Równanie różniczkowe liniowe o stałych współczynnikach niejednorodnych rzędu n-tego. y⁽ⁿ⁾+C₁y^(n-1)+ C₂y^(n-2)…+C_ny⁽⁰⁾=f(x), gdzie C₁,C₂,…,C_n ϵR, Tw. CORN=CORJ+CSRN Metody znajdowania całki szczególnej równania niejednorodnego. I Metoda uzmienniania stałych CORJ: Jeżeli y=C₁y₁+C₂y₂+…+C_ny_n , gdzie C₁,C_2… ϵR y_1,y_2…y_n- liniowo niezależnie rozwiązania równania jednorodnego yⁿ+C₁y^n-1+…+a_n=0 CORN- przewidujemy w tej samej postaci jedynie stałe C i przejdą na funkcje C_i(x) i y=C_1(x)y₁+C_2(x)y₂+…+C_n(x)y_n Ze względu na podobieństwo CORJ i CSRN metodą tą nazywamy metodą uzmienniania stałych C_i(x) wyznaczamy z układu równań: C’₁y₁+C’₂y₂+…+C’_ny_n=0 //C’₁y’₁+C’₂y’₂+…+C’_ny’_n=0//…//C’₁y₁^(n-2)+C’₂y₂^(n-2)+…+C’_ny_n^(n-2)=0//C’₁y₁^(n-1)+C’₂y₂^(n-1)+…+C’_ny_n^(n-1)=f(x) Jest to układ o n-niewiadomych i n-równań C’_{1 ,} C’_{2 , …}C’_n.­ Wrońska układu W(x)|y1y2y3…yn//y1’…//y1ⁿ| Jeżeli 1y y2 yn są liniowo niezależnymu rozwiązujemy równanie linowe jednorodne o stałych współczynnikach to W(x)!=0. Układ jest układem Cramera: C₁’(x)=Wi(x)/W(x) Wi(x)-powstał z Wrońskiego przez zastąpienie i-tej kolumny wyrazów wolnych: Ci(x)=∫Wi(x)/W(x)dx CSRN: i y=C_1(x)y₁+C_2(x)y₂+…+C_n(x)y_{n .} Metoda przewidywania: Tw. Jeżeli f(x) ma postać: f(x)=e^αx[W₁(x)*cos(βx)+ W₂(x)*sin(βx)], CSRN przewidujemy w postaci:$y = x^{s}\ e^{\text{αx}}\lbrack\overset{\overline{}}{W1}(x)*cos(\beta x) + \ \overset{\overline{}}{W2}(x)*sin(\beta x)\rbrack$, α i β są takie same jak w f(x), s- jest krotnością α+β_i w równaniu charakterystycznym, $\overset{\overline{}}{W1}(x),\overset{\overline{}}{W2}(x)$- wielomiany stopień $\overset{\overline{}}{W1}\text{\ i\ }\overset{\overline{}}{W2}$ maksymalny ze stopni W₁,W_{2 .}Całki krzywoliniowe: 1) Krzywa o równaniu x=x(t),y=y(t),[ z=z(t) ]tϵ<α,β>.Nie zawiera punktów wielokrotnych to krzywa zwyczajna punktu wielokrotnego α. Przy zamianie parametru t od α do β przez p. wielokrotny przechodzimy kilka razy. P. Gładki – to łuk o równaniu: x=x(t),y=y(t),[ z=z(t) ]tϵ<α,β>. Będący p. zwyczajny spełniający warunki:1)x(t),y(t),z(t) ϵC₁<α,β>. 2) x’(t)J²+y’jJ²+z’(t)J²>0 Długość łuku $\int_{}^{}{s = \int_{\alpha}^{\beta}\sqrt{{\lbrack x^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}\text{dt}$ Całka krzywoliniowa skierowana. Def. Krzywa K x=x(t),y=y(t), tϵ<α,β>.= nazywa się zorientowaną jeżeli zawiera na niej początek i koniec. Umowa: Kezywa jest dodatnie zorientowana jeżeli początek jest osiągany dla t= α zaś koniec t= β: P(x(α),y(β)), K(x(α),y(β)), a ujemnie zorientowana : P(x(β),y(β)), K(x(α),y(α)). Niech wordki krzywej l będą określone funkcje P(x,y), Q(x,y) Oznaczamy przez {π_n} przedział odcinka <α,β) na podprzedziały punktów t0= α<t1<t2<t3<…<tn= β. Oznaczamy przez βti=<t_i-1,t_i> dla i=1,2,…n/ Mówimy że ciąg przedziału π_n jest normalny jeżeli ciąg średnic S_n->0 średnica przedziału S_n =max|t_i-t_i-1|

Tw. Zamiana całki krzywoliniowej zorientowanej na zwyczajną. Tw. Jeżeli krzywa K⁺ jest krzywą gładką (łukiem gładkim) zaś funkcje P(x,y), Q(x,y) są ciągłe to: ∫_K⁺P(x,y)dx + Q(x,y)dy = ∫_α^βP(x(t),y(t)) * x^′(t)dt + Q(x(t),y(t)) * y^′(t)dt. W przestrzeni: ∫_K⁺P(x,y, z)dx + Q(x,y,z)dy + R(x,y,z)dz = ∫_α^βP(x(t),y(t), z(t)) * x^′(t)dt + Q(x(t),y(t),z(t)) * y^′(t)dt + R(x(t), y(t),  z(t)) * z′(t). Zastosowanie: Jeżeli na punkt materialny przesuwany w przestrzeni wzdłuż krzywej K działają siły o składowych P(x,y), Q(x,y) to wykonujemy prace P = ∫_K⁺P(x, y) dx + Q (x, y)dy Podstawowe własności całki krzywoliniowej 1) P = ∫_K⁺P dx + Q dy = −∫_K⁻P dx + Q dy 2) Jeżeli krzywą K rozbijemy na dwie krzywe K1,K2: K=K1+K2 to ∫_K⁺P dx + Q dy = ∫_K1⁺P dx + Rdy + ∫_K2⁺Rdx + Q dy Całka krzywoliniowa niezorientowana: Całki krzywej gładkiej L: x=x(t),y=y(t) tϵ<α,β>. jest określona funkcja f(x,y). Oznaczamy przez {π_n} podział tej krzywej na półłuki punktami pośrednimi:P1,P2…Pn. Oznaczamy przez ΔSi łuk  = ΔSi, | ΔSi|-długość łuku ΔSi w którym łuku ΔSi wybieramy p. pośredni Aiϵ ΔSi tworzy sumy całkowe Sn=$\sum_{i = 1}^{n}{f\left( \text{Ai} \right)*|}\text{ΔSi\ }|$ Sn-średnica podziału najdłuższego łuku ΔSi Sn-max a<=1<=n. Def. Ciąg podziału {π_n } nazywamy normalnym jeżeli Sn = 0 Def. Jeżeli istnieje granica ciągu sum całkowych Sn skończona zawsze taka sama niezależnie od wyboru ciągu normalnego {π_n } i wyboru punktów pośrednich Ai to granicę tą nazywamy całką krzywoliniowa niezorientowaną z funkcji f(x,y) wzdłuż krzywej L i piszemy: ∫_Lf(x,y)ds Tw. Jeżeli krzywa L jest gładka i funkcja f(x,y) jest ciągła wzdłuż krzywej to: $\int_{L}^{}{f\left( x,y \right)\text{ds}} = \int_{}^{}{\int_{\alpha}^{\beta}{f\left( x\left( t \right),y\left( t \right) \right)*\sqrt{{\lbrack x^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}}}\text{dt}$ . Wyrażenie: $\sqrt{{\lbrack x^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2} + {\lbrack y^{'}\left( t \right)\rbrack}^{2}}dt = ds - rozniczka\ luku$ Zastosowanie: 1) Jeżeli f(x,y)- ρ(x, y)≥0, to ∫ρ(x,y)ds – nasza krzywa, ρ(x,y) − gestosc

2 ) Długość łuku k: l = ∫_L⁺1 ds = |s|. Własności: 1)∫_L⁺f(x,y)ds = ∫_L−f(x,y)ds 2) L=L1+L2 ∫_Lf(x,y)ds = ∫_L1f(x,y)ds + ∫_L2f(x,y)dsc) Masa: M = ∫_K⁺ρ(x,y)ds. Szeregi liczbowe.

$$\sum_{n = 1}^{\infty}{\frac{1}{{(n + 1)}^{2}} = \frac{1}{1^{2}} + \frac{1}{2^{2}} + \ldots + \frac{1}{n^{n}} + \ldots}\text{\ \ .}$$

Oba te szeregi maja ten sam charakter zbieznosci

 rozniace sie jesym wyrazem ∖ n