1. Cel ćwiczenia

• Doświadczalne potwierdzenie twierdzenia Steinera.

• Wyznaczanie momentu bezwładności tarczy z otworami względem osi środkowej i osi obrotu.

• Wyznaczanie momentu bezwładności wybranych ciał względem osi środkowej i osi obrotu.

2. Wstęp

Lepkość

Właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich tarcie wewnętrzne wynikające z przesuwania się względem siebie warstw płynu podczas przepływu. Wskutek tarcia występującego między cząsteczkami cieczy lub gazu, poruszająca się cząstka pociąga za sobą cząsteczki sąsiadujące z nią z prędkością tym bardziej zbliżoną do prędkości własnej, im ciecz lub gaz są bardziej lepkie. Analogicznie cząsteczka spoczywająca hamuje poruszające się cząsteczki sąsiednie. Ciało stałe, poruszające się w ośrodku ciekłym, napotyka na opór. Mechanizm tego zjawiska jest następujący: warstwa cieczy przylegająca do powierzchni poruszającego się ciała, wprawia w ruch pozostałe warstwy cieczy. Tak więc istotną rolę odgrywa tu lepkość cieczy. Wypadkowa siła oporu działa przeciwnie do kierunku ruchu ciała.

Doświadczalnie stwierdzono, że dla małych prędkości siła oporu R jest wprost proporcjonalna do prędkości v, zależy od charakterystycznego wymiaru liniowego ciała l oraz od współczynnika lepkości cieczy η.

2. Układ pomiarowy

Przebieg doświadczenia

Wyznaczaliśmy współczynnik lepkości metodą Stokesa, posługując się szerokim szklanym naczyniem cylindrycznym wypełnionym badaną cieczą. Na zewnątrz powierzchni bocznej naczynia znajdowały się dwa pierścienie. Za ich pomocą ustaliliśmy drogę na której badaliśmy czas ruchu kulki ruchem jednostajnym. Wybraną kulkę puszczaliśmy tuż nad powierzchnią cieczy w ten sposób, aby jej tor w przybliżeniu pokrywał się z osią naczynia. Kilkakrotnie wykonywaliśmy pomiary czasu przebycia przez kulkę drogi pomiędzy pierścieniami. Następnie dla średniej wartości tego czasu obliczyliśmy współczynnik lepkości cieczy na podstawie wzoru wyprowadzonego na podstawie równania różniczkowego ruchu kulki z wykorzystaniem prawa Stokesa $\ \eta = \frac{d^{2} \bullet g \bullet t \bullet (p_{k} - p_{c})}{18h}$.

2. Wyniki

Wzory:

$$\rho_{k} = \frac{6m}{\pi d^{3}}$$

$$\rho_{k}^{1} = \frac{6 \bullet 0,6970kg}{\pi{\bullet (0,0799m)}^{3}} = 0,00261\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$$\eta = \frac{d^{2} \bullet g \bullet t \bullet (p_{k} - p_{c})}{18h}$$

$$\eta^{1} = \frac{{(0,0799)}^{2} \bullet 9,81 \bullet 4,81 \bullet (0,00261 - 0,00261)}{18*0,333} = 68,4\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$$

$$u\left( d \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{10}\frac{{(d_{i} - \overset{\overline{}}{d})}^{2}}{10 \bullet 9}} = 0,00093m$$

$$u\left( t \right) = \sqrt{\sum_{i = 1}^{10}\frac{{(t_{i} - \overset{\overline{}}{t})}^{2}}{10 \bullet 9}} = 0,067s$$

$$u_{c}\left( \rho_{k} \right) = \sqrt{\left| \ \frac{\partial\rho_{k}}{\partial m}\ \right|^{2} \bullet {u\left( m \right)}^{2} + \left| \frac{\partial\rho k}{\partial d} \right| \bullet {u(d)}^{2}}\ = \sqrt{\left| \frac{6}{\ \text{πd}^{3}} \right|^{2} \bullet {u(m)}^{2} + \left| \frac{18m}{\text{πd}^{4}} \right|^{2} \bullet {u(d)}^{2}} = \sqrt{\left| \frac{6}{\ {\pi(0,00790)}^{3}} \right|^{2} \bullet {(0,0000002)}^{2} + \left| \frac{18 \bullet 0,000697}{{\pi(0,00790)}^{4}} \right|^{2} \bullet {(0,000093)}^{2}} = 95,41\frac{\text{kg}}{m^{3}}$$

$u_{c}\left( \eta \right) = \sqrt{\left| \frac{\partial\eta}{\partial d} \right|^{2} \bullet {u\left( d \right)}^{2}{+ \left| \frac{\partial\eta}{\partial t} \right|}^{2} \bullet {u\left( t \right)}^{2} + \left| \frac{\partial\eta}{\partial p_{k}} \right|^{2} \bullet {u\left( p_{k} \right)}^{2} + \left| \frac{\partial\eta}{\partial p_{c}} \right|^{2} \bullet {u\left( p_{c} \right)}^{2} + \left| \frac{\partial\eta}{\partial h} \right|^{2} \bullet {u\left( h \right)}^{2}}$=$\sqrt{\left| \frac{d \bullet g \bullet t(p_{k} - p_{c})}{9h} \right|^{2} \bullet {u\left( d \right)}^{2}{+ \left| \frac{d^{2} \bullet g(p_{k} - p_{c})}{18h} \right|}^{2} \bullet {u\left( t \right)}^{2} + \left| \frac{d^{2} \bullet g \bullet t}{18h} \right|^{2} \bullet {u\left( p_{k} \right)}^{2} + \left| \frac{d^{2} \bullet g \bullet t}{18h} \right|^{2} \bullet {u\left( p_{c} \right)}^{2} + \left| \frac{d^{2} \bullet g \bullet t{(p}_{k} - p_{c})}{18h^{2}} \right|^{2} \bullet {u(h)}^{2}} = 0,012\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$

pomiary	$$\overset{\overline{}}{E}$$	ΔE	Ub(E)
t [s]	0,20	0,18	0,18

Niepewność eksperymentatora w mierzeniu czasu

Wielkość Jednostka	m 10^-3[kg]	d [m]	h [m]	t [s]	ρk [kg/m^3]	ρc [kg/m3]	η [Ns/m^2]
1	0,6970	0,00799	0,333	4,81	2699	1250	0,728
2		0,00778		4,82
3		0,00789		4,82
4		0,00795		4,87
5		0,00802		4,79
6		0,00782		4,71
7		0,00794		4,81
8		0,00779		4,85
9		0,00783		4,75
10		0,00801		4,83
$$\overset{\overline{}}{X}$$		0,00790		4,81
ΔX	0,0002	0,00001	0,001	0,20		10
u(X)	0,0002	0,000093	0,001	0,067		10
uc(X)					95,41		0,012

kulka przezroczysta nr 1

Wielkość Jednostka	m 10^-3[kg]	d [m]	h [m]	t [s]	ρk [kg/m^3]	ρc [kg/m3]	η [Ns/m^2]
1	0,2926	0,00588	0,333	7,60	2713	1250	0,643
2		0,00591		7,81
3		0,00597		7,88
4		0,00590		7,83
5		0,00593		7,62
6		0,00587		7,68
7		0,00592		7,54
8		0,00589		7,54
9		0,00589		7,61
10		0,00591		7,85
$$\overset{\overline{}}{X}$$		0,00591		7,70
ΔX	0,0002	0,00001	0,001	0,20		10
u(X)	0,0002	0,000029	0,001	0,16		10
uc(X)					43,30		0,040

kulka biała nr 2

Wielkość Jednostka	m 10^-3[kg]	d [m]	h [m]	t [s]	ρk [kg/m^3]	ρc [kg/m3]	η [Ns/m^2]
1	0,2366	0,00591	0,333	12,2	2736	1250	1,02
2		0,00592		12,2
3		0,00590		12,0
4		0,00593		11,9
5		0,00587		12,2
6		0,00591		12,8
7		0,00589		12,0
8		0,00579		12,0
9		0,00590		11,9
10		0,00588		12,0
$$\overset{\overline{}}{X}$$		0,00589		12,1
ΔX	0,0002	0,00001	0,001	0,20		10
u(X)	0,0002	0,000040	0,001	0,29		10
uc(X)					45,12		0,18

kulka czarna nr 3

Wartość średnia η wszystkich pomiarów: $\overset{\overline{}}{\eta} = \frac{0,728 + 0,643 + 1,023}{3} = 0,798\frac{\text{Ns}}{m^{2}}$

2. Wnioski

Przy pomocy wagi laboratoryjnej analitycznej (pomiar dokładny) dokonaliśmy pomiaru masy kulek. Dokonaliśmy także pomiaru ich średnicy (przy użyciu śruby mikrometrycznej) oraz gęstości cieczy areometrem. Pomiary średnicy powtórzyliśmy dziesięciokrotnie w celu uzyskania większej dokładności pomiarów.

Na podstawie wyników pomiaru czasu ruchu kulki stwierdziliśmy, iż największą zbieżność współczynnika lepkości uzyskaliśmy dla kulek nr 1 η=0,728Ns/m² i nr 2 η=0,643Ns/m². Pomimo podobnej średnicy i masy η=1,023Ns/m² 3 kulki znacząco różni się od η kulki nr 2 i 1. Wartość tabelowa współczynnika lepkości dla temperatury 25°C wynosi η=0,942Ns/m². Różni się on od wyników uzyskanych doświadczalnie. Przyczynami tej różnicy mogą być niedokładność pomiarowa eksperymentatora i różnica temperatury w pomieszczeniu. Temperatura znacznie wpływa na lepkość cieczy, dlatego jej niedokładny pomiar, a następnie odczytanie błędnej stałej z tablicy fizycznej potęguje ostateczny błąd całego ćwiczenia.