy układ jest obserwowalny?

Warunek obserwowalności

Warunkiem koniecznym i dostatecznym (wystarczającym) obserwowalności jest, aby macierz:
o wymiarach m x n miała rząd n, czyli zawierała n - liniowo niezależnych wierszy.
Dla ułatwienia analizy macierzy O, wprowadza się macierz W, która jest transpozycją macierzy O. Warunek obserwowalności odnoszący się do macierzy W formułuje się następująco: układ jest całkowicie obserwowalny wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy jest równy n.

Wtedy:

więc:

Odp: Układ jest obserwowalny.

Czy układ jest stabilny?

Do sprawdzenia stabilności stosujemy kryterium Hurwitza.

Równanie charakterystyczne odniesione do mianownika wygląda następująco:

a₂s²+a₁s+a₀=0

Warunkiem koniecznym stabilności jest, aby wszystkie współczynniki były dodatnie,
w odniesieniu do naszego układu wynoszą odpowiednio:

a₂=1, a₁=1, a₀=1, więc a_2, a_1, a₀ >0 – warunek spełniony

Warunek konieczny i dostateczny:

zatem a₀a₁>0

zatem

Odp: Układ jest stabilny.

2. Wnioski

I. Badanie członów dynamicznych:

Na ćwiczeniu przeprowadziliśmy badania różnych członów dynamicznych poprzez odpowiednie modelowanie macierzy A,B,C,D na stanowisku w laboratorium. Wszystkie otrzymane charakterystyki skokowe są zgodne z teoretycznymi.

Badane człony:

1. proporcjonalny – im większe zadane napięcie, tym większa wartość wyjściowa,

2. całkujący – zwiększając napięcie zwiększa się kąt pochylenia charakterystyki względem osi czasu,

3. inercyjny – początkowo charakterystyka wzrasta w dosyć szybkim tempie (zależnie od napięcia, przy większym szybciej), dążąc do pewnej wartości (przy większym napięciu, większa wartość, do której dąży),

4. różniczkujący – na początku szybki skok wartości, następnie spadek do pewnej asymptotycznej wartości, im mniejsze napięcie, tym mniejszy początkowy skok
   i mniejsza wartość, do której dąży charakterystyka,

5. dwuinercyjny - analogicznie jak w członie inercyjnym charakterystyka dąży asymptotycznie do pewnej wartości, jednak ma inny kształt – powinny być widoczne dwa punkty przegięcia (na naszych wykresach jeden z tych punktów jest słabo widoczny). Zwiększając napięcie, wartość, do której dąży charakterystyka bardzo wzrasta,

6. proporcjonalno-całkujący – na początku widać skok wzdłuż osi h, zależny od napięcia, następnie charakterystyka położona jest pod pewnym kątem względem osi czasu, który nie zależy od napięcia,

7. oscylacyjny – charakterystyka oscyluje wokół pewnej wartości (oscylacja słabo widoczna na naszym wykresie). Większe napięcie podane na wejściu powoduje zwiększenie amplitudy oscylacji.

II. Badanie prostego układu regulacji:

W tej części ćwiczenia zamodelowaliśmy działanie układu regulacji na stanowisku laboratoryjnym. Okazało się, że otrzymaliśmy element oscylacyjny. Po napisaniu równań stanu i wyjścia tego układu i znalezieniu macierzy, zbadaliśmy jego sterowalność, obserwowalność, stabilność. Stwierdziliśmy po wykonaniu odpowiednich, przekształceń i rachunków, że wszystkie warunki są spełnione. Układ ten jest stabilny asymptotycznie, co oznacza, że układ powraca do stanu równowagi po zniknięciu zakłóceń.