Różniczkowanie numeryczne

Wzory różniczkowania numerycznego znajdują zastosowanie wtedy, gdy trzeba wyznaczyć pochodne odpowiedniego rzedu funkcji f(x), która określona jest tablicą lub ma skomplikowaną postać analityczną. Podstawowy sposób konstruowania wzorów różniczkowania numerycznego polega na różniczkowaniu wzorów interpolacyjnych. Zastępujemy więc daną funkcję f(x) wielomianem interpolacyjnym W_n(x) w interesujacym nas przedziale [a,b], a następnie przyjmujemy

gdzie k jest rzędem pochodnej. Jeżeli błąd interpolacji jest określony wzorem

to błąd pochodnej wynosi

Należy podkreślić, że różniczkowanie numeryczne jest na ogół operacją mniej dokładną niż interpolacja. W szczególności bowiem błąd różniczkowania w węzłach interpolacji może być różny od zera, chociaż błąd interpolacji jest równy zero.

Z każdego wielomianu interpolacyjnego można wyprowadzić wzór różniczkowania numerycznego. Ogólnie mówiąc wzory te klasyfikuje się według wykorzystywanych różnic: zwykłych, wstecznych i centralnych.

Wzór Taylora:

Wyprowadzanie wzorów i szacowanie dokładności z użyciem szeregu Taylora

Na podstawie rozwinięcia Taylora funkcji:

f(x + h)=f(x) + f'(x)h + $\frac{1}{2}$f''(x)h² +…

możemy szacować dokładność przybliżeń numerycznych w funkcji rzędu pochodnej i kroku h.

Przykład:

rozwinięcie Taylora ograniczone do pierwszego nie skracającego się czynnika:

( ) ( ) ( ) 1 ( ) 2 1 ( ) 3

2! 3!

f( x + h) = f(x ) + f'(x) h + $\frac{1}{2}$f '' (x) h² + $\frac{1}{3}$f '''(x) h³

f( x – h)= f(x ) - f'(x) h + $\frac{1}{2}$f '' (x) h² - $\frac{1}{3}$f '''(x) h³

skąd: f( x + h) - f( x – h)=2f'(x)h + $\frac{f^{'''}\left( c_{1} \right) + f^{'''}(c_{2})}{3!}h^{3}$

Oszacowanie pochodnej ilorazem różnicowym centralnym:

f'(x)=$\frac{f\left( x + h \right) - f(x - h)}{2h} - \frac{f^{'''}(c)}{3h}h^{2}$

Wnioski: wzór jest dokładny dla wielomianów do 2 stopnia, błąd jest proporcjonalny do h².

Wrażliwość przybliżeń różnicowych na błędy reprezentacji i zakłócenia w danych

Stwierdzenie, że błąd jest zależny z określoną potęgą od kroku h sugeruje, że zmniejszanie kroku

wyrażenia różnicowego może tylko poprawić jakość wyniku (dokładność pochodnej). W tej

analizie nie uwzględniono jednak błędu reprezentacji maszynowej wartości funkcji. Dodatkowo

silny wpływ na błędy wyznaczanej pochodnej mogą mieć zakłócenia pomiaru wartości funkcji (np.

szumy addytywne w próbkowaniu sygnału).

Wnioski:

wyższy rząd → większy krok → mniejsze wzmocnienie błędu reprezentacji

znaczne zakłócenia w danych → lepiej korzystać z wielomianu aproksymującego

Wzór Stirlinga:

Wzór Stirlinga różniczkowania numerycznego jest najdokładniejszy ponieważ wykorzystuje informację
o przebiegu funkcji po obu stronach punktu, w którym obliczamy pochodną.

Obliczanie pochodnej na końcach przedziału zmienności argumentu funkcji zmusza do wykorzystania dwóch pierwszych wzorów.

Trzeba zwrócić uwagę, że błędy zaokrągleń nieistotne
w procesie interpolacji mogą mieć decydujący wpływ ma błąd różniczkowania numerycznego.

Ponadto ze wzoru na błąd różniczkowania z zastosowaniem różnic centralnych widać, że błąd rośnie gdy h maleje.