ZAD1: Pręt OA obraca się z prędkością kątową ω=const. W punkcie A zamontowano tarcze, która obraca się z prędkością ω₁ i ε₁. Obliczyć prędkość i przyspieszenie punktów B i D tarczy

prędkości:

$${\overset{\overline{}}{V}}_{B} = {\overset{\overline{}}{V}}_{A} + {\overset{\overline{}}{V}}_{B/A}$$

$$V_{A} = \text{ωOA} = \text{ωl} = 4\frac{1}{s} \bullet 0,6m = 2,4\frac{m}{s}$$

$$V_{B/A} = \omega_{1}\text{AB} = \omega_{1}r = 6\frac{1}{s} \bullet 0,2m = 1,2\frac{m}{s}$$

$$V_{B} = \sqrt{{V_{A}}^{2} + {V_{B/A}}^{2}} = \sqrt{{(2,4m/s)}^{2} + {(1,2m/s)}^{2}} = 2,68m/s$$

$${\overset{\overline{}}{V}}_{D} = {\overset{\overline{}}{V}}_{A} + {\overset{\overline{}}{V}}_{D/A} = 2,4m/s - 1,2m/s = 1,2m/s$$

$$V_{D/A} = \omega_{1}r = 6\frac{1}{s} \bullet 0,2m = 1,2\frac{m}{s}$$

przyspieszenia:

$${\overset{\overline{}}{a}}_{A} = \overset{\overline{}}{a_{A}^{n}} + \overset{\overline{}}{a_{A}^{\tau}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a_{A}^{\tau}} = \text{εl} = 0\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a_{A}^{n}} = \omega^{2}l = 10\frac{1}{s^{2}} \bullet 0,6m = 9,6\frac{m}{s^{2}}$$

$${\overset{\overline{}}{a}}_{B} = {\overset{\overline{}}{a}}_{A} + \overset{\overline{}}{a_{B/A}^{n}} + \overset{\overline{}}{a_{B/A}^{\tau}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ }a_{B/A}^{n} = \omega_{1}^{2}r = 36\frac{1}{s^{2}} \bullet 0,2m\ = 7,2\frac{m}{s^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ }\overset{\overline{}}{a_{B/A}^{\tau}} = \varepsilon_{1}r = 8\frac{1}{s^{2}} \bullet 0,2m = 1,6\frac{m}{s^{2}}$$

Zad2. Ciało obracające się wokół stałej osi ma prędkość kątową ω_p=20rad/s. Na skutek tarcia w łożysku ciało zatrzymuje się po upływie 20 sekund. Uważając ruch za jednostajnie opóźniony znaleźć przyspieszenie kątowe ε oraz liczbę obrotów w chwili zatrzymania.

Dane Szukane:
ω_p=20rad/s, t=20s ε, n-obrotów

$$s = V_{0}t - \frac{\text{at}}{2}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }a = \frac{V_{k} - V_{p}}{t}$$

$$e = \omega_{0}t - \frac{\varepsilon t}{2}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }\varepsilon = \frac{\omega_{k} - \omega_{p}}{t}$$

$$\omega_{k} = 0\ \ \ \ \varepsilon = \frac{\omega_{p}}{t} = \frac{20\text{rad}/s}{20s} = 1\text{rad}/s^{2}$$

$$e = \frac{20\text{rad}}{s} \bullet 20s - - \frac{\frac{1\text{rad}}{s^{2}} \bullet \left( 20s \right)}{2}^{2} = 400 - 200 = 200\text{rad}$$

$$1\text{obr} = 2\text{πrad}\text{\ \ \ }x = 200\text{rad} \rightarrow x = \frac{200\text{rad}}{2\pi} = 31,63\text{rad}$$

Zad3. Tarcza kołowa o promieniu r obraca się zgodnie z równaniem ruchu ϕ=2t. Wzdłuż promienia porusza się punkt B według równania OB=4t². Wyznaczyć prędkość V_B i przyspieszenie całkowite a_B punktu B tarczy dla t=3s narysowaś składową prędkości i przyspieszenia

Dane Szukane:
r, ϕ=2t,R= OB=4t² , t=3s V_B, a_B

$$V = \sqrt{{V_{\text{obr}}}^{2} + {V_{\text{ox}}}^{2}}$$

$$\text{\ \ \ \ \ \ }V_{\text{obr}} = \dot{e}r = 2 \bullet 4t^{2} = 8t^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }V_{\text{ox}} = \dot{x} = 8t$$

$$V = \sqrt{{V_{\text{obr}}}^{2} + {V_{\text{ox}}}^{2}} = \ \sqrt{{64t}^{4} + {64t}^{2}}$$

$$V(t = 3) = \sqrt{{64 \bullet 3}^{4} + {64 \bullet 3}^{2}} = 75,9m/s$$

$${\overset{\overline{}}{a}}_{} = {\overset{\overline{}}{a}}_{\tau} + {\overset{\overline{}}{a}}_{n} + {\overset{\overline{}}{a}}_{x}$$

$${\overset{\overline{}}{a}}_{\tau} = 0\ bo\ = const$$

$${\overset{\overline{}}{a}}_{n} = \frac{{V_{\text{obr}}}^{2}}{\text{OB}} = \frac{{V_{\text{obr}}}^{2}}{R} = \frac{64t^{4}}{4t^{2}} = 16t^{2}$$

$${\overset{\overline{}}{a}}_{x} = \ddot{x} = 8m/s^{2}$$

a(t)=16t² + 8

a(t = 3)=16•3² + 8 = 136m/s²

Zad4. Punkt materialny o masie m porusza się po okręgu zgodnie z równaniem ruchu punktu po torze s=b+R(t³+t) gdzie b jest stałą wyrażoną w metrach. Wyznaczyć wartość stałej siły działającej na punkt jako funkcja czasu t.

Zad5. Samochód o ciężaże Q=12kN jedzie po moście w kształcie łuku o promieniu r=200m. Wyznaczyć prędkość samochodu jeżeli nacisk wywierany przez samochód na most (w połowie) jest równy N=8kN.

Zad6. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie, równanie toru, początek toru, kierunek ruchu oraz równanie ruchu po torze (s(t)).

Zad7. Tarcza obraca się z prędkością kątową ω=const dookoła środka O. Wzdłuż promieniowego rowka tarczy porusza się punkt A ze stałą prędkością W jak podano na rysunku. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie punktu

Zad8. Tarcza obraca się z prędkością kątową ω=const dookoła środka O. Wzdłuż cięciwy porusza się punkt A ze stałą prędkością W jak podano na rysunku. Wyznaczyć prędkość i przyspieszenie punktu w dowolnej chwili czasu t. Dane e, W_s, ω

Zad9. Punkt M porusza się wzdłuż osi O_x zgodnie z przyspieszeniem a=4t-3t² [m/s²] wiedząc że w chwili rozpoczęcia ruchu V₀=0 miał on wspóżędne x₀=2/3[m]. Obliczyć czas zatrzymania t_z oraz współrzędne w których punkt się zatrzyma.

Zad10. Punkt porusz się po okręgu o promieniu r=10m, a jego współrzędna łukowa wyraża się równaniem s=t^3'/6[m], t[s]. Obliczyć prędkość i całkowite przyspieszenie tego punktu w momencie gdy zatoczy on łuk o kącie 30̊, oraz sporządzić rysunek poglądowy z naniesionymi wektorami prędkości i przyspieszenia.

Zad11. Kulka A o masie m=2kg będąc zaczepiona linką OA do podpory 0 zatacza okrąg o promieniu r=0,4 m w płaszczyźnie pionowej. Jaką najmniejszą prędkość V musi mieć kulka w położeniu jak na rysunku (punkt A) aby linka uległa zerwaniu? Siła zrywająca linki wynosi S=200N.

Zad12. Na tarczy o masie 5kg i promieniu r=20cm nawinięto linkę, której jeden koniec podczepiono do sufitu. Tarcza na początku ruchu znajduje się w spoczynku, a nasępnie rozpoczyna ruch pod działaniem sił ciezkości. Obliczyć prędkość środka tarczy, gdy wykona ona jeden pełen obrót od chwili rozpoczęcia ruchu. Założyć że linka AB pozostaje podczas ruchu pionowo

Zad13. Ciężarek o masie m₁=2kg zaczepiono na linie, której drugi koniec przeżucono przez krążek D i zaczepiono do środka tarczy o masie m₂=4kg i promieniu R=13cm. Linka między krażkiem D i tarczą jest równoległa do poziomego podłoża. Zakładając toczenie się bez poślizgu znaleźć prędkość V ciężarka w momencie gdy tarcza wykona jeden pełny obrót od chwili spoczynku. Ciężar linki i oddziaływanie krążka D pominąć.

Zad14. Klocek o ciężarze Q=100N porusza się wzdłuż szerokiej płaszczyzny i po przebyciu odległości l=24m w czasie t=4s zatrzymuje się. Wyznaczyć współczynnik tarcia między klockiem a płaszczyzną

Zad15. Do klocka o ciężarze Q=100N spoczywającego na płaszczyźnie o współczynniku tarcia µ=0,1 przyłożono siłę F=2t[N]. Jaka będzie prędkość klocka w 8 sekundzie licząc od momentu przyłożenia siły

$$s = V_{0}t - \frac{\text{at}}{2}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }a = \frac{V_{k} - V_{p}}{t}$$

$$e = \omega_{0}t - \frac{\varepsilon t}{2}^{2}\text{\ \ \ \ \ \ }\varepsilon = \frac{\omega_{k} - \omega_{p}}{t}$$

$$\omega_{k} = 0\ \ \ \ \varepsilon = \frac{\omega_{p}}{t} = \frac{20\text{rad}/s}{20s} = 1\text{rad}/s^{2}$$

$$e = \frac{20\text{rad}}{s} \bullet 20s - - \frac{\frac{1\text{rad}}{s^{2}} \bullet \left( 20s \right)}{2}^{2} = 400 - 200 = 200\text{rad}$$

$$1\text{obr} = 2\text{πrad}\text{\ \ \ }x = 200\text{rad} \rightarrow x = \frac{200\text{rad}}{2\pi} = 31,63\text{rad}$$