LOGIKA, WYKŁAD V - 10.11.2011r.

„RACHUNEK ZDAŃ”

Zdanie w sensie logicznym jest to wyrażenie jednoznacznie stwierdzające, na gruncie reguł danego języka, iż tak a tak jest albo że tak a tak nie jest.

Wartość logiczna zdania jest czymś obiektywnym, to znaczy nie zależy od poglądów tej czy innej osoby.

Deszcz jest pożyteczny. Wypowiedź ta nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz wypowiedzią niezupełną.

Wypowiedzią zdaniową niezupełną nazywamy takie wyrażenie, które wprawdzie nie jest zdaniem w sensie logicznym, lecz o tyle spełnia rolę zdania w sensie logicznym, o ile słuchacz zdaje sobie sprawę z pewnych domyślnych uzupełnień wypowiedzi, pominiętych przez mówiącego.

Funkcja zdaniowa Każda wypowiedź językowa będąca zdaniem może być sprowadzona do schematu będącego jej reprezentacją. Dla przykładu zdanie „każdy student jest piłkarzem” da się przedstawić jako „Każde S jest P”.

Operację podstawienia w miejsce zmiennych konkretnych nazw lub zdań nazywamy konkretyzacją funkcji zdaniowej. Natomiast operację objęcia kwantyfikatorem każdej ze zmiennych występujących w schemacie nazywamy skwantyfikowaniem tej funkcji. Rozróżniamy dwa rodzaje kwantyfikatorów:

kwantyfikator ogólny – oznaczany symbolem ∧ lub ∀ . Oznacza wyrażenie x „dla każdego” lub „dla wszystkich”.

∀ Jeśli x jest żółte, to jest kolorowe

kwantyfikator szczegółowy – zapisuje się symbolem ∃ lub ∨. Oznacza wyrażenie „istnieje”

∃ x jest kolorowe i x jest żółte

Funktory nieprawdziwościowe i prawdziwościowe - Przedmiotem analizy będą jedynie zdania złożone. Tworzy się je przez użycie określonych wyrażeń, które nazywamy w logice funktorami. Dzielą się one na:

Funktory nieprawdziwościowe, do których należą zwroty jak „konieczne jest, że …”, „z tego, że … należy sądzić, że …”, „możliwe jest, że …”, charakteryzują się tym, że łącząc ze sobą zdania o określonej wartości

logicznej nie wyznaczają w sposób jednoznaczny wartości logicznej zdania złożonego.

Funktory prawdziwościowe, które reprezentowane są przez m. in. takie zwroty jak „i”, „lub”, „albo … albo”, „bądź … bądź”, „jeżeli …, to …” charakteryzują się tym, że wartość logiczna zdania złożonego stworzonego za ich pomocą, jest w sposób jednoznaczny wyznaczona przez wartość logiczną zdań będących ich argumentami. Z

punku widzenia logiki interesujące są właśnie te spójniki.

Funktory prawdziwościowe ze względu na liczbę argumentów łączących przez te funktory dzielimy na jednoargumentowe, dwuargumentowe lub trój-, czwór- i więcej argumentowe.

1. Funktory prawdziwościowe jednoargumentowe to:

- funktor asercji, inaczej afirmacji , jest funktorem potwierdzającym prawdziwość. Wyraża się słowami „prawdą jest, że …”, „zaiste” albo „naprawdę” i oznacza symbolem ≈

- funktor negacji wyraża się słowami: „ nieprawda, że …”, „nie jest tak, że …” lub krótko „nie”. Oznaczamy ją symbolem ~

Matryca funktorów prawdziwościowych jednoargumentowych:

p	≈ p	~ p
1	1	0
0	0	1

2. Funktory prawdziwościowe dwuargumentowe:

- funktor koniunkcji wyrażamy jako „i”, „oraz”, „a chociaż”, „lecz”, „pomimo, że”, „a także”, „jak również” i oznaczamy ∧. Zdanie złożone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy koniunkcją. Warunkiem koniecznym i wystarczającym prawdziwości koniunkcji jest prawdziwość obu zdań składowych. Natomiast fałszywość choćby jednego zdania składowego jest warunkiem wystarczającym fałszywości koniunkcji.

- funktor alternatywy wyrażamy jako „lub”, „bądź”, „albo” i oznaczamy symbolem ∨ Zdanie złożone zbudowane za pomocą tego funktora nazywamy alternatywą. Warunkiem wystarczającym prawdziwości alternatywy jest prawdziwość choćby jednego argumentu zdaniowego. Warunkiem koniecznym i wystarczającym fałszywości alternatywy jest fałszywość oby zdań.

- funktor alternatywy rozłącznej wyrażany jest poprzez zwrot „albo … albo”, a przyjętym dla niej symbolem jest ⊥. Zbudowane za pomocą tego funktora zdanie złożone jest prawdziwe, gdy jeden i tylko jeden z argumentów zdaniowych jest prawdziwy i jeden i tylko jeden fałszywy.

- funktor dysjunkcji oznaczany jest symbolem / i czyta się go jako „bądź …, bądź …”. Zbudowane za pomocą tego

funktora zdanie złożone, zwane dysjunkcją, jest prawdziwe, jeśli przynajmniej jedno ze zdań składowych jest fałszywe.

- funktor binegacji oznaczany jest ↓ i czytany jako „ani …, ani …”. Binegacja jest prawdziwa, jeżeli oba zdania składowe są fałszywe.

- funktor implikacji oznaczamy znakiem => i wyrażamy za pomocą słów „jeżeli …, to …”. Implikacja jest fałszywa, jeżeli jej pierwsze zdanie składowe (poprzednik) jest prawdziwe, a drugie zdanie składowe (następnik) jest fałszywe.

- funktor równoważności oznaczamy znakiem ⇔ i czytamy jako „… wtedy i tylko wtedy, gdy …”. Zdanie zbudowane za pomocą tego spójnika, zwane równoważnością, jest prawdziwe wtedy, gdy oba zdania składowe mają taką samą wartość logiczną.

Matryce logiczne funktorów dwuargumentowych:

Funkcja logiczna w rachunku zdań to taka funkcja zdaniowa, która zbudowana jest jedynie ze stałych logicznych i zmiennych (zdaniowych lub nazwowych). Za stałe logiczne uznawać będziemy omówione funktory prawdziwościowe, kwantyfikatory, funktor ∈ przynależności do zbioru oraz inne wyrażenia zdefiniowane poprzez odwołanie się do już wymienionych stałych.

Stosowanie nawiasów nie zawsze jest konieczne. Istnieje bowiem konwencja, że znaki:

~, ∧, ∨, /, =>, ⇔

wiążą kolejno coraz słabiej, z tym, że znaki ∨, / wiążą równie silnie. Stąd zamiast (p∧q)∨r wolno pisać p∧q∨r.

Oryginalnym beznawiasowym systemem notacyjnym jest system stworzony przez J. Łukasiewicza, zwanym inaczej „polska notacją beznawiasową”. Niech „K” oznacza koniunkcję, „A” – alternatywę, „D” – dysjunkcję, „C” – implikację oraz „E” – równoważność. Wówczas funkcja w notacji Łukasiewicza ma postać:

[(p =>q) ∧ (r => s) ∧ ( p ∨ q)] => (q ∨ s)

CKKCpqCrsAprAqs.

Funkcje logiczne ze względu na wartości, jakie mogą przyjmować dzielimy na:

• funkcje tautologiczne, takie, które dla każdego podstawienia wartości zmiennych zawsze dają zdanie prawdziwe,

• funkcje kontrtautologiczne, zwane inaczej fałszami logicznymi, które charakteryzują się tym, że dla każdego podstawienia wartości zmiennych dają zdanie fałszywe, funkcje spełnialne, to są takie, które przy niektórych wartościach logicznych ich argumentów stają się zdaniami prawdziwymi, przy innych zaś – zdaniami fałszywymi.

SYMBOL	NAZWA	ZNACZENIE
~	funktor negacji	nieprawda, że …
∧	funktor koniunkcji	I, oraz, a chociaż, lecz, pomimo, że
∨	funktor alternatywy	Lub, bądź, albo
/	funktor dysjunkcji	bądź …, bądź …
≈	funktor asercji	prawdą jest, że …
⊥	Funktor alternatywy rozłącznej	albo … albo
↓	funktor binegacji	ani …, ani …
=>	Funktor implikacji	jeżeli …, to …
⇔	funktor równoważności	„… wtedy i tylko wtedy, gdy …