TWIERDZENIE O TRZECH CIĄGACH:

Niech dane będą trzy ciągi liczb rzeczywistych

an,bn oraz cn. Jeśli prawie wszystkich wyrazów tych ciągów, tzn. dla wszystkich n,

większych od pewnego wskaźnika N, zachodzi:

przy czym:

to wtedy także:

DOWÓD: Niech dany będzie Zbieżność ciągów an oraz cn oznacza, ze:

można wskazać dla których (z własności wartości bezwzględnej) przy

dowolnym n > max(δ1,δ2) zachodzą nierówności:

skąd: oraz:

skąd:

Na podstawie nierówności z założenia zachodzi oszacowanie:

które jest równoważne:

co oznacza iż: