1. Analiza języka naturalnego.

Definicja kategorii syntaktycznej i podział wyrażeń języka naturalnego na

kategorie syntaktyczne. Co to jest rozumowanie? Definicja zdania w

sensie logiki. Przykłady zdań, które nie są zdaniami w sensie logiki. Co to

jest denotacja i denotat nazwy. Klasyczna (Arystotelesowska) definicja

prawdy. Jaką rolę w języku naturalnym spełniają funktory i jak je

charakteryzujemy? Co to znaczy, że funktor jest ekstensjonalny

(intensjonalny)?.

Kategoria syntaktyczna - zbiór wyrażeń tak dobranych, że gdy w jakimś zdaniu lub zwrocie sensownym dane wyrażenie zastąpimy wyrażeniem należącym do tej samej kategorii semantycznej lub syntaktycznej, całość pozostanie sensowna.

Są nast. kategorie: nazwy, zdania, funktory.

Rozumowanie to przejście z przesłanek do wniosku z tych przesłanek.

Zdania wartościujące: Wtorek jest najgorszym dniem w tygodniu; Zrób salto w tył.

Klasyczna definicja prawdy: zdanie jest prawdziwe, jeśli jego treść jest zgodna z pewnymi faktami, o których to zdanie mówi.

Denotacja (zakres) nazwy - zbiór obiektów, do których nazwa się odnosi. Elementy denotacji nazwy to denotaty lub desygnaty tej nazwy.

Funktor - rodzina kategorii syntaktycznej. Jeżeli jakaś część nie jest nazwą ani zdaniem, to jest funktorem. Jego zadaniem jest spajanie wyrażeń prostszych w wyrażenia bardziej złożone.

Typ funktora jest char. przez 3 parametry:

- kategoria syntaktyczna wyrażenia otrzymanego przy pomocy danego funktora

- liczba wyrażeń argumentowych, tzn. takich wyrażeń, z których budujemy wyrażenie złożone

- kategorie syntaktyczne wyrażeń argumentowych

Funktory ekstensjonalne - funktor zdaniotwórczy od argumentów zdaniowych nazywamy funktorem ekstensjonalnym, jeżeli wartość logiczna zdania zbudowanego przy pomocy tego funktora zależy wyłącznie od wartości logicznej zdań argumentowych (nie zależy od treści tych zdań ani innych czynników).

Funktory, które nie są ekstensjonalnymi, nazywamy funktorami intensjonalnymi.

2. Język KRZ.

Definicja alfabetu KRZ, wyrażenia KRZ, formuły KRZ (tzn. wyrażenia

sensownego). Relacja między językiem KRZ i językiem naturalnym:

interpretacja zmiennych zdaniowych, spójników logicznych, symboli

pomocniczych. Syntaktyczna i semantyczna charakterystyka spójników

logicznych. Schematy logiczne zdań z języka naturalnego. Jak opisać

relację między zdaniem i jego schematem logicznym

Alfabet - zbiór symboli dopuszczalnych w danym języku.

Alfabet KRZ składa się z trzech grup symboli:

1) zmienne zdaniowe: p, q, r, s... p1, p2, p3, p4... - odpowiadają one zdaniom prostym w sensie logiki.

2) spójniki logiczne, czyli funktory: ^, V, ->, <->, ~

3) symbole pomocnicze: (, )

Wyrażenie KRZ - dowolny skończony ciąg symboli wziętych z alfabetu KRZ.

Formuły to wyrażenia poprawnie zdaniowe. Należą one do kategorii zdaniowej - czyli są zdaniami.

Definicja formuły KRZ:

1) pojedyncza zmienna zdaniowa jest formułą (formuły atomowe, czyli najprostsze)

2) jeżeli alfa i beta są formułami, to są nimi również: (alfa ^ beta), (alfa V beta), (alfa -> beta), (alfa <-> beta), (~alfa), (~beta)

3) formułami są wyłącznie te wyrażenia, które powstały przez zastosowanie 1 i 2 powyższej definicji.

Charakterystyka syntaktyczna: to np. z,z/z, a semantyczna to tabelka prawidłowościowa.

Formuła jest schematem logicznym zdania, jeżeli jest dokładnym zapisem jego struktury logicznej.

3. Wprowadzenie do Teorii Mnogości (TM).

Pojęcia pierwotne TM. Pojęcie zbioru w sensie dystrybutywnym i

kolektywnym. Rozumienie wyrażeń w języku kwantyfikatorów. Aksjomat

ekstensjonalności (interpretacja). Definicja relacji inkluzji. Aksjomat

zbioru potęgowego. Aksjomat zbioru pustego. Aksjomat pary. Aksjomat

sumy. Działania na zbiorach: iloczyn, suma, różnica, różnica symetryczna.

Definicja Kuratowskiego pary uporządkowanej. Definicja iloczynu

kartezjańskiego zbiorów. Definicja relacji binarnej między elementami ze

zbioru A i B. Definicja funkcji jednoargumentowej (funkcji unarnej) posyłającej zbiór A w

zbiór B. Definicja iniekcji, suriekcji i bijekcji.

Pojęcia pierwotne TM to pojęcie zbioru .

Jeśli uznajemy, że relacja bycie elementem zbioru to relacja przechodnia, to mamy do czynienia ze zbiorem w sensie kolektywnym. Jeżeli tego nie uznajemy, to jest to pojęcie zbioru w sensie dystrybutywnym.

Relacja binarna na zbiorach A i B to dowolny podzbiór iloczynu kartezjańskiego AXB.

4.Semantyka dla logiki KRZ.

4.1 Definicja wartościowania KRZ (modelu, możliwego świata). Pojęcie

relacji prawdziwości w modelu. Niech α będzie formułą, X zbiorem

formuł, v modelem KRZ, K zbiorem modeli. Podaj definicje relacji: v╞ α,

K╞ α, v╞ X, K╞X.

4.2 Definicja tautologi i kontrtautologii KRZ. Sprawdzanie metodą tabelki

i metodą nie wprost, czy formuła jest tautologią.

4.3 Pojęcia operatorów Mod i Th jako funkcji posyłających pewne zbiory

potęgowe w inne zbiory potęgowe. Definicje Mod(α), Mod(X), Th(v),

Th(K).

Niech dane będą zbiory formuł X={p, p→r}, Y={¬p, q} oraz dwa modele

v i w, zdefiniowane następująco: v(x)=1 wtw gdy x∈{p q r , , } oraz w(x)

= 1 wtw x∉ {q, r}.

Znajdź formułę α taką, że:

α ∈ Th(v) i α ∈ Th(w).

α ∈ Th(v) i α ∉ Th(w).

α ∉ Th(v) i α ∉ Th(w).

α ∉ Th({v, w}) i ¬α ∉ Th({v,w}).

α ∈ Th({v, w}) i ¬α ∈ Th({v,w}).

Znajdź model z taki, że:

z ∈ Mod(X)∩Mod(Y).

z ∈ Mod(X) \ Mod(Y) (różnica zbiorów).

Z ∈ Mod(Y) \ Mod(X).

z ∉ Mod(X) oraz z ∉ Mod(Y).

Czy istnieją takie różne modele v i w, dla których Th({v})=Th({w})?

Czy istnieją takie różne klasy modeli K oraz R, dla których Th(K)=Th(R)?

Czy istnieją takie różne formuły α oraz β, dla których

Mod({α })=Mod({β})?

Czy istnieje taka formuła α, dla której Mod({ α}) = 2

Z

?

Czy istnieje taka formuła α, dla której Mod({ α}) = φ?

Czy istnieje taki model v, dla którego Th({v}) = Fm(Z)?

Czy istnieje taka klasa modeli K, dla której Th(K)= Fm(Z)?

Czy istnieje taka klasa modeli K, dla której Th(K)= φ?

Czy istnieje taka klasa modeli K, dla której Th(K) jest zbiorem

skończonym?

Czy istnieje taka formuła α, dla której Mod({ α}) jest zbiorem

skończonym?

Czy istnieje taki zbiór formuł X, dla którego Mod(X) jest zbiorem

skończonym?

Udowodnij fakty:

X⊆Y ⇒ (Mod (Y) ⊆ Mod (X)).

K⊆P ⇒ (Th(P) ⊆ Th (K)).

Mod(α ∧β) = Mod(α) ∩ Mod(β).Th(K ∪ R) = Th(K) ∩ Th(R).

4.4 Pojęcie relacji konsekwencji logicznej. Definicja X╞ α

Napisz kilka formuł które są konsekwencjami logicznymi zbioru {¬p,

r→s p , ∨ r}. Czy jest wśród nich formuła s? Napisz kilka formuł, które

nie są konsekwencjami logicznymi tego zbioru.

Czy istnieje taki zbiór X, że zbiór jego konsekwencji logicznych jest

skończony?

Udowodnij fakty:

φ╞ α wtw α jest tautologią.

X╞ α wtw Mod(X) ⊆ Mod (α).

4.5 Ogólne pojęcie operatora domknięcia na pewnym zbiorze (definicja)

Pojęcie operatora konsekwencji logicznej Cn(X) jako funkcji posyłającej

pewien zbiór potęgowy w siebie.

Udowodnij fakty:

Cn(X) jest operatorem domknięcia.

Cn(X) = { α ∈ Fm(Z): X╞ α}.

4.6 Definicje teorii, teorii dla klasy modeli, teorii sprzecznej, teorii

zupełnej, spełnialnego zbioru zdań.

Udowodnij, że dla dowolnego zbioru formuł X następujące warunki są

równoważne:

a. X jest teorią.

b. X jest teorią dla pewnej klasy modeli.

c X jest punktem stałym operatora Cn .

Udowodnij równoważności:

X jest teorią sprzeczną wtw gdy X=Fm(Z).

X jest teorią niesprzeczną wtw gdy X jest zbiorem spełnialnym.

X jest teorią zupełną wtw gdy jest teorią pojedynczego modelu.

4.7 Definicje opisywalności oraz skończonej opisywalności klasy modeli

K. Definicja operatora domknięcia semantycznego Dm.

Udowodnij, że rodziny opisywalne są to dokładnie rodziny domknięte ze

względu na operator Dm.

Udowodnij, że dla dowolnego modelu v rodzina 2

Z

\ {v} nie jest

opisywalna.

Podaj opisy dla klas modeli {v}, {w}, {v,w}, gdzie v i w są modelami

zdefiniowanymi w punkcie 4.3.

Uzasadnij, że {v} nie jest skończenie opisywalna.

Czy skończony zbiór zdań może opisywać skończoną klasę modeli?

Czy nieskończony zbiór modeli może być opisany przez skończony zbiór

zdań?

4.8 Definicja reguły normalnej. Sprawdzanie, czy reguła jest normalna.

Twierdzenie o związku między regułami normalnymi a tautologiami.

Jaki jest związek między przesłankami w wnioskiem w regule normalnej?

Jaki jest związek między przesłankami i wnioskiem w regule, która nie jest

normalna?

4.9 Kiedy zbiór spójników nazywamy funkcyjnie zupełnym?. Podaj

definicję implikacji przy pomocy negacji i alternatywy, definicję

implikacji przy pomocy negacji i koniunkcji, definicję alternatywy przy

pomocy negacji i implikacji, definicje negacji, koniunkcji, alternatywy i

implikacji przy pomocy spójnika Łukasiewicza.

5. Aksjomatyczne ujęcie KRZ.

Czy zbiór aksjomatów KRZ jest skończony, czy nieskończony?

Czy aksjomat można udowodnić? Podaj przykład dowodu.

Podaj definicje dowodu i dedukcji. Czy różni się dowód od dedukcji?

Podaj treść twierdzenia Tarskiego o dedukcji.

Podaj treści twierdzeń o dedukcji nie wprost (mocnego i słabego).

Udowodnij, że zbiór twierdzeń KRZ zawiera się w zbiorze tautologii KRZ.

Czy istnieje formuła, z której można wydedukować wszystkie inne?

Czy istnieje formuła, z której nic nie można wydedukować?

Czy istnieje formuła, którą można wydedukować z każdej innej?

Co to znaczy, że zbiór twierdzeń danej teorii jest rozstrzygalny?

Czy zbiór twierdzeń KRZ jest rozstrzygalny? Jeżeli tak, to uzasadnij

dlaczego?

Dowodzenie twierdzeń KRZ