Wiadomości wstępne

Liczby rzeczywiste to jeden z najważniejszych zbiorów w całej matematyce. Intuicyjne ich definicja jest dość prosta - liczbą rzeczywistą utożsamiamy z odegłóścią na prostej.Łatwo zauwarzyć że zarówno zbiór liczb naturalnych jak i całkowitych zawiera się w zbiorze liczb rzeczywistych ( zwyczajowo określanym dużą literką R). W pewnych przypadkach odległość może przecież być równa jedności, lub wielokrotności jedności. Ta definicja przemawia do większości z nas, nie jest jednak szczególne ścisła.

Interpretacja geometryczna

Geometryczna interpretacja liczb rzeczywistych polega na rozszerzeniu i uściśleniu intuicyjnej wizji jaką wynosimy już ze szkoły podstawowej. Na początek obieramy prostą i znajdujemy na niej punkt (pojęcia prosta i punkt są tu pojęciami pierwotnymi). Oznaczamy ten punkt jako 0. Następnie obieramy odcinek i oznaczamy go jako J (jedność).

Kolejne punkty powstałe przez odłożenie na prostej odcinka J nazywamy liczbami całkowitymi, w prawą stronę od 0 są to kolejno 1,2,3... zaś w lewą -1,-2,-3... . Definiujemy operację dodawania będącą odpowiednim złożeniem długości odcinków. Operacja odejmowania jest analogiczna. Dla liczb całkowitych możemy już wprowadzić opercaję mnożenia. Następnie definiujemy dzielenie w następujący geometryczny sposób:

Odmierzamy na prostej ustawionej pod kątem do naszej "osi rzeczywistej" n razy jednostką, następnie rysując linie równoległe do tej łączącej koniec naszego odcinka z punktem odpowiadającym jedności na osi rzeczywistej otrzymujemy liczbę 1/n. Poprzez jej odpowiednie wymnożenie możemy uzyskać dowolną liczbę w postaci p/q, a więc dowolną liczbę wymierną. Zbiór liczb wymiernych jak łatwo zauwarzyć, jest gęsty sam w sobie, gdyż pomiędzy każdymi dwoma liczbami wymiernymi jest przynajmniej jeszcze jedna, a to w praktyce oznacza że, między dwoma dowolnymi liczbami wymiernymi jest nieskończenie wiele liczb wymiernych. Wydawało by się że to już wszystko, że wszystkie punkty prostej odpowiadają jakimś liczbom wymiernym. Tak jednak nie jest. Przekonali się już o tym starożytni Grecy, byli tym zresztą zdruzgotani. Bractwo Pitagorejksie przez kilkanaście lat ukrywało ten fakt przed całym światem, a za zdradzenie sekretu groziła śmierć. Przykładem liczby której nie da się przedstawić jako ułamek nieskracalny jest pierwiastek z 2. Zobaczmy jak wygląda dowód tego faktu:
Załóżmy że pierwiastek z 2 da się przedstawić jako ułamek nieskracalny. Wtedy :

Zatem:

Co oczywiście przeczy temu że, podany ułamek jest nieskracalny (wspólnym dzielnikiem jest 2). Otrzymana sprzeczność oznacza że, pierwiastek z 2 jest liczbą niewymierną. Nie jest to wcale żadna sztuczka, gdyż odcinek od długości równej pierwiastek z 2 jest łatwo otrzymać konstrukcyjnie. Jest to po prostu przekątna kwadratu o boku 1.

Liczby wymierne i niewymierne zapełniają już całą oś rzeczywistą. Nie może istnieć liczba która nie byłaby wymierna i nie była też niewymierna (jest to oczywiste z definicji). Obydwa zbiory są gęste w sobie, a ponadto są gęste w R. Pomiędzy kązdymi dwoma liczbami rzeczywistymi można znaleźć nieskończenie wiele wiele liczby wymiernych i niewymiernych. Można by podejżewać że zbiory liczb wymiernych i liczb niewymiernych są równoliczne. Tak jednak nie jest, co udowodnił Cantor. Zbiór liczb wymiernych jest przeliczalny zaś zbiór liczb niewymiernych jest nieprzeliczalny.

Przekroje Dedekinda

Jest to inne ujęcie liczb rzeczywistych, dzięki któremu łatwo można udowodnić właściwości działań na liczbach rzeczywistych, jedynie na gruncie aksjomatów teorii mnogości. Definiujemy przkrój Dedekinda przez zbiór liczb rzeczywistych wzdłóż liczb wymiernych jako taki podział zbioru liczb rzeczywistych na dwa niepuste podzbiory A i B że:

A) Każda liczba wymierna należy albo do A albo do B.
B) Każda liczba wymierna należąca do A jest mniejsza od każdej należącej do B.

Zbiór A nazywamy klasą dolną a zbiór B klasą górną.Łatwo zauważyć iż, niemożliwe jest żeby w klasie dolnej istniała liczba największa i jednocześnie w klasie górnej liczba najmniejsza, gdyż wtedy ich średnia arytmetyczna nie należała by do żadnej klasy, a więc nie byłby to przekrój. Możliwe są zatem 3 rodzaje przekrojów:

1) W klasie dolnej istnieje liczba największa, a w klasie górnej nie istnieje liczba najmniejsza.
2) W klasie górnej istnieje liczba najmniejsza, a w klasie dolnej nie istnieje liczba największa.
3) W klasie górnej nie istnieje liczba najmniejsza, a w klasie dolnej nie istnieje liczba największa.

Przekrój trzeciego rodzaju pokazuje lukę w zbiorze liczb wymiernych, jednocześnie wyznaczjąc liczbę niewymierną która tą lukę zapełnia. W ten sposób określamy zbiór liczb rzeczywistych jako zbiór wszystkich możliwych przekrojów Dedekinda.
Za pomocą przekrojów Dedekinda możemy definiować operacje arytmetyczne na liczbach rzeczywistych:

Można również dowieść wszelkich właściwości liczb rzeczywistych które tutaj tylko wypunktuje:

1. Element neutralny dodawania:

2. Przemienność dodawania:

3. Łączność dodawania:

4. Jednoznaczność rozwiązań:

5. Element neutralny mnożenia:

6. Przemienność mnożenia:

7. Łączność mnożenia:

8. Jednoznaczność rozwiązań:

9. Rozdzielność mnożenia wględem dodawania:

10. Dzielenie:

11. Dodanie do stron nierówności:

12. Mnożenie nierówności:

13. Mnożenie nierówności:

14. Nieujemność modułu:

15. Nierówność trójkąta dla funkcji modół:

Zbiór liczb rzeczywistych z działaniami dodawania i mnożenia tworzy ciało.

Moc zbioru liczb Rzeczywistych

Dwa zbiory nieskończone A i B nazywamy zbiorami równej mocy, jeśli istnieje różnowartościowe odwzorowanie ze zbioru A w zbiór B i ze zbioru B w zbiór A. Zbiory nieskończone mogą być równoliczne ze swoimi podzbiorami właściwymi - zgodnie z teorią mnogości zbiór liczb całkowitych jest równoliczny ze zbiorem liczb naturalnych, jak i ze zbiorem liczb wymiernych, a co ciekawsze także ze zbiorem liczb algebraicznych. Moc zbioru przeliczalnego oznaczamy liteką Alef, i mówimy że zbiór jest mocy Alef zero.

Nieskończona liczba kardynalna Alef zero ma szereg niespotykanych własności dowodzonych łatwo na bazie teorii Cantora:

Zastanówmy się teraz ile jest wszystkich liczb rzeczywistych. Jest ich oczywiście nieskończenie wiele, jednak czy da się znaleźć odwzorowanie różnowartościowe z R w N ? Jeśli tak to odwzorowaniem tym powinien być ciąg indeksowany liczbami naturalnymi, przyjmujący wszystkie wartości rzeczywiste. Pokażemy że takiego ciągu nie ma na przykładzie przedziału [0,1], który jak pokażemy za chwilę jest równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych.
Załóżmy że, istnieje ciąg o żądanych właściwościach. Nazwijmy go przez "c":

Nazwijmy teraz nasz początkowy przedział:

Teraz podzielmy go na trzy części jak następuje i wybierzmy tą, do której nie należy c1:

Powtarzajmy teraz tę opercaję dla powstałych przedziałów przeliczalnie wiele razy:

Uzyskujemy natychmiast dość oczywistą nierówność:

A więc ciągi a i b są monotoniczne i ograniczone, a ponieważ:

Zatem :

Ale oczywiście x nie jest żadnym z wyrazów ciągu c (wynika to wprost z określenia ciągów a i b):

Co oczywiście przeczy temu że, można znaleźć taki ciąg, który by zawierał wszystkie liczby rzeczywsite z przedziału [0,1]. Przedział ten jest równoliczny z całym zbiorem liczb rzeczywistych, gdyż istnieje odwzorowanie różnowartościowe z [0,1] w R. Przykładem może być choćby funkcja:

Zatem liczb rzeczywistych jest więcej niż alef zero. Można łatwo dowieść że, jest ich dokładnie:

Dowodzi się szereg zadziwijących właściwości liczby kardynalnej C (continuum) :

Liczba F jest kolejną kardynalną liczbą nieskończoną. Jest to np. liczba wszystkich podzbiorów liczb rzeczywistych. Z liczbą C wiąże się hipoteza Cantora (zwana hipotezą Continuum). Jeśli przez Alef jeden nazwę ilość wszystkich zbiorów szkończonych, a także klasy Alef zero to hipoteza Continuum mówi:

Dzisiaj wiadomo że, hipotezy tej nie da się ani udowodnić ani obalić wychodząc od innych aksjomatów teorii mnogości (udowodnił to Kurt Godel i Paul Cohen). Obecnie powszechnie się uważa że, hipotezę tę należałoby uznać za fałszywą w dalszych rozważaniach.

Na koniec proponuję zapoznać się z pomiższym obrazkiem, który pokazuje relacje zawierania w zbiorze liczb rzeczywistych.

R - Wszystkie liczby rzeczywiste
Al - Liczby algebraiczne (będące pierwiastkami wielomianów stopnia skończonego o współczynnikach całkowitych)
Q - Liczby wymierne
Z - Liczby całkowite
N - Liczby naturalne

Bibliografia

W kwestii użytecznych informacji i wzorów, polecam:

"Wstęp do matematyki współczesnej" - H. Rasiowa
"Wstęp do teorii mnogości" - K.Kuratowski
"Matematyka - Poradnik encyklopedyczny" - I.N.Bronsztejn, K.A.Siemiediajew,
"Zarys matematyki wyższej dla studentów" - R. Leitner, tom pierwszy i drugi.
Wszelkie podręczniki algebry oraz tablice matematyczne.

Jak chodzi o zadania to warto po prostu przejżeć podręczniki na studia.Polecam też książki:

"Kółko matematyczne dla olimpijczyków" - H.Pawłoski.
"Zadania dla uczniów lubiących matematykę" - W. Bednarek
"Matematyka - Zadania" - W.Leksiński, I.Nabiałek, W.Żakowski