Przed sprawdzianem, geometria (3).
Zad. 1. W trójkącie ABC przez środek ciężkości poprowadzono równoległą do podstawy AB, przecinającą ramiona w punktach D i E. Jaką częścią pola trójkąta ABC jest pole czworokąta ABDE?
Zad. 2. Jedna z przekątnych (o długości 10) trapezu dzieli go na dwa trójkąty podobne o polach 25 i 16. Oblicz długości podstaw trapezu.
Zad 3. Dwusieczna kąta prostego w trójkącie ma długość 3 i dzieli przeciwprostokątną w stosunku 3:1. Oblicz pole tego trójkąta.
Zad. 4. Trójkąt równoboczny podzielono na czworokąt i trójkąt prostą przechodzącą przez środek jednego z boków i tworzącą z nim kąt ostry α. Pole powstałego czworokąta jest siedem razy większe od pola powstałego trójkąta. Wyznacz kąt α.
Zad. 5. Dany jest kąt o mierze 60o. Ramiona tego kąta przecięto prostą p prostopadłą do jednego z ramion i wpisano w niego dwa koła styczne do ramion i do prostej p. Znajdź stosunek pól tych kół.
Zad. 6. W prostokącie ABCD bok AB jest dwa razy dłuższy od boku BC. Punkty P i K są odpowiednio rzutami prostokątnymi wierzchołków B i D na przekątną AC. Wykaż, że czworokąt DKBP jest równoległobokiem i oblicz stosunek pola prostokąta ABCD do pola równoległoboku DKBP.
Zad. 7. Niech D oraz E będą odpowiednio środkami boków AC i BC trójkąta, w którym |∢ACB| = 60 oraz |AC|=4, |BC|=6. Odpowiedz TAK lub NIE: (a) jedna z wysokości trójkąta ma długość $3\sqrt{3}$. (b) pole trójkąta DCE jest trzy razy mniejsze od pola trapezu ABED. (c) ABC jest trójkątem prostokątnym.
Zad. 8. Udowodnij twierdzenie Pitagorasa stosują: (a) podobieństwo odpowiednich trójkątów, (b) twierdzenie o potędze punktu względem okręgu.
Zad. 9. Udowodnić twierdzenie o czworokącie wpisanym w okrąg: czworokąt wypukły można wpisać w okrąg wtedy i tylko wtedy, gdy iloczyny długości odcinków przekątnych, na które dzieli je ich punkt przecięcia, są równe.
Zad. 10. W wycinek koła o promieniu długości R wpisano okrąg o promieniu długości r. Cięciwa łącząca końce promieni wycinka ma długość 2a. Udowodnij, że $\frac{1}{r} = \frac{1}{R} + \frac{1}{a}$.
Zad. 11. Przekątne czworokąta ABCD przecinają się w punkcie O. Udowodnij, że |AO||BO|=|CO||DO| wtedy i tylko wtedy, gdy czworokąt ten jest trapezem.