Egzamin z fizyki

1. Zasady dynamiki Newtona. Pęd. Zasada zachowania pędu.

1 zasada: Jeśli w inercjalnym układzie odniesienia, na ciało nie działa żadna siła lub siły działające równoważą się, to ciało pozostaje w spoczynku lub porusza się ruchem jednostajnym prostoliniowym.

2 zasada: W inercjalnym układzie odniesienia, jeśli siły działające na ciało nie równoważą się (czyli wypadkowa sił jest różna od zera), to ciało porusza się z przyspieszeniem wprost proporcjonalnym do siły wypadkowej, a odwrotnie proporcjonalnym do masy ciała.

$$\overset{\overline{}}{a} = \frac{\overset{\overline{}}{F}}{m}$$

$$\frac{d\overset{\overline{}}{p}}{\text{dt}} = \overset{\overline{}}{F}$$

Zmiana pędu ciała w jednostce czasu jest proporcjonalna do wypadkowej siły działającej na to ciało i jest skierowana zgodnie z tą siłą.

3 zasada: Oddziaływania ciał są zawsze wzajemne. W inercjalnym układzie odniesienia siły wzajemnego oddziaływania dwóch ciał mają takie same wartości, taki sam kierunek, przeciwne zwroty i różne punkty przyłożenia (każda działa na inne ciało).

Pęd: wektorowa wielkość fizyczna opisująca mechanikę, a więc ruch i oddziaływania obiektu fizycznego. Pęd punktu materialnego jest równy iloczynowi masy m i prędkości v punktu. Pęd jest wielkością wektorową, kierunek i zwrot pędu jest zgodny z kierunkiem i zwrotem prędkości.

$$\overset{\overline{}}{p} = m\overset{\overline{}}{v}$$

Zasada zachowania pędu: Pęd zmienia się w wyniku działania na ciało siły przez pewien czas. Iloczyn siły i czasu jej działania nazywany jest popędem siły (I)

$$\overset{\overline{}}{p} = \overset{\overline{}}{F}t$$

$$\overset{\overline{}}{I} = \overset{\overline{}}{F}t$$

Jeżeli w układzie inercjalnym na ciało nie działa siła zewnętrzna, lub działające siły zewnętrzne równoważą się:

$$\overset{\overline{}}{F} = 0$$

To całkowity pęd ciała (układu) nie zmienia się:

$$\overset{\overline{}}{p} = 0$$

$$\overset{\overline{}}{p} = const.$$

Powyższe zdanie stanowi treść zasady zachowania pędu.

1. Inercjalne i nieinercjalne układy odniesienia. Siły bezwładności.

Układ inercjalny: układ odniesienia, względem którego każde ciało, niepodlegające zewnętrznemu oddziaływaniu z innymi ciałami, porusza się bez przyspieszenia lub pozostaje w spoczynku. Istnienie takiego układu jest postulowane przez pierwszą zasadę dynamiki Newtona. Inercjalny układ odniesienia można również zdefiniować jako taki układ, w którym nie pojawiają się pozorne siły bezwładności.

Układ nieinercjalny: układ odniesienia poruszający się ruchem niejednostajnym względem jakiegokolwiek nieinercjalnego układu odniesienia. Transformacja równań ruchu z układu inercjalnego do układu nieinercjalnego powoduje, że w równaniu ruchu zapisanym w układzie nieinercjalnym pojawiają się dodatkowe wyrazy, których wartość zależy od ruchu układu nieinercjalnego względem inercjalnego. Wyrazy te mają wymiar siły i dlatego mówimy, że w takim układzie występują pozorne siły. Nazywane są one siłami bezwładności.

Siła bezwładności: siła pojawiająca się w nieinercjalnym układzie odniesienia, będąca wynikiem przyspieszenia tego układu. Siła bezwładności nie jest oddziaływaniem z innymi ciałami, jak to ma miejsce przykładowo w sile klasycznie rozumianej grawitacji. Jeżeli zjawisko, w którym pojawia się siła bezwładności, opisywane jest w inercjalnym układzie odniesienia, wówczas siła bezwładności nie występuje, zachowanie się ciał w takim układzie można wyjaśnić działaniem innym sił.

Zakładając, że wypadkowa sił, których źródłem są ciała, wynosi F, zgodnie z II zasadą dynamiki Newtona, przyspieszenie u względem dowolnego układu inercjalnego wynosi:

$$u = \frac{F}{m}$$

Jednak w układach nieinercjalnych pęd opisany jest wartością u’, a różnica a przyspieszeń ciała w dwóch układach: inercjalnym i nieinercjalnym wynosi:

a = u − u′

Co oznacza:

u^′ = u − a

A przyspieszenie ciała względem układu nieinercjalnego wynosi:

$$u^{'} = \frac{F}{m} - a$$

Widać zatem, że nawet jeśli nie działa żadna siła, to ciało porusza się względem układu z przyspieszeniem –a.

Rodzaje sił bezwładności: siła Coriolisa, siła odśrodkowa, transwersalna siła bezwładności.

Siła Coriolisa: efekt występujący w obracających się układach odniesienia. Dla obserwatora pozostającego w takim układzie objawia się zakrzywieniem toru ciał poruszających się wewnątrz niego.

$$\overset{\overline{}}{F} = \ - 2m(\overset{\overline{}}{\omega}x\overset{\overline{}}{v})$$

Siła odśrodkowa: jedna z sił bezwładności występująca w obracających się układach odniesienia.

$$F = \frac{mv^{2}}{r}\frac{\mathbf{r}}{r} = m\omega^{2}r$$

Transwersalna siła bezwładności: siła bezwładności występująca w nieinercjalnym układzie odniesienia obracającym się ze zmienną prędkością. Podczas takiego obrotu, wartość przyspieszenia kątowego układu jest różna od zera.

$$\overset{\overline{}}{F} = - m\overset{\overline{}}{\varepsilon}x\overset{\overline{}}{r}$$

ԑ - przyspieszenie kątowe układu

1. Praca i energia. Energia kinetyczna i potencjalna. Siły zachowawcze. Zasada zachowania energii mechanicznej.

Praca: skalarna wielkość fizyczna, miara ilości energii przekazywanej między układami fizycznymi w procesach mechanicznych, elektrycznych, termodynamicznych i innych. W ruchu postępowym, pracę siły określa wzór:

$$W = \int_{L}^{}{\overset{\overline{}}{F}*d\overset{\overline{}}{s}}$$

W ruchu obrotowym:

$$W = \int_{}^{}{\overset{\overline{}}{M}*d\overset{\overline{}}{\varphi}}$$

Energia: skalarna wielkość fizyczna charakteryzująca stan układu fizycznego jako jego zdolność do wykonania pracy. Jeśli dany układ fizyczny ma w pewnym stanie X energię większą o pewną wartość od energii w stanie Y, oznacza to, że jest on w stanie wykonać pracę nad innymi ciałami. Wartość tej pracy równa jest różnicy energii między tymi stanami, jeżeli energia wewnętrzna pozostaje stała. Energia jest miarą zdolności układu fizycznego do wykonania pracy lub spowodowania przepływu ciepła. W procesach, w których jeden rodzaj energii zamienia się w drugi, związanych zawsze z jakiegoś rodzaju oddziaływaniami praca sił opisujących te oddziaływania jest równa ilości przemienianej energii.

Energia kinetyczna: energia ciała związana z ruchem jego masy. Jednostką jest dżul. Dla ciała o masie m i prędkości v dużo mniejszej od prędkości światła, energia kinetyczna wynosi:

$$E_{k} = \frac{1}{2}mv^{2}$$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły sztywnej wynosi, w przybliżeniu małych prędkości:

$$E_{k} = \frac{1}{2}\omega\hat{I}\omega = \frac{1}{2}\sum_{\text{ij}}^{}\omega_{i}I_{\text{ij}}\omega_{j}$$

Energia potencjalna: energia, jaką ma ciało w zależności od położenia ciała w przestrzeni. Pojęcie energii potencjalnej można wprowadzić jedynie wtedy, gdy ciało oddziałuje z niezależnym od czasu polem sił grawitacyjnych.

$$E_{p}\left( r \right) = \int_{r0}^{r}\overset{\overline{}}{F}\left( r \right)d\overset{\overline{}}{r}$$

Siły zachowawcze: siła mająca tę własność, że praca wykonana przez nią przy przemieszczaniu ciała na drodze o początku A i końcu B zależy tylko od położenia punktów A i B, nie zależy zaś od przebiegu drogi, czyli toru ruchu. Z definicji wynika, że praca wykonana przez siłę zachowawczą na drodze zamkniętej jest równa zeru. Energia mechaniczna ciała poddanego działaniu siły zachowawczej jest w każdej chwili taka sama i nie ulega zmianie z upływem czasu.

Zasada zachowania energii mechanicznej: empiryczne prawo fizyki, stwierdzające, że w układzie izolowanym, suma wszystkich rodzajów energii układu jest stała w czasie. Oznacza to, że energia w układzie izolowanym nie może być ani utworzona ani zniszczona, mogą jedynie zachodzić przemiany jednych form w inne. Zasada zachowania energii mechanicznej obowiązuje, jeżeli na ciało działają siły zachowawcze. Jeżeli jednak na ciało nie działają siły zachowawcze, to energia mechaniczna nie jest zachowana, ale przemienia się w inne formy energii.

1. Dynamika bryły sztywnej. Zasada zachowania momentu pędu.

Dynamika bryły sztywnej: bryłą sztywną nazywa się abstrakcyjne, modelowe ciało, które nie deformuje się pod wpływem sił. Bryła sztywna to układ N punktów materialnych o masach m, których wzajemne odległości nie zmieniają się w czasie. Aby opisać ruch bryły sztywnej, wprowadzamy dwa układy odniesienia, inercyjny XYZ („nieruchomy”) względem którego bryła zmienia swoje położenie i drugi układ xyz, który jest w sposób trwały związany z bryłą i który bierze udział we wszystkich jej ruchach. Jeśli jeden punkt bryły O unieruchomimy, to wówczas będzie ona mogła zmieniać tylko orientację w przestrzeni, a więc będzie mogła wykonywać jedynie ruch obrotowy wokół tego punktu. W ruchu obrotowym, prędkość kątowa wszystkich punktów bryły jest taka sama. Prędkość liniową v dowolnego i-tego punktu bryły wiąże z jej prędkością kątową zależność:

v_i = ω x r_i

W którym r jest wektorem poprowadzonym od nieruchomego punktu O do punktu o numerze i. Przyjmijmy, że nieruchomym względem inercyjnego układu odniesienia XYZ jest środek masy bryły i że jest on początkiem ruchomego układu xyz.

Moment pędu bryły względem punktu O wynosi:

$$J = \sum_{i = 1}^{N}{r_{i}\text{\ x\ }p_{i}} = \sum_{i = 1}^{N}{m_{i}r_{i}\ \times \ (\omega\ \times \ r_{i})}$$

Energia kinetyczna ruchu obrotowego bryły jest sumą energii kinetycznych wszystkich cząstek wchodzących w skład bryły:

$$E_{k} = \sum_{i = 1}^{N}\frac{m_{i}v_{i}^{2}}{2} = \frac{1}{2}\sum_{i = 1}^{N}{m_{i}(\omega_{i} \times r_{i})^{2}} = \frac{1}{2}\text{Jω}$$

Równanie ruchu obrotowego bryły sztywnej (druga zasada dynamiki dla ruchu obrotowego) w inercyjnym układzie odniesienia ma postać:

$$\frac{\text{dJ}}{\text{dt}} = M$$

Gdzie M jest wypadkowym momentem wszystkich sił działających na bryłę, a J – momentem pędu bryły.

Jeśli ciało sztywne obraca się wokół nieruchomej osi, to kierunek wektorów prędkości kątowej ω i przyspieszenia kątowego ԑ jest stały i zgodny z kierunkiem osi (mogą się tylko zmieniać zwroty tych wektorów). Równanie ruchu ma w tym przypadku prostszą postać

M = Iε

$$I = \sum_{i = 1}^{N}{m_{i}r_{i}^{2}}$$

Gdzie M – składowa momentu sił działających na bryłę, równoległa do osi obrotu, ԑ - przyspieszenie kątowe bryły, r – odległość elementu masy m od osi obrotu, I – moment bezwładności bryły względem osi obrotu. Jeśli rozkład masy w bryle jest ciągły, sumę we wzorze na moment bezwładności należy zastąpić całką:

I = ∫r²dm

Zasada zachowania momentu pędu: Dla dowolnego izolowanego układu punktów materialnych, całkowita suma ich momentów pędu jest stała. Moment pędu bryły pozostaje stały, gdy nie działa na nią żaden moment siły zewnętrznej.

1. Oscylator harmoniczny i oscylator z tłumieniem oraz ich drgania niewymuszone. Drgania wymuszone i rezonans.

,

Oscylator harmoniczny: układ drgający, poddany działaniu sił sprężystych, tj. sił proporcjonalnych do przemieszczenia r układu od położenia równowagi.

F(r) = −kr

Gdzie k – tzw. Stała sprężystości. W ogólności r oznacza położenie układu w przestrzeni konfiguracyjnej, Model oscylatora harmonicznego pojawia się w różnych działach fizyki jako: drgające wahadło, drgająca cząsteczka czy układ elektryczny. Energia potencjalna oscylatora zależy od kwadratu przemieszczenia r od położenia równowagi

$$V\left( r \right) = \frac{k}{2}r^{2}$$

Energia potencjalna w tej postaci jest najprostszą postacią potencjału. Potencjał stały dotyczy ruchu układu swobodnego (np. cząstka swobodna). Potencjał liniowy:

V(r) = c * r

Gdzie c – stała liczba.

Oscylator z tłumieniem: oscylator, którego drgania, a dokładniej amplituda drgań, ulegają osłabieniu na skutek działania sił zewnętrznych (np. oporu). Siła oporu:

F = −bV

Gdzie b to stała tłumienia. Oprócz siły oporu, działa również siła sprężystości, dążąca do przywrócenia początkowej długości (nierozciągniętej) sprężyny. Równanie ruchu oscylatora z tłumieniem:

$$m\frac{d^{2}x(t)}{dt^{2}} + b\frac{dx(t)}{\text{dt}} + kx\left( t \right) = 0$$

Drgania swobodne: drgania ciała wywołane wychyleniem z położenia równowagi trwałej, kiedy na ciało nie działają żadne siły, poza siłami określającymi położenie równowagi i siłami dążącymi do jej przywrócenia. Amplituda drgań zależy od wielkości początkowego wychylenia (energii potencjalnej) lub od prędkości początkowej (energii kinetycznej) nadanej ciału. Częstotliwość drgań własnych zależy tylko od własności fizycznych i kształtu ciała lub układu drgającego, jeżeli drgania wykonywane są pod wpływem wewnętrznych sił sprężystości ciała. Częstotliwość drgań własnych tego układu wyraża wzór:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{k}{m}}$$

Siłami będącymi przyczyną drgań własnych może być siła grawitacji, oddziaływania elektrostatycznego i inne. W przypadku wahadła fizycznego wzór na częstotliwość drgań własnych ma postać:

$$f = \frac{1}{2\pi}\sqrt{\frac{\text{mgd}}{I}}$$

Drgania wymuszone: zachodzą pod wpływem zewnętrznej siły, będącej źródłem energii podtrzymującej drgania. Siła wymuszająca ma zwykle charakter siły o wartości okresowo zmiennej.

F = F_Wsinωt

Gdzie F_W to amplituda siły wymuszającej. Amplituda drgań wymuszonych nie jest stała i zależy od częstości siły wymuszającej ω.

Rezonans: zjawisko objawiające się wzrostem amplitudy drgań układu drgającego dla określonych częstotliwości drgań wymuszających. Częstotliwości, dla których drgania mają największą amplitudę nazywa się częstotliwością rezonansową. Zjawisko rezonansu występuje dla wszystkich typów drgań i fal. Rezonans występuje, gdy układ drgający łatwo pobiera energię ze źródła pobierającego go i jest w stanie przechowywać ją.

1. Grawitacja: prawo grawitacji Newtona, prawa Keplera, grawitacyjna energia potencjalna

Prawo grawitacji Newtona: Prawo grawitacji Newtona orzeka, że każde ciało we Wszechświecie przyciąga każde inne ciało siłą wprost proporcjonalną do iloczynu mas obu ciał i odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości między środkami masy obu ciał. Siła ta jest zawsze przyciągająca i działa wzdłuż prostej łączącej oba środki masy.

$$F = G\frac{\text{Mm}}{r^{2}}\hat{r}$$

Gdzie współczynnik G jest uniwersalną stałą grawitacji o wartości G=6,673*10^-11 Nm²kg^-2.

Pierwsze prawo Keplera: Każda planeta Układu Słonecznego porusza się wokół Słońca po orbicie w kształcie elipsy, w której w jednym z ognisk jest Słońce. Elipsę można opisać na kilka sposobów, w astronomii najczęściej opisuje się elipsy podając ich wielką półoś (a) oraz mimośród (e), który określa stopień spłaszczenia elipsy. Mimośród elipsy jest równy stosunkowi długości odcinka c między środkiem a jednym z ognisk do długości wielkości półosi:

$$e = \frac{c}{a}$$

Drugie prawo Keplera: W równych odstępach czasu promień wodzący planety, poprowadzony od Słońca, zakreśla równe pola. Jest to równoznaczne ze stwierdzeniem, że prędkość polowa każdej planety jest stała. Opisuje to wyrażenie:

$$\frac{\text{dA}}{\text{dt}} = \frac{1}{2}r^{2}\omega = const$$

Wynika stąd, że w peryhelium (w pobliżu Słońca) planeta porusza się szybciej niż w aphelium (daleko od Słońca), czyli planeta przebywa dłuższą drogę w pobliży peryhelium, niż w pobliżu aphelium.

Trzecie prawo Keplera: Stosunek kwadratu okresu planety wokół Słońca do sześciany wielkiej półosi jej orbity (czyli średniej odległości od Słońca) jest stały dla wszystkich planet w Układzie Słonecznym. Można to zapisać wzorem:

$$\frac{T_{1}^{2}}{a_{1}^{3}} = \frac{T_{2}^{2}}{a_{2}^{3}} = const$$

Z prawa tego wynika, że im większa orbita, tym dłuższy okres obiegu, oraz że prędkość liniowa na orbicie jest odwrotnie proporcjonalna do pierwiastka promienia orbity (dla orbity kołowej).

Grawitacyjna energia potencjalna: Wzór na energię potencjalną w polu centralnym:

$$E_{p} = - G\frac{\text{Mm}}{r}$$

Przed wyrażeniem występuje znak minus. Oznacza to, że im bliżej siebie znajdują się dwa ciała, tym ta energia będzie mniejsza, a więc w miarę oddalania się jednego ciała od drugiego, energia potencjalna rośnie i w nieskończoności ma wartość 0. Praca, jaką wykonują siły zewnętrzne przy przesuwaniu ciała z jednego punktu A do drugiego B wynosi:

$$W_{(A \rightarrow B)} = GMm*(\frac{1}{r_{A}} - \frac{1}{r_{B}})$$

Praca w polu centralnym polu grawitacyjnym (tak jak w każdym innym polu grawitacyjnym) nie zależy od kształtu toru ani od przebytej drogi, a jedynie od odległości punktu początkowego i końcowego od źródła pola. Oznacza to, że nie ważne, jak długa będzie droga przebyta przez ciało, ani jak będzie wyglądała i tak praca wykonana przez siły zewnętrzne będzie taka sama. Praca wykonana w polu grawitacyjnym na krzywej zamkniętej jest równa 0. Energia potencjalna ciała o masie m w danym punkcie pola zależy od tej masy. Jednak jeśli podzielimy wzór obliczający wartość energii potencjalnej w centralnym polu grawitacyjnym przez masę otrzymamy wielkość fizyczną niezależną od masy tego ciała i jest nią – potencjał pola w tym punkcie. Potencjałem w danym punkcie pola grawitacyjnego nazywamy stosunek energii potencjalnej ciała o masie m umieszczonego w tym punkcie do masy tego ciała.

$$V = \frac{E_{p}}{m}$$

Gdy ciało kuliste o masie M wytwarza pole grawitacyjne, to w odległości r od środka tego ciała potencjał grawitacyjny wynosi:

$$V = - \frac{G\frac{\text{Mm}}{r}}{m} = - G\frac{M}{r}$$

Drugi wzór, który pozwala na obliczać pracę przy przesuwaniu ciała o masie m:

W_{(A → B)} = m(V_B − V_A)

1. Statyka i dynamika płynów: prawo Pascala, prawo Archimedesa, równanie ciągłości strugi, równanie Bernoulliego.

Prawo Pascala: jeżeli na płyn (ciecz lub gaz) w zbiorniku zamkniętym wywierane jest ciśnienie zewnętrzne, to (pomijając ciśnienie hydrostatyczne) ciśnienie wewnątrz zbiornika jest wszędzie jednakowe i równe ciśnieniu zewnętrznemu. Jest to prawdziwe wówczas, gdy można pominąć siły grawitacji i inne siły masowe oraz ciśnienia wywołane przepływem płynu. Prawo to wynika z tego, że cząsteczki płynu mogą poruszać się w dowolnym kierunku, wywieranie nacisku z jednej strony zmienia ruch cząstek we wszystkich kierunkach w takim samym stopniu.

Prawo Archimedesa: Na ciało zanurzone w płynie działa pionowa, skierowana ku górze siła wyporu. Wartość siły jest równa ciężarowi wypartego płynu. Siła ta jest wypadkową wszystkich sił parcia płynu na ciało.

F = ρ * g * V

Równanie ciągłości strugi: Jeżeli założyć, że dla płynu nieściśliwego, temperatura jest stała i jednakowa dla każdego przekroju przewodu, to objętość V płynu wpływającego i odpływającego w ciągu jednej sekundy z dowolnego przekroju przewodu jest stała:

$$Q = \frac{V}{t} = A_{1}v_{1} = A_{2}v_{2} = A_{3}v_{3} = const$$

Gdzie Q – strumień objętości, A – pole przekroju poprzecznego, v – prędkość przepływu. Równanie ciągłości strugi można też opisać jako bilans masy, zakładając, że ilość masy cieczy dopływającej i odpływającej jest równa:

ρ₁v₁A₁ = ρ₂v₂A₂

Równanie Bernoulliego: Opisuje zachowanie gęstości energii całkowitej na linii prądu. Obowiązuje bowiem w podstawowej wersji dla stacjonarnego przepływu nieściśliwego płynu idealnego, a w wersji rozszerzonej dla idealnego płynu barotropowego. Jeśli płyn jest nieściśliwy, nie jest lepki oraz przepływ jest stacjonarny i bezwirowy, równanie przyjmuje postać:

$$e_{m} = \frac{v^{2}}{2} + gh + \frac{p}{\rho} = const$$

Poszczególne człony równania to kolejno: energia kinetyczna, energia potencjalna, energia ciśnienia.

1. Transformacje Galileusza. Transformacja Lorentza. Relatywistyczne transformacje długości, prędkości i czasu. Relatywistyczny pęd, relatywistyczny wzór na energię kinetyczną

Transformacje Galileusza: transformata współrzędnych przestrzennych i czasu z jednego układu odniesienia do innego, poruszającego się ruchem jednostajnym prostoliniowym względem pierwszego. W transformacji tej, czas i odległości pomiędzy dwoma dowolnymi punktami pozostają stałe. Jeśli przyjmiemy, że zdarzenie w układzie inercjalnym A opisane jest współrzędnymi czasoprzestrzennymi (x,y,z,t), a w układzie inercjalnym B przemieszczającym się z prędkością v w kierunku osi x, są to odpowiednio (x’, y’, z’, t’), to transformata współrzędnych będzie opisana układem równań:

x^′ = x − vt ∖ ny^′ = y ∖ nz^′ = z ∖ nt^′ = t

Przy czym, w chwili początkowej t=0 początki obu układów odniesienia pokrywały się. Gdy ten warunek nie jest spełniony, ponadto gdy pomiar czasu w obu układach nie jest zsynchronizowany, wówczas transformacja Galileusza wiąże współrzędne punktu w dwu tych układach odniesienia xⁱ i xⁱ’ równaniami:

xⁱ → x^′i = xⁱ + vⁱt + x₀ⁱ ∖ nt → t^′ = t + t₀

X i x’ są wektorami od początku układu współrzędnych do punktu P w jednym i drugim układzie współrzędnych, v jest prędkością z jaką poruszają się dwa układy względem siebie. Zbiór transformacji Galileusza tworzy tzw. Grupę Galileusza.

Transformacja Lorentza: przekształcenie liniowe umożliwiające obliczenie wielkości fizycznych w pewnym układzie odniesienia, jeśli znane są te wielkości w układzie poruszającym się względem pierwszego. Przekształceniu temu podlegają np. współrzędne w czasoprzestrzeni, energia i pęd, prędkość, pole elektryczne i magnetyczne. Wzory transformacyjne został wyprowadzone w oparciu o założenie, że prędkość światła jest stała i niezależna od prędkości układu. Transformacja Lorentza zachowuje odległości w czasoprzestrzeni. W przeciwieństwie do transformaty Galileusza, gdzie niezmiennikiem jest czas i odległość w przestrzeni, w transformacji Lorentza zachowany jest interwał (odległość zdarzeń w czasoprzestrzeni). Transformacje współrzędnych mają najprostszą postać wówczas, gdy odpowiadające sobie osie współrzędnych kartezjańskich inercjalnych układów odniesienia X i K’ są do siebie wzajemnie równoległe, przy czym K’ porusza się ze stałą prędkością wzdłuż OX. Jeśli ponadto jako początek odliczana czasu w obu układach (t=0) i (t’=0) wybrany został moment, w którym początki osi współrzędnych O i O’ pokrywają się, transformacja ma postać:

$${x^{'} = \gamma\left( x - vt \right)\backslash n}{y^{'} = y\backslash n}{z^{'} = z\backslash n}{t^{'} = \gamma\left( t - \frac{v*x}{c^{2}} \right)\backslash n}{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}}$$

Relatywistyczne transformacje długości, prędkości i czasu: Jeśli obserwator ruchomy określa odległość między dwoma punktami jako l’, to obserwator nieruchomy uzna ten poruszający się względem niego pręt za skrócony i przypisze mu długość:

$$l = l'\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

Podany przez obserwatora ruchomego odstęp czasu Δt’ między jakimiś zdarzeniami jest krótszy niż stwierdzony przez obserwatora nieruchomego Δt:

$$t^{'} = t\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}$$

Różniczkując transformacje Lorentza, otrzymujemy:

$${dx = \frac{dx^{'} + vdt^{'}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}\backslash n}{dy = dy^{'}\backslash n}{dz = dz^{'}\backslash n}{dt = \frac{dt^{'} + \frac{v}{c^{2}}dx^{'}}{\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}}$$

A stąd transformacje składowych prędkości:

$${v_{x} = \frac{\text{dx}}{\text{dt}} = \frac{dx^{'} + vdt^{'}}{dt^{'} + \frac{v}{c^{2}}dx^{'}} = \frac{\frac{dx^{'}}{dt^{'}} + v}{1 + \frac{v}{c^{2}}\frac{dx^{'}}{dt^{'}}} = \frac{{v^{'}}_{x} + v}{1 + \frac{v}{c^{2}}{x^{'}}_{x}}\backslash n}{v_{y} = \frac{\text{dy}}{\text{dt}} = \frac{dy^{'\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}}{dt^{'} + \frac{v}{c^{2}}dx^{'}} = \frac{\frac{dy^{'}}{dt^{'}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v}{c^{2}}\frac{dx^{'}}{dt^{'}}} = \frac{{v^{'}}_{y}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v}{c^{2}}{v^{'}}_{x}}\backslash n}{v_{z} = \frac{\text{dz}}{\text{dt}} = \frac{dz^{'\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}}{dt^{'} + \frac{v}{c^{2}}dx^{'}} = \frac{\frac{dz^{'}}{dt^{'}}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v}{c^{2}}\frac{dx^{'}}{dt^{'}}} = \frac{{v^{'}}_{z}\sqrt{1 - \frac{v^{2}}{c^{2}}}}{1 + \frac{v}{c^{2}}{v^{'}}_{x}}}$$

Relatywistyczny pęd: W mechanice relatywistycznej, pęd swobodnej cząstki o masie spoczynkowej m poruszającej się z prędkością v określany jest wzorem:

$$\overset{\overline{}}{p} = \frac{m\overset{\overline{}}{v}}{\sqrt{1 - (v/c)^{2}}} = m\left( v \right)\overset{\overline{}}{v}$$

Gdzie wielkość m(v) jest nazywana masą relatywistyczną. Między pędem i energią cząstki zachodzi zależność:

E² = (pc)² = (mc²)²

Stąd pęd ciała poruszającego się z prędkością relatywistyczną można wyrazić wzorem:

$$p = \sqrt{\frac{E^{2}}{c^{2}} - m^{2}c^{2}}$$

Relatywistyczny wzór na energię kinetyczną: Dla prędkości porównywalnych z prędkością światła, do obliczenia energii kinetycznej stosuje się wzór, w którym energia kinetyczna jest różnicą pomiędzy energią całkowitą i energią spoczynkową.

$${E_{k} = m\gamma c^{2} - mc^{2}\backslash n}{\gamma = \frac{1}{\sqrt{1 - (\frac{v}{c})^{2}}}}$$

1. Gaz doskonały, jego przemiany i równanie stanu.

Gaz doskonały: gaz idealny, abstrakcyjny, matematyczny model fizyczny gazu spełniający warunki: brak oddziaływań międzycząsteczkowych z wyjątkiem odpychania w momencie zderzeń cząsteczek, objętość cząsteczek jest znikoma w stosunku do objętości gazu, zderzenia cząsteczek są doskonale sprężyste, cząsteczki znajdują się w ciągłym, chaotycznym ruchu.

Przemiana izotermiczna: Zachodzi, jeśli proces zachodzi w stałej temperaturze, czyli T=const.

$$p = \frac{\text{const}}{V}$$

Ciśnienie gazu w stałej temperaturze maleje podczas zwiększania jego objętości ponieważ maleje liczba cząsteczek zawartych w jednostce objętości – średnia częstość uderzeń w ścianki naczynia jest mniejsza, maleje więc wartość siły parcia gazu na ścianki. Praca przemiany izotermicznej gazu doskonałego, jeżeli objętość zmieni się od V₁ do V₂:

$$W = RTln\frac{V_{2}}{V_{1}}$$

Ciepło przemiany można wyznaczyć stosując I zasadę termodynamiki:

$$Q = W = RTln\frac{V_{2}}{V_{1}}$$

Energia wewnętrzna gazu doskonałego podczas przemiany izotermicznej nie ulega zmianie ponieważ:

U = mc_vT = 0

Przemiana izochoryczna: proces, w którym objętość układu pozostaje stała, czyli V=const. W przemianie tej nie jest wykonywana praca. Wykres funkcji jest nazywany izochorą i ma postać:

$$\frac{p}{T} = const$$

Przyczyną wzrostu ciśnienia gazu wraz ze wzrostem temperatury jest średnia energia kinetyczna ruchu postępowego cząsteczek. Cząstki o większej szybkości działają na ścianki zbiornika podczas zderzeń z większą siłą. Praca w przemianie izochorycznej :

W = pV = 0

Ciepło przemiany:

U = mc_v(T₂−T₁) = Q

Przemiana izobaryczna: proces zachodzi przy stałym ciśnieniu, czyli p=const. Z równania stanu wynika, że w tym przypadku objętość jest liniową funkcją temperatury:

$$\frac{V}{T} = const$$

Ciepło przemiany izobarycznej:

$${Q = mc_{p}T\backslash n}{c_{p} = c_{v} + \frac{R}{M}}$$

Praca w przemianie izobarycznej:

W = p(V₂−V₁) ∖ nW = nR(T₂−T₁)

Przemiana adiabatyczna: proces, w którym nie zachodzi wymiana ciepła z otoczeniem Q=const. Warunek braku przepływu ciepła można spełnić, przeprowadzając proces bardzo szybko lub w dobrze izolowanym zbiorniku. Przemianę opisuje równanie Poissona:

$${pV^{k} = const\backslash n}{k = \frac{c_{p}}{c_{v}}}$$

W związku z tym, że adiabata jest bardziej stroma niż izoterma, przy sprężaniu adiabatycznym gaz, nie mogąc wymienić ciepła z otoczeniem, ogrzewa się, co powoduje dodatkowy wzrost ciśnienia. Oziębienie gazu przy adiabatycznym rozprężaniu wywołuje zmniejszanie ciśnienia. W ten sposób adiabatyczna zmiana ciśnienia występuje na skutek: zmiany objętości i zmiany temperatury. Natomiast izotermiczna zmiana ciśnienia jedynie na skutek zmiany objętości. Praca w przemianie adiabatycznej na podstawie I zasady termodynamiki:

U = −W ∖ nW = mc_v(T₁ − T₂)

Równanie stanu: związek między parametrami układu termodynamicznego, takimi jak ciśneinie P, gęstość masy, gęstość masy-energii, temperatura, entropia, energia wewnętrzna. Równanie stanu służy do opisywania właściwości mikroskopowych płynów oraz ciał stałych, takich jak sprężystość lub ściśliwość, oraz własności makroskopowych, jak np. masy i promieni gwiazd. Przykładowo dla gazu doskonałego równanie stanu ma postać:

PV = nRT = k_BTN

Gdzie P-ciśnienia, V-objętość, n-liczba moli, R-stała gazowa, T-temperatura w skali Kelvina, k_B – stała Boltzmanna, N-liczba cząsteczek gazu. Gęstość cząstek jednorodnie zbudowanego gazu doskonałego to:

$$\rho_{N} = \frac{N}{V}\backslash n$$

$$\rho = m\frac{N}{V} = m\rho_{N}$$

Gęstość energii to:

$$\epsilon = mc^{2}\frac{N}{V} = mc^{2}\rho_{N}$$

Otrzymujemy stąd równanie gazu doskonałego:

$$P = \frac{k_{B}T}{mc^{2}}\epsilon = K\epsilon$$

1. Pierwsza zasada termodynamiki. Zasada ekwipartycji energii.

Pierwsza zasada dynamiki: Dla układu zamkniętego (nie wymienia masy z otoczeniem, może wymieniać energię) zasadę można sformułować w postaci: Zmiana energii wewnętrznej układu zamkniętego jest równa energii, która przepływa przez jego granice na sposób ciepła i pracy:

U = Q + W

Gdzie U – zmiana energii wewnętrznej układu, Q – energia przekazana do układu jako ciepło, W – praca wykonana w układzie. W przypadku układu termodynamicznie izolowanego, układ nie wymienia energii z otoczeniem na sposób pracy, ani na sposób ciepła, wówczas:

U = 0

Zasada ekwipartycji energii: zasada termodynamiki mówiąca, że dostępna energia jaką dysponuje cząsteczka rozkłada się „po równo” na wszelkie możliwe sposoby jej wykorzystania (tzw. Stopnie swobody). Niezależnie od tego, czy jest to stopień swobody związany z energią obrotu, ruchu postępowego czy związany z drganiami cząstek. Zgodnie z prawem, średnia energia cząstki wynosi:

$$< E \geq \frac{f}{2}\text{kT}$$

Gdzie f-liczba stopni swobody.

1. Druga zasada termodynamiki. Ciepło zredukowane, entropia.

Druga zasada termodynamiki: w układzie termodynamicznie izolowanym istnieje funkcja stanu, która nie maleje z czasem. Funkcja ta zwana jest entropią. Zmiana entropii w dowolnym procesie odwracalnym jest równa całce z przekazu ciepła podzielonego przez temperaturę. W procesie nieodwracalnym natomiast zmiana entropii jest większa od tej całki. Forma całkowa wygląda:

$$S \geq \int_{}^{}\frac{\text{DQ}}{T}$$

Alternatywnie: nie istnieje proces termodynamiczny, którego jedynym wynikiem byłoby pobranie ciepła ze zbiornika o temperaturze niższej i przekazanie go do zbiornika o temperaturze wyższej. Nie jest możliwy proces, którego jedynym skutkiem byłoby pobranie pewnej ilości ciepła ze zbiornika i zamiana go w równoważną ilość pracy.

Ciepło zredukowane: stosunek ilości ciepła Q wymienianego przez ciało w procesie izotermicznym do temperatury bezwzględnej tego procesu (Q/T). Wielkość przydatna w opisie niektórych procesów termodynamicznych, np. dla odwracalnego cyklu Carnota suma ciepeł zredukowanych pobranych przez ciało robocze jest równa zero.

Entropia: termodynamiczna funkcja stanu, określająca kierunek przebiegu procesów spontanicznych w odosobnionym układzie termodynamicznym. Entropia jest miarą stopnia nieuporządkowania układu. Jest wielkością ekstensywną. Zgodnie z drugą zasadą termodynamiki, jeżeli układ termodynamiczny przechodzi od jednego stanu do drugiego, bez udziału czynników zewnętrznych (spontanicznie) to jego entropia zawsze rośnie.

$$dS = \frac{1}{T}\partial Q$$

Gdzie Q – ciepło elementarne, czyli niewielka ilość ciepła dostarczona do układu. Entropię pewnego stanu termodynamicznego P można wyznaczyć ze wzoru:

$$S\left( P \right) = \int_{0}^{\text{Tp}}\frac{C\left( T \right)\text{dT}}{T}$$

1. Siły spójności: napięcie powierzchniowe, włoskowatość. Ruchy Browna.

Siły spójności: siły oddziaływania między cząsteczkami cieczy.

Napięcie powierzchniowe: zjawisko fizyczne występujące na styku powierzchni cieczy z ciałem stałem, gazem lub inną cieczą, dzięki któremu powierzchnia ta zachowuje się jak sprężysta błona. Napięciem powierzchniowym nazywa się również wielkość fizyczną ujmującą to zjawisko ilościowo: jest to energia przypadająca na jednostkę powierzchni, lub praca potrzebna do rozciągnięcia powierzchni o tę jednostkę. Przyczyną istnienia napięcia powierzchniowego są siły przyciągania pomiędzy molekułami cieczy. Siły napięcia powierzchniowego wpływają na kształt swobodnej powierzchni cieczy, przy czym na ogół współistnieją z innymi siłami. Miarą napięcia powierzchniowego jest praca, jaką trzeba wykonać, by utworzyć jednostkową powierzchnię cieczy, co można wyrazić wzorem:

$$\gamma = \frac{W}{S}$$

Włoskowatość: jeśli siły spójności są większe od sił przylegania to mówimy, że ciecz nie zwilża ścianek naczynia i tworzy się wtedy menisk wypukły. Jeśli są większe, to ciecz zwilża ścianki naczynia i tworzy się menisk wklęsły. Tak zachowuje się woda w szklanej rurce. Bardzo wąskie rurki, o średnicy 1 mm lub mniejszej nazywamy włoskowatymi. Jeśli taką rurkę zanurzymy w cieczy, która ją zwilża, to tworzy się menisk wklęsły. Powstaje wtedy ciśnienie powierzchniowe, które powoduje podnoszenie się cieczy w danym naczyniu. Im mniejsza jest średnica naczynia, tym wysokość na jaką podnosi się woda jest większa. Ciecz niezwilżająca rurki włosowatej opuszcza się poniżej powierzchni cieczy w naczyniu.

Ruchy Browna: chaotyczne ruchy cząstek w płynie (cieczy lub gazie), wywołane zderzeniami zawiesiny z cząsteczkami płynu. Robert Brown obserwując przez mikroskop pyłki kwiatowe w zawiesinie wodnej dostrzegł, że znajdują się one w nieustannym, chaotycznym ruchu. Obserwuje się je dla mikroskopijnych, mniejszych niż mikrometr, cząsteczek zawiesiny bez względu na ich rodzaj. Prędkość ruchu jest większa dla mniejszych cząstek i wyższej temperatury.

1. Zjawiska transportu w gazach: dyfuzja, przewodnictwo cieplne, lepkość, przewodnictwo elektryczne.

Dyfuzja: proces samorzutnego rozprzestrzeniania się cząsteczek lub energii w każdym ośrodku (o T>0K), będący konsekwencją chaotycznych zderzeń cząsteczek dyfundującej substancji między sobą lub z cząsteczkami otaczającego go ośrodka. Podstawowymi prawami są prawa Ficka. Pierwsze prawo Ficka stwierdza że: strumień cząstek dyfuzji jest proporcjonalny do gradientu stężenia

$$J = - D\frac{\partial\varnothing}{\partial x}$$

Gdzie J – strumień składnika (masa molowa przepływająca przez jednostkowy przekrój w jednostce czasu), D – współczynnik dyfuzji, Φ – stężenie (ilość substancji) na jednostkę objętości, x – współrzędna osi, wzdłuż której zachodzi dyfuzja. Dyfuzja materii jest zjawiskiem aktywowanym termicznie – zwiększenie temperatury zwykle prowadzi do zwiększenia tempa dyfuzji. Typowa odległość R, o którą przemieszczana jest substancja z obszaru o podwyższonym stężeniu po dostatecznie długim czasie t jest proporcjonalna do pierwiastka kwadratowego z czasu:

$$R\left( t \right)\sim\sqrt{t}$$

Przewodnictwo cieplne: zdolność substancji do przewodzenia ciepła. W tych samych warunkach więcej ciepła przepłynie przez substancję o większej przewodności cieplnej. Dla ciała o kształcie prostopadłościanu przewodzącego ciepło w warunkach stanu stabilnego, które stanowi przegrodę dla przepływu ciepła, ilość przekazanej energii jest zależna od substancji, proporcjonalna do powierzchni przekroju poprzecznego przegrody, różnicy temperatur oraz czasu przepływu ciepła i odwrotnie proporcjonalna do grubości przegrody:

$$Q = \lambda\frac{STt}{d}$$

Gdzie Q- ilość ciepła przepływającego przez ciało, λ- współczynnik przewodnictwa cieplnego, S – pole przekroju przez który przepływa ciepło, t – czas przepływu, ΔT – różnica temperatur, d – grubość przegrody. Przewodność cieplna jest wielkością charakterystyczną substancji w danym stanie skupienia i jego fazie.

Lepkość: właściwość płynów i plastycznych ciał stałych charakteryzująca ich tarcie wewnętrzne wynikające z przesuwania się względem siebie warstw płynu podczas przepływu. Zgodnie z laminarnym modelem przepływu, lepkość wynika ze zdolności płynu do przekazywania pędu pomiędzy warstwami poruszającymi się z różnymi prędkościami. Różnice w prędkościach warstw są charakteryzowane w modelu laminarnym przez szybkość ścinania (granica stosunku względnej różnicy prędkości między sąsiadującymi ze sobą warstwami płynu do odległości między nimi). Przekazywanie pędu zachodzi dzięki pojawieniu się na granicy tych warstw naprężeń ścinających. Współczynnik lepkości dynamicznej dla rozrzedzonych gazów doskonałych jest proporcjonalny do pierwiastka temperatury, a nie zależy od ciśnienia.

Przewodnictwo elektryczne: zjawisko skierowanego przenoszenia ładunków elektrycznych przez dodatnie lub ujemne nośniki (jony) zachodzące w ośrodku materialnym pod wpływem przyłożonego zewnętrznego pola elektrycznego. Wielkością charakteryzującą przewodnictwo elektryczne jest przewodność elektryczna właściwa (konduktywność) σ. Przewodność elektryczna zależy od koncentracji nośników prądu i ich ruchliwości:

σ = qnμ

Gdzie q – ładunek nośników, n – koncentracja nośników, ni – ruchliwość nośników.

1. Potencjał elektryczny, natężenie pola elektrycznego. Strumień pola elektrycznego. Prawo Gaussa.

Potencjał elektryczny: pole skalarne opisujące pole elektrostatyczne. Potencjałem elektrycznym w dowolnym punkcie P pola nazywa się stosunek pracy W wykonanej przez siłę elektryczną przy przenoszeniu ładunku q z tego punktu do nieskończoności do wartości tego ładunku:

$$\varphi_{P} = \frac{W_{P \rightarrow \infty}}{q}$$

W przypadku pola elektrycznego wytwarzanego przez nieruchomy punktowy ładunek elektryczny:

$$\varphi_{P} = \frac{1}{4\pi\varepsilon}*\frac{Q}{r}$$

Gdzie Q – ładunek wytwarzający pole elektryczne, q – ładunek próbny, r – odległość między ładunkami, ԑ- przenikalność elektryczna ośrodka. Związek między natężeniem pola elektrycznego E a potencjałem wyraża się wzorem:

$$\overset{\overline{}}{E} = - \overset{\overline{}}{\nabla}\varphi$$

Zależność ta często jest wykorzystywana również jako definicja potencjału. Wobec tego:

$$\varphi = - \int_{P}^{R}{\overset{\overline{}}{E}*d\overset{\overline{}}{l}}$$

Przy przeniesieniu ładunku elektrycznego z punktu P do punktu R. Wówczas wzór ten określa napięcie elektryczne pomiędzy tymi dwoma ładunkami.

Natężenie pola elektrycznego: jest równe sile działającej na jednostkowy dodatni ładunek próbny, co matematycznie wyraża się jako stosunek siły F, z jaką pole elektrostatyczne działa na ładunek elektryczny do wartości q tego ładunku:

$$\overset{\overline{}}{E} = \frac{\overset{\overline{}}{F}}{q}$$

Strumień pola elektrycznego: jeżeli pole elektryczne jest jednorodne i gdy płaszczyzna o powierzchni A jest ustawiona prostopadle do linii tego pola E, to strumień pola elektrycznego przenikający tę powierzchnię jest równy iloczynowi natężenia pola elektrycznego E i pola powierzchni A. Strumień pola oblicza się za pomocą wzoru:

⌀ = E * A * cosφ

Gdzie fi to kąt między kierunkiem natężenia pola elektrycznego a prostopadłą do przekroju A. W przypadku powierzchni skomplikowanych, wykorzystuje się wzór:

$$\varnothing = \int_{S}^{}\overset{\overline{}}{E}\overset{\overline{}}{\text{dS}}$$

Prawo Gaussa: prawo wiążące pole elektryczne z jego źródłem, czyli ładunkiem elektrycznym. Natężenie pola elektrycznego jest polem wektorowym i spełnia twierdzenie Gaussa-Ostrogradskiego: strumień pola elektrycznego, przenikający przez dowolną powierzchnię zamkniętą w jednorodnym środowisku o bezwzględnej przenikalności elektrycznej ԑ jest równy stosunkowi całkowitego ładunku znajdującego się wewnątrz tej powierzchni do wartości tejże przenikalności. Strumień Φ natężenia pola elektrycznego, przenikający przez zamkniętą powierzchnię S, ograniczającą obszar o objętości V, jest proporcjonalny do ładunku elektrycznego Q zawartego w tym obszarze (objętości):

$$\Phi = \oint_{S}^{}\overset{\overline{}}{E}*d\overset{\overline{}}{S} = \frac{1}{\epsilon_{0}}\int_{V}^{}\text{ρdV} = \frac{Q}{\epsilon_{0}}$$

1. Dielektryk w polu elektrycznym. Polaryzacja dielektryka. Zjawiska elektrostrykcji i piezoelektryczności. Ferroelektryki. Pojemność kondensatora z dielektrykiem.

Dielektryk w polu elektrycznym: dielektryk, w odróżnieniu od przewodnika, nie posiada ładunków swobodnych, zdolnych do przemieszczania się na duże odległości. Każdy dielektryk przy wprowadzaniu w obręb pola elektrycznego uzyskuje makroskopowy elektryczny moment dipolowy. To zjawisko nosi nazwę polaryzacji, a mechanizm polaryzacji w znacznym stopniu zależy od tego, z jakich cząstek jest zbudowany dielektryk. Jeżeli w cząstkach dielektryka środki ładunków dodatnich i ujemnych pokrywają się ze sobą, to takie cząstki nazywamy niepolarnymi, a dielektryk – niepolarnym. Jeżeli dielektryk niepolarny znajduje się w polu elektrycznym, wówczas dodatnie ładunki cząstek (jądra atomów) przesuwają się wzdłuż linii pola. Natomiast ujemne (elektrony) przesuwają się w przeciwnym kierunku. W deformowanej w polu elektrycznym cząstce, środek ładunków ujemnych nie pokrywa się ze środkiem ładunków dodatnich, a zatem w polu elektrycznym cząstka staje się dipolem indukowanym w momencie dipolowym:

p = ql

W jednorodnym zewnętrznym polu elektrycznym na ładunki dipola elektrycznego działają siły F(plus i minus). Ta para sił powoduje, że dipol zaczyna się obracać i przychodzi do stanu, gdy moment sił jest równy zeru.

M = [r*qE] = [p*E]

W dielektrykach polarnych zewnętrzne pole elektryczne stara się ustawić dipole elektryczne wzdłuż linii pola, co powoduje, że dielektryk uzyskuje makroskopowy moment dipolowy. Przeciwdziałają temu ruchy cieplne dipoli.

Polaryzacja dielektryka: zjawisko polegające na utworzeniu dipoli elektrycznych lub orientacji już istniejących dipoli w reakcji na przyłożone pole elektryczne. W wyniku polaryzacji, w dielektryku powstaje wewnętrzne pole elektryczne, które częściowo równoważy przyłożone zewnętrzne pole. Skutkiem polaryzacji jest załamanie, odbicie i tłumienie fal elektromagnetycznych w dielektrykach. Makroskopowo objawia się to tym, że zwiększa pojemność elektryczną kondensatora wypełnionego dielektrykiem. Pole elektryczne działające na cząstkę dielektryka, wytwarzające lub zmieniające orientację już istniejących dipoli jest sumą pola elektrycznego zewnętrznego oraz wytwarzanego przez otaczający cząstkę ośrodek, w tym szczególnie sąsiednie dipole. Polaryzacja dielektryka następuje jako rezultat 5 podstawowych zjawisk polaryzacji: elektronowej, atomowej, jonowej, orientacyjnej i ładunkiem przestrzennym. Ilościowo zjawisko to opisuje wektor polaryzacji zdefiniowany jako suma efektywnych momentów dipolowych cząstek dielektryka na jednostkę objętości:

$$P = \frac{1}{V}\sum_{i}^{N}p_{i}$$

Gdzie V – objętość dielektryka, N – liczba dipoli w V, p – elektryczny moment dipolowy i-tego dipola.

Zjawisko elektrostrykcji: zjawisko zmiany wymiarów materiału pod wpływem pola elektrycznego. Charakteryzuje się tym, że zmiana wymiarów zachodzi w jednym kierunku, niezależnie od kierunku przyłożonego pola elektrycznego. Stopień odkształcenia jest proporcjonalny do kwadratu natężenia pola. Dipole w materiałach elektrostrykcyjnych ułożone są w sposób przypadkowy. Wpływa to, przy znacznej ilości dipoli na uśrednianie wypadkowej wartości polaryzacji do zera. Z powyższego powodu zachodzi konieczność polaryzowania materiałów elektrostrykcyjnych.

Zjawisko piezoelektryczności: zjawisko, polegające na pojawieniu się na powierzchni kryształu ładunków elektrycznych pod wpływem naprężeń mechanicznych. Kryształy charakteryzują się tym, że mają wiązania jonowe, a ich komórka elementarna nie ma środka symetrii. Pod wpływem naprężenia w takich kryształach dochodzi do różnego przesunięcia „środków ciężkości” ładunku dodatniego i ujemnego, co powoduje polaryzację elektryczną kryształu. Pojawiający się na krawędziach kryształu ładunek jest proporcjonalny do odkształcenia.

Ferroelektryk: dielektryk wykazujący histerezę w zewnętrznym polu elektrycznym. Z powodu występowania spontanicznie spolaryzowanych obszarów, cechuje się bardzo dużą przenikalnością elektryczną. Ferroelektryki stanowią podgrupę piroelektryków, wszystkie są też piezoelektrykami. Są dielektrykami nieliniowymi, co oznacza, że polaryzacja dielektryczna zależy od zewnętrznego pola elektrycznego w sposób nieliniowy. Właściwości dielektryczne ferroelektryków szczególnie silnie zależą od temperatury. Poniżej temperatury krytycznej substancje te wykazują bardzo dużą przenikalność elektryczną, nieliniowość i histerezę. Przy zbliżaniu do temperatury granicznej przenikalność rośnie, często do bardzo dużej wartości. Powyżej tej temperatury zanika polaryzacja spontaniczna, a przenikalność zaczyna stopniowo spadać zgodnie z prawem Curie-Weissa.

Pojemność kondensatora z dielektrykiem: pojemność kondensatora wypełnionego dielektrykiem jest wielokrotnie większa od pojemności kondensatora pustego. Pojemność kondensatora C naładowanego ładunkiem Q przy różnicy potencjałów między okładkami wynosi:

$$C = \frac{Q}{V}$$

Napięcie między okładkami, odległymi od siebie o d jest dane przez:

V = Ed

Jeśli między okładki wstawimy dipol, tak jak na prawym rysunku powyżej, to jeden z wektorów E zostaje usunięty z przestrzeni między elektrodami przez przeciwnie skierowane pole dipola. Pole E zostało zmniejszone o połowę, a zatem również o połowę zmniejszy się napięcie między okładkami V.

1. Klasyczny model przewodnictwa elektrycznego.

Klasyczny model przewodnictwa elektrycznego: elektrony przewodnictwa dla metalu tworzą tzw. „gaz elektronowy”. Elektrony poruszają się chaotycznie (ruchy termiczne), ulegają zderzeniom z atomami sieci krystalicznej. Zewnętrzne pole elektryczne E modyfikuje chaotyczny ruch elektronów, powodując ich stopniowe przemieszczanie się z prędkością dryfową v_d. Pole elektryczne przyspiesza elektrony, ale gdy nastąpi zderzenie, część energii elektronu przekazywana jest sieci krystalicznej, na skutek tego temperatura przewodnika wzrasta (drgania sieci krystalicznej rosną). Elektron doznaje przyspieszenia:

$$a = \frac{F}{m} = \frac{\text{eE}}{m}$$

Po zderzeniu elektron traci prędkość dryfową, odzyskuje ją gdy jest przyspieszany ponownie przez pole elektryczne. Średni czas między zderzeniami elektronu z atomami sieci wynosi T. Średnio po czasie T elektron odzyskuje prędkość dryfową :

$$v_{d} = \tau a = \frac{\text{eEτ}}{m}$$

Uwzględniając:

J = nev_d

Otrzymujemy:

$$v_{d} = \frac{J}{\text{ne}} = \frac{\text{eEτ}}{m}$$

Porównując:

$$J = \left( \frac{e^{2}\text{nτ}}{m} \right)E\ \ \ \ J = \sigma E$$

Otrzymujemy:

$$\sigma = \frac{e^{2}\text{nτ}}{m}\ \ \ \ \ \ \ \ \rho = \frac{m}{e^{2}\text{nτ}}$$

Gdzie σ – przewodność a ρ – oporność właściwa. Wielkości e, n, m, T nie zależą od pola E. Prametr T zależy od temperatury – w klasycznej teorii gazów jest proporcjonalny do:

$$\sigma\sim\frac{1}{\sqrt{T}}$$

Doświadczalnie jednak, jest proporcjonalne do temperatury 1/T.

1. Prawo Ohma. Siła elektromotoryczna. Reguły Kirchhoffa. Praca i moc prądu.

Prawo Ohma: prawo fizyki głoszące proporcjonalność natężenia prądu płynącego przez przewodnik do napięcia panującego między końcami przewodnika. Dla prądu stałego proporcjonalność napięcia U i prądu I wyraża się wzorem:

U = RI

Współczynnik proporcjonalności R nazywa się rezystancją lub oporem elektrycznym. Opór odcinka przewodnika o stałym przekroju poprzecznym jest proporcjonalny do długości tego odcinka i odwrotnie proporcjonalny do pola przekroju S:

$$R = \rho\frac{l}{S}$$

Siła elektromotoryczna: czynnik powodujący przepływ prądu w obwodzie elektrycznym równy energii elektrycznej uzyskanej przez jednostkowy ładunek przemieszczany w urządzeniu (źródle) prądu elektrycznego w stronę przeciwną do siły pola elektrycznego działającego na ten ładunek. Źródło siły elektromotorycznej przenosi ładunek elektryczny wbrew siłom pola elektrycznego. Siły przenoszące ładunek nazywane są siłami postronnymi. Siły postronne wykonują pracę nad ładunkiem przenosząc go. Siła elektromotoryczna źródła jest zdefiniowana jako iloraz pracy wykonanej przez źródło do wartości przenoszonego ładunku:

$$\varepsilon = \frac{W}{q}$$

Siła elektromotoryczna w obwodzie z prądem jest równa stosunkowi mocy elektrycznej wydzielanej w obwodzie do natężenia prądu:

$$\varepsilon = \frac{P}{I}$$

Pierwsze prawo Kirchhoffa: Dla węzła obwodu elektrycznego suma algebraiczna natężeń prądów wpływających i wypływających jest równa zeru lub suma natężeń prądów wpływających do węzła jest równa sumie natężeń prądów wypływających z tego węzła.

Drugie prawo Kirchhoffa: W zamkniętym obwodzie, suma spadków napięć na oporach równa jest sumie sił elektromotorycznych występujących w tym obwodzie, przy czym obwód ten może być elementem większej sieci.

$$\sum_{}^{}U_{i} = \sum_{}^{}\varepsilon_{k}$$

Praca prądu: jest to suma prac sił opisujących oddziaływanie poruszających się ładunków elektrycznych z siecią krystaliczną przewodnika (grzałki, żarówki) lub z innymi poruszającymi się ładunkami wytwarzającymi pole magnetyczne. Praca prądu elektrycznego w obwodzie prądu stałego jest równa iloczynowi napięcia źródła energii elektrycznej, natężenia prądu przepływającego przez odbiornik oraz czasu przepływu prądu.

W = UIt

Moc elektryczna: praca, jaką wykonuje energia elektryczna w jednostce czasu. W obwodach elektrycznych prądu stałego, w których odbiornikiem energii jest rezystancja, moc elektryczną można wyznaczyć ze wzoru:

P = UI

Wykorzystując prawo Ohma, wzór na moc elektryczną można przedstawić również jako:

$$P = I^{2}R = \frac{U^{2}}{R}$$

1. Prawo Ampere^'a; oddziaływanie dwóch przewodników z prądem. Indukcja elektromagnetyczna; prawo Faradaya.

Prawo Ampera: prawo wiążące indukcję magnetyczną wokół przewodnika z prądem z natężeniem prądu elektrycznego przepływającego w tym przewodniku. Z użyciem wielkości opisujących pole magnetyczne, prawo przyjmuje postać: Całka krzywoliniowa wektora indukcji matematycznej, wytworzonego przez stały prąd elektryczny w przewodniku wzdłuż linii zamkniętej otaczającej prąd, jest równa sumie algebraicznej natężeń prądów przepływających przez dowolną powierzchnię objętą przez tę linię. Dla próżni można to wyrazić wzorem:

∮B * dl = μ₀I

Dla substancji w dowolnym ośrodku uwzględniając tylko prądy zewnętrzne prawo formułuje się z użyciem pola magnetycznego:

∮_CH * dl = ∫_SJ * da = I

Równoważną formą prawa w postaci różniczkowej jest:

∇ × H = J

Gdzie J – gęstość prądu, H – natężenie pola magnetycznego, da – wektor powierzchni da, elementu powierzchni S, I – natężenie prądu objętego krzywą C.

Oddziaływanie dwóch przewodników z prądem: przewodnik, przez który przepływa prąd wytwarza w swym otoczeniu pole magnetyczne. Jeżeli w tym polu zostanie umieszczony drugi przewodnik z prądem, to pole pierwszego będzie nań oddziaływało z siłą elektrodynamiczną. Równocześnie jednak drugi przewodnik wytwarza pole magnetyczne oddziałujące z określoną siłą elektrodynamiczną na pierwszy.

$$F_{12} = B_{2}*I_{1}*l_{1} = \frac{\mu_{0}*I_{2}}{2\pi d}*I_{1}*l_{1}$$

Indukcja elektromagnetyczna: zjawisko powstawania siły elektromotorycznej w przewodniku na skutek zmian strumienia pola magnetycznego. Zmiana ta może być spowodowana zmianami pola magnetycznego lub względnym ruchem przewodnika i źródła pola magnetycznego. Zjawisko indukcji opisuje prawo indukcji elektromagnetycznej Faradaya:

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$$

Gdzie ԑ- indukowana siła elektromotoryczna, a Φ – strumień indukcji magnetycznej przepływająjcy przez powierzchnię objętą przewodnikiem.

Prawo Faradaya: w zamkniętym obwodzie, znajdującym się w zmiennym polu magnetycznym, pojawia się siła elektromotoryczna indukcji równa szybkości zmian strumienia indukcji pola magnetycznego przechodzącego przez powierzchnię rozpiętą na tym obwodzie. Prawo to można wyrazić wzorem:

$$\varepsilon = - \frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$$

Jeżeli w miejscu pętli umieści się zamknięty przewodnik o oporze R, wówczas w obwodzie tego przewodnika popłynie prąd o natężeniu I:

$$I = - \frac{1}{R}*\frac{d\Phi_{B}}{\text{dt}}$$

Przy czym strumień indukcji magnetycznej w tym wzorze jest całkowitym strumieniem magnetycznym, zarówno wywołanym przez źródła zewnętrzne jak i wywołany prądem płynącym w przewodniku. Minus we wzorze jest konsekwencją zasady zachowania energii i oznacza, że siła elektromotoryczna jest skierowana w ten sposób, aby przeciwdziałać przyczynie jej powstania, czyli zmianom strumienia pola magnetycznego.. W przypadku zwojnicy o N zwojach, wzór na SEM można zapisać jako:

$$\varepsilon = - N\frac{\Phi}{t}$$

Wzór wynikający z prawa Faradaya można przedstawić w postaci całkowej:

$$\varepsilon = \oint_{l}^{}{E*dl = - \frac{d}{\text{dt}}\int_{S}^{}{B*ds}}$$

1. Materia w polu magnetycznym. Diamagnetyki, paramagnetyki, ferromagnetyki.

Materia w polu magnetycznym: na magnes działa siła

F = q_mB

Moment obrotowy, będący efektem występowania pary sił F i –F dążący do ustawienia sztabki magnesu równolegle do linii sił pola B – opisany jest zależnością:

M = FLsin ∝ =q_mLsin∝

W której L jest długością sztabki, alfa – kątem pomiędzy jej osią a kierunkiem wektora pola magnetycznego. Iloczyn q_mL jest długością wektora momentu magnetycznego . Moment obrotowy, działający na moment magnetyczny jest zatem równy:

M = μBsinα = μ × B

Kluczem do zrozumienia magnetycznych właściwości materii jest fakt, że atomy ją tworzące, zawierają krążące po zamkniętych orbitach elektrony. Elektrony te tworzą więc mikroskopijne pętle z prądem. Pętle te wytwarzają własne pole magnetyczne i posiadają określony moment magnetyczny. W przypadku wielu materiałów, mikropętle z prądem są przypadkowo zorientowane w przestrzeni i ich wypadkowe pole magnetyczne jest zerowe. W przypadku atomów lub jonów innego rodzaju materiałów, zewnętrzne pole magnetyczne może powodować takie ustawianie się mikropętli, że reprezentujące je dipole będą zorientowane zgodnie z kierunkiem pola – pola mikropętli dodadzą się do zewnętrznego pola. Mówimy wówczas o procesie magnetyzowania się substancji. Zgodnie z prostym, klasycznym modelem elektron o masie m, ładunku q porusza się z prędkością v po kołowej orbicie o promieniu r. Poruszający się ładunek jest równoważny pętli z prądem o natężeniu I. Całkowity ładunek przechodzący przez dany punkt na orbicie elektronu w jednostce czasu wynosi:

$$I = \frac{e}{T}$$

Gdzie T – okres obiegu elektronu po orbicie. Istnieje prosty związek między orbitalnym momentem magnetycznym elektronu, a jego momentem pędu L na orbicie o promieniu r:

$$\mu = \frac{e}{2m}L$$

Wielkość:

$$\mu_{B} = \frac{\text{eℏ}}{2m}$$

Nosi nazwę magnetonu Bohra. Ostatecznie, moment magnetyczny elektronu w jego ruchu orbitalnym można wyrazić jako:

μ = μ_Bn

Elektron posiada dodatkowo własny moment pędu, zwany spinem oraz własny, spinowy moment magnetyczny, przy czym jego wartość jest równa magnetonowi Bohra. Poglądowo można wyobrażać sobie, że elektron wiruje z dużą prędkością wokół własnej osi, co tłumaczy istnienie jego momentu pędu i momentu magnetycznego. Podobnie, jak w przypadku orbitalnego ruchu elektronu, wektory te mają przeciwne kierunki, a wartości liczbowe spinowego momentu magnetycznego i spinu elektronu są do siebie proporcjonalne:

$$\mu_{S} = - \frac{e}{m}S$$

Diamagnetyk: W przypadku pewnej grupy materiałów, w nieobecności pola magnetycznego, wypadkowy moment magnetyczny wszystkich atomów wynosi zero. Jednak nawet tego rodzaju substancje wykazują efekty magnetyczne, bowiem zewnętrzne pole magnetyczne wpływa na ruch elektronów w ich atomach, wywołując powstanie dodatkowych pętli z prądem. Pole generowane przez pętle jest zawsze zorientowane przeciwnie do pola zewnętrznego. Podatność magnetyczna diamagnetyków jest zawsze ujemna, podczas gdy ich względna przenikalność magnetyczna jest nieco mniejsza od jedności. Podatności magnetyczne diamagnetyków prawie nie zależą od temperatury.

Paramagnetyk: w przypadku niektórych substancji, atomy posiadają wypadkowy moment magnetyczny o wartości rzędu magnetonu Bohra. Po umieszczeniu takiej substancji w zewnętrznym polu magnetycznym o indukcji B0, na każdy z momentów magnetycznych będzie działał moment obrotowy M – orientujący wektor μ zgodnie z kierunkiem pola. Oznacza to, że wewnętrzne pole pochodzące z mikropętli z prądem będzie się wektorowo sumować z zewnętrznym polem, dając wypadkowe pole B. Wzrastająca indukcja B zewnętrznego pola powoduje uporządkowanie dipoli magnetycznych wewnątrz próbki (powodując zwiększenie M), podczas gdy wzrastająca temperatura T przeciwdziała temu uporządkowaniu, dążąc do zmniejszania wartości M.

Ferromagnetyk: w strukturze ferromagnetyków można wyróżnić pewne mikroskopijne obszary, zwane domenami magnetycznymi, w których poszczególne atomowe momenty magnetyczne są ustawione zgodnie. W nienamagnesowanej próbce, domeny zorientowane są chaotycznie względem siebie. Jednak w obecności zewnętrznego pola magnetycznego, dążą one do ustawienia równoległego względem pola. Dzieje się to poprzez ruch i granic – domeny ustawione z zewnętrznym polem rosną „kosztem” pozostałych domen. Ponieważ całkowity moment magnetyczny pojedynczej domeny jest tysiące razy większy od magnetonu Bohra, porządkujące działanie zewnętrznego pola jest nieporównywalnie większe niż w przypadku paramagnetyków. W procesie magnesowania próbki ferromagnetyka, osiągany jest stan nasycenia magnetycznego. Stan ten odpowiada pełnemu uporządkowaniu dipoli atomowych.

Próbka z początku jest nienamagnesowana i znajduje się w punkcie a. Włączając i następnie zwiększając zewnętrzne pole B osiągniemy punkt nasycenia b. Zmniejszając z kolei pole do wartości B=0 osiągniemy punkt c. Zmieńmy teraz kierunek pola B i zwiększajmy jego indukcję aż do osiągnięcia punktu nasycenia d. Zmniejszając odwrócone pole dojdziemy do punktu e. Po kolejnej zmianie kierunków znowu znajdziemy się ponownie w punkcie b. Zauważmy, że w punktach c i e nasza próbka pozostaje namagnesowana, pomimo, że zewnętrzne pole równe jest zeru. Zjawisko to jest charakterystyczne dla ferromagnetyków i nosi nazwę magnetyzmu szczątkowego – próbka jest więc magnesem trwałym. Zjawisko niepowtarzalności przebiegu krzywych nazywamy histerezą magnetyczną, a zamkniętą krzywą – pętlą histerezy.

1. Drgania własne i wymuszone w obwodach LC i RLC. Rezonans obwodu.

Drgania własne w LC: Modelowym układem fizycznym, w którym zachodzić mogą elektromagnetyczne drgania harmoniczne swobodne jest zamknięty obwód elektryczny o oporności równej zeru, zawierający zwojnicę L i kondensator o pojemności C. Kondensator został naładowany ładunkiem q₀. Gdy w chwili t=0 zamkniemy obwód, to kondensator zacznie się rozładowywać i zmieniający się prąd rozładowania spowoduje powstanie w zwojnicy siły elektromotorycznej samoindukcji. Stan fizyczny obwodu można zapisać za pomocą II równania Kirchhoffa. Równanie elektromagnetycznego oscylatora swobodnego:

q(t) = q₀cosω₀t

Rozwiązaniem tego równania jest funkcja q(t), gdzie ω₀ – częstość drgań swobodnych, ω₀t – faza drgań, q(0) – amplituda drgań. Po dostarczeniu do obwodu LC porcji energii (naładowanie kondensatora) i braku dalszej ingerencji zewnętrznej, zachodzą w nim drgania harmoniczne swobodne – wielkości opisujące stan układu są funkcjami harmonicznymi. Częstotliwość drgań obwodu zależy od pojemności i indukcyjności obwodu.

Drgania wymuszone w RLC: po zamknięciu wyłącznika rozpoczyna się proces rozładowywania kondensatora i w obwodzie płynie prąd o natężeniu I, wytwarzając na oporniku spadek potencjału UR, proporcjonalny do chwilowej wartości I, spadek potencjału na uzwojeniu UL proporcjonalny do szybkości zmian natężenia prądu w czasie, natomiast napięcie na kondensatorze UC jest proporcjonalne do chwilowej wartości ładunku Q. Ponieważ w obwodzie brak jest źródła SEM, to suma spadków potencjału w obwodzie (II PK) jest równe zeru. Równanie różniczkowe obwodu:

$${L\frac{d^{2}I}{dt^{2}} + R\frac{\text{dI}}{\text{dt}} + \frac{1}{C}\frac{\text{dQ}}{\text{dt}} = 0\backslash n}{\frac{d^{2}I}{dt^{2}} + \frac{R}{L}\frac{\text{dI}}{\text{dt}} + \frac{1}{\text{LC}}I = 0}$$

Wprowadzamy wielkość nazywaną współczynnikiem tłumienia:

$$\delta = \frac{R}{2L}$$

Oraz wielkość będącą częstością kątową drgań swobodnych (tj. drgań w obwodzie LC):

$$\omega_{0}^{2} = \frac{1}{\text{LC}}$$

Jeśli tłumienie jest mniejsze od częstości kątowej drgań, to drgania prądu w obwodzie RLC przy słabym tłumieniu mają charakter drgań harmonicznych tłumionych, czyli drgań harmonicznych o ekspotencjalnie malejącej w czasie amplitudzie. Jeśli tłumienie jest równe częstości drgań, to nazywamy to przypadkiem tłumienia krytycznego – w obwodzie nie powstają drgania harmoniczne, a natężenie prądu maleje ekspotencjalnie wraz z czasem. Jeśli tłumienie jest większe , to równanie różniczkowe nie posiada rozwiązań rzeczywistych, co oznacza, że w obwodzie nie powstają drgania harmoniczne, a kondensator szybko rozładowuje się.

Rezonans napięć: zjawisko rezonansu napięć występuje w gałęzi szeregowej RLC i polega na tym, że przy określonej częstotliwości sygnałów w obwodzie f0, zwanej częstotliwością rezonansową, napięcie na cewce i na kondensatorze są równe co do modułu, a przeciwne co do znaku, wobec czego ich suma jest równa zeru.

Rezonans prądów: zjawisko występuje w gałęzi równoległej GCL i polega na tym, że przy określonej częstotliwości f0, zwanej częstotliwością rezonansową, prąd płynący przez kondensator oraz przez cewkę mają równe amplitudy, lecz przeciwne fazy, wobec czego ich suma jest równa zeru.

1. Zasada superpozycji fal; fale stojące, dudnienia.

Zasada superpozycji fal: sumowanie się kilku niezależnych ruchów falowych. Dla małych amplitud fal (małych natężeń fali) prawdziwa jest zasada superpozycji mówiąca, że fala wypadkowa, będąca wynikiem jednoczesnego nałożenia się kilku ruchów falowych jest sumą fal składowych. Prawo to nie zachodzi w ośrodkach nieliniowych znacznych natężeń fal. Wówczas fala wypadkowa nie jest zwykle sumą fal składowych i nie można mówić o superpozycji fal, choć nadal następuje ich nakładanie się.

Fala stojąca: fala, której grzbiety i doliny nie przemieszczają się. Fala stojąca powstaje na skutek interferencji dwóch takich samych fal poruszających się w tym samym kierunku, lecz o przeciwnych zwrotach. Zwykle efekt ten powstaje np. poprzez nałożenie się na falę biegnącą fali odbitej. Fala stojąca to w istocie drgania ośrodka, nazywane też drganiami normalnymi. Idealna fala stojąca różni się od fali biegnącej tym, że nie ma tu propagacji drgań, nie występuje zatem czoło fali. Miejsca, gdzie amplituda fali osiąga maksima nazywa się strzałkami, zaś te, w których amplituda zawsze jest zerowa – węzłami fali stojącej. Równanie fali stojącej będącej sumą dwóch fal biegnących w przeciwnych kierunkach:

ψ = ψ₁ + ψ₂ = Asin(ωt−kx+φ₁) + Asin(ωt+kx+φ₂)

Dudnienia: okresowe zmiany amplitudy drgania wypadkowego powstałego ze złożenia dwóch drgań o zbliżonych częstotliwościach. Obserwuje się je dla wszystkich rodzajów drgań, w tym i wywołanych falami. Efektem fizycznym opisanego sumowania drgań jest to, że zachowują one swój szybkooscylujący charakter, a przy tym ich obwiednia zmienia się powoli w czasie, co dla dźwięku oznacza słyszalną, pulsacyjną modulację głośności.

1. Interferencja fal z dwóch identycznych źródeł punktowych; warunki wzmocnienia i wygaszenia fal, warunki interferencji w punkcie bardzo odległym od źródeł. Doświadczenie Younga - rozkład natężeń fali w prążkach interferencyjnych. Interferometr Michelsona.

Interferencja fal z dwóch identycznych źródeł punktowych: zjawisko powstawania nowego, przestrzennego rozkładu amplitudy fali (wzmocnienia i wygaszenia) w wyniku nakładania się dwóch lub więcej fal. W ośrodku liniowym, rozchodzące się z kilku źródeł zaburzenia spotykają się w danym punkcie P. Zaburzenie ośrodka w tym punkcie jest sumą zaburzeń wywołanych przez poszczególne fale. Dla najprostszego przypadku dwóch fal harmonicznych o jednakowych amplitudach A, jednakowej długości λ i zgodnych fazach początkowych, rozchodzących się z dwóch różnych źródeł, które leżą w odległościach odpowiednio d1 i d2 od punktu P, zaburzenie w punkcie P opisuje wzór:

y(P) = Asin(ωt+φ₁) + Asin(ωt+φ₂)

Gdzie:

$${\varphi_{1} = \frac{d_{1}}{\lambda}\backslash n}{\varphi_{2} = \frac{d_{2}}{\lambda}}$$

Gdy spełniony jest warunek:

φ₁ − φ₂ = 2kπ

Warunki wzmocnienia i wygaszenia fal: wzmocnienie amplitudy drgań A’=2A gdy:

$$cos2\pi\left( \frac{r_{2} - r_{1}}{2\lambda} \right) = 1$$

Stąd otrzymujemy warunek wzmocnienia fali w postaci r2-r1=nλ. Wzmocnienie fali występuje w miejscach, dla których różnica odległości od dwóch różnych źródeł jest równa całkowitej wielokrotności długości fali. Warunek wygaszenia fali, kiedy A’=0, gdy:

$$cos2\pi\left( \frac{r_{2} - r_{1}}{2\lambda} \right) = 0$$

Stąd otrzymujemy warunek wygaszenia fali w postaci:

$$r_{2} - r_{1} = \left( 2n + 1 \right)\frac{\lambda}{2}$$

Wygaszenie fali występuje w punktach, dla których różnica odległości od obu źródeł fal jest równa nieparzystej wielokrotności połowy długości fali. (r2-r1)=d*sin(alfa)

Warunki interferencji w punkcie bardzo odległym od źródeł: funkcje falowe opisujące fale:

ψ₁(r₁,t) = A(r₁)cos(kr₁−ωt) ∖ nψ₂(r₂,t) = A(r₂)cos(kr₂−ωt)

Dla dużych odległości możemy przyjąć:

$$A\left( r_{1} \right) \approx A\left( r_{2} \right) \cong A\left( \frac{r_{1} + r_{2}}{2} \right) = A\left( r_{\text{sr}} \right)$$

Sumując otrzymujemy:

$$2A\left( r_{\text{sr}} \right)\cos\left( k\frac{r_{1} - r_{2}}{2} \right)\cos\left( kr_{\text{sr}} - \omega t \right)$$

Stosujemy przybliżenie Fraunhofera, które polega na tym, że przyjmujemy że oba promienie są równoległe do siebie. W takim wypadku r1-r2=dsin(alfa).

Doświadczenie Younga: eksperyment polegający na przepuszczeniu światła spójnego przez dwie blisko siebie położone szczeliny i obserwacji obrazu powstającego na ekranie. Wskutek interferencji, na ekranie powstają jasne i ciemne prążki w obszarach, w których światło jest wygaszane lub wzmacniane.

Natężenie światła obserwowane w punkcie P jest proporcjonalne do kwadratu amplitudy. Wraz ze wzrostem liczby szczelin, w obrazie interferencyjnym pojawiają się maksima poboczne w ilości N-2. Położenia maksimów głównych nie zależą od liczby szczelin i są określone wyłącznie stosunkiem d/λ. Natomiast wzrost liczby szczelin zmienia kształt maksimów głównych, stają się one węższe, poza tym, rośnie liczba maksimów wtórnych, a ich natężenie maleje.

Interferometr Michelsona: jeden z najczęściej stosowanych interferometrów. Posiada dwa prostopadłe do siebie ramiona. Monochromatyczne światło ze źródła A wpada do wnętrza układu i w centralnej części rozdziela się na dwie wiązki na półprzepuszczalnym zwierciadle B. Na końcu obu ramion znajdują się zwierciadła C, które zawracają bieg promieni. Jedno ze zwierciadeł dodatkowo jest ruchome i za jego pomocą zmienia się drogę optyczną jednej z wiązek w celu ustawienia interferometru. Po odbiciu, obie wiązki padają ponownie na półprzepuszczalne zwierciadło, gdzie biegną już w jednym kierunku do obserwatora D i interferują ze sobą.

1. Zjawisko Dopplera dla fal mechanicznych i elektromagnetycznych; fala uderzeniowa.

Efekt Dopplera dla fal mechanicznych: gdy źródło fali wysyła kolejne drgania z taką samą częstotliwością i porusza się, odległość między kolejnymi grzbietami jest zależna od kierunku rozchodzenia się fali. Źródło przybliża się do zaburzeń, które wysłało, w kierunku zgodnym z kierunkiem ruchu źródła, a oddala się od fali przemieszczającej się w kierunku przeciwnym. Tak więc w kierunku ruchu źródła kolejne grzbiety falowe są emitowane w mniejszej odległości, niż gdyby źródło spoczywało. Nieruchomy obserwator odbiera to jako zmianę częstotliwości fali, ale odległości między nimi zależą od położenia obserwatora względem kierunku ruchu źródła. Podobnie, jeśli obserwator zbliża się do źródła, to wprawdzie odległości między grzbietami i ich prędkość propagacji są takie same w każdym kierunku, ale obserwator spotyka grzbiety częściej, co powoduje wrażenie większej częstości fal. Częstotliwość fali odbieranej:

$$f_{0} = f_{z}\frac{v}{v - v_{z}}$$

Efekt Dopplera zapisuje się określając prędkość ruchu w odniesieniu do prędkości fali w ośrodku:

$$\beta_{x} = \frac{v_{x}}{v}$$

Efekt Dopplera dla światła: światło rozchodząc się w próżni porusza się z taką samą prędkością względem każdego obserwatora, a nie jak fala mechaniczna z prędkością określoną względem ośrodka, w którym się rozchodzi. Efekt zmiany częstotliwości światła nazywany jest relatywistycznym efektem Dopplera. Jeżeli źródło i odbiornik fali poruszają się względem siebie, to występuje dylatacja czasu wynikająca ze szczególnej teorii względności. W wyniku tego, jeżeli źródło i nadajnik poruszają się wzdłuż jednej prostej i oddalają się od siebie, to odbiornik zarejestruje falę o częstotliwości:

$$f_{0} = \gamma\left( 1 - \beta \right)f_{z} = \sqrt{\frac{1 - \beta}{1 + \beta}}f_{z}$$

Gdzie B=v/c

Fala uderzeniowa: zaburzenie rozchodzące się najczęściej w gazie (lecz także w cieczy lub ciele stałym), mające postać powierzchni (tzw. Powierzchni nieciągłości), na której występuje skokowa zmiana parametrów ośrodka: wzrost ciśnienia, gęstości i temperatury oraz spadek prędkości. Przez skokową zmianę należy rozumieć bardzo gwałtowną, zachodzącą na odcinku o długości drogi swobodnej cząsteczki ośrodka. Fale uderzeniowe powstają przy nagłym zaburzeniu wywołanym np. detonacją lub uderzeniem pioruna. Fala uderzeniowa w gazie przemieszcza się zawsze z prędkością większą niż prędkość dźwięku w tym gazie przed czołem fali. Po jej przejściu następuje przyrost entropii gazu, czyli nieodwracalny proces przemiany części energii mechanicznej gazu w ciepło. Fala uderzeniowa w ciałach stałych rozumiana jest jako fala naprężeń ściskających o wielkiej amplitudzie lub impuls ciśnienia, który powoduje niemal natychmiastowy wzrost naprężeń lub ciśnienia w ośrodku.

1. Przegląd widma fal elektromagnetycznych; najważniejsze cechy poszczególnych rodzajów promieniowania.

Widmo fal elektromagnetycznych: promieniowanie elektromagnetyczne przejawia właściwości falowe ulegając: interferencji, dyfrakcji, spełnia prawo odbicia i załamania. W wyniku superpozycji może powstać fala stojąca. Jednak niektóre właściwości promieniowania (szczególnie jego oddziaływanie z materią) zależą od długości fali (częstotliwości promieniowania) i dlatego dokonano podziału promieniowania na zakresy ze względu na jego częstotliwość. Granice poszczególnych zakresów są umowne i nieostre. Należy je traktować szacunkowo, promieniowanie o tej samej długości może być nazywane falą radiową lub mikrofalą – w zależności od kontekstu. Granice promieniowania gamma i rentgenu często rozróżnia się z kolei ze względu na źródło tego promieniowania.

Fale radiowe: długość: ok. 10³ m, częstotliwość 10⁴ Hz. Znajdują zastosowanie w telekomunikacji, radiofonii i telewizji. Podstawowym źródłem fal są anteny zasilane prądem przemiennym odpowiedniej częstotliwości. Wiele urządzeń generuje też zakłócenia będące falami radiowymi. Naturalne źródła fal to wyładowania atmosferyczne, zorze polarne, radiogalaktyki. W atmosferze, propagacja jest skomplikowana, zależy od długości fali, ale także własności powietrza.

Mikrofale: długość: ok 10^-2 m, częstotliwość 10⁸ Hz. W zależności od metody wytwarzania, niekiedy mikrofale są zaliczane do fal radiowych albo do podczerwieni. Podstawowe zastosowanie to łączność (telefonia komórkowa, radiolinie, WiFi) oraz technika radarowa. Wiele dielektryków mocno absorbuje fal, co powoduje ich rozgrzewanie (kuchenka mikrofalowa). Rozmiary elementów elektroniki są porównywalne z długością fali. Do prowadzenia mikrofal stosuje się falowody, do wzmacniania i generacji służą masery, lampy mikrofalowe i elementy półprzewodnikowe.

Podczerwień: długość ok. 10^-5 m, częstotliwość: 10¹² Hz. Promieniowanie podczerwone nazywane jest również cieplnym, gdyż jego źródłem są nagrzane ciała. Każde ciało o temperaturze większej od zera bezwzględnego emituje takie promieniowanie. Ciała o temperaturze pokojowej emitują najwięcej promieniowania w zakresie długości fali rzędu 10 μm. Przedmioty o wyższej temperaturze emitują promieniowanie o większym natężeniu i mniejszej długości , co pozwala na zdalny pomiar ich temperatury i obserwację za pomocą specjalnych urządzeń termowizyjnych. W paśmie promieniowania podczerwonego są prowadzone obserwacje astronomiczne i meteorologiczne. Promieniowanie to znalazło zastosowanie w technice grzewczej.

Światło widzialne: długość ok. 0,5*10^-6, częstotliwość: 10¹⁵ Hz. To część widma promieniowania, na którą reaguje zmysł wzroku człowieka. Światło jest tylko w niewielkim stopniu absorbowane przez atmosferę ziemską i przez wodę.

Ultrafiolet: długość: 10^-8 m, częstotliwość: 10¹⁶ Hz. Promieniowanie zaliczane do promieniowania jonizującego, czyli ma zdolność odrywania elektronów od atomów i cząsteczek. W dużym stopniu określa to jego właściwości, szczególnie oddziaływanie z materią i na organizmy żywe. Słońce emituje ultrafiolet w szerokim zakresie spektralnym, ale górne warstwy atmosfery ziemskiej (warstwa ozonowa) pochłaniają większość promieniowania z krótkofalowej części spektrum. W technice ultrafiolet jest stosowany powszechnie. Powoduje świecenie wielu substancji chemicznych. W świetlówkach ultrafiolet wytworzony na skutek wyładowania jarzeniowego pobudza luminofor do świecenia w zakresie widzialnym. Zjawisko to służy także do zabezpieczania banknotów i sterylizacji pomieszczeń.

Promieniowanie rentgenowskie: długość: 10^-10 m, częstotliwość: 10¹⁸ Hz. Promieniowanie jonizujące. Technicznie, promieniowanie rentgenowskie uzyskuje się przeważnie przez wyhamowanie rozpędzonych cząsteczek naładowanych. W lampach rentgenowskich są to rozpędzone za pomocą wysokiego napięcia elektrony hamowane na metalowych anodach. Źródłem wysokoenergetycznego promieniowania rentgenowskiego są również przyspieszane w akceleratorach cząstki naładowane. Promieniowanie rentgenowskie stosowane jest do celów diagnostyki medycznej i prowadzenia obserwacji astronomicznych.

Promieniowanie gamma: długość: 10^-12 m, częstotliwość: 20²⁰ Hz. Promieniowanie jonizujące. Promieniowanie gamma towarzyszy reakcjom jądrowym, powstaje w wyniku anihilacji – zderzenie cząstki i antycząstki, oraz rozpadów cząstek elementarnych. Otrzymywane w cyklotronach promieniowanie hamowania i synchrotronowe również niekiedy bywa nazywane wysokoenergetycznym promieniowaniem rentgenowskim. Promienie gamma mogą służyć do sterylizacji żywności i sprzętu medycznego. W medycynie używa się ich w radioterapii oraz diagnostyce.

1. Dyfrakcja wiązki świetlnej; zasada Huygensa-Fresnela, dyfrakcja Fraunhofera na szczelinie, siatka dyfrakcyjna.

Dyfrakcja wiązki świetlnej: ugięcie fali, zjawisko fizyczne zmiany kierunku rozchodzenia się fali na krawędziach przeszkód oraz w ich pobliżu. Zjawisko niezależne od wielkości przeszkody, ale wyraźnie jest obserwowane dla przeszkód o rozmiarach porównywalnych z długością fali. Jeśli wiązka fal przechodzi przez szczelinę lub omija obiekt, to zachodzi zjawisko ugięcia. Fala rozchodzi się w ten sposób, że każdy punkt staje się nowym źródłem fali kulistej. Za przeszkodą, fale nakładają się zgodnie z zasadą superpozycji. Najprostszy przykład dyfrakcji zachodzi, gdy równoległa wiązka światła (laser) przechodzi przez wąską, pojedynczą szczelinę zwaną szczeliną dyfrakcyjną. Każdy punkt szczeliny o szerokości d jest nowym źródłem fali. Między źródłami zachodzi interferencja. Dla pojedynczej szczeliny jasność w funkcji kąta odchylenia od osi przyjmuje postać:

$$I\left( \theta \right) = I_{0}\left\lbrack sinc(\frac{\text{πd}}{\lambda}sin\theta) \right\rbrack^{2}$$

Gdzie I – intensywność światła, I₀ – intensywność światła w maksimum (kąt=0), d – szerokość szczeliny, sinc(x)=sin(x)/x. Przepuszczenie fali przez szczelinę dyfrakcyjną pozwala na określenie kierunku rozchodzenia się fali. Im mniejsza jest szerokość szczeliny, tym dokładniej można to zrobić. Jednoczesne zmniejszanie szczeliny powoduje, że trudniej jest określić energię fali. Aby wzmocnić falę przechodzącą przez szczelinę stosuje się w optyce układy wielu takich szczelin, nazywane siatką dyfrakcyjną. Zjawisko dyfrakcji zachodzi również, kiedy fale przechodzą przez wiele blisko siebie położonych warstw. Jeżeli odległość między warstwami jest stała, kolejne maksima fali można opisać zależnością:

$$sin\theta = \frac{\lambda}{d}n$$

Zasada Huygensa-Fresnela: podczas propagacji fali płaskiej w nieograniczonym ośrodku jednorodnym i izotropowym, czoło fali w pewnej chwili czasowej jest płaszczyzną równoległą do czoła tej fali w dowolnej chwili wcześniejszej (stąd promień fali jest linią prostą, czyli ogólnie fale w takich ośroskach rozchodzą się po liniach prostych). Przy odbiciu fali od nieruchomej przeszkody umieszczonej w ośrodku jednorodnym i izotropowym, promień fali padający na przeszkodę i promień fali odbitej leżą w jednej płaszczyźnie, przy czym kąty utworzone przez te promienie z normalną są sobie równe. Promień fali padającej na powierzchnię rozdzielającą dwa jednorodne i izotropowe ośrodki i promień dali załamanej leżą w jednej płaszczyźnie, przy czym sinusy kątów utworzonych przez te promienie z normalną do powierzchni łamiącej w punkcie padania mają się do siebie jak prędkości fal w odpowiednich ośrodkach.

Dyfrakcja Fraunhofera na szczelinie: cechą charakterystyczną obrazu dyfrakcji Fraunhoffera na pojedynczej szczelinie jest pojawienie się silnego, jasnego prążka centralnego, któremu towarzyszą dwa zbiory prążków pobocznych. Prążki poboczne są równoległe do centralnego i mają stopniowo coraz mniejsze natężenie. Jeżeli różnica dróg dla dwóch skrajnych wiązek wynosi Δl=dsinΦ, to okazuje się, że n-te minimum natężenia obserwuje się przy warunku Δl=nλ. Sytuacja jest zatem odwrotna, niż w przypadku interferencji, ale w przypadku interferencji były dwie szczeliny, a nie jedna jak tutaj i przestrzeń między skrajnymi wiązkami była zamknięta. Jeżeli różnica dróg wynosi tylko λ, to po skupieniu obrazu na szczelinie, otrzymamy prążek ciemny. Oprócz wiązek skrajnych ze szczeliny wychodzą wiązki, które przeszły przez całą jej szerokość. Jeżeli podzielimy szerokość szczeliny na dowolną, ale parzystą liczbę sektorów, to wszystkie te sektory możemy pogrupować parami tak, że wiązki z obu sektorów będą przesunięte o λ/2 i wzajemnie ulegną wygaszeniu. Analogiczną konstrukcję opartą na dzieleniu szczeliny na segmenty możemy zastosować do sytuacji, kiedy różnica dróg dla wiązek skrajnych jest dowolną całkowitą wielokrotnością długości fali λ. Zwiększenie różnicy długości dróg obu skrajnych wiązek o λ/2 spowoduje powstanie jasnego pola. Na podstawie zależności między kątem odchylenia ciemnego prążka od szerokości szczeliny d, dsinΦ=nλ, możemy przewidzieć, jak zmienia się obraz dyfrakcyjny, kiedy będziemy zmieniać szerokość d. Dla dwóch szerokości szczelin d1 i d2 można zapisać:

d₁sinθ₁ = d₂sinθ₂

Skąd widać, że jeżeli zmniejszymy szerokość szczeliny d, wtedy musi wzrastać wartość kąta Φ i zaobserwujemy na ekranie rozciąganie się obrazu dyfrakcyjnego.

Siatka dyfrakcyjna: przyrząd do przeprowadzania analizy widmowej światła. Tworzy ją układ równych, równoległych i jednakowo rozmieszczonych szczelin. Stała siatki dyfrakcyjnej to parametr charakteryzujący siatkę. Wyraża on rozstaw szczelin siatki (odległość między środkami kolejnych szczelin). Działanie siatki polega na wykorzystaniu zjawiska dyfrakcji i interferencji światła do uzyskania jego widma. W tym celu pomiędzy źródłem światła a ekranem umieszcza się siatkę. Na ekranie uzyskuje się w ten sposób widmo światła. Typowa siatka dyfrakcyjna ma 12000 szczelin na cal. Stała takiej siatki wynosi 2116nm.

1. Optyka geometryczna jako graniczny przypadek optyki falowej. Podstawowe przyrządy optyczne: lupa, luneta, mikroskop.

Optyka geometryczna: zajmuje się zagadnieniami związanymi z rozchodzeniem się światła po różnych ośrodkach, przy czym zakłada się, że światło rozchodzi się po liniach prostych. Wprowadza się pojęcie promienia świetlnego, który jest kierunkiem normalnym do powierzchni fazowej rozchodzącej się fali. Opis w ujęciu optyki geometrycznej pozostaje słuszny, jeśli rozmiary przegród, szczelin i otworów, na które napotyka światło, są znacznie większe od długości fali świetlnej (no powstawanie cienia i półcienia). Prawa optyki geometrycznej: prawo prostoliniowego rozchodzenia się światła, zasada Fermata, bieg promienia jest odwracalny, prawo odbicia, prawo załamania, zjawisko całkowitego wewnętrznego odbicia.

Optyka falowa: światło wykazuje w wielu zjawiskach także charakter falowy. Dwoma podstawowymi zjawiskami świadczącymi o tym są dyfrakcja i interferencja. Gdy rozmiar przeszkody (szczeliny) staje się porównywalny z długością fali świetlnej, to absolutnie zawodzą założenia optyki geometrycznej.

Optyka geometryczna jako graniczny przypadek optyki falowej: optyka geometryczna jest granicznym przypadkiem dla długości fali dążącej do zera (a więc bardzo małej).

Lupa: użycie lupy przy oglądaniu drobnych przedmiotów ilustruje przykład wykorzystania obrazu urojonego. Oglądany przedmiot umieszczamy blisko soczewki, w odległości mniejszej niż jej ogniskowa. Dwa promienie stają się rozbieżne po przejściu przez soczewkę, jednak ich przedłużenia przecinają się. W ten sposób powstaje obraz urojony oglądanego przedmiotu, który widzi nasze oko (znajdujące się po prawej stronie soczewki) patrząc w lewą stronę.

Luneta: składa się z dwóch soczewek (lub dwóch układów soczewek) skupiających: obiektywu o ogniskowej f1 i okularu o ogniskowej f2. Soczewki te ustawione są w odległości 1 =f1+f2 od siebie. Obiektyw wytwarza obraz przedmiotu bardzo oddalonego praktycznie w ognisku okularu, zaś okular działa jak lupa dając obraz powiększony, urojony i odwrócony względem przedmiotu.

Powiększenie kątowe lunety:

$$w = \frac{\psi}{\varphi}$$

Można wyrazić przez stosunek ogniskowych obiektywu i okularu:

$$w = \frac{f_{1}}{f_{2}}$$

Mikroskop: całkowite powiększenie mikroskopu P_c:

$${P_{c} = P_{\text{ob}}*P_{\text{ok}}\backslash n}{P_{\text{ob}} = \frac{t}{f_{\text{ob}}}\backslash n}{P_{\text{ok}} = \frac{d}{f_{\text{ok}}}}$$

Gdzie t- długość optyczna tubulusu mikroskopu(odległość między ogniskiem obrazowym obiektywu a ogniskiem przedmiotowym okularu), d- odległość najlepszego widzenia.

1. Oddziaływanie światła z ośrodkiem; prawa odbicia i załamania, całkowite wewnętrzne odbicie, dyspersja normalna i anomalna.

Prawo odbicia: zmiana kierunku rozchodzenia się fali na granicy dwóch ośrodków, powodująca, że pozostaje ona w ośrodku, w którym się rozchodzi. Odbicie może dawać obraz lustrzany lub być rozmyte, zachowując tylko właściwości fali, a nie dokładny obraz jej źródła. Kąt odbicia jest równy kątowi padania, a promień padający, promień odbity i normalna do powierzchni odbicia leżą w jednej płaszczyźnie. W wyniku odbicia zmienia się tylko kierunek rozchodzenia się fali, nie zmienia się jej długość.

Prawo załamania: opisuje zmianę kierunku biegu promienia światła przy przejściu przez granicę między dwoma ośrodkami przezroczystymi o różnych współczynnikach załamania. Promień padający, biegnący w ośrodku pierwszym, pada na granicę ośrodków, po czym zmienia kierunek (załamuje się) i jako promień załamany biegnie w ośrodku drugim. Promienie padający, załamany oraz prostopadła padania leżą w jednej płaszczyźnie, a kąty spełniają zależność:

$$\frac{\sin\theta_{1}}{\sin\theta_{2}} = \frac{n_{2}}{n_{1}} = n_{21} = \frac{v_{1}}{v_{2}}$$

Jeśli światło przechodzi z ośrodka o mniejszym współczynniku załamania światła do ośrodka o współczynniku większym (powietrze-woda), to kąt załamania jest mniejszy od kąta padania. Jeżeli na odwrót – kąt załamania jest większy.

Całkowite wewnętrzne odbicie: zjawisko zachodzące dla fal i występujące na granicy ośrodków o różnych współczynnikach załamania. Polega ono na tym, że światło padające na granicę od strony ośrodka o wyższym współczynniku załamania pod kątem większym niż kąt graniczny, nie przechodzi do drugiego ośrodka, lecz ulega całkowitemu odbiciu. Światło padające na granicę ośrodków pod kątem mniejszym od granicznego zostaje częściowo odbite, a częściowo przechodzi do drugiego ośrodka. Na mocy prawa załamania:

$$\frac{\text{sinα}}{\text{sinβ}} = \frac{n_{2}}{n_{1}}$$

Jeśli B=90st. To sinB=1, dlatego wartość kąta granicznego wynosi:

$$\alpha_{\text{gr}} = \arcsin\left( \frac{n_{2}}{n_{1}} \right)$$

Dyspersja: zależność współczynnika załamania od częstotliwości dali świetlnej. Jednym ze skutków dyspersji jest to, że wiązki światła o różnych barwach (długościach fal), padające na granice ośrodków pod kątek innym od zera, załamują się pod różnymi kątami (pryzmat). Współczynnik załamania światła wynika z prędkości rozchodzenia się światła w ośrodku. W optyce za dyspersję uznaje się też zależność prędkości rozchodzenia się światła od innych czynników. Zależność współczynnika załamania światła od długości fali światła nazywana jest współczynnikiem dyspersji i jest parametrem określającym własności minerałów. Miarą dyspersji dla danej długości fali jest pochodna współczynnika załamania po długości fali lub po liczbie falowej:

$$\frac{\text{dn}\left( \lambda \right)}{\text{dλ}} = \frac{\text{dn}\left( k \right)}{\text{dk}}$$

Dyspersja normalna: współczynnik załamania w sposób ciągły zmniejsza się wraz ze wzrostem długości fali

Dyspersja anormalna: gdy materiał wykazuje selektywną absorpcję, wówczas dla pewnych zakresów długości fal, współczynnik załamania może rosnąć przy wzroście długości fali

1. Polaryzacja fal elektromagnetycznych: prawo Malusa, kąt Brewstera, dwójłomność kryształów, dwójłomność wymuszona, aktywność optyczna ciał.

Polaryzacja fal elektromagnetycznych: właściwość fali poprzecznej polegająca na zmianach kierunku oscylacji rozchodzącego się zaburzenia w określony sposób. W poprzecznej fali niespolaryzowanej oscylacje rozchodzącego się zaburzenia zachodzą z jednakową amplitudą we wszystkich kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. Fala niespolaryzowana może być traktowana jako złożenie bardzo wielu fal spolaryzowanych w różny sposób. Polaryzacja występuje tylko dla takich rodzajów fal i takich warunków, w których oscylacje mogą odbywać się w różnych kierunkach prostopadłych do kierunku rozchodzenia się fali. W innych przypadkach, rozważanie zjawiska polaryzacji nie ma sensu. W zależności od kierunku oscylacji zaburzenia, rozróżnia się wiele typów polaryzacji. W przypadku fali elektromagnetycznej, rozchodzą się oscylacje zarówno pola magnetycznego, jak i elektrycznego. Obecnie zwyczajowo przyjęto, że polaryzację fali elektromagnetycznej określa się dla jej składowej elektryczne (magnetyczna jest do niej prostopadła). W polaryzacji liniowej oscylacje odbywają się w jednej płaszczyźnie, która zawiera kierunek rozchodzenia się fali. W układzie współrzędnych XYZ, spolaryzowaną liniowo falę rozchodzącą się w kierunku osi OZ można przedstawić jako superpozycję dwóch fal spolaryzowanych liniowo w dowolnych ustalonych kierunkach (np. OX i OY). Fale składowe są w zgodnej fazie lub przeciwfazie, a stosunek ich amplitud określa kierunek polaryzacji fali wypadkowej w wyniku opisanej superpozycji.

Prawo Malusa: określa natężenie światła spolaryzowanego po przejściu przez polaryzator. Natężenie światła spolaryzowanego liniowo po przejściu przez idealny polaryzator optyczny jest równe iloczynowi natężenia światła padającego i kwadratu cosinusa kąta między płaszczyzną polaryzacji światła padającego a płaszczyzną polaryzacji światła po przejściu przez polaryzator:

I = I₀cos²θ

Gdy na idealny polaryzator pada światło niespolaryzowane, to wychodzące z niego światło spolaryzowane ma dwukrotnie mniejsze natężenia w porównaniu do światła padającego:

$$I = \frac{I_{0}}{2}$$

Kąt Brewstera: kąt padania światła na powierzchnię dielektryka, przy którym promień odbity jest całkowicie spolaryzowany liniowo. Gdy na granicę ośrodków przezroczystych pada światło niespolaryzowane pod takim kątem, że promień odbity i załamy tworzą kąt prosty, to światło odbite jest całkowicie spolaryzowane. Kierunek pola elektrycznego światła odbitego jest prostopadły do płaszczyzny padania. Polaryzacja ta w optyce zwana jest prostopadłą i oznaczana S. Promień załamany jest natomiast spolaryzowany częściowo.

Dwójłomność kryształów: zdolność ośrodków optycznych do podwójnego załamywania światła (rozdwojenia promienia świetlnego). Miarą dwójłomności jest różnica między współczynnikiem załamania promienia nadzwyczajnego n_e a współczynnikiem załamania promienia zwyczajnego n_o:

n = n_e − n_o

Zjawisko to wynika z faktu, że substancja jest anizotropowa, co oznacza, że współczynniki przenikalności elektrycznej i wynikająca z niego prędkość światła, a co za tym idzie współczynnik załamania światła, w krysztale zależy od kierunku drgań pola elektrycznego fali elektromagnetycznej (polaryzacji fali). W krysztale takim istnieje oś optyczna. Jest to kierunek, w którym biegnące światło nie rozdziela się na dwa promienie, ponieważ prędkość światła poruszającego się w tym kierunku nie zależy od kierunku polaryzacji. Kierunek tej osi nie zależy od kształtu kryształu. Istnieją kryształy jedno- i dwuosiowe. Wprowadza się pojęcie: płaszczyzna główna kryształu. Jest to płaszczyzna przechodząca przez dany promień światła i przecinającą go oś optyczną. Innymi słowy jest to płaszczyzna wyznaczona przez dwie proste. W krysztale jednoosiowym podczas załamania promień wchodzący do kryształu rozdziela się na dwa. Jeden z nich to promień zwyczajny (spełnia prawo Snella) i leży w płaszczyźnie padania. Kierunek drgań pola elektrycznego jest prostopadły do jego płaszczyzny głównej. Drugi promień to promień nadzwyczajny – nie spełniający prawa Snella.

Dwójłomność wymuszona: zjawisko dwójłomności wymuszonej występuje w niektórych materiałach przezroczystych poddanych obciążeniom. Materiały te w stanie wolnym od naprężeń i odkształceń są optycznie izotropowe. Pod obciążeniem zachowują się one, pod względem optycznym, jak zbiór elementarnych kryształów, których osie optyczne są zorientowane zgodnie z kierunkami naprężeń głównych. Promień świetlny po przejściu przez materiał dwójłomny rozdziela się na dwa rozchodzące z różnymi prędkościami promienie, których płaszczyzny drgań pokrywają się z kierunkami naprężeń głównym.

Aktywność optyczna ciał: substancje wykazujące aktywność optyczną, czyli skręcające płaszczyznę polaryzacji światła spolaryzowanego liniowo w prawo lub w lewo o pewien, charakterystyczny dla danej substancji kąt. Właściwość tę wykazują niektóre związki chemiczne w stanie gazowym, ciekłym i w roztworach, a także kryształy. Związki optycznie czynne występują w 2 odmianach: prawo- i lewoskrętnej, skręcających płaszczyznę polaryzacji odpowiednio w prawo lub w lewo o taki sam kąt. Aktywność optyczna cząsteczek jest wynikiem ich specyficznej budowy; wykazują ją m.in. niektóre związki organiczne – jej przyczyną jest często obecność jednego lub kilku asymetrycznych atomów węgla lub helikalna budowa cząsteczki. Większość związków pochodzenia biologicznego (białka, enzymy, aminokwasy) należy do substancji optycznie aktywnych.

1. Naturalna szerokość linii widmowej - czas życia stanów wzbudzonych. Stany metatrwałe.

Naturalna szerokość linii widmowej: decydujący wpływ na wzmocnienie ośrodka aktywnego lasera mają dwa zjawiska: absorpcja oraz emisja wymuszona. Proces absorpcji zachodzi w przypadku, gdy padające promieniowanie ma energię równą różnicy energii poziomu górnego i dolnego:

hv = E_g − E_d

Następuje wtedy przejście atomu do stanu o wyższej energii. W sytuacji gdy atom znajduje się w stanie wyższym Eg, padające promieniowanie o energii hv powoduje przejście atomu do poziomu niższego Ed. Przejściu temu towarzyszy emisja kwantu promieniowania – jest to proces emisji wymuszonej. Ważną cechą tego procesu jest to, że wyemitowany kwant promieniowania jest dokładnie taki sam jak kwant promieniowania wymuszający ten proces. Emisja zachodzi w skończonym czasie. Oznacza to, że emitowana fala nie jest ściśle monochromatyczna. Każdemu aktowi emisji towarzyszy wysłanie ciągu falowego, którego czas trwania jest zbliżony do czasów życia poziomów energetycznych. Obliczając widmo fourierowskie takiego ciągu falowego dochodzimy do wniosku, że ma ono pewną szerokość. Szerokość ta nazywana jest naturalną szerokością linii widmowej:

$$v_{n} = \frac{1}{2\pi}\left( \frac{1}{\tau_{g}} + \frac{1}{\tau_{d}} \right)$$

Gdzie t-czasy życia odpowiednio górnego i dolnego poziomu, Vn – połówkowa szerokość linii widmowej. Łatwo zauważyć, że szerokość naturalna linii widmowej będzie większa, gdy czasy życia poziomów energetycznych będą krótsze. Jest to najmniejsza szerokość linii widmowej.

Czas życia stanów wzbudzonych: mamy np. atomy par jodu w stanie podstawowym. Przepuszczamy przez nie wiązkę światła. Jeżeli w tej wiązce znajdują się fotony o energii równej różnicy poziomu wzbudzonego i podstawowego atomów jodu to część atomów zostanie wzbudzona w wyniku pochłonięcia takich fotonów E₀+hv=E₁. Średni czas życia atomu w stanie wzbudzonym nazywa się czasem życia tego stanu. Zazwyczaj czasy życia stanów wzbudzonych mieszczą się w granicach 10^-7 – 10^-9 sekundy. Po czym następuje wyświecenie zaabsorbowanej energii w postaci kwantu – jest to zjawisko emisji.

Stany metatrwałe – stan wzbudzony układu kwantowego, charakteryzujący się względnie małym prawdopodobieństwem powrotu do stanu podstawowego (tj. długim średnim czasem trwania wzbudzenia). Jest to możliwe tylko wtedy, gdy takie przejście jest wzbronione przez reguły wyboru. Warunkiem podstawowym jest to, aby foton pochłonięty przez molekułę pasował do odstępu poziomów energetycznych. Drugim warunkiem koniecznym jest występowanie trwałego dipolowego momentu elektrycznego. Trzecim warunkiem jest warunek wynikający z równania Schrödingera. Mów on, że molekuła może się przenieść tylko na poziom sąsiedni w jednym akcie absorpcji fotonu. Przejścia na bardziej odległe poziomy są wzbronione.

1. Doświadczenie Rutherforda - wpływ rezultatów tego doświadczenia na model budowy atomu.

Doświadczenie Rutherforda: składało się z serii testów, w których dodatnio naładowane cząstki alfa (jądra helu) bombardowały cienki arkusz złotej folii. Jeśli model atomu Thompsona (ciasto z rodzynkami) był prawidłowy, to duże cząstki alfa powinny przenikać przez folię bez większych zakłóceń. Tego można by oczekiwać, gdyż cząstki alfa są ciężkie, a ładunek wg Thompsona jest szeroko rozproszony. Mimo, że wiele cząstek alfa przeniknęło przez folię jak oczekiwano, tor wielu z nich był znacznie odchylony, a niektóre z nich nawet się odbiły i wróciły w kierunku źródła. Dane pokazały, że atom ma skoncentrowany środek z dodatnim ładunkiem i relatywnie dużą masą. Cząstki alfa musiały albo bezpośrednio zderzać się z naładowanym środkiem, albo przelatując w niewielkiej odległości od niego ulegać oddziaływaniom z dodatnim ładunkiem. Ponieważ duża liczba cząstek przeniknęła przez folię praktycznie bez zakłóceń, dodatni środek musiał być odpowiednio mały w porównaniu do wymiarów atomu – co oznaczało, że w jego wnętrzu panują pustki.

Model atomu Rutherforda: ładunek dodatni zgromadzony jest w niewielkim a przez to bardzo gęstym jądrze gromadzącym większość masy atomu, ujemnie naładowane elektrony okrążają jądro podobnie jak planety okrążają Słońce.

1. Widmo promieniowania rentgenowskiego; ogólna charakterystyka, promieniowanie charakterystyczne, promieniowanie hamowania.

Widmo promieniowania rentgenowskiego: podgrzana katoda jest źródłem elektronów, które następnie są przyspieszane napięciem przyspieszającym, osiągając duże energie. W bańce jest próżnia, by elektrony nie rozpraszały się na cząsteczkach powietrza. Rozpędzone elektrony padają na anodę i zostają w niej wyhamowane, a każdy ładunek, który ulega przyspieszeniu emituje fale elektromagnetyczne. W lampie rentgenowskiej atom wiązki padającej może wybić elektron z podpowłoki, czym spowoduje wysokie wzbudzenie atomu (ubył jeden z elektronów o bardzo dużej energii wiązania). Atom ostatecznie powróci do stanu podstawowego, emitując serię fotonów wysokoenergetycznych. W ten sposób powstaje charakterystyczne widmo rentgenowskie atomów anody. Całkowite widmo promieniowania emitowanego przez lampę rentgenowską składa się z widma liniowego, nałożonego na widmo ciągłe. Widmo ciągłe powstaje w wyniku procesów hamowania, gdy elektrony z wiązki doznają przyspieszeń i opóźnień w trakcie rozpraszania na jądrach atomów anody. Natomiast kształt widma charakterystycznego jest charakterystyczny dla atomów konkretnego pierwiastka anody.

Promieniowanie charakterystyczne: linie spektralne atomów charakterystyczne dla danego pierwiastka, powstające po wybiciu elektronu z dolnych powłok elektronowych, gdy następuje przejście elektronu z wyższych powłok na wolne. Zjawisko związane jest z tym, że po wybiciu elektronu z niskiej powłoki (K lub L) następuje wzbudzenie atomu (atom bez elektronu z powłoki K ma większą energię niż z), które po pewnym czasie zanika w wyniku kaskadowego przejścia elektronów na niższe powłoki.

Promieniowanie hamowania: promieniowanie elektromagnetyczne powstające podczas hamowania cząstki obdarzonej ładunkiem elektrycznym. Promieniowanie to jest jedną z dróg utraty energii przez poruszającą się naładowaną cząstkę.

Promieniowanie rentgenowskie: dwa mechanizmy są odpowiedzialne za emisję promieniowania elektromagnetycznego w lampie rentgenowskiej. Pierwszym jest emisja promieniowania hamowania. Promieniowanie to posiada ciągły rozkład energii fotonów, którego górna granica określona jest przez energię wyhamowywanych elektronów. Im wyższa energia elektronów, tym wyższa górna granica energii wyemitowanych fotonów. Pamiętając, że energia cząstek naładowanych w polu elektrycznym równa jest iloczynowi ładunku i różnicy potencjałów pomiędzy początkowym i końcowym punktem ruchu cząstki, widzimy, że maksymalna energia fotonów emitowanych przez lampę rentgenowską jest zależna od napięcia przyłożonego pomiędzy katodę i anodę lampy. Drugi mechanizm to emisja tzw. Promieniowania charakterystycznego o widmie dyskretnym. Mechanizm emisji tego promieniowania związany jest z procesami wzbudzenia i jonizacji atomów ośrodka (anody) przez uderzające w anodę elektrony.

1. Wzbudzanie i deekscytacja jader i atomowych powłok elektronowych (kwanty gamma i X, elektrony konwersji wewnętrznej i elektrony Augera; zjawisko Mössbauera).

Deekscytacja jąder atomowych: rozpady alfa, beta jak i aktywacji pod wpływem neutronów (np. reakcje n i gamma) bardzo często prowadzą do produktów (nuklidów) w stanie wzbudzonym. Wzbudzone jądro atomowe oddając energię przechodzi ze stanu wyższego do stanu podstawowego bezpośrednio lub przez stany pośrednie – proces ten nazywa się deekcytacją. Podczas deekscytacji następuje zmiana konfiguracji nukleonów odpowiedniej dla wyższej energii konfiguracji odpowiadającej niższej energii, liczba atomowa (Z) i masowa (A) zostają zachowane. Dla najbardziej prawdopodobne procesy deekcytacji jądra to emisja kwantu gamma i konwersja wewnętrzna.

Konwersja wewnętrzna: polega na przekazaniu energii z wzbudzonego jądra elektronowi z powłoki K, K, M, … Energia ta jest zużyta na oderwanie elektronu od atomu i nadanie mu prędkości (energia kinetyczna) oraz energię kinetyczną odrzutu jądra (zaniedbywalnie mała). Proces konwersji może konkurować z procesem emisji kwantów gamma, a jego wkład w deekscytację jądra atomowego rośnie ze wzrostem liczby atomowej Z, a maleje ze wzrostem energii przekazywanej w procesie deekscytacji. Ze względu na różne energie wiązania elektronu dla połok K>L>M… widmo elektronów konwersji wewnętrznej będzie składało się z linii odpowiadających powłokom.

Emisja kwantu gamma: musi spełniać zasadę zachowania pędu i zasadę zachowania energii. Zgodnie z zasadą zachowania pędu dla spoczywającego atomu po emisji kwantu gamma, pęd atomu i kwantu muszą być sobie równe:

$$P_{\text{atomu}} = P_{\text{kwantu}} = \frac{E_{\text{kwantu}}}{c}$$

Stany wzbudzone jądra są skwantowane, oznacza to, że energie kwantów gamma są ściśle określone, a ich widmo jest liniowe i umożliwia identyfikację nuklidu.

Elektrony Augera: elektron emitowany z zewnętrznej powłoki elektronowej zamiast kwantu promieniowania rentgena w wyniku przejścia atomu ze stanu wzbudzonego o dostatecznie dużej energii do stanu o niższej energii, tj. efektu Augera, czyli zjawisko emisji elektronów przez atom, zachodzące dzięki energii uwolnionej na skutek wypełniania lub w niskich powłokach elektronowych przez elektrony z wyższych powłok. Luki te mogą powstawać na skutek wychwytu elektronu z wewnętrznej powłoki przez jądro. Przyczyną pojawienia się na luk na niższych powłokach może być również wybicie elektronu przez inną cząstkę, kwant promieniowana rentgenowskiego lub gamma. Elektron Augera pochodzi z powłoki walencyjnej lub zbliżonej do niej. Jego energia jest ściśle określona i zależy tylko od energii powłok, między którymi przechodzi elektron opadający na niższą powłokę:

E_elektronu = E₁ − E₂ − E₃

Gdzie E1 – energia wiązania elektronu na poziomie 1 (początkowa), E2 – energia elektronu, który przechodzi na poziom 1, E3 – energia wiązania elektronu opuszczającego atom. Energia unoszona jest z atomu tylko w postaci energii kinetycznej elektronu. Nie jest to jednak jedyny możliwy proces. Procesem konkurencyjnym jest emisja charakterystycznego promieniowania gamma. Na skutek efektu Augera, elektron opuszcza atom, dochodzi zatem do jego jonizacji. W konsekwencji, w cząsteczce może dojść do zerwania wiązań chemicznych.

Efekt Mossbauera: zjawisko polegające na rezonansowej emisji promieniowania gamma przez jądra atomów ciała stałego. Emisja taka poprzedzona jest absorpcją promieniowania o takiej samej częstości i ma charakter bezodrzutowy. Bezodrzutowość emisji jest spowodowana przez związanie emitującego atomu w sieci krystalicznej. Promieniowanie gamma jest wytwarzane przy przejściach jąder atomowych z niestabilnego stanu o wyższej energii do stanu o niższej energii. Wydzielona energia, równa różnicy energii obydwu stanów, rozdziela się między energię emitowanego kwantu gamma i energię kinetyczną odrzutu emitującego atomu. Jeśli ta energia odrzutu jest bardzo mała w porównaniu z całkowitą wydzieloną energią, to wyemitowany foton gamma ma energię dokładnie odpowiadającą różnicy energii pomiędzy poziomami energetycznymi jądra i może być pochłonięty przez inne jądro tego samego rodzaju. Dodatkowa energia odrzutu jest także tracona podczas absorpcji, ponieważ absorbujące jądro przejmuje pęd pochłanianego fotonu. Aby więc zaszedł rezonans i pochłonięcie, ta energia odrzutu musi być odpowiednio mała, mniejsza niż szerokość połówkowa energii stanu wzbudzonego.

$$E_{R} = \frac{(\hslash k)^{2}}{2M}$$

Energia tracona na odrzut jest więc odwrotnie proporcjonalna do masy odrzucanego obiektu. Szerokość linii jest związana z czasem życia stanu wzbudzonego zasadą nieoznaczoności:

$$E\tau = \frac{\hslash}{2}$$

W ciele stałym jądra atomowe są związane z siecią krystaliczną i nie są odrzucane w ten sam sposób, jak atomy wolne. Energia odrzutu jest wydzielana jako energia drgań sieci krystalicznej, kwantowanych jako fotony. W szczególnym przypadku, jeżeli będ odrzutu jest niewielki, energia może być przejęta przez całą sieć krystaliczną, bez wzbudzania jej drgań.

1. Jądro atomowe, jego odkrycie, budowa, własności.

Jądro atomowe: konglomerat cząsteczek elementarnych będący centralną częścią atomu zbudowany z jednego lub więcej protonów i neutronów, zwanych nukleonami. Jądro stanowi niewielką część objętości całego atomu, jednak to w jądrze skupiona jest prawie cała masa. Przemiany jądrowe mogą prowadzić do wyzwolenia ogromnych ilości energii. Jądra oznacza się takim samym symbolem, jak pierwiastek chemiczny, odpowiadający temu jądru. Dodatkowo, przed symbolem w indeksie górnym podaje się liczbę masową (A), a w indeksie dolnym można podać liczbę atomową (Z). Przykładowo jądro o 11 protonach i 13 neutronach: ²⁴₁₁Na.

Odkrycie jądra: istnienie jądra atomowego zostało pierwszy raz eksperymentalnie stwierdzone przez Rutherforda w 1911 roku. Rutherford bombardował złotą folię dodatnio naładowanymi cząstkami alfa. Badając rozkład kątowy promieniowania rozproszonego na folii doszedł do wniosku, że cały dodatni ładunek i masa atomu skupione są w bardzo niewielkiej objętości nazwanej później jądrem atomowym.

Modele budowy jądra: bada się je analizując samorzutne rozpadu lub rozpraszając na jądrach cząstki na podstawie charakterystyki rozpraszania. Większość jąder ma kształt zbliżony do kuli, a niektóre są owalne. Gęstość obszarów wewnątrz jąder jest jednakowa i szybko spada do zera w odległości od środka, którą określamy jako promień jądra. Jądra mają rozmiary rzędu 10^-14 – 10-¹⁵ metra, co stanowi około jedną stutysięczną rozmiaru atomu. Jednak to w jądrze skupione jest ponad 99,9% masy atomu. Istnieje prosta zależność pozwalająca oszacować rozmiary jąder atomowych z wyjątkiem kilku najlżejszych pierwiastków:

$$R = \left( 1,2*10^{- 15}m \right)A^{\frac{1}{3}}$$

Gdzie A – liczba masowa, R – promień jądra, m – metr. Jednym z pierwszych modeli budowy jądra był model kroplowy. Zakłada on, że nukleony w jądrze zachowują się jak cząsteczki w cieczy i w związku z tym własności jądra jako całości powinny być podobne do własności kropli cieczy. Mikroskopowe oddziaływania, oddziaływanie silne jądrowe oraz siły elektrostatyczne są w tym modelu przedstawiane przez analogię do sił lepkości i napięcia powierzchniowego. Najważniejszym założeniem modelu jest to, że jądra są kuliste. Przez analogię do kropli cieczy, w tym modelu energię wiązania jąder atomowych oblicza się z uwzględnieniem poprawki na wysycanie się sił jądrowych wraz z sześcianem odległości. Powłokowy model jądra atomowego powstał na zasadzie analogii do powłokowego modelu atomu i zgodnie z obserwacjami poziomów wzbudzenia jąder atomowych, zakłada że nukleony wewnątrz jądra nie mogą przyjmować dowolnych stanów energetycznych, lecz tylko te zgodne z energiami kolejnych powłok. Każdą powłokę może zajmować określona liczba nukleonów. Kiedy zostanie ona wypełniona, energia wiązania dla pierwszego nukleonu na kolejnej powłoce jest wyraźnie mniejsza. Model zakłada, że nukleony poruszają się w jądrze prawie niezależnie, a oddziaływanie nukleonu z pozostałymi nukleonami można zastąpić oddziaływaniem tego nukleonu ze średnim polem działającym na niego. Ciekawą cechą modelu jest istnienie oddzielnych powłok dla neutronów i protonów. Jeżeli jednocześnie zarówno liczbie magicznej, to jądro jest podwójnie magiczne i cechuje je wyjątkowa trwałość (np. Hel). Modele kolektywne zakładają, że nie wszystkie zjawiska jądrowe można wytłumaczyć jako oddziaływanie nukleonów. Według tych modeli, nukleony łącząc się w grupy tworzą nowe cząsteczki wewnątrz jądra. Jednym z tego rodzaju modeli jest koncepcja bozonów. Neutrony mają łączyć się z protonami jako jeden bozon z całkowitym spinem 0,2 lub .

Własności jądra: są determinowane poprzez liczbę znajdujących się w nim nukleonów. Liczba protonów określa ładunek elektryczny jądra. Wielkość tego ładunku wyznacza możliwe konfiguracje elektronów otaczających jądro, z możliwych konfiguracji elektronów wynikają możliwości łączenia się atomów ze sobą, a tym samym ich własności chemiczne. Liczba protonów w jądrze decyduje o tym, jakiego pierwiastka chemicznego jest ten atom. Między dodatnio naładowanymi protonami występuje oddychanie elektryczne, które efekty są równoważone przez oddziaływanie silne między nukleonami. Tylko niektóre jądra atomowe są nietrwałe. Decydują o tym oddziaływania między tworzącymi je nukleonami. Trwałość jądra można przewidzieć na podstawie energii wiązania, którą da się wyznaczyć doświadczalnie porównując masę jądra z masą składników hipotetycznego rozpadu (niedoboru masy). Dzięki temu można określić energię, która wydzieliłaby się podczas oderwania od jądra określonej cząstki (protony, neutronu…)Dla średnich i ciężkich jąder energia wiązania jest wprost proporcjonalna do liczby nukleonów. Jądra z parzystą liczbą neutronów i protonów cechują się największą trwałością. Jądra atomowe podlegają przemianom zwanym reakcjami lub przemianami jądrowymi. Przemiany mogą być samorzutne albo są inicjowane przez dostarczenie energii do jądra.

1. Modele jądra atomowego – kroplowy, powłokowy.

Model kroplowy: opis jądra atomowego wychodzący z punktu widzenia fizyki klasycznej i operujący analogią jądra atomowego zbudowanego z nukleonów do kropli nieściśliwej cieczy zbudowanej z cząsteczek. Z założeń tych wynika stała gęstość materii jądrowej. Przyjmując założenia modelu oraz dane doświadczalne określono, że nukleon jest kulką o promieniu rzędu 1 fm. Promień jądra atomowego może być określony przybliżoną zależnością:

$$R = \left( 1,2*10^{- 15}m \right)A^{\frac{1}{3}}$$

Na założeniach modelu opracowano kilka wzorów opisujących zależność energii wiązania od liczby protonów i neutronów w jądrze atomowym. Podobnie jak własności kropli wynikające z oddziaływania cząsteczek, można wyrazić poprzez energię kropli wynikającą z jej makroskopowych parametrów takich jak gęstość i napięcie powierzchniowe. Energia wiązania jądra atomowego też powinna zależeć od wielkości jądra, jego powierzchni i jeszcze innych parametrów takich jak gęstość i rozkład ładunku elektrycznego. Model ten jest przydatny przy rozpatrywaniu rozszczepienia jądra atomowego oraz rozpadu dużych jąder.

Model powłokowy: jeden z modeli budowy jądra atomowego w fizyce jądrowej. Model utworzony na wzór modelu powłokowego układu elektronów w atomie. Model ten rozpatruje nukleony jądra jako niezależnie poruszające się cząstki w polu jądra utworzonym przez pozostałe nukleony. Pole to nazywane jest potencjałem jądrowym i jest interpretowane jako uśrednienie oddziaływań międzynukleonowych. Wnioskiem z modelu jest stwierdzenie, że jądra atomowe posiadające wypełnione powłoki, powinny mieć większą energię wiązań od innych, czyli są stabilniejsze niż jądra sąsiednie. Liczby protonów i neutronów, dla których wypełnione są powłok, nazwana liczbami magicznymi. Z modelu wynika też, że jądra atomowe o liczbie protonów około 126 powinny mieć znacznie dłuższy czas życia niż jądra sąsiednie. Obszar ten nazwano wyspą stabilności.

1. Spontaniczne przemiany jądrowe – rodzaje, teoria.

Przemiany jądrowe: rozumiemy jako przekształcenie się danego jądra atomowego w inne jądro w połączeniu z emisją cząstki alfa(jądra helu), beta(elektronu lub pozytonu) lub gamma(fotonu). Nazwa przemiany określona jest przez nazwę emitowanej cząstki. Za przemianę beta uważa się także wychwyt elektronu z powłoki atomowej. Kiedy emitowana jest cząstka alfa to przekształcane jądro ma liczbę masową mniejszą o 4 i liczbę atomową mniejszą o 2:

$$_{Z}^{A}{X \rightarrow_{Z - 2}^{A - 4}{X +_{2}^{4}\text{He}}}$$

W przemianie beta liczba masowa się nie zmienia, a liczba atomowa zmienia się o jeden:

$${_{Z}^{A}X \rightarrow_{Z + 1}^{A}Y + e^{-} + v_{e}\backslash n}{_{Z}^{A}X \rightarrow_{Z - 1}^{A}Y + e^{+} + v_{e}\backslash n}{_{Z}^{A}X + e^{-} \rightarrow_{Z - 1}^{A}Y + v_{e}}$$

W przemianie gamma obie liczby pozostają niezmienione, zmienia się natomiast energia wzbudzenia jądra:

$${_{z}^{A}X^{*} \rightarrow_{Z}^{A}X + \gamma\backslash n}{_{Z}^{A}X^{*} + e^{-} \rightarrow_{Z}^{A}X + e^{-}}$$

Przemiany zachodzące samorzutnie nazywamy naturalnymi przemianami jądrowymi, a izotopy pierwiastków ulegających przemianom naturalnym nazywamy promieniotwórczymi. Przemiana promieniotwórcza, zwana także rozpadem promieniotwórczym jest procesem statystycznym. Oznacza to, że nie można przewidzieć, w której chwili dane jądro ulegnie rozpadowi, można natomiast określić prawdopodobieństwo tego rozpadu. Rozpady poszczególnych jąder następują niezależnie od siebie. Liczba jąder, które ulegną rozpadowi w krótkim przedziale czasu proporcjonalna jest do liczby jąder N i do długości przedziału czasu dt:

dN = −λ * N * dt

Gdzie λ – współczynnik proporcjonalności zwanym stałą rozpadu. Znak minus oznacza, że liczba jąder ulegających rozpadowi dN, odejmuje się od liczby jąder N. Liczba jąder, które nie rozpadły się w czasie t wynosi więc:

N(t) = N₀ * e^−λt

1. Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią.

Oddziaływanie promieniowania jądrowego z materią: promieniowanie alfa jest zatrzymywane przez naskórek ręki (podobnie jak wiązka protonów). Promieniowanie beta zostaje pochłonięte przez płytkę aluminiową. Do osłabienia natężenia promieniowania gamma potrzebna jest płyta z ołowiu. Do spowolnienia neutronów potrzeba grubej warstwy betonu. Gdy mówimy o zatrzymywaniu czy pochłanianiu promieniowania jonizującego przez materię, to musimy pamiętać, że nie jest to proces nagły. Zależność natężenia wiązki I od grubości d warstwy materii najczęściej ma charakter wykładniczy. Można przy tym wprowadzić pojęcie „grubości połowicznego zaniku”. Każdy materiał charakteryzuje się inną wartością d_1/2. Przyczyną jest fakt, że każdy rodzaj promieniowania w inny sposób oddziałuje z materią. Promieniowanie alfa, beta i gamma mogą powodować jonizację cząsteczek (odrywanie elektronów od macierzystych atomów) lub ich wzbudzanie. Skutki procesów jonizacji i wzbudzania w materii nieorganicznej na ogół nie są istotne. Inaczej jest w przypadku materii organicznej – może dojść do istotnych zmian składu chemicznego komórek, co prowadzi na ogół do ich śmierci. Przejściu promieniowania jądrowego przez materię mogą towarzyszyć różnego rodzaju skutki wtórne. Neutrony mogą wnikać do jąder atomowych, wywołując reakcje jądrowe. Produkty tych reakcji (np. fotony gamma czy protony) rozchodzą się w materii powodując jonizację. Podobnie, cząsteczki promieniowania beta plus, czyli pozytony oddziałują z elektronami materii – w tzw. Procesie anihilacji e⁺ i e^- produkowane są fotony gamma. Może też zajść proces odwrotny: foton (o energii rzędu 1MeV i więcej) może w zderzeniu z jądrem atomowym wyprodukować parę elektron – pozyton. W wszystkich takich procesach powstają jednak znane nam cząsteczki promieniowania jądrowego – nie powstają żadne inne, nowe obiekty, które oddziaływałyby z materią inaczej, niż zostało tu opisane.

1. Rozszczepienie jąder atomowych, energetyka jądrowa.

Rozszczepienie jądra atomowego: przemiana jądrowa polegająca na rozpadzie jądra na dwa (rzadziej na więcej) fragmenty o zbliżonych masach. Zjawisku towarzyszy emisja neutronów, a także kwantów gamma, które unoszą znaczne ilości energii (kilka MeV na rozpad). Ponieważ jądra ulegające rozszczepieniu zwykle są jądrami ciężkimi, które posiadają więcej neutronów niż protonów, obydwa fragmenty powstałe w rozszczepieniu są jądrami neutro-nadmiarowymi. Nadmiar neutronów jest z nich emitowany podczas aktu rozszczepienia (neutrony natychmiastowe) lub z pewnym opóźnieniem (neutrony opóźnione). Jądra atomowe ulegają rozszczepieniu zarówno w sposób samoistny jak i wymuszony. W tym drugim przypadku rozszczepiają się w wyniku zderzenia z neutronami, protonami, kwantami gamma lub innymi cząstkami. Największe praktyczne znaczenie ma rozszczepienie wymuszone wywołane zderzeniami z neutronami. Zazwyczaj rozszczepienie jądra atomowego nie jest jedyną możliwością rozpadu po wchłonięciu przez ciężkie jądro neutronu. Konkurują z nim inne dozwolone energetyczne procesu jądrowe, takie jak emisja kwantów gamma, emisja neutronu i inne. Przekrój czynny na rozszczepienie (prawdopodobieństwo zajścia zjawiska) w wyniku bombardowania neutronami zależy od energii neutronów oraz rodzaju jądra atomowego. Wraz ze wzrostem energii neutronów, zwykle następuje spadek przekroju czynnego na rozszczepienie. Dlatego np. jądra ²³³U, ²³⁵U i ²³⁹Pu najłatwiej ulegają rozszczepieniu dla powolnych neutronów termicznych. Dla jąder tych ciężkich pierwiastków, reakcja jest egzoenergetyczna.

$$_{92}^{235}U +_{0}^{1}n \rightarrow_{36}^{93}\text{Kr} +_{56}^{140}\text{Ba} + 3_{0}^{1}n$$

Rozkładom towarzyszy też emisja fotonów gamma. Wiele innych jąder (np. ²³²Th, ²³⁸U) rozszczepia się, gdy energia neutronów jest większa od energii progowej (reakcja jest endoenergetyczna).

Energetyka jądrowa: Energetyka jądrowa opiera się na słynnym wzorze Einsteina. Samorzutne rozszczepienia się jądra jest rzadkie. Niektóre jądra można jednak pobudzić do rozszczepienia, bombardując je wiązką odpowiednich cząstek. Szczególnie dobrze do tego celu nadają się neutrony, gdyż jako cząstki pozbawione ładunku nie są odpychane przez protony jądra atomowego i łatwo wnikają do jego wnętrza. Na szczęście, fragmenty rozszczepienia same emitują nowe neutrony. Mogą one wniknąć do kolejnych jąder i wywołać ich rozszczepienie. W ten sposób reakcja podtrzymuje się sama i nie wygasa mimo braku neutronów z zewnątrz. Zjawisko to nazywamy łańcuchową reakcją rozszczepienia. Energia wydzielona w reakcji rozszczepienia nie dociera jednak do nas od razu jako energia elektryczna. W pierwszej kolejności różnica między energią spoczynkową jądra wyjściowego, a sumą energii spoczynkowych fragmentów rozszczepienia zmienia się w energię kinetyczną tychże fragmentów. Poruszając się z dużymi prędkościami, jądra fragmentów uderzają w inne atomy i wprawiają je w drgania cieplne. Głównym efektem pracy reaktora jest więc wydzielanie dużych ilości ciepła.

1. Funkcja Lagrange’a i równania Lagrange’a na przykładzie oscylatora harmonicznego. Rozwiązania równania Lagrange’a

Lagranżjan jednowymiarowego oscylatora harmonicznego ma postać:

$${L\left( \dot{x},x \right) = \frac{m}{2}{\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} = E_{k} - E_{p}\backslash n}{\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{x}} \right) - \frac{\partial L}{\partial x} = 0}$$

1. Stopnie swobody, uogólnione położenia i prędkości na przykładzie swobodnego ruchu punktu materialnego po powierzchni kuli – równania Lagrange’a.

Równanie więzów:

x² + y² + z² − [r(t)]² = 0

Liczba stopni swobody:

3n − k = s

Gdzie n- liczba punktów materialnych, k – liczba równań więzów. Dogodnymi współrzędnymi dla tego przypadku są kąty ϑ i φ, przynależne do współrzędnych sferycznych.

Lagranżjan:

$${L = \frac{mr^{2}}{2}\lbrack\dot{{\dot{\vartheta}}^{2} + \left( \Phi)^{2}\sin^{2}\vartheta \right\rbrack}\backslash n}{\frac{d}{\text{dt}}\left( \frac{\partial L}{\partial\dot{\vartheta}} \right) - \frac{\partial L}{\partial\vartheta} = 0}$$

1. Funkcja Hamiltona i równania Hamiltona na przykładzie oscylatora Harmonicznego. Rozwiązania równań Hamiltona.

$${L\left( \dot{x},x \right) = \frac{m}{2}{\dot{x}}^{2} - \frac{1}{2}m\omega^{2}x^{2} = E_{k} - E_{p}\backslash n}{p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}}}$$

$${H = \sum_{}^{}{p\dot{q}} - L\backslash n}{\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q}\text{\ \ \ \ \ }\frac{\partial H}{\partial q} = - \dot{p}\backslash n}$$

1. Położenia i pędy uogólnione na przykładzie wahadła matematycznego – równania Hamiltona; przybliżenie małych drgań.

$$L = \frac{ml^{2}{\dot{\Phi}}^{2}}{2} + mglcos\Phi$$

$$p = \frac{\partial L}{\partial\dot{q}} = ml^{2}\dot{\varphi}$$

$${H = \sum_{}^{}{p\dot{q}} - L\backslash n}{\frac{\partial H}{\partial p} = \dot{q}\text{\ \ \ \ \ }\frac{\partial H}{\partial q} = - \dot{p}\backslash n}$$

1. Pojęcie ładunku próbnego i siła Lorentza – ruch ładunku próbnego w stałym polu elektrycznym i magnetycznym.

Siła Lorentza:

F = qv × B

Indukcja:

$$B = \frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$$

Siła Lorentza:

$$F = qv\frac{\mu_{0}I}{2\pi r}$$

1. Prawo Gaussa dla pola elektrycznego i magnetycznego (postać całkowa i różniczkowa). Prawo Coulomba jako konsekwencja prawa Gaussa.

Dla elektryczności:

$$\oint_{A}^{}{E*dA} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}$$

$$\nabla*E = \frac{\rho}{\varepsilon_{0}}$$

Dla magnetyzmu:

∮_SB * dS = 0 ∖ n∮_V∇ * BdV = 0

Prawo Coulomba z prawa Gaussa:

$${\oint_{}^{}{E*dA = E\oint_{}^{}{dA = E4\pi r^{2}} = \frac{Q}{\varepsilon_{0}}}\backslash n}{E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\backslash n}{E = \frac{Q}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}\backslash n}{F = qE = \frac{\text{Qq}}{4\pi\varepsilon_{0}r^{2}}\hat{r}}$$

1. Prawo Faradaya (postać całkowa i różniczkowa); wzbudzanie siły elektromotorycznej w obwodach elektrycznych.

Wyprowadzenie:

$${E = \frac{W}{q}\backslash n}{q = I*t\backslash n}{W = I*l*B*d\backslash n}{E = - \frac{\text{IlBd}}{I*t}\backslash n}{E = - \frac{SB}{t}\backslash n}{E = - \frac{\Phi}{t}}$$

Postać różniczkowa:

$$\nabla \times E = - \frac{\partial B}{\partial t}$$

1. Prawo Ampere’a – Maxwella (postać całkowa i różniczkowa); proces ładowania kondensatora płaskiego prądem o stałym natężeniu.

Wersja całkowa:

$$\oint_{C}^{}{H*dl = \int_{S}^{}{J*dA + \frac{\partial}{\partial t}}\int_{S}^{}{D*dA}}$$

Wersja różniczkowa:

$$\nabla \times H = J + \frac{\partial D}{\partial t}$$

1. Zasada zachowania ładunku jako konsekwencja równań Maxwella.

Zasada zachowania ładunku:

$$\nabla*j = - \frac{\partial\rho}{\partial t}$$

Równanie Ampere’a obłożone dywergencją:

$${\nabla*\left( \nabla \times B \right) = \mu\nabla*j + \mu\varepsilon\nabla\frac{\partial E}{\partial t}\backslash n}{0 = \mu\nabla*j + \mu\varepsilon\frac{\partial}{\partial t}\left( \nabla*E \right)\backslash n}{\nabla*E = \frac{\rho}{\varepsilon}\backslash n}{0 = \nabla*j + \varepsilon\frac{\partial\frac{\rho}{\varepsilon}}{\partial t} = \nabla*j + \frac{\partial\rho}{\partial t}}$$

1. Płaskie fale elektromagnetyczne jako rozwiązania równań Maxwella w próżni.

Równanie falowe pola elektrycznego:

$$E = \epsilon\mu\frac{\partial^{2}E}{\partial t^{2}}$$

Równanie falowe pola magnetycznego:

$$B = \epsilon\mu\frac{\partial^{2}B}{\partial t^{2}}$$

$$\epsilon\mu = \frac{1}{v^{2}}$$

Fala elektromagnetyczna:

E(z,t) = E₀e^{i(kz − ωt)}

B(z,t) = B₀e^{i(kx − ωt)}

1. Przykłady eksperymentów, które prowadziły do powstania teorii kwantowej; porównanie uzyskanych w nich wyników z zachowaniami wynikającymi z fizyki „klasycznej”.

Doświadczenie z dwoma szczelinami: jeśli otwarta jest tylko szczelina A, elektrony rozpraszają się na niej, maksimum uderzeń jest za nią. Jeżeli otwarta jest tylko szczelina B, efekt jest podobny, tylko przesunięty. Jeżeli otwarte są obie szczeliny, powstają za nimi pasma interferencyjne.

Doświadczenie Sterna-Gerlacha: zasada nieoznaczoności: wiązka elektronów jest rozszczepiana w polu magnetycznym na elektrony o momencie (i spinie) zgodnym z polem urządzenia. Stawiamy takie trzy urządzenia w ciągu. W fizyce klasycznej mamy: połowa kul jest czarna, połowa biała. Połowa jest ciężka, połowa lekka. Wybieramy czarne – mamy ½. Wybieramy ciężkie – mamy ¼. Znowu wybieramy czarne – mamy dalej ¼. Z elektronami otrzymamy 1/8.

1. Zasada nieoznaczoności w fizyce kwantowej: pęd–położenie, kąt–moment pędu, energia– czas; kiedy należy oczekiwać, że wystąpi zasada nieoznaczoności dla danej pary wielkości fizycznych mierzonych w eksperymencie.

$${\hat{K}\text{\ i\ }\hat{F}\backslash n}{\left\lbrack K,\ F \right\rbrack = iM\backslash n}{< K \geq \int_{}^{}{\varphi*K\varphi\ d\tau\ }\ \ \ < F \geq \int_{}^{}{\varphi*F\varphi\ d\tau}\backslash n}{I\left( \alpha \right) = \int_{}^{}{|(\alpha K - iF)\varphi|^{2}\text{dτ}} \geq 0\backslash n}{< (F)^{2} \geq \int_{}^{}{|(F)\varphi|^{2}\text{dτ}} = \int_{}^{}{\varphi*\left( F \right)\left( F \right)\text{φdτ}}}$$

1. Efekt tunelowy: wyznaczanie stacjonarnego rozwiązania równania Schrödingera odpowiadającego ruchowi cząstki w obecności prostokątnej bariery potencjału, której energia kinetyczna jest mniejsza od potencjału bariery; przykład zjawiska fizycznego, które można wyjaśnić efektem tunelowym.

Region 1, x<0, V=0:

$$\frac{d^{2}\varphi_{1}}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hslash^{2}}E\varphi_{1} = 0$$

Region 2, 0<x<L, V-v0

$$\frac{d^{2}\varphi_{2}}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hslash^{2}}(E - V_{0})\varphi_{2} = 0$$

Region 3, x>L

$$\frac{d^{2}\varphi_{3}}{dx^{2}} + \frac{2m}{\hslash^{2}}E\varphi_{3} = 0$$

Solutions:

φ_i = A_ie^ik_ix

1. Równanie Schrödingera dla cząstki kwantowej: omów zachowanie się swobodnej cząstki kwantowej.

Równanie Schrödingera:

$$\hat{H}\varphi\left( r,t \right) = i\hslash\frac{\partial}{\partial t}\varphi\left( r,t \right)$$

Cząstka o masie m w polu potencjalnym:

$${H = T + V\ \backslash n}{T = - \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2}\backslash n}{H = - \frac{\hslash^{2}}{2m}\nabla^{2} + V\left( r,t \right)}$$

W przypadku gdy Hamiltonian nie zależy od czasu:

$${H = - \frac{\hslash^{2}}{2m} + V\left( r \right)\backslash n}{\left\lbrack - \frac{\hslash^{2}}{2m} + V\left( r \right) \right\rbrack\varphi\left( r \right) = E\varphi(r)}$$

Cząstka o masie m i ładunku q w polu elektromagnetycznym:

$$\lbrack\frac{1}{2m}\left( - i\hslash\nabla - qA)^{2} + q\sigma \right\rbrack\varphi\left( r \right) = E\varphi(r)$$

1. Funkcje falowe układów cząstek kwantowych i równanie Schrödingera: czym charakteryzują się bozony i fermiony; podaj przykłady cząstek fizycznych będących bozonami albo fermionami.

Niech amplituda prawdopodobieństwa zdarzenia polegającego na zarejestrowaniu cząstki „a” w detektorze 1 i cząstki „b” w detektorze 2 wynosi:

<1, 2|a, b > =f(θ)

Prawdopodobieństwo podwójne:

|f(θ)|² ∖ n

|f(π − θ)|²

Jeśli detektory nie są w stanie rozróżnić cząstek (choć są to różne cząstki) to prawdopodobieństwo zarejestrowania obu cząstek w wyniku rozproszenia wyniesie:

P(θ) = |f(θ)|² + |f(π − θ)|²

Czyli będzie sumą prawdopodobieństw.

Dla cząstek nierozróżnialnych (identycznych), zdarzenie może zajść na dwa sposoby, więc amplituda całkowita <1,2|a,b>+<1,2|b,a>. Wiemy, że:

<1.2|a, b > =f(θ)

A także że:

|<1,2|b, a > |² = |f(π − θ)|²

Czyli:

<1.2|b, a > =e^iα * f(π − θ)

Dla podwójnej wymiany:

f(θ) = <1, 2|a, b > =e^iα * e^iα * f(π − (π−θ))

A zatem musi być exp(i*alfa)=+/-1. A więc:

<1, 2|b, a > = ± f(π−θ)

Amplituda całkowita:

<1, 2|a,b>+<1,2|b, a > =f(θ)±f(π − θ)

A prawdopodobieństwo:

P(θ) = |f(θ)±f(π − θ)|²

Dla

$${\theta = \frac{\pi}{2}\backslash n}{P\left( \frac{\pi}{2} \right) = 4|f\left( \frac{\pi}{2} \right)|^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }e^{\text{iα}} = 1\backslash n}{P\left( \frac{\pi}{2} \right) = 0\ \ \ \ \ \ e^{\text{iα}} = - 1}$$

Czyli zliczeń będzie albo dwa razy więcej (bozony) albo zero (fermiony).

Funkcja falowa to amplituda znalezienia cząstki w danym punkcie. Uwzględniając wymianę:

ψ(r₁, r₂) = <r₁, r₂|ψ>=<r₁|ψ_n > * < r₂|ψ_k>−<r₂|ψ_n > <r₁|ψ_k>

Równanie Schrödingera przyjmie postać:

(H₁+H₂)ψ = Eψ

Po rozseparowaniu:

H₁ψ_n(r₁) = E₁ψ_n(r₁)

H₂ψ_k(r₂) = E₂ψ_k(r₂)

1. Sposób opisu stanu układu cząstek w termodynamice; zasady termodynamiki: pierwsza i druga.

Zmienne opisujące stan układu nazywamy parametrami stanu. Dla gazu idealnego w charakterze parametrów stanu wybierzemy zwykle łatwe do zmierzenia ciśnienie, objętość i temperaturę. W termodynamice bardzo ważną rolę spełniają funkcje stanu, czyli dowolne funkcje, których zmiennymi są parametry stanu. Funkcja stanu wiążąca wszystkie parametry stanu, za pomocą których układ jest opisany nosi nazwę równania stanu.

Średnia siła:

$$F = N\frac{mv_{x}^{2}}{L}$$

Średnie ciśnienie:

$$p = N\frac{mv_{x}^{2}}{V}$$

Równanie stanu gazu doskonałego:

pV = nRT

I zasada termodynamiki:

dU = dQ + dW

Suma pobranego przez układ ciepła i wykonanej nad układem pracy równa jest przyrostowi energii wewnętrznej.

II zasada dynamiki: Skonstruowanie perpetuum mobile drugiego rodzaje, czyli silnika, który pobierałby ciepło z zewnątrz i całkowicie przekształcałby je w pracę, jest niemożliwe.

$$dS = \frac{\text{dQ}}{T}$$

Entropia układu izolowanego nie może maleć.

1. Rozkład kanoniczny układu cząstek klasycznych – jakiej sytuacji fizycznej odpowiada i jaki jest jego związek z makroskopowymi wielkościami opisującymi stan układu.

Mamy stosunkowo mały układ A kontaktujący się termicznie z dużo większym układem A’ – zbiornikiem ciepła i badamy, jak one się zachowują. Z makroskopowego punktu widzenia wyrównają się temperatury. Prawdopodobieństwo, że układ ten znajdzie się w określonym stanie o energii E_i jest dane rozkładem kanonicznym:

$$P\left( E_{i} \right) = \frac{e^{- \frac{E_{i}}{\text{kT}}}}{Z}$$

Gdzie Z – suma statystyczna:

$$Z = \sum_{i = 1}^{N}e^{- \frac{E_{i}}{\text{kT}}}$$

Gdzie N – liczba możliwych stanów układu. Kanoniczna suma statystyczna jest powiązana z energią swobodną Helmholtza zależnością:

F = −kTln(Z)

1. Jaka jest różnica między arytmetyką komputerową a arytmetyką liczb całkowitych i rzeczywistych?

Ciąg bitów reprezentuje liczbę w zapisie stałopozycyjnym. Arytmetyka jest n-bitowa, czyli połowa zakresu jest przeznaczona na liczby dodatnie, połowa na ujemne. N=32 -> 2¹⁶*2¹⁶=-(2¹⁶)

Liczba zmiennoprzecinkowa: S*M*10^E_.

1. Jaka jest różnica między interpolacją a aproksymacją? Podaj przykłady zastosowań interpolacji i aproksymacji.

Interpolacja: wyliczenie wartości funkcji pomiędzy węzłami. Interpolacja odcinkami liniowa, interpolacja wielomianowa, wzór interpolacyjny Lagrange’a, interpolacja Hermitte’a, interpolacja za pomocą funkcji sklejanych.

Aproksymacja: dopasowanie funkcji ciągłej do danych dyskretnych. Regresja liniowa.

1. Na czym polega eliminacja Gaussa?

Eliminacja Gaussa: algorytm rozwiązywania układów równań liniowych, obliczania rzędów macierzy, obliczania macierzy odwrotnej oraz obliczania wartości wyznacznika.

Rząd macierzy: doprowadza się do macierzy schodkowej – każdy niezerowy wiersz jest liniowo niezależny – rząd macierzy.

Rozwiązywanie układów równań liniowych: operacje wyłącznie na wierszach do macierzy schodkowej, poprzez macierz rozszerzoną (rozwiązaniami)

Macierz odwrotna: wyłącznie na wierszach, operacje równolegle na macierzy i macierzy jednostkowej. To, co zostanie z macierzy jednostkowej jest macierzą odwrotną.

1. Na czym polega metoda stycznych Newtona?

$${\sqrt{a} = x\backslash n}{a = x^{2}\backslash n}{x^{2} - a = 0\backslash n}{f\left( x \right) = x^{2} - a\backslash n}{f^{'}\left( x \right) = 2x\backslash n}{x_{k + 1} = \frac{1}{2}(x_{k} + \frac{a}{x_{k}})}$$

1. Jakie są zasadnicze powody trudności w różniczkowaniu numerycznym?

Pochodna funkcji f(x) zdefiniowana jest jako granica ilorazu różnicowego przy h->0. Przejście graniczne jest niemożliwe do zrealizowania na komputerze, trzeba więc przybliżyć pochodną za pomocą bardzo małego h. Nie da się na komputerze przedstawić dowolnie małej liczby. Jeśli h będzie zbyt małe w porównaniu z x, to w argumencie (x+h) może dojść do zaniedbania składnika. Po trzecie, dla małych h, wartości f(x+h) i f(x) mogą tak nieznacznie się różnić, że przy odejmowaniu dojdzie do utraty cyfr znaczących. Przy różniczkowaniu otrzymujemy błąd odcięcia O(h), który maleje liniowo z h.

1. Co to jest rekurencja? Wymień zalety i wady rekurencji.

Rekurencja: odwoływanie się funkcji lub definicji do samej siebie.

Zalety: zwiększa czytelność kodu, upraszcza kodowanie, łatwe w implementacji struktur danych

Wady: zwiększa pamięciowe zapotrzebowanie programu, kompletnie niezależne rozwiązywanie podproblemów, niewłaściwie zdefiniowany warunek końcowy skutkuje wywoływaniem się funkcji w nieskończoność.

1. Napisz funkcję (podprogram) na jeden z poniższych tematów:

• potęga lub silnia,

• największy wspólny dzielnik,

• obliczenie sumy elementów tablicy,

• odwrócenie kolejności elementów tablicy,

• obliczenie wartości wielomianu o współczynnikach zapisanych w tablicy.

1. double Potega (double podstawa, int wykładnik)

{

double wynik=1;

Int wykładnik_abs = wykladnik;

If (wykładnik<0)

{

wykładnik_abs=(-1)*wykładnik;

}

For (int i=0; i<wykładnik_abs; i++)

{

Wynik=wynik*podstawa;

}

If (wykładnik=>0)

{

return wynik;

}

Else

{

Return 1.0/wynik;

}

}

Int Silnia (int maksimum)

{

int wynik=1;

for (int i=1; i<maksimum; i++)

{

Wynik=wynik*(i+1);

}

Return wynik;

}

1. int NWD(int pierwsza, int druga)

{

Int reszta=1;

While (druga!=0)

{

reszta=pierwsza%druga;

Pierwsza=druga;

Druga=reszta;

}

Return pierwsza;

}

1. double Suma (double tablica[], int rozmiar)

{

Int wynik=0;

For (int i=0; i<=(rozmiar-1); i++)

{

Wynik=wynik+tablica[i];

}

Return wynik;

}

1. double Odwrot(double tablica[], int rozmiar)

{

Double pomoc=0;

For (int i=0; i<=((rozmiar/2)-1); i++)

{

Pomoc=tablica[i];

Tablica[i]=tablica[rozmiar-1-i];

Tablica[rozmiar-1-i]=pomoc;

}

Return tablica[];

}

1. double Wielomian(double tablica[], int rozmiar, double zmienna)

{

Int Wynik=0;

For (int i=0; i<rozmiar; i++)

{

Wynik=wynik+(tablica[i]*potega(zmienna,i)

}

Return wynik;

}

1. Jakie operacje wykonujemy na drzewach poszukiwań binarnych (BST)? Kiedy stosujemy drzewa, a kiedy tablice uporządkowane?

Operacje wyszukiwania, dodawanie klucza, usuwanie klucza.

Tablice_wyszukiwanie – O(logn), BST – O(h)

1. Na czym polega sortowanie szybkie (quicksort)?

Podział na dwa podzbiory rozdzielające piwotem ( wskaźnik i i j – i sprawdza wielkość, j – podmienia)

1. Na czym polega sortowanie przez sklejanie (mergesort)?

Dwa posortowane podzbiory – wybieramy pierwszy mniejszy element i przeklejamy do pustej tablicy wynikowej.

Nieposortowany zbiór dzielimy na przedziały 1 elementowe i sklejamy.

1. Co to jest kopiec i kolejka priorytetowa? Jak można sortować wykorzystując kopiec (heapsort)?

Kopiec: drzewo binarne, w którym każdy węzeł nadrzędny jest większy lub równy węzłom potomnym.

Sortowanie: budujemy kopiec po czym go rozbieramy.

Kolejka priorytetowa (FIFO): kolejka, w której elementy ułożone są nie w kolejności wprowadzania, lecz w kolejności priorytetu. Każdy element kolejki posiada dodatkowe pole prio.

1. Jakie jest dolne ograniczenie na pesymistyczny czas sortowania za pomocą porównań?

Najgorszy przypadek dla algorytmu sortowania to ciąg danych już uporządkowanych w kolejności odwrotnej od pożądanej.

(QS) Wtedy młodsza część będzie pusta, a starsza będzie zawierała o jeden element więcej niż w poprzednim kroku. Koszt operacji rozdzielenia dla n elementowego ciągu wynosi (n-1) porównań

T(n)=T(n-1)+cn

T(n-1)=T(n-2)+c(n-1)…. -> O(n2)