Witaj,

Jak juz troche znam zycie, to wiem, ze nim przystapimy do rzeczy, ktora jest zrozumienie logiki dwuwartosciowej (opartej na prawie wylaczonego srodka - "excluded middle law"), winienem najpierw wspomniec o jednym zawsze & wszedzie niebywale waznym credo: "SAMOZMOTYWOWANIE PRZEDE WSZYSTKIM" Bez najpierwszego wzbudzenia w sobie wlasnej ochoty do zrealizowania w zyciu czegos dla nas istotnego, jest bardzo malo prawdopodobne, ze w ogole zrealizuje sie w zyciu cos dla nas istotnego. To zatem, od czego zawsze i wszystko trzeba nam zaczynac, jest prozaicznym poukladaniem sie z danymi sprawami w swojej glowie...

Pozytywne nastawienie - "aprioryczna otwartosc", wobec nawet najbardziej dla nas skomplikowanych problemow czyni je o niebo lagodniejszymi w "oswajaniu". Nie ma zatem co samych siebie nazbyt twardo przekonywac, ze cos, co sami i tak musimy dla siebie zrobic, z natury rzeczy nam nie przystoi... Takie marnotrawiace czas i energie uzalanie sie nad swoja w czyms niewprawa, w istocie podtrzymuje wlasnie taki a nie inny "cienki" stan rzeczy. Swiatem, jak by nie bylo, takie rzadza prawa, ze to, co trwale nam przydatne, nigdy nie jest tak od razu - wszystkiemu, co w rzeczywistosci jest wartosciowe, zawsze trzeba odrobiny czasu na krystalizacje...

Zdolnosc myslenia, ale tak z glowa - o tym, co naprawde w zyciu wazne, nie powstaje w Czlowieku na chybil-trafil cudownym przypadkiem od losu. Warto wiec zdroworozsadkowo rozciagac dostepny nam horyzont czasowy pod nasze mozliwosci, zeby chociaz "pomalutku & pocichutku", ale w ogole osiagac nasze szczyty, ktore raz po raz przed nami w tym naszym zyciu... Logika klasyczna, chociaz - sama w sobie - jest raczej malo zyciowa, stanowi kluczowa baze wypadowa ludzkiej rozumnosci, bez ktorej uprzedniego opanowania marzenie o rzeczonych szczytach z reguly pozostaje tylko marzeniem. A wiec... dajace do "poduszkowego" myslenia wprowadzenie mamy oto teoretycznie za soba. Teraz praktycznie: "DO ROBOTY!!!"

Roman Mazur (1999)

P.S. Nie wyartykulowalem tu tego jak dotad na pismie, wiec teraz mowie: "Logika u podstaw..." jest po to, zeby nawet te zupelnie niewierzace w swoj potencjal logiczny Umysly ludzkie mialy szanse SAMEMU ZALICZYC EGZAMIN z Logiki. Oznacza to, ze nie bylo moim zamiarem rozbudzanie w kimkolwiek na trwale mega-geniuszu logicznego podczas tworzenia tego podrecznika. Zatem - wracjac do meritum - "Logika u podstaw..." porusza wylacznie te problemy, ktore subiektywnie uznalem nascie lat temu za wystarczajace, rowniez dla laknacych logicznego wybawienia Studentek wzglednie tego samego potrzebujacych do dalszego zycia Studentow. Ze to wystarczy, sprawdzilem potem empirycznie, przyblizajac Ludziom z mojego roku Logike, kiedy w 1999 studiowalem Filozofie. W nastepstwie cwiczen ze mna wszyscy Ci Szczesliwcy, jak jeden maz, zaliczyli w pierwszym podejsciu te sama Logike, ktora na dzien dobry przyprawila ich o dreszcze. Pewnie gdybym zawodowo poszedl w Logike, poniosloby mnie wowczas w "oswajanie" z wolna szerszej jej materii dla ogolnego dobra stdenckiego... :) Stety-niestety poszedlem w inne dziedziny (posrednio tylko zwiazane z logika), i jestem tu, gdzie jestem, proszac naprawde o rozumienie mojej prosby o nieprzysylanie mi cwiczen do rozwiazywania, ani inspiracji do wzbogacenia tego "watlutkiego jak na spektrum mozliwosci" dziela. I tak za dlugo jestem w tyle z paroma szczytnymi sprawami, o ktorych nie wspomne, bo pewnie na wszystko zycia nie starczy... ALE WARTO (!) Nie ma wiec szans bym wrocil do zaglebiania sie w dalsze "rozpracowywanie" Logiki... Z mocna wiara w Ciebie, Roman Mazur (2009)




1. ZDANIE - w logice to kazda wypowiedz, ktora jest albo prawdziwa, albo falszywa. Zatem prawdziwosc i falszywosc ogranicza zdania logiczne wylacznie do jednego rodzaju zdan gramatycznych - zdan oznajmujacych.

Odpadaja problemy z zastanawianiem sie nad pytaniami, rozkazami oraz innymi formami wypowiedzi, gdyz z punktu widzenia logiki sa one "bezuzyteczne".

SPOJNIKI ZDANIOWE - natomiast - to w jezyku rachunku zdan elementy laczace w spojna calosc zdanie zlozone, ktore - jak wiemy z wczesnych lat (poza)szkolnych - sa zbudowane z prostych zdan skladowych. Oto najwazniejsze ze spojnikow zdaniowych :

Nazwa spojnika	Symbol graficzny - FUNKTOR	Jego zapis slowny
KONIUNKCJA		"...i..." ; "...a..."; "...lecz..." ; "...ale..."
ALTERNATYWA		"...lub..." ; "...albo..."
IMPLIKACJA		"Jezeli.., to..." ; "Jezli.., to..." ; "..., o ile ..."
ROWNOWAZNOSC		"...zawsze i tylko wtedy, gdy..."
NEGACJA	~	"Nieprawda, ze ..."

W miejsce kropek oddzielanych przez spojniki zawsze wpisujemy jakiekolwiek zdania oznajmujace, otrzymujac w ten sposob SCHEMAT ZDANIA wyrazony w jezyku rachunku zdan np.:

~ s [ schemat negacji ]

p q [ schemat koniunkcji ] t p [ schemat implikacji ]	r s [ schemat alternatywy ] r q [ schemat rownowaznosci ]

Podobno umysl kazdego Czlowieka zapamietuje z nowopoznanych rzeczy do 60 tys. razy wiecej informacji po zobaczeniu tego czegos w powiazaniu z czyms sobie juz znajomym..., swoja droga ciekawe jak to policzono ??? Aby wiec w dosc szybki sposob zapamietac jakim symbolem oznacza sie poszczegolne spojniki, wyobraz sobie takie oto obrazy... nie przywiazujac przy tym zbytniej uwagi do moich (nie)zdolnosci rysowniczych! :)

		KONIUNKCJA to wysoka gora, na ktorej zbocza wspinaja sie dwaj wytrawni alpinisci: pychatek i qbus...

		ALTERNATYWA to rozorana miedza, ktora dzieli pole na dwie czesci: qarguli LUB pawlakow...

		IMPLIKACJA to zawody lucznicze, w ktore JESLI porzadnie sie wstrzelic, TO qrde w tarcze nie sposob nie trafic...

		ROWNOWAZNOSC to piekna i szeroka jezdnia dwupasmowa prowadzaca z poznania WTEDY I TYLKO WTEDY, GDY udajesz sie do qtna...

		NEGACJA to totalne zadziwienie sie widokiem wygrzewajacego sie pod latarnia ~ pytona...

CWICZENIE 1

W podanych ponizej tekstach powyodrebniamy sobie zdania w sensie logicznym... zgodnie z zasadą: Dziel i rzadz! ;)

a)

"Szybko jadacy samochod zatrzymal sie nagle z piskiem opon. Przechodnie zamarli w bezruchu, gdy spostrzegli, ze zza kierownicy wyskakuje szympans ubrany w niezwykle elegancki smoking. >> Czy cos sie stalo ? << - spytala malpa Policjanta, stojacego akurat najblizej niej. >> Prosze okazac prawo jazdy ! << - odparl po dlugiej chwili zastanowienia totalnie zdezorientowany Funkcjonariusz..."

A wiec mamy tu nastepujace zdania logiczne, ktore nazywamy ZMIENNE ZDANIOWE i oznaczymy w skrocie kolejnymi literami alfabetu, poczynajac zwykle od “p” :

ZDANIE “p” - “Szybko jadacy samochod zatrzymal sie nagle z piskiem opon.”
ZDANIE “q” - “Przechodnie zamarli w bezruchu.”
ZDANIE “r” - “Przechodnie spostrzegli, ze zza kierownicy wyskakuje szympans ubrany w niezwykle elegancki smoking”.
Zauwaz, ze czesto podczas okreslania zdan logicznych mamy do czynienia z pewnymi haczykami. Tak np. zdanie brzmiace: "Przechodnie zamarli w bezruchu, gdy spostrzegli, ze zza kierownicy wyskakuje szympans ubrany w niezwykle elegancki smoking.", jest zdaniem zlozonym, skladajacym sie w istocie z dwoch, odrebnych pod wzgledem logicznym zdan.

ZDANIE “s”- “Spytala malpa policjanta, stojacego akurat najblizej niej.”
ZDANIE “t” - “Odparl po dlugiej chwili zastanowienia totalnie zdezorientowany Funkcjonariusz.”
b)

"Ktos kiedys powiedzial, ze nic nie wiedzial. Inny mu na to : >> Jak to?! Mnie moje mysli przekonaly, ze niezmienione po wsze czasy pozostana godnymi ludzkiej pochwaly! <<. Zaiste jeden i drugi ma racje, ale pierwszy dla wszystkich zycia stale czyni penetracje, drugiemu zas w glowie przyjemnosc uczynic przede wszystkim sobie..."

ZDANIE “p” - “Ktos kiedys powiedzial, ze nic nie wiedzial."
ZDANIE “q” - “Inny mu na to.” (powiedzial)
ZDANIE “r” - “Mnie moje mysli przekonaly, ze niezmienione po wsze czasy pozostana godnymi ludzkiej pochwaly !” ZDANIE “s”- “Zaiste jeden i drugi ma racje.”
ZDANIE “t” - “Pierwszy dla wszystkich zycia stale czyni penetracje.”
ZDANIE “u”- “Drugiemu zas w glowie przyjemnosc uczynic przede wszystkim sobie.”



CWICZENIE 2

Majac teraz podane zdania, zbudujemy - ot tak sobie - ich schematy:


a) "Kubus idzie spac lub je miodek."

ZDANIE p : Kubus idzie spac. - ZDANIE q : Kubus je miodek. - SPOJNIK : lub
SCHEMAT : p q
_____

b) "Kubus je miodek wtedy i tylko wtedy, gdy siedzi przy stoliku."

ZDANIE p : Kubus je miodek. - ZDANIE q : Kubus siedzi przy stoliku. - SPOJNIK : zawsze wtedy i tylko wtedy, gdy
SCHEMAT : p q
_____

c) "Jesli Kubus je miodek, to nieprawda, ze siedzi przy stoliku."

ZDANIE p : Kubus je miodek. - ZDANIE ( PAMIETAJ! Zapisane w formie twierdzacej !) q : Kubus siedzi przy stoliku. - SPOJNIK: w tym wypadku sa dwa : glowny (ZAWSZE OBEJMUJE SOBA CALOSC) : "jezli...,to...", oraz drugi spojnik (odnoszacy sie w tym przypadku wylacznie do jednego zdania) : "nieprawda, ze..."
SCHEMAT : p ( ~ q) (mamy negacje przed q , poniewaz taki jest sens calego zdania, w ktorym zaprzeczamy, ze Kubus siedzi przy stoliku)

2. WARTOSC LOGICZNA ( PRAWDZIWOSC lub FALSZYWOSC ) zdania zlozonego, zbudowanego ze zdan prostych, wylacznie poprzez uzycie do tego celu spojnikow: , , , , ~ , zalezy od miejsca ich wystepowania w schemacie zdaniowym oraz wartosci logicznej ( 1 = prawda lub 0 = falsz ), zdan skladowych. Zaleznosc ta jest ujeta w tabele, tzw. MATRYCE LOGICZNE - logika "wymaga" by wkuc kazda matryca logiczna na pamiec, na tej samej zasadzie, na ktorej matematyka "wymaga" wkucia na pamiec TABLICZKI MNOZENIA ...

ZAWSZE !!! CALE ZDANIE SKLADAJACE SIE Z DWOCH ZDAN PROSTYCH , GDZIE :
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
p
1
1
0
0
p
1
0

Zatem dobrze widac, ze kazda matryca ma stosowne sobie wartosci logiczne (0 lub 1), zalezne od tego czy wystepuj±ce w niej poszczegolne zdania skladowe sa falszywe, czy tez prawdziwe.


UWAGA! Wystepowanie trzech lub wiecej zdan skladowych powoduje zwiekszenie ilosci kombinacji ich mozliwych wartosci logicznych. Dla przykładu:

Kombinacja 1: p = 1, q = 1, r = 1;
Kombinacja 2: p = 1, q = 1, r = 0;
Kombinacja 3: p = 1, q = 0, r = 0;
Kombinacja 4: p = 0, q = 0, r = 0;
Kombinacja 5: p = 0, q = 0, r = 1;
Kombinacja 6: p = 0, q = 1, r = 1;
Kombinacja 7: p = 1, q = 0, r = 1;
Kombinacja 8: p = 0, q = 1, r = 0.

Jak widac przy trzech zdaniach skladowych jest 8 kombinacji, zgodnie z zasada, że: Ilosc kombinacji = 2ⁿ
(“n” jest cyfra okreslajaca ilosc zdan skladowych). Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁴ czyli 16. Przy czterech zdaniach skladowych ilosc kombinacji podstawien wynosi 2⁵ czyli 32... PAMIETAJ !

CWICZENIE 4 I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 2 I

Pobawimy sie teraz ze sprawdzaniem wartosci logicznej podanych schematow, co pozwoli nam nabrac wprawy w tej dziedzinie :


1. “p” i “q” sa zdaniami prawdziwymi: p = 1; q = 1

a)

(p		q)		p
1	1	1	1	1

Oto kolejne kroki, ktore wypada w tej chwili poczynic:

- podpisz pod literami “p” i “q” cyfre 1, gdyz wiemy, ze oba zdania sa prawdziwe;

- nastepnie sprawdz w matrycy logicznej jaka wartosc logiczna ma alternatywa dwoch jedynek (okaze sie, ze to takze jedynka, ktora dla ulatwienia sobie dzialania podpiszemy pod symbolem alternatywy).

- kolejnym krokiem jest sprawdzenie w matrycy jaka wartosc ma glowny spojnik schematu - implikacja dwoch jedynek - calego okraglego nawiasu oraz tej, ktora jest pod litera “p” z prawej strony. Okaze sie, ze znow jest to jedynka, ktora podpisujemy w schemacie pod symbolem implikacji, podkreslajac ja;

- teraz juz wiemy, ze caly schemat, ktory w uproszczeniu wyglada tak :
(w lewej kopercie mamy to, co jest w nawiasie okraglym “ p q ”, w prawej kopercie natomiast “p”), ma wartosc “1”, czyli jest prawdziwy.
_____

b)

p		(q		p)
1	1	1	1	1

Tu sytuacja ma sie podobnie. Podpisalismy jedynki pod literami, sprawdzilismy, ze koniunkcja dwoch jedynek wynosi 1, nastepnie odkrylismy, iz glowny funktor -implikacja dwoch jedynek jest takze jedynka, co pozwolilo nam dowiedziec sie, ze caly nasz schemat, ktory w uproszczonej postaci przedstawia sie nastepujaco :
( w lewej kopercie mamy “p”, w prawej natomiast “q p”), jest prawda - jedynka.
_____

c)

(~	p)		[~	(q		p)]
0	1	1	0	1	1	1

W tym przypadku kroki sa nastepujace :

- podpisanie jedynek pod kazda z liter;

- sprawdzenie koniunkcji dwoch jedynek z nawiasu okraglego (jest to jedynka );

- sprawdzenie negacji p i ( q p ) - (w obu przypadkach jest to zero);

- upewnienie sie, ze implikacja (dwoch zer, bo to wlasnie one biora w niej udzial) - glownego spojnika schematu, wynosi 1 (podkreslenie).

Schemat powyzszy wyglada w uproszczeniu tak :
(w lewej kopercie mamy “p” - negacja wyznacza jej wartosc logiczna , w prawej zas “(q p)” - tu takze negacja wyznacza jej wartosc logiczna).
_____

d)

[(~	q)		q]		p
0	1	1	1	1	1

Sytuacja przedstawia sie analogicznie do poprzedniego schematu. Podstawiamy jedynki pod litery, nastepnie otrzymujemy 0 po zanegowaniu “q”, w dalszej kolejnosci sprawdzilismy, ze implikacja (ta w kwadratowym nawiasie), dla przypadku “0 1” daje jedynke, aby ostatecznie dojsc do wniosku, ze caly schemat jest prawdziwy, gdyz jego glowny spojnik - takze implikacja, w wypadku “1 1” jest jedynka. Schemat ten w uproszczeniu wyglada tak :
(w lewej kopercie znajduje sie maly schemacik “[(~q) q ]”, ktorego glownym spojnikiem jest implikacja, w prawej “p”).

- - - - -

2. “p” jest prawdziwe, natomiast "q" jest falszywe: p = 1; q = 0


a)

(p		q)		p
1	1	0	1	1

Pod “p” podpisujemy “1”, gdyz wiemy, ze zdanie to jest prawdziwe. Pod “q” podpisujemy “0”, gdyz jest to zdanie falszywe. Sprawdzamy w naszej pamieci (UWAGA! Nie powstala dotad na tej planecie lepsza metoda opanowania matryc logicznych, niz “dokladne wykucie ich w twardym dysku, ktory kazdy z nas nosi pod wlasna czupryna”. Jest to czynnosc jak najbardziej mozliwa do wykonania i pojdzie tym szybciej, im pozytywniejsze jest nasze nastawienie do niej. Pewnym ulatwieniem jest tu potraktowanie :

- KONIUNKCJA jako ILOCZYN, gdzie :

p	q	p x q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

- ALTERNATYWA jako SUMA, gdzie :

p	q	p + q
1	1	1
1	0	1
0	1	1
0	0	0

Opanowanie matryc w logice jest tym, czym alfabetu w nauce pisania. Znajomosc jednego i drugiego poprostu ulatwia Zycie. PAMIETAJ !), jaka wartosc ma alternatywa “1 0” i wpisujemy “1”. Dalej interesuje nas wartosc logiczna implikacji dwoch jedynek, przez co znow udajemy sie w krotka podroz w glab wlasnego umyslu, przynoszac stamtad wiadomosc, ze jest to “1”. Tak oto nasz schemat jest prawda logiczna, bo ma wartosc “1”.

3. EKSTENSJONALNOSC SPOJNIKOW W RACHUNKU ZDAN - okreslana jest wtedy, gdy wartosc logiczna calego zdania (ze spojnikiem), ostatecznie wyznaczana jest przez wartosc logiczna zdania / zdan skladowych. INTENSJONALNOSC natomiast okeslana jest wowczas, kiedy wartosc logiczna zdania / zdan skladowych nie ma wplywu na to, jaka wartosc logiczna ma cale zdanie (ze spojnikiem).

Oznacza to, ze NA PRZYKLAD wszystkie najoczywistsze spojniki zdaniowe, jak:

- "i" (przyklad spojnika koniunkcji)
- "lub" (przyklad spojnika alernatywy)
- "jezeli, to" (przyklad spojnika wynikania)
- "wtedy, gdy" (przyklad spojnika rownowaznosci)
- "nieprawda, ze" (przyklad spojnika negacji)

sa EKSTENSJONALNE, bo niewazne, co podstawimy sobie jako zdanie / zdania skladowe, to zawsze bedzie to mialo wplyw na ostateczna wartosc logiczna calosci. A kwiatki typu: "Jest konieczne, ze" to spojniki INTENSJONALNE, bo tak naprawde nic nie jest konieczne - nawet to, zeby wartosc logiczna zdan skladowych miala wplyw na ostateczna wartosc calego zdania. ;) "It's simple, isn't it? Simple like dealing with >> CONSCIENTIOUSNESS << at first sight!"

No ale, zeby nie bylo nadto nie-ciekawie, przystapic wypada do logicznych przekladow teorii powyzszych w praktyki ponizsze...

CWICZENIE 6

Pobawimy sie teraz w zastepowanie jednych spojnikow innymi, utrzymujac przy tym logiczna rownowaznosc zdania wyjsciowego.


a) Zastapic spojnik koniunkcji spojnikami implikacji i negacji.

Zdanie wyjsciowe : “Ucze sie logiki i slucham nastrojowej muzyki.”;
Jego schemat : p q

p	q	p q
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Teraz naszym zadaniem jest ulozenie metoda prob i bledow takiej matrycy logicznej, ktora, zbudowana na podstawie nowego schematu, zawierajacego spojniki implikacji i negacji, przedstawialaby takie same wartosci logiczne, jak ma to miejsce w przypadku matrycy koniunkcji.

p	q	~ ( p ~ q )
1	1	1
1	0	0
0	1	0
0	0	0

Jak widzisz schematem rownowaznym dla p q, jest schemat ~ ( p ~ q ), gdyz wylacznie w takim zestawieniu implikacji i negacji otrzymujemy matryce z identycznymi wartosciami logicznymi, jak ma to miejsce w matrycy koniunkcji.

Nasze wyjsciowe zdanie brzmi wedlug nowego schematu tak : “Nieprawda, ze jesli ucze sie logiki, to nie slucham nastrojowej muzyki.” (Mimo przeksztalconej budowy, nie zmienil sie jego sens.)

4. TAUTOLOGIA RACHUNKU ZDAN - jest to wylacznie prawdziwy schemat zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan. O jego prawdziwosci rozstrzygamy poprzez podstawienie w miejsca zmiennych zdaniowych jedynek (wartosci prawdy), oraz zer (wartosci falszu), we wszystkich mozliwych kombinacjach ( jest ich, jak pamietamy : 2^n, gdzie “n” jest liczba zmiennych zdaniowych). Jej przeciwienstwo to KONTRTAUTOLOGIA, ktora jest wylacznie falszywym schematem zdania wyrazonego w jezyku rachunku zdan. Zatem tautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie prawdziwa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “1”), natomiast kontrtautologia jest taki schemat, ktorego wartosc logiczna jest tylko i wylacznie falszywa (dla kazdej kombinacji wartosci logicznych zdan skladowych calosc to zawsze “0”). PRZYKLAD TAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ( q p ) p q       1 1   0 1 1 0 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 1 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 1 0 1 0 Widzisz, ze ostateczna wartosc logiczna calego schematu, po przeprowadzeniu wszystkich operacji, stanowia same jedynki. Wiec nie pozostaje nam - teraz juz znawcom logiki, nic innego, jak nazwac powyzszy schemat tautologia. PRZYKLAD KONTRTAUTOLOGII:       (~ p ~ q) ~(q p) p q                 1 1   0 1 1 0 1 0 0 1 1 1 1 0   0 1 1 1 0 0 0 0 1 1 0 1   1 0 0 0 1 0 1 1 0 0 0 0   1 0 1 1 0 0 0 0 1 0

Wystarczylo zanegowac drugi czlon implikacji wystepujacej w schemacie tautologii i zastapic sam glowny funktor rownowaznoscia by uzyskac kontrtautologie ( podkreslone same zera ). CWICZENIE 7 Czeka nas teraz "zabawa" ze sprawdzaniem tego czy schematy sa tautologia, kontrtautologia czy tez ani tym, ani tym... a)       [(q p) - q )] q p q 1 1   1 1 1 - 1 - 1 1 1 1 0   0 1 1 - 0 - 0 1 0 0 1   1 0 0 - 0 - 1 1 1 0 0   0 1 0 - 0 - 0 1 0 Sposob postepowania jest nastepujacy: - napisalismy sobie schemat i zauwazylismy, ze wystepuja w nim dwie zmienne zdaniowe “p” i “q”; - skoro mamy w schemacie tylko “p” i “q”, z wzoru 2 ^n obliczamy dla nich ilosc kombinacji zerojedynkowych (jest ich 4 i zostaly napisane z lewej strony schematu); - podpisujemy pod odpowiednimi literami ich wartosci logiczne i dokonujemy pierwszego dzialania - implikacji; - kolejny krok to sprawdzenie wartosci logicznej koniunkcji w nawiasie kwadratowym; - ostatecznie dotarlismy do glownego spojnika schematu, ktorym jest druga implikacja, przyjmujacego dla wszystkich czterech zestawow zerojedynkowych wartosc prawdy, co ustanawia nasz schemat tautologia. _____ b)       [(q p) q )] q p q     1 1   1 1 1 1 1 1 1 1 0   0 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 0 1 0 0   0 1 0 0 0 1 0

Teraz, po zastapieniu glownego spojnika poprzedniego schematu z implikacji na rownowaznosc, nie otrzymalismy juz tautologii (podkreslone jedno zero), ani kontrtautologii (podkreslone trzy jedynki). Nasz schemat jest wiec najzwyklejszym ze schematow, nie dzierzacym szlachetnego miana jakim jest tautologia czy tez kontrtautologia. _____ c)         ~ {[r ( p q)] (~ p ~ q)} p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 1 0   0 0 0 1 1 1 1 0 1 1 0 1 1 0 0   0 0 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 0 0   0 0 0 0 1 0 1 1 0 1 1 0 0 1 1   0 1 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1 0 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 0 1 1 0 1 0 1   0 1 0 1 0 0 1 0 1 1 1 0 0 1 0   0 0 0 0 0 1 1 1 0 0 0 1
I oto naszym oczom ukazala sie w swej pelnej krasie kontrtautologia (podkreslone same zera, bedace wartosciami logicznymi glownego spojnika schematu - negacji, dla poszczegolnych kombinacji zerojedynkowych). _____ d)         (~ p q) V ~ (p r) p q r                   1 1 1   0 1 1 1 1 0 1 1 1 1 1 0   0 1 1 1 1 1 1 0 0 1 0 0   0 1 1 0 1 1 1 0 0 0 0 0   1 0 0 0 1 1 0 0 0 0 1 1   1 0 1 1 1 1 0 0 1 0 0 1   1 0 0 0 1 1 0 0 1 1 0 1   0 1 1 0 1 0 1 1 1 0 1 0   1 0 1 1 1 1 0 0 0

I znow nasze najnowsze odkrycie w polu poglebiania wlasnych umiejetnosci logicznych okazalo sie byc tautologia. Tym razem alternatywa ustanowila wartosc logiczna calego schematu jako “1”.

UWAGA !  Zerojedynkowa procedura sprawdzania tautologicznosci schematow logicznych moze byc skrocona za sprawa wspanialego umyslu ludzkiego, ktory to jest w stanie uproscic Czlowiekowi wszystko, co tylko do uproszczenia sie nadaje. Poprzez rozumne zanalizowanie schematu mozemy darowac sobie zmudne podstawianie do niego wszystkich kombinacji zmiennych skladowych (w przykladach “c” i “d” poprzedniego cwiczenia mielismy ich az 8, a ilez dopiero pracy byloby przy 16), czyniac to tylko z tymi wariantami, ktore z zalozenia moglyby powodowac jego nietautologicznosc.

Skomplikowane? Na pewno jeszcze tak, ale po wykonaniu kilku cwiczonek zobaczysz, ze nie bedzie Ci sie chcialo rozstawac z ta metoda do konca Twoich dni... oczywiscie tych z logika, jako przedmiotem nauczania, w planie zajec.
A wiec: "W DROGE!"

5. SYSTEM ZALOZENIOWY RACHUNKU ZDAN - jest to kolejna, po matrycowej, metoda przeprowadzania rachunku zdan, polegajaca na dowodzeniu tautologicznosci schematu, wylacznie poprzez ustalone reguly (dyrektywy) dowodzenia (wnioskowania). Tych reguł jest ich co prawda mnostwo, aczkolwiek podam Ci je w na tyle przystepny sposob, ze po niewielkim uplywie czasu zapewne beda one Twoje: 1. REGULA ODRYWANIA - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - implikacja i druga - jej poprzednik, wystepujacy samodzielnie, to wolno nam oderwac ten poprzednik z implikacji, pozostawiajac jedynie sam nastepnik . UWAGA ! Nastepnik to nasza prawa koperta (nastepuje po lewej), poprzednik to nasza lewa koperta (poprzedza prawa). Nazwy te wystepuja tylko i wylacznie, jesli glownym spojnikiem jest implikacja. PAMIETAJ ! Przyklad zastosowania RO (reguly odrywania): A teraz to samo na literach : p q (w lewej kopercie mamy “p”, w prawej zas “q”) p (samodzielny poprzednik tej implikacji - “p”) q (zastosowana RO, dzieki niej otrzymano “q”) [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} (inna implikacja) [r ~ (q ~ p)] (samodzielny poprzednik innej implikacji) {~ p [r ~ (q V p)]} (efekt zastosowania RO) I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 2. REGULA DOLACZANIA KONIUNKCJI - gdy do dowodu naleza dwie rozne rzeczy, mozna tworzyc z nich koniunkcje. Przyklad zastosowania DK (reguly dolaczania koniunkcji): To samo na literach : p (pierwsza rzecz) q (druga rzecz) p q DK [r ~ (q ~ p)] (pierwsza rzecz) {~ p [r ~ (q V p)]} (druga rzecz) [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} DK I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 3. REGULA OPUSZCZANIA KONIUNKCJI - jesli do dowodu nalezy koniunkcja, to mozemy rozszczepic ja na dwa oddzielne skladniki. Przyklad zastosowania OK (reguly opuszczania koniunkcji): Teraz na literach : p q (koniunkcja) p OK q OK [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} (koniunkcja) [r ~ (q ~ p)] OK {~ p [r ~ (q V p)]} OK UWAGA ! Czasem pojawia sie w zadaniach koniunkcja skladajaca sie z wiecej niz dwoch czesci, np. p q r . Regula opuszczania takiej koniunkcji jest analogiczna do sposobu postepowania z koniunkcja dwuskladnikowa i otrzymuje sie w ten sposob : p , q , r . PAMIETAJ ! I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 4. REGULA DOLACZANIA ALTERNATYWY - do dowodu wolno dolaczyc alternatywe, o ile ktorys z jej czlonow juz nalezal do tego dowodu. Przyklad zastosowania DA (reguly dolaczania alternatywy): Teraz na literach : p (rzecz nalezaca juz do dowodu) p V q DA [r ~ (q ~ p)] (rzecz nalezaca juz do dowodu) [r ~ (q ~ p)] V {~ p [r ~ (q V p)]} DA I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 5. REGULA OPUSZCZANIA ALTERNATYWY - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - alternatywa i druga - negacja jednego z jej czlonow, to mozemy w nast. wierszu wpisac drugi jej czlon. 6 mozliwych przykladow zastosowania OA (reguly opuszczenia alternatywy) : Wariant I Teraz na literach : p V q (alternatywa) ~ p (negacja pierwszego jej czlonu) q OA [r ~ (q ~ p)] V {~ p [r ~ (q V p)]} (alternatywa) ~ [r ~ (q ~ p)] (negacja pierwszego jej czlonu) {~ p [r ~ (q V p)]} OA Wariant II Teraz na literach : p V q (alternatywa) ~ q (negacja drugiego jej czlonu) p OA [r ~ (q ~ p)] V {~ p [r ~ (q V p)]} (alternatywa) ~{~ p [r ~ (q V p)]} (negacja drugiego jej czlonu) [r ~ (q ~ p)] OA Wariant III Teraz na literach : (~ p ) V q (alternatywa) p (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) q OA ~ [r ~ (q ~ p)] V {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} OA Wariant IV Teraz na literach : p V (~ q) (alternatywa) q (przeciwienstwo drugiego jej czlonu) p OA [r ~ (q ~ p)] V ~ {~ p [r ~ (q V p)]} {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] OA Wariant V Teraz na literach : (~ p ) V ( ~q ) (alternatywa) p (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) ~q OA ~ [r ~ (q ~ p)] V ~ {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] ~ {~ p [r ~ (q V p)]} OA Wariant VI Teraz na literach : (~ p ) V ( ~q ) (alternatywa) q (przeciwienstwo pierwszego jej czlonu) ~p OA ~ [r ~ (q ~ p)] V ~ {~ p [r ~ (q V p)]} {~ p [r ~ (q V p)]} ~ [r ~ (q ~ p)] OA I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 6. REGULA DOLACZANIA ROWNOWAZNOSCI - do dowodu mozemy dolaczyc rownowaznosc, jesli naleza do dwie implikacje, rozniace sie od siebie tylko tym, ze ich czesci skladowe sa zamienione miejscami. Przyklad zastosowania DR (reguly dolaczania rownowaznosci) : Dla wprawy przesledzmy przebieg tego dzialania na literach : p q (pierwsza implikacja) q p (druga implikacja) p q DR [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} DR I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 7. REGULA OPUSZCZANIA ROWNOWAZNOSCI - (odwrotnosc reguly DR), jesli do dowodu nalezy rownowaznosc, to mozna ja rozlozyc na dwie implikacje. Przyklad zastosowania OR (reguly opuszczania rownowaznosci) : I przebieg tego dzialania na literach : p q (rownowaznosc) p q OR (pierwsza implikacja) q p OR (druga implikacja) [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} OR {~ p [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] OR I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 8. REGULA OPUSZCZANIA NEGACJI - jesli w dowodzie mamy podwojna negacje pewnego elementu tego dowodu, wolno nam w kolejnym wierszu wpisac ten element juz bez obu znakow negacji (nie zmieni to jego wartosci logicznej). Przyklad zastosowania ON (reguly opuszczania negacji): Na literach wyglada to tak : ~ ~ p p ON ~ ~ [r ~ (q ~ p)] [r ~ (q ~ p)] ON I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 9. REGULA DODAWANIA NEGACJI - jesli w dowodzie mamy pewien element, wolno nam w kolejnym wierszu wpisac ten element z podwojnym znakiem negacji. Przyklad zastosowania DN (reguly dolaczania negacji) :   Na literach wyglada to tak : p ~ ~ p DN [r ~ (q ~ p)] ~ ~ [r ~ (q ~ p)] DN I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 10. REGULA MODUS TOLLENS - jesli do dowodu naleza dwie rzeczy : pierwsza - implikacja i druga - negacja jej nastepnika, wystepujaca samodzielnie, to wolno nam oderwac ten zanegowany nastepnik z implikacji, pozostawiajac jedynie sama negacje poprzednika. Dwa mozliwe przyklady zastosowania MT (reguly modus tollens): WARIANT I Na literach : p q (implikacja) ~ q (negacja nastepnika) ~ p MT [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} ~ {~ p [r ~ (q V p)]} ~ [r ~ (q ~ p)] MT WARIANT II Na literach : p (~ q) (implikacja) q (negacja nastepnika) ~ p MT [r ~ (q ~ p)] {~ p [r ~ (q V p)]} {~ p [r ~ (q V p)]} ~ [r ~ (q ~ p)] MT I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 11. REGULA NEGOWANIA KONIUNKCJI - zanegowana koniunkcja dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze zostac zastapiona alternatywa negacji obu tych elementow. Przyklad zastosowania NK (reguly negowania koniunkcji): Literki w akcji : ~ ( p q ) (zanegowana koniunkcja) ~ p V ~ q NK ~ {[r ~ (q ~ p)] [r ~ (q V p)]} { ~ [r ~ (q ~ p)]} V { ~ [r ~ (q V p)]} NK I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 12. REGULA NEGOWANIA ALTERNATYWY - zanegowana alternatywa dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze zostac zastapiona koniunkcja negacji obu tych elementow. Przyklad zastosowania NA (reguly negowania alternatywy): Literki w akcji : ~ ( p V q ) (zanegowana alternatywa) ~ p ~ q NA ~ {[r ~ (q ~ p)] V [r ~ (q V p)]} { ~ [r ~ (q ~ p)]} { ~ [r ~ (q V p)]} NA I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 13. REGULA NEGOWANIA IMPLIKACJI - zanegowana implikacja dwoch elementow, wystepujaca w dowodzie, moze byc zastapiona koniunkcja niezmienionego pierwszego i negacji drugiego elementu. Przyklad zastosowania NI (reguly negowania implikacji): Literki w akcji : ~ ( p q ) (zanegowana implikacja) p ( ~ q ) NI ~ {[r ~ (q ~ p)] [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] { ~ [r ~ (q V p)]} NI I W GORE I ------------------------------------------------------------------------------------------------------------ 14. REGULA NEGOWANIA ROWNOWAZNOSCI - zanegowana rownowaznosc dwoch elementow nalezaca do dowodu zostaje zastapiona : w pierwszym przypadku rownowaznoscia zanegowanego pierwszego elementu i niezmienionego drugiego elementu lub tez w drugim wariancie rownowaznoscia niezmienionego pierwszego elementu i negacji drugiego . Przyklad zastosowania NR (reguly negowania rownowaznosci): WARIANT I No i na literach to wyglada tak : ~ ( p q ) (zanegowana rownowaznosc) ~ p q NR ~ {[r ~ (q ~ p)] [r ~ (q V p)]} ~ [r ~ (q ~ p)] [r ~ (q V p)] NR WARIANT II Na literach to tak : ~ ( p q ) (zanegowana rownowaznosc) p ~ q NR ~ {[r ~ (q ~ p)] [r ~ (q V p)]} [r ~ (q ~ p)] ~ [r ~ (q V p)] NR I W GORE I

a) DOWOD ZALOZENIOWY “WPROST” I Pierwsze cwiczenie w rozdziale nr 5 I

Budujac zalozeniowy dowod wprost schematu o postaci: W₁ { W₂ [ W₃ ... ( W_n W ) ] } wypisujemy najpierw zalozenia : W₁ , W₂ , W₃ , ... , W_n , potem zas przeksztalcenia dokonywane na podstawie poznanych wczesniej regul dowodzenia w systemie zalozeniowym. Dowod jest zakonczony, gdy ostatecznie otrzymamy to wyrazenie “W”.

Od razu przyklad:

(p r) [ (r q) ( p q ) ]





Mamy wiec schemat : “(p r) [ (r q) ( p q ) ]”, i naszym zadaniem jest sprawdzenie czy jest on tautologia. Chcac uczynic to wczesniej podstawialismy zmudnie do niego kombinacje zerojedynkowe i oczekiwalismy, ze da nam to za kazdym razem wartosc calego schematu “1”. Tym razem jednak zrobimy to krotka i prosta metoda <<dowodu wprost>> :


- jak wyczytalismy to w powyzszej definicji, musimy zaczac od wypisania zalozen, czego poprawne wykonanie jest polowa naszego sukcesu:

1. p r 2. r q 3. p

zal. zal. zal.

Widzisz, ze mamy teraz trzy zalozenia : I - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja calego schematu (wyrazenie : “p r”, u nas znajdujace sie w lewej kopercie, a w definicji figurujace jako “W1”). II - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja nastepnika calego schematu (wyrazenie : “r q”, u nas to znaczek poczty lotniczej, znajdujacy sie na prawej kopercie, a w definicji figurujace jako “W2”). III - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed ostatnia implikacja, jaka mamy w schemacie (wyrazenie : “p”, u nas to pole adresowe prawej wielkiej koperty , a w definicji figurujace jako “Wn”). - kolejny krok to dokonanie stosownych przeksztalcen na podstawie znanych regul:

4. r 5. q	RO : 1,3 RO : 2,4

UWAGA ! Trzeba koniecznie zapisywac ktore wiersze biora udzial w danej regule i tak np. w naszej RO uzytej w wierszu 4 braly udzial : wiersz 1 i 3 . PAMIETAJ! W wierszu czwartym zastosowalismy znana nam reg. odrywania, uzywajac do tego celu rzeczy z wiersza pierwszego i trzeciego: 1. p r ... 3. p 4. r W wierszu piatym zastosowalismy takze RO: 2. r q ... 4. r 5. q - tak oto dostalismy, co chcielismy: nasz piaty wiersz jest zgodny z rzecza, ktora mielismy osiagnac, czyli ZAWSZE tym, co znajduje sie po ostatnim znaku implikacji wystepujacym w calym schemacie (wyrazenie : “q”, u nas jest to znaczek przyklejony na prawej wielkiej kopercie, a w definicji figurujace jako “W”). - pozostaje teraz jedynie napisac odpowiedz, ze badany schemat jest tautologia. Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco : (p r) [(r q) (p q)]

1. p r	zal.
2. r q	zal.
3. p	zal.
4. r	RO : 1,3
5. q Odp. Ten schemat jest tautologia.	RO : 2,4

b) DOWOD ZALOZENIOWY “NIEWPROST” Budujac zalozeniowy dowod niewprost schematu o postaci: W1 { W2 [ W3 ... ( Wn W ) ] } wypisujemy najpierw zalozenia: W1 , W2 , W3 , ... , Wn , nastepnie negacje wyrazenia W, potem zas przeksztalcenia dokonywane na podstawie poznanych wczesniej regul dowodzenia w systemie zalozeniowym. Dowod jest zakonczony, gdy wystapia w nim jakiekolwiek dwa sprzeczne ze soba wyrazenia ( jedno musi byc negacja drugiego ). Maly przykladzik “na goraco”: (p r) [ (r q) ( p q ) ] Oto schemat : “(p r) [ (r q) ( p q ) ]”. Teraz sprawdzimy czy jest on tautologia, uzywajac do tego celu jeszcze prostszego sposobu, niz “metoda wprost - <<dowodu niewprost>>: - zaczynamy znow od wypisania zalozen:

1. p r 2. r q 3. p

zal. zal. zal.

Sa w tym przypadku trzy zalozenia: I - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja calego schematu (wyrazenie : “p r”, u nas znajdujace sie w lewej kopercie, a w definicji figurujace jako “W1”). II - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed glowna implikacja nastepnika calego schematu (wyrazenie : “r q”, u nas to znaczek poczty lotniczej, znajdujacy sie na prawej kopercie, a w definicji figurujace jako “W2”). III - jest nim ZAWSZE wszystko to, co wystepuje przed ostatnia implikacja, jaka mamy w schemacie (wyrazenie : “p”, u nas to pole adresowe prawej wielkiej koperty , a w definicji figurujace jako “Wn”). - teraz musimy dodac tzw. “zalozenie dowodu niewprost”, ktore to ZAWSZE jest NEGACJA tego wyrazenia, ktore znajduje sie po ostatnim znaku implikacji wystepujacym w calym schemacie (wyrazenie : “q”, u nas jest to znaczek przyklejony na prawej wielkiej kopercie, a w definicji figurujace jako “W”). Cala sprawa wyglada tak :

4. ~ q	z.d.n. (UWAGA!“z.d.n.”trzeba tutaj pisac PAMIETAJ!)
- dalszy krok - przeksztalcenia na podstawie regul:
5. r 6. ~ r	RO : 1,3 MT : 2,4
Wiersz nr 6 wzial sie stad: 2. r q ... 4. ~ q ... 6. ~ r

- i naszym oczom ukazala sie upragniona sprzecznosc : wyrazenie w wierszu piatym jest sprzeczne z wyrazeniem z wiersza szostego, co pozwala nam udzielic odpowiedzi, iz schemat jest tautologia. UWAGA! Nie musimy wcale szukac negacji wyrazenia, ktore wystepuje po ostatniej implikacji - “znaczka”, by uzyskac sprzecznosc, a tym samym udowodnic tautologicznosc schematu. Wystarczy, jak ma to miejsce w podanym tu przykladzie, ze znajdziemy jakakolwiek sprzecznosc. PAMIETAJ!. Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco: (p r) [(r q) (p q)]
1. p r
2. r q
3. p
4. ~ q
5. r
6. ~ r Odp. Sprzecznosc:5,6 - schemat jest tautologia.
UWAGA ! Dowodzenie tautologicznosci schematu, ktorego glownym spojnikiem nie jest implikacja najlepiej robic metoda “NIEWPROST”. Oto kolejne kroki tej procedury w przypadku takiego rodzaju schematu (glownym spojnikiem jest tu alternatywa): ( p q ) v ( q p ) (calosc traktujemy sobie jako swoisty nastepnik nieistniejacej w istocie implikacji) - ZAWSZE zaczynamy wiec od “zalozenia dowodu niewprost” - zanegowania calego schematu (u nas jest to cala koperta), gdyz nigdy nie wypisuje sie zwyklych zalozen (taki panuje tu konwenans):
1. ~ [( p q ) V ( q p )]
- przeksztalcenia, zgodne ze znanymi regulami:
2. ~ ( p q ) ~ ( q p )
3.~ ( p q )
4. ~ ( q p )
5. p ~ q
6. q ~ p
7. p
8. ~ q
9. q
10. ~ p
- pokazala sie "jakakolwiek" sprzecznosc (wiersze: 8,9 , a nawet dodatkowo wiersze : 7,10 , choc wystarczylaby zupelnie jedna, ale “od przybytku sprzecznosci glowa nie boli”), co sklania nas do odpowiedzi, iz badany schemat jest tautologia. PAMIETAJ ! Zapis calego dzialania wyglada nastepujaco : ( p q ) V ( q p )

1. ~ [( p q ) V ( q p )]	z.d.n.
2. ~ ( p q ) ~ ( q p )	NA : 1
3.~ ( p q )	OK : 2
4. ~ ( q p )	OK : 2
5. p ~ q	NI : 3
6. q ~ p	NI : 4
7. p	OK : 5
8. ~ q	OK : 5
9. q	OK : 6
10. ~ p Odp. Sprzecznosc: 8,9 - schemat jest tautologia.	OK : 6
6. PRAWDA LOGICZNA - jest to zdanie z ktorego mozna stworzyc taki schemat zdaniowy, ktory jest tautologia    (wiecznie prawdziwe). Czyli bedzie teraz troche “pod gorke”, bo dostaniemy jakies zdanie i dopiero na jego podstawie trzeba nam bedzie skonstruowac schemat logiczny, po ktorego udowodnieniu tautologicznosci badz tejze nieudowodnieniu, damy odpowiedz, ze jest ono prawda logiczna badz ze nie jest. Zatem rzecz jest do zrobienia - nie takie rzeczy sie przeciez tu juz robilo! :) CWICZENIE 13 Sprawdzimy sobie aktualnie czy ponizsze zdania naleza do jednego z wielu gatunkow stworzen logicznych, jakim sa Prawdy: a) “Jezeli Kubus wyjadl miodek lub Antykubus wyjadl miodek, to o ile Kubus nie wyjadl miodku, to Antykubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.” Schemat calosci: (p V q) (~ p q)

1. p V q	zal.
2. ~ p	zal.
3. ~ q	z.d.n.
4. q	OA : 1,2

Odp. Schemat jest tautologia ( sprzecznosc: 3,4 ),  wiec cale zdanie jest prawda logiczna. _____ b) “Jesli prawda, ze Kubus wyjadl miodek i Antykubus wyjadl miodek, to Kubus wyjadl miodek lub Antykubus nie wyjadl miodku. Zdanie skladowe “p” - “Kubus wyjadl miodek.” Zdanie skladowe “q” - “Antykubus wyjadl miodek.” Schemat calosci: (p q) (p V ~ q)

1. p q	zal.
2. ~ (p V ~ q)	z.d.n.
3. p	OK : 1
4. q	OK : 1
5. ~ p ~ ~ q	NA : 2
6. ~ p	OK : 5
7. ~ ~ q	OK : 5

Odp. Schemat jest tautologia (sprzecznosc: 3,6), a cale zdanie prawda logiczna.