Oszacowany klasyczną metodą najmniejszych kwadratów jednorównaniowy model ma następującą postać:

$$\hat{\text{PKB}_{t}} = \ - 24604,9\ \ 3,6428\ \text{IMPCD}_{t}\ \ 0,25451\ \text{PKB}_{t - 1} + \ 2,4522\ \text{SPNR}_{t}$$

PKB – produkt krajowy brutto liczony w mln zł

IMPCD – import Polski w mln dolarów

SPNR – produkcja sprzedana przemysłu w mln zł

Model oszacowano na podstawie obserwacji od II kwartału 1995 r. do III kwartału 2005 r.

	C	IMPCD	PKBt-1	SPNRt
C	404440254,5
IMPCD		0,89292
PKBt-1			0,0076475
SPNRt				0,0841

Φ² = 0,14748

F - statystyka F (3;38) = 2,90

Ad. 1a

Oblicz błędy szacunków parametrów strukturalnych (Se)

Se_IMPCD $= \sqrt{0,89292} = \ 0,94494$ - wartości teoretyczne importu Polski odchylają sie średnio o 0, 94494 mln dolarów od wartości zaobserwowanych

Se_PKBt-1$= \sqrt{0,0076475} = 0,08744996$ - wartości teoretyczne produkcji sprzedanej przemysłu odchylają sie średnio o 0, 08744996 mln zł od wartości zaobserwowanych

Se_SPNRt$= \ \sqrt{0,0841} = 0,29$ - wartości teoretyczne produkcji sprzedanej przemysłu odchylają sie średnio o 0, 29 mln zł od wartości zaobserwowanych

Ad. 1b

WykorzystujÄ…c statystykÄ™ studenta zweryfikuj hipotezÄ™:

H₀: α_j = 0 – hipoteza zerowa

H₀: α_j ≠ 0 – hipoteza alternatywna

Stwierdź na podstawie wyniku testu istotność oddziaływania zmiennych objaśniających na zmienną objaśnianą

Aby zweryfikować hipotezę wykorzystujemy statystykę t:

$$t_{\alpha_{1}} = \ \frac{\hat{\alpha_{1}}}{S_{\hat{\alpha_{1}}}} = \ \frac{\ \ 3,6428}{0,94494} = - 3,85506$$

$$t_{\alpha_{2}} = \ \frac{\hat{\alpha_{2}}}{S_{\hat{\alpha_{2}}}} = \ \frac{\ 0,25451}{0,08744996} = - 2,91035$$

$$t_{\alpha_{3}} = \ \frac{\hat{\alpha_{3}}}{S_{\hat{\alpha_{3}}}} = \ \frac{2,4522}{0,29} = 8,49034$$

Obliczone wielkości statystyki t, porównujemy z wielkościami krytycznymi

Nie mamy zielonego pojęcia co dalej tutaj ;)

Ad. 1c

Zinterpretuj oszacowane wielkości parametrów strukturalnych zapisanych przy zmiennych objaśniających (bez wyrazu wolnego)

1. Oszacowana wartość parametru IMPCD_t = – 3,6428 oznacza, że wzrostowi importu Polski o 1 mld dolarów towarzyszy spadek PKB o 3,6428 mln zł

2. Oszacowana wartość parametru PKB_t-1 = – 0,25451 oznacza, że wzrostowi PKB w okresie opóźnionym o 1 mln zł towarzyszy spadek PKB o – 0,25451 mln zł

3. Oszacowana wartość parametru SPNR_t = 2,4522 oznacza, że wzrostowi produkcji sprzedaży przemysłu o 1 mln zł towarzyszy wzrost PKB o 2,4522 mln zł

Ad. 1d

Oblicz współczynnik determinacji (R²) oraz współczynnik korelacji wielorakiej. Wyniki zinterpretować.

R² = 1 - Φ²

R² = 1 - 0,14748 = 0,85252 – współczynnik determinacji

Oznacza to, że zmienna objaśniana jest wyjaśniona przez 85,252% zmiennych objaśniających.

$\mathbf{R} = \ \sqrt{0,85252\ } = \mathbf{0,92332} - \text{wsp}ol\text{czynnik\ korelacji\ wielorakiej}$

Istnieje silny związek pomiędzy zmienna objaśnioną a zmiennymi objaśniającymi.

Ad.1e

Oblicz wielkość statystyki F i przy użyciu znanej wielkości teoretycznej F odczytanej z tablicy [F(3;38)=2,90], zweryfikuj hipotezę, że przynajmniej jeden z oszacowanych parametrów statycznie istotnie różni się od 0.

$$F = \frac{\frac{R^{2}}{k - 1}}{\frac{1 - R^{2}}{n - k}} = \ \frac{\frac{0,85252}{3 - 1}}{\frac{1 - \ 0,85252}{41 - 3}} = \ \frac{0,42626}{0,003881} = 109,8325$$

Reguła decyzyjna = ?

F_α >  F_{T − k − 1}^k −  odrzucamy H₀

F_α ≤  F_{T − k − 1}^k −  nie ma podstaw do odrzucenia H₀

Ad. 1f

Zbadaj autokorelację I rzędu składnika losowego, wiedząc, że DW = 1,8621

DW = 1,8621

$$h = \left( \ 1 - \ \frac{\text{DW}}{2}\ \right)\ \times \ \sqrt{\frac{n}{1 - nS_{{\hat{\alpha}}_{\text{ij},\ t - 1}}^{2}}}$$

$h = \left( \ 1 - \ \frac{1,8621}{2}\ \right)\ \times \ \sqrt{\frac{41}{1 - (41\ \times \ 0,0076475)}} = 0,06895\ \times \ \sqrt{\frac{41}{1 - 0,3135475}} = \ 0,06895\ \times 7,728348234 = 0,5328696$

h = 0, 5328696 < 1,96, stąd wnioskujemy, że nie występuje statystycznie istotna autokorelacja pierwszego rzędu.

Zad. 2

zmienne łącznie współzależna – są to zmienne endogeniczne nieopóźnione w czasie

zmienne z góry ustalone – zmienne egzogeniczne bez opóźnień czasowych i opóźnione w czasie oraz zmienne endogeniczne opóźnione w czasie

Zad. 3

Istota modelu rekurencyjnego

Jest to taka klasa modeli wielorównaniowych, które charakteryzuje szczególna budowa relacji, mianowicie w dowolnym równaniu jako zmienne objaśniające występują obok zmiennych z góry ustalonych te zmienne łącznie współzależne /nie opóźnione w czasie/, które wcześniej wystąpiły jako zmienne objaśniane. W zapisie macierzowym, macierz B przyjmuje postać macierzy trójkątnej lub dającą się sprowadzić do macierzy trójkątnej.

Model:

Y₁ =  α₀ +  α₁X₁ + α₂Y₂ +  ε_t

Y₁ =  β₀ +  β₁X₁ + β₂X₂ +  ε_t ,gdzie Y1 i Y2 zmienne objaÅ›niane endogenicznie, a X1 i X2 to zmienne objaÅ›niajÄ…ce egzogenicznie, model stochastyczny statyczny o charakterze jednokierunkowym (zmienne Endo- peÅ‚niÄ… role objaÅ›niajÄ…cych)

Zad.4

Istota modeli dynamicznych

W modelu dynamicznym występują zmienne w czasie zapisane w postaci szeregów czasowych. Zbudowany jest w ten sposób, że w roli zmiennych objaśniających występuje zmienna czasowa lub jej funkcje, a zmienne endogeniczne objaśniające występują z opóźnieniami czasowymi.