Płyta - bryła ograniczona dwiema równoległymi płaszczyznami, której grubość jest znacznie mniejsza od pozostałych wymiarów. Musi mieć określoną sztywność. Obciążenie musi działać prostopadle do powierzchni

Tarcza – element konstrukcyjny o małej grubości w porównaniu z pozostałymi wymiarami, obciążony zwykle w płaszczyznach prostopadłych do kierunku grubości.

Łupina, powłoka - przekrycie krzywiznowe cienkościenne o dwukierunkowym rozkładzie naprężeń, głównie ściskających i rozciągających

Przepona, membrana – elastyczna przegroda przenosząca w zasadzie wyłącznie obciążenia rozciągające.

Zastosowanie metody różnic skończonych do obliczeń statycznych ustrojów płytowych

Elementem składowym większości budowli wodno melioracyjnych są ustroje płytowe. Płytą nazywamy płaski dźwigar powierzchniowy, tzn. taki, w którym jeden wymiar zwany grubością jest zdecydowanie mniejszy od pozostałych, mające różną od zera sztywność
na zginanie, obciążony siłami, które wywołują zakrzywienie powierzchni środkowej.

Zakłada się, że materiał płyty jest ciałem sprężystym, jednorodnym i izotropowym. Odkształcenie sprężyste jest to takie odkształcenie, które ustępuje po zdjęciu sił powodujących to odkształcenie, przez jednorodność materiału rozumiemy niezależność gęstości ρ od miejsca. Oznacza to, że własności sprężyste materiały są jednakowe we wszystkich punktakach płyty. Przez izotropie rozumiemy niezależność własności sprężystych ciała od kierunku.

Tak, więc, za podstawę rozważań przyjmujemy materiał idealny. Materiał konstrukcyjny taki jak stal, a zwłaszcza beton czy żelbet są dalekie od przyjętego ideału. Doświadczenia wykazały, że rozwiązania oparte na przyjęciu jednorodności i izotropii materiału w zakresie małych odkształceń sprężystych mogą być stosowane z zadowalającą dokładnością.
W związku z tym zakłada się, że teoria oparta na powyższych założeniach słuszna jest
dla ugięć w nie mniejsze od $\frac{1}{5}$h.

Teoria płyt cienkich o małym ugięciu, oparata jest na założeniach, które w przypadku jednowymiarowym są podstawą elementarnej teorii zginania belek.

A więc:

• Powierzchnia środkowa płyty nie doznaje żadnych wydłużeń ani odkształceń
  pod postaciowych

• Punkty płyty leżące na normalnej do płaszczyzny środkowej przed odkształceniem leżą na normalnej do powierzchni środkowej po odkształceniu płyty.

• Naprężenia normalne CH_ZZ prostopadłe do płaszczyzny płyty mogą być pominięte.

Rozwiązanie płyt jednorodnych o stałej grubości i małych ugięciach sprowadza
się do wyznaczenia f-cji ugięcia spełniającej równanie:

RÓWNANIAAAAAAAAA MA MICHA!!!!!!!!!!!!!!

SCHEMAT MA GACEK!!!!!!!!!!!!!!!!!

A) krawędź x= const. Jest swobodna

Krawędź ta ma określone różne od zera ugięcia oraz kąt obrotu. Na krawędzi tej zarówno Moment zginający jak i siła tnąca działające w kierunku prostopadłym do krawędzi muszą być równe zero Mx=0 i qx=0. Korzystając z zależności (3) powyższe warunki można przedstawić w postaci

RÓWNANIAAAAAAAAA MA MICHA!!!!!!!!!!!!!!

B) Krawędź y=const. Jest swobodnie podparta

Warunki brzegowe mają postać w=0 My=0

RÓWNANIAAAAAAAAA MA MICHA!!!!!!!!!!!!!!

C) Krawędź x=const. Jest utwierdzona

Wzdłuż tego brzegu krawędź nie może doznać żadnych odkształceń. Ugięcie i kąt obrotu muszą być równe zero. W=0

RÓWNANIAAAAAAAAA MA MICHA!!!!!!!!!!!!!!

Dla płyt o brzegach prostoliniowych i kolistych można znaleźć rozwiązanie równania (1) stosując scisłe metody rozwiązywania równania różniczkowego jednakże, jeżeli mamy doczynienia z płytami o złożonym kształcie lub o nieciągłych warunkach brzegowych, czy też z płytami nieregularnymi wzmocnionymi dodatkowo żebrami bądź osłabionymi otworami.

METODY ŚCIŚLE PROWADZĄ WTEDY do długich i żmudnych obliczeń. Często trafimy w tych przypadkach na trudności natury matematycznej, z którymi nie potrafimy sobie poradzić.
W takich przypadkach uciekamy się do metod przybliżonych, które kosztem zmniejszonej
o kilka procent dokładności obliczeń prowadzą znacznie szybciej do rezultatu. Jedną z takich metod jest metoda wariacyjnego ujęcia różnic skończonych. Początków tej metody doszukać się można u Eulera, jednakże dopiero w ostatnich latach z związku z rozwojem ETO metoda ta znalazła szerokie zastosowanie. Metoda ta wielokrotnie sprawdzona w obliczeniach pozwala na uwzględnienie skomplikowanego kształtu ustroju, uwzględnienie żeber, otworów, zmienności sztywności płyt itp.

Istota metody polega na wyrażeniu funkcjonału energii sprężystej zginanej płyty poprzez związki różnicowe i wypisaniu równań wg zasady rachunku warinacyjnego.

Energia odkształcenia sprężystego dana jest zależnością:

w – ugięcie płyty

q – obciążenie prostopadłe do powierzchni

A – obszar płyty

w_xx=∂²w/∂x²

W funkcjonale poszczególne pochodne należy zastąpić odpowiednimi ilorazami różnicowymi – w tym celu na obszarze A płyty dzielimy siatką linii na elementarne podobszary. Pochodne funkcji ugięcia w węzłach przyjętej siatki podziału wyrażamy poprzez różnice skończone.

Funkcjonał (uzupełnić wzór i symboli wyjaśnienie)

h – grubość płyty

K – współczynnik podatności podłoża Winklera

E – Moduł sprężystości materiału płyty

E_Z – Moduł sprężystości materiału żebra

J – Moment bezwładności żebra

α_T – Współczynnik rozszerzalności liniowej
∆T – różnica temperatur pomiędzy płaszczyznami płyty

A – Obszar płyty

S – obszar występowania żebra

W funkcjonale (4) poszczególne pochodne należy zastąpić odpowiednimi ilorazami różnicowymi w tym celu obszar płyty dzielimy obszar A płyty dzielimy siatką linii
na elementarne podobszary. Pochodne funkcji ugięcia w węzłach przyjętej siatki podziału wyrażamy poprzez różnice skończone.

Całkowanie funkcjonału (4) odnoszące się do całego obszaru płyty zmieniamy na sumy
po elementarnych podobszarach.

Po wykonaniu tych czynności funkcjonał (4) energii możemy zapisać w postaci sumy ugięć
w węzłach podziału płyty. Korzystając z twierdzenia, że dla układu będącego w stanie statycznej równowagi jego całkowita energia osiąga minimum, po zróżniczkowaniu funkcjonału (4) otrzymany układ równań algebraicznych liniowych na wyznaczenie ugięć
w poszczególnych węzłach siatki podziału.

WZÓR

Dla każdego w_k (k= 1,2,….n)

Liczba równań odpowiada, więc liczbie niewiadomych. Z uwagi na kwadratową formę wyrażenia (4) otrzymany zawsze układ równań symetryczny względem głównej przekątnej. Ułożymy przykładowe równanie dla węzła 7 leżącego w obszarze płyty.

RYSUNEK NA KALCE

WZORY MICHA