1. Definicja asymptoty pionowej

Prostą x = a nazywamy asymptotą pionową lewostronną funkcji f jeśli

Zamieniając granice lewostronne na granice prawostronne dostajemy definicję asymptoty pionowej prawostronnej.

Prostą x = a nazywamy asymptotą pionową (obustronną) funkcji f jeśli jest ona asymptotą pionową lewostronną i prawostronną tej funkcji.

2. Twierdzenie o całkowaniu przez części

Jeżeli funkcje u i v mają na pewnym przedziale P ciągłe pochodne u' i v', to

na tym przedziale.

3. Definicja pochodnej w punkcie
Jeżeli istnieje skończona granica:

to jest ona pochodną funkcji w punkcie x₀.
Granicę tę oznaczamy symbolem f'(x₀). O takiej funkcji mówimy, że jest różniczkowalna w punkcie x₀.

4. Szereg liczbowy: Niech an będzie ciągiem liczbowy. S.l. o wyrazach an nazywamy wyrażenie postaci $\sum_{n = 1}^{\infty}\text{an}$

5. Funkcja pierwotna: Niech f będzie funkcją określoną na przedziale p. Mówimy że funkcja F:P->R jest funkcją pierwotną funkcji f w przedziale P, gdy F jest funkcją różniczkowalną i F’(x) = f(x) dla xeP

6. Twierdzenie o 3 ciągach: Załóżmy że dla każdego neN, an<=pn<=bn.

Jeżeli an =  bn   = g , to pn =  g

7. Punkt skupienia: Niech x₀e i DcR. Xo jest pkt. skupienia zbioru D, gdy istnieje ciąg x_n, taki że:

1) /\neN x₂eD

2)/\neN x_n=/=x_o

3)limx_n=x_o

Element zbioru D, który nie jest unktem skupienia nazywamy punktem izolowanym

8. Granica fukncji (Heine): Niech f:D->R,DcR, Xo-pkt skupienia zbioru D,

Powiemy, że geR jest granicą funkcji f w pkt. Xo (limx->x0 f(x)=g), gdy dla każdego Xn spełniającego warunki:

1)/\neN XneD, 1)/\neN X2=Xo, 3)limXn=Xo

Zachodzi równość: lim (n->niesk) f(Xn) = g

9. O ciągłości funkcji odwrotnej: Załóżmy, że funkcja f:<a,b> -> R jest ciągła i rosnąca(malejąca). Wówczas funkcja odwrotna f -1 : <f(a),f(b)> -> R jest ciągła.

Wszystkie funkcje cyklometryczne są ciągłe!

10. Tw Rolle’a: Załóżmy, że f:<a,b>-> jest ciągła oraz różniczkowalna na (a,b). Jeżeli f(a)=f(b), to istnieje liczba c e(a,b), taka że f’(c) = 0.

11. Reguła de Hospitala: Załóżmy, że f i g są różniczkowalne w każdym pkt zbioru (a,xo) u (xo,b) oraz /\ (a,xo) u (xo,b) (g(x) = 0 i g’(x) =/=0). Załóżmy, że lim x->x0 f(x) = lim x->x0 g(x)=0.

Jeżeli istnieje g = lim x->x0 f’(x)/g’(x) (geR), to również f(x)/g(x) = g.

Powyższe twierdzenie jest prawdziwe dla granic jednostronnych, gdy x0 =+-niesk, oraz gdy lim x->x0={+-niesk/+-niesk}

12. Punkt przegięcia:

Załóżmy, że f:(a,b) -> R jest różniczkowalna, Powiemy, że Xo jest p.p w funkcji f gdy istnieje liczbaδ>0, taka że 1) f jest wypukła na (x0-δ, xo) i wklęsła (xo, xo+δ 2) f jest wklęsła na (x0-δ, xo) i wypukła (xo, xo+δ)

13. Całka neioznaczona:

Niech f:I->R, będzie całkowalna na I. Całkę nieoznaczoną funkcji f na przedziale I nazywamy zbiór wszystkich funkcji ierwotnych funkcji f na przedziale I. Zbiór ten oznaczamy ∫f lub ∫f(x)dx. Gdy na I F’=f, to ∫f(x)dx = {F+c; CeR}

14. Całka oznaczona: Niech f:<a,b>->R. Mówimy, że funkcja f jest całkowalna w sensie Riemana na przedziale <a,b>, gdy istnieje liczba g taka, że dla każdego normalnego ciągu podziału (π_n ) przedziału <a,b> zachodzi równość g = lim n->niesk S(f, πn ). Gdy tak jest, to liczbę g nazywany całką oznaczoną funkcji f na przedziale <a,b> i oznaczamy ∫_a^b f

15. Suma całkowa: Niech π będzie podziałem rzędu n przedziału <a,b>. F<a,b> ->R. Sumą całkową funkcji f wyznaczoną przez podział π nazyway liczbę S(f, π) = f(spr. x₁)Δx₁ + f(spr. X₂)Δx₂ + ... + f(spr. X_n)Δx_n

16. Liczba e $\sum_{n = 0}^{\infty}\frac{1}{n!} = 1 + \frac{1}{1!} + \ldots$=2,718 Jeżeli ciąg jest monotoniczny i ograniczony, to jest zbieżny

17. New-Leib- jeżeli f jest ciągła na <a,b> i g dowolna funkcja pierwotna to ∫_a^bf(x)dx = g(b) − g(a)

18. Tw wiest- f:<a,b> ->R jest ciągła, wówczas istnieją liczby u,Ue<a,b> takie, że /\ f(u)<=f(x)<=f(U)

19. Darboux- f:<a,b> ->R jest ciągła, Jeżeli f(a)<y<f(b) lub f(B)<y<f(a) to istnieje liczba x0e<a,b> taka, żę f(x0)=y

20. Tw fermata (ekstrema) Jeżeli f różniczkowalna w x0, i ma w tym punkcie ekstra, to f’(x0)=0

21. Tw Lagrange jeżeli f ciągła na <a,b> i różniczkowalna wew. tego przedziału to istnieje Ce(a,b) że

F’(c)$= \frac{f\left( b \right) - f(a)}{b - a}$

Wnioski 1)jeżeli f’(x)=0 dla x z (a,b) to f jest stała

2) jeżeli f i g maja równe pochodne do x z ab to różnią się c najwyżej o stałą 3)jeżeli f’(x)>0 dla x z ab to funkcja f jest rosnąca

4) odwr do 3

22. Funkcja ciągła- funkcja f okreslona na pewnym otoczeniu punktu x0 nazywamy ciaglą w x0, gdy dla(pkt skup) lim(x->xo)f(x)=f(x0) , lub gdy x0 jest pkt izol. F jest ciągła, gdy jest ciągła w każdym pkt zbioru D.

23. Tw Taylora- załóżmy ze funkcja f : (a,b) w R jest (n+1) krotnie różniczkowalna (n=0,1,2,3,4...). Niech x0E(a,b) x różne od x0 istnieje liczba c taka leżąca pomiędzy x a x0 taka że: wzór