Jeżeli równanie charakterystyczne dla układu regulacji ma postać:

a_ns⁵+a_n-1S⁴+a_n-2S³+a_n-3S²+a_n-4S+a₀=0

przy czym a_n>0, to warunkiem koniecznym dla stabilności, aby n wyznaczników Hurwitza były dodatnie. Dlatego ∆₁>0, ∆₂>0, ∆₃>0… itd. Jest metodą pozwalającą określić stabilność układu regulacji na podstawie równania charakterystycznego układu, na przykład :

a_n=4, a_n-1=10, a_n-2=10, a_n-3=20, a_n-4=1, a₀=1

Z punktu widzenia algebry kryterium Hurwitza pozwala sprawdzić, czy wszystkie pierwiastki równania charakterystycznego leżą w lewej półpłaszczyźnie zmiennej zespolonej , co pociąga za sobą stabilność układu. Na potrzeby kryterium wykorzystujemy ciąg wyznaczników, utworzonych ze współczynników równania charakterystycznego:

Wyznacznik Hurwitza wygląda następująco:

$$\begin{matrix} \text{an} - 1 & \text{an} & 0\ \ \ \ \ \ \ \ \ \\ \text{an} - 3 & \text{an} - 2 & \text{an} - 1 \\ \text{an} - 5 & \text{an} - 4 & \text{an} - 3 \\ \end{matrix}$$

Przykład 1.

G_S=$\frac{K}{S^{3} + 2S^{2} + 2S + 1}$

a_n=1, a_n-1=2, a_n-2=2, a₀=1

∆₁=2 > 0

∆₂= 4 => $\begin{matrix} 2 & 1 \\ 0 & 0 \\ \end{matrix}$ = 2*2-1*0= 4 > 0 , czyli układ ten jest stabilny

∆₂ możemy zapisać jeszcze w następujący sposób: Delta_2= det ([2_1;0_2])=4

∆₃ = delta_3=det([2_1_0;0_2_2;0_0_0]) =0, układ ten jest na granicy stabilności.

Przykład 2.

G_s= $\frac{k*k_{e}\left( T_{1} + 1 \right)}{T_{1}S*\left( S^{3} + 2S^{2} + 2S + 1 \right)}$

T₁S⁴+2T₁S³+2T₁S²+T₁S+0=0

a₁=1, a_n-1=2, a_n-2=2, a_n-3=1, a₀=0

Wyznacznik Hurwitza :

$$\begin{matrix} 2 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & 2 \\ 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix}\begin{matrix} \ \ \ \ 0 \\ \ \ \ \ 1 \\ \ \ \ \ 2 \\ \end{matrix}\backslash n$$

Delta_2= det ([2_1;1_2]) =3 >0 delta jest stabilna

Delta_3= det ([2_1_0;1_2_2;0_0_1]) =3 >0 delta jest stabilna

Delta_4=det ([2_1_0_0;1_2_2_1;0_0_1_2;0_0_0_0])= 0 delta jest na granicy stabilności

Przykład 3.

Suma transmitancji została przeniesiona, wraz z uproszczeniem schematu zastosowane zostało sprzężenie zwrotne:

G₂= TF ([10][10_1_1])

Schemat

G₃= series (g₀,g₁)

G₄= parallel (g₂,g₁)

G_z= feedback (g₃,1)

G_z1= feedback (g₂, g₁)

G_całkowite= series (g_s, g_z1)

Kryterium nyquista :

Kryterium Bode’go: układ jest stabilny