1. Cel ćwiczenia:

Wyznaczenie współczynnika przewodności cieplnej izolatora.

2. Tabele i wykresy z wynikami:

3. Potrzebne wzory i ich wyprowadzenia:

$$\overset{\overline{}}{x} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n}$$

$$\sigma\overset{\overline{}}{x} = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}}$$

$$\overset{\overline{}}{x} = \sqrt{\left( \sigma\overset{\overline{}}{x} \right)^{2} + \frac{\left( x \right)^{2}}{3}}$$

K = T + 273

$$K = \left| \frac{\partial K}{\partial T}T \right| = T$$

$$n = \frac{T_{k} + T_{p}}{t_{k} + t_{p}}$$

$$n = \left| \frac{\partial n}{T_{k}}T_{k} \right| + \left| \frac{\partial n}{T_{p}}T_{p} \right| + \left| \frac{\partial n}{t_{k}}t_{k} \right| + \left| \frac{\partial n}{t_{p}}t_{p} \right| = \left| \frac{t_{k} - t_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}T_{k} \right| + \left| \frac{- t_{k} + t_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}T_{p} \right| +$$

$$+ \left| \frac{T_{k} - T_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}t_{k} \right| + \left| \frac{- T_{k} + T_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}t_{p} \right|$$

$$k = \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}$$

$$k = \left| \frac{\partial k}{\partial m}m \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial c}c \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial n}n \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial d_{1}}d_{1} \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial r}r \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial d}d \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial r_{1}}r_{1} \right| +$$

$$+ \left| \frac{\partial k}{\partial T_{}}T_{} \right| = \left| \frac{c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}m \right| + \left| \frac{m \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}c \right| +$$

$$+ \left| \frac{m \bullet c \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}n \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}d_{1} \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{}} \bullet \frac{2r + 3d}{\left( r + d \right)^{2}}r \right| +$$

$$+ \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{}} \bullet \frac{3r + 4d}{\left( r + d \right)^{2}}d \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}\left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet {2r}_{1} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}r_{1} \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet \left( r + d \right)}T_{} \right|$$

4. Przykładowe obliczenia:

Na początku sporządziłem wykres T = f(t) i odczytałem z niego następujące dane:

Tk=	288, 55
Tp=	282, 95
tk=	300
tp=	0

Odczytane wartości w stopniach Celsjusza zamieniłem na Kelwiny posługując się wzorem: K = T + 273, a żeby otrzymać jeszcze dokładniejsze wyniki skorzystałem z funkcji w programie MS Exel.

Od razu też zamieniam T na Kelwiny oraz liczę jego niepewność i zaokrąglenie.

T = 285, 2

$$T_{} = \left| \frac{\partial T_{}}{\partial T}T \right| = 0,1$$

Teraz mogę wyznaczyć n oraz jego niepewność i zaokrąglenie.

$$n = \frac{T_{k} + T_{p}}{t_{k} + t_{p}} = \frac{288,55 + 282,95}{300 + 0} = 0,0186$$

$$n = \left| \frac{\partial n}{T_{k}}T_{k} \right| + \left| \frac{\partial n}{T_{p}}T_{p} \right| + \left| \frac{\partial n}{t_{k}}t_{k} \right| + \left| \frac{\partial n}{t_{p}}t_{p} \right| = \left| \frac{t_{k} - t_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}T_{k} \right| + \left| \frac{- t_{k} + t_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}T_{p} \right| +$$

$$+ \left| \frac{T_{k} - T_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}t_{k} \right| + \left| \frac{- T_{k} + T_{p}}{\left( t_{k} - t_{p} \right)^{2}}t_{p} \right| = 0,0033 + 0,0033 + 0,0001 + 0,0001 = 0,0067$$

$$\sigma n = \frac{0,007 - 0,0067}{0,0067}*100\% \approx 3\%\ dla\ n \approx 0,007$$

Po wyznaczeniu szybkości stygnięcia mogę przejść do wyznaczenia współczynnika przewodności cieplnej k, niepewności oraz zaokrąglenia. Jednak przed jego wyznaczeniem obliczam jeszcze wartości średnie grubości, średnicy odbiornika ciepła oraz grubość, średnicę izolatora. Obliczenia pokarzę na jednym przykładzie, resztę robi się analogicznie.

$$\overset{\overline{}}{d} = \frac{\sum_{i = 1}^{n}x_{i}}{n} = \frac{20 + \ldots + 20}{10} = 20,03$$

$$\sigma\overset{\overline{}}{d} = \sqrt{\frac{1}{n\left( n - 1 \right)}\sum_{i = 1}^{n}\left( x_{i} - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}} = \sqrt{\frac{1}{10*\left( 10 - 1 \right)}*0,00625} = 0,000069$$

$$\overset{\overline{}}{d} = \sqrt{\left( \sigma\overset{\overline{}}{x} \right)^{2} + \frac{\left( x \right)^{2}}{3}} = \sqrt{\left( 0,000069 \right)^{2} + \frac{\left( 0,05 \right)^{2}}{3}} = 0,0288$$

$$\sigma\overset{\overline{}}{d} = \frac{0,03 - 0,0288}{0,0288}*100\% \approx 4\%\ dla\ \overset{\overline{}}{d} \approx 0,03$$

Po obliczeniu reszty wartości średnich mogę przejść do wyznaczenia k oraz jego niepewności i zaokrąglenia.

$$k = \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)} = \frac{0,6905*385*0,0186*0,0024*(0,0349 + 2*0,02)}{2\pi*{0,0345}^{2}*285,2*(0,0349 + 0,02)} = 0,7783$$

$$k = \left| \frac{\partial k}{\partial m}m \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial c}c \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial n}n \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial d_{1}}d_{1} \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial r}r \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial d}d \right| + \left| \frac{\partial k}{\partial r_{1}}r_{1} \right| +$$

$$+ \left| \frac{\partial k}{\partial T_{}}T_{} \right| = \left| \frac{c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}m \right| + \left| \frac{m \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}c \right| +$$

$$+ \left| \frac{m \bullet c \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}n \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}d_{1} \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{}} \bullet \frac{2r + 3d}{\left( r + d \right)^{2}}r \right| +$$

$$+ \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet T_{}} \bullet \frac{3r + 4d}{\left( r + d \right)^{2}}d \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1}\left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet {2r}_{1} \bullet T_{} \bullet \left( r + d \right)}r_{1} \right| + \left| \frac{m \bullet c \bullet n \bullet d_{1} \bullet \left( r + 2d \right)}{2\pi \bullet r_{1}^{2} \bullet \left( r + d \right)}T_{} \right|$$

Dla uproszczenia podam tylko wynik.

k = 0, 0224

$$\sigma k = \frac{0,023 - 0,0224}{0,0224}*100\% \approx 2\%\ dla\ k \approx 0,023$$

Na koniec liczę niepewność względną:

$$\frac{k}{k} = \frac{0,0224}{0,783}*100\% = 3\%$$

5. Wnioski:

Wyliczona niepewność względna wyszyła niska. Można więc stwierdzić, że pomiary zostały wykonane poprawnie. Największy udział w niepewności k ma n( szybkość stygnięcia), ponieważ jest to jedyna wartość, która było trzeba wyliczyć, a np. niepewności grubości czy średnicy były podane oraz są bardzo dokładne.