LABORATORIUM FIZYKI I	Ćwiczenie nr: 25
Wydział: WiP	Grupa: ID-A0-42
Nazwisko i imię: Wojciech Wiosek	Przygotowanie: 4pkt
Temat ćwiczenia: Zjawisko interferencji światła. Pierścienie Newtona, Interferometr Michelsona	Sprawozdanie:
Sprawozdanie przyjęto:	Podpis:

Cel ćwiczenia:

Celem niniejszego ćwiczenia jest zaobserwowanie i zbadanie zjawiska interferencji promieni światła na przykładzie pierścieni Newtona. Dzięki wykonanym w trakcie ćwiczenia pomiarom obliczymy długość fali świetlnej oraz (przy znanej długości światła) promień krzywizny wykorzystanej soczewki płasko-wypukłej. Podczas wykonywania ćwiczenia nie zajmowaliśmy się interferometrem Michelsona.

Podstawy fizyczne:

Jednym z najbardziej charakterystycznych zjawisk ruchu falowego jest interferencja. W ogólnym sformułowaniu, jest to efekt nakładania się fal, w wyniku czego może wystąpić wzmocnienie natężenia fali wypadkowej (jeśli fale nakładają się w zgodnych fazach) lub też osłabienie (jeśli fale nakładają się w fazach przeciwnych). Fazą nazywamy argument funkcji okresowej opisującej rozchodzącą się falę. By zjawisko to można było zaobserwować nakładające się fale muszą być spójne, a więc muszą posiadać stałą w czasie różnicę faz. W przypadku jeśli ten warunek nie zostanie spełniony, nie zaobserwujemy obrazu interferencyjnego (ponieważ w pewnych chwilach czasu fazy będą zgodne – powodując wzmocnienie, a w innych chwilach przeciwne – powodując osłabienie).

Większość źródeł światła nie jest spójna, ponieważ każdy atom przechodząc z wyższego poziomu energetycznego do niższego wysyła krótki ciąg falowy, niezależnie od innych atomów znajdujących się w stanach wzbudzonych. Interferencję możemy zaobserwować stosując niespójne źródło światła, jeśli zapewnimy spójność wzajemną interferujących promieni. Osiągniemy to dzieląc promień światła biegnący ze źródła na dwa, z których każdy przebędzie inną drogę, a następnie spowodujemy ich ponowne nałożenie. Możemy wówczas przyjąć, iż te dwa promienie są wysyłane przez dwa wzajemne spójne źródła. Warunkiem zachowania spójności tych promieni jest różnica przebytych przez nie dróg. Nie może być zbyt duża, w przeciwnym wypadku promień, który przebył dłuższą drogę może „nie zdążyć” spotkać się ze swym macierzystym ciągiem falowym i spójność wzajemna nie będzie zachowana.

Wypadkowe natężenie fal jest równe:

$$I = I_{1} + I_{2} + 2\sqrt{I_{1}I_{2}}\cos\varphi$$

Pierwszy wyraz prawej strony powyższego równania jest natężeniem fali 1, drugi natężeniem fali 2, natomiast trzeci opisuje efekt interferencji fali 1 i 2. W zależności od kąta przesunięcia fazowego φ, wartość tego wyrazu zmienia się w granicach:

od $- 2\sqrt{I_{1}I_{2}}$, cosφ = −1, w tym przypadku następuje osłabienie natężenia,

do $2\sqrt{I_{1}I_{2}}$, cosφ = 1, w tym przypadku następuje wzmocnienie natężenia.

Opis ćwiczenia:

Połóżmy na płaską płytkę szklaną soczewkę płasko-wypukłą o dużym promieniu krzywizny tak, aby strona wypukła dotykała płytki (rysunek 1). Pomiędzy soczewką a płytką tworzy się szczelina powietrza o zmiennej grubości. Oświetlamy teraz ten układ światłem monochromatycznym o długości fali λ biegnącym prostopadle do powierzchni płytki. Promienie odbite od wypukłej strony soczewki (1’) będą mogły interferować z promieniami odbitymi od górnej powierzchni płytki (1”) gdyż są wzajemnie spójne jako pochodzące z podziału tego samego promienia macierzystego (1), a różnica dróg optycznych między nimi nie jest duża (Δ < 100λ). Zgodnie z wcześniej przedstawionymi rozważaniami wzmocnienie następuje gdy:

nΔ = mλ, (m = 0, 1, 2, 3…)

a osłabienie jeżeli:

$$n\Delta = (2m + 1)\frac{\lambda}{2}$$

Różnicę dróg optycznych nΔ w naszym przypadku stanowi odcinek 2e (gdyż n = 1 a światło przebywa odcinek e dwukrotnie). Ze względu na zmianę fazy na przeciwną przy odbiciu od środka optycznie gęstszego, należy jeszcze do 2e dodać λ/2. Potwierdzeniem wspomnianego skoku fazy jest powstanie ciemnego prążka w punkcie styku soczewki z płytką. Po uwzględnieniu powyższych uwag warunek na wygaszenie (pierścienie Newtona są ciemne) przybierze postać:

2e = mλ

Z trójkąta AOB otrzymujemy:

R² = r_m² + (R − e)² = r_m² + R² − 2Re + e²

Ponieważ e ≪ R, wyraz e² możemy pominąć. Po wykonaniu redukcji i podstawieniu otrzymujemy ostatecznie związek łączący promień pierścieni Newtona r_m rzędu m, z promieniem krzywizny soczewki R, długością fali λ i rzędem interferencji m (związek ten słuszny jest dla prążków ciemnych, w przypadku obserwacji promieni odbitych od układu soczewki i płytki):

r_m² = Rλm

Przebieg ćwiczenia:

Pierścienie Newtona.

1. Włączyć monochromatyczne źródło światła o znanej długości fali, a mianowicie lampę sodową o długości fali λ = 589, 3 nm.

2. Połączyć na stoliku krzyżowym płytkę płasko-równoległą z soczewką i znaleźć ostry obraz pierścieni Newtona.

3. Zmierzyć średnice (a nie promienie, gdyż trudno jest określić położenie środka) 10-ciu pierścieni Newtona w kierunku dowolnej osi x bądź y, notując ich rząd interferencji m.

4. Używając światła o nieznanej długości fali zmierzyć średnice 10-ciu pierścieni Newtona (notując m). Światło o nieznanej długości fali otrzymuje się przepuszczając światło białe przez filtry interferencyjne).

Wyniki i ich opracowanie:

Używane przez nas w pierwszej części ćwiczenia światło to światło sodowe, którego długość fali jest znana i równa λ = 589, 3 nm. Pomiar średnicy 10-ciu kolejnych pierścieni Newtona odbywał się w osi x, przy pomocy mikroskopu wyposażonego w ruchomy stół przesuwany za pomocą śrub mikrometrycznych. Niepewność pomiaru w tym przypadku wynosi:

x = 10 μm = 0, 01 mm

$$u(x) = \frac{x}{\sqrt{3}} = 0,0057735\ mm$$

Mierzoną przez nas wielkością była średnica poszczególnych 10-ciu pierścieni Newtona. Pomiar średnicy odbywał się poprzez porównanie dwóch skrajnych położeń (lewego i prawego) danego pierścienia (x₁ oraz x₂). Ponieważ do dalszych obliczeń wykorzystujemy promienie ów pierścieni stosujemy wzór na promień:

$$r_{m} = \frac{x_{1} - x_{2}}{2}$$

Z racji tego iż jest to pomiar pośredni, niepewność w tym przypadku wynosić będzie:

$$u\left( r_{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial r_{m}}{\partial x_{1}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( x \right) + \left( \frac{\partial r_{m}}{\partial x_{2}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( x \right)}$$

$$u\left( r_{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{1}{2} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( x \right) + \left( \frac{1}{2} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( x \right)} = \frac{u(x)}{\sqrt{2}}$$

Dla pojedynczego pomiaru wskazanego przez prowadzącego, na podstawie którego obliczę promień krzywizny soczewki obowiązuje przekształcony wzór:

$$R = \frac{{r_{m}}^{2}}{\text{λm}}$$

Niepewność w tym przypadku wynosić będzie:

$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial R}{\partial r_{m}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right)} = \sqrt{\left( \frac{2r_{m}}{\text{λm}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right)}$$

W przypadku uwzględnienia wszystkich pomiarów, promień krzywizny soczewki oraz jej niepewność obliczę korzystając z metody najmniejszych kwadratów w programie MicroCal Origin:

r_m² = Rλm

Sprowadzając do postaci:

y = Bx + A

Otrzymujemy:

y = r_m², x = λm, B = R

W przypadku drugiej części ćwiczenia, a mianowicie przy wyznaczaniu długości fali nieznanego źródła światła, dla pojedynczego pomiaru wyznaczonego przez asystenta zastosujemy przekształcony wzór:

$$\lambda = \frac{{r_{m}}^{2}}{\text{Rm}}$$

Niepewność powyższego pomiaru wyniesie:

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial\lambda}{\partial r_{m}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right) + \left( \frac{\partial\lambda}{\partial R} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( R \right)} = \sqrt{\left( \frac{2r_{m}}{\text{Rm}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right) + \left( \frac{{r_{m}}^{2}}{R^{2}m} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( R \right)}$$

W przypadku uwzględnienia wszystkich pomiarów, ponownie skorzystam z metody najmniejszych kwadratów w programie MicroCal Origin:

r_m² = Rλm

Sprowadzając do postaci:

y = Bx + A

Otrzymujemy:

y = r_m², x = Rm, B = λ

Dla obu powyższych przypadków wartość R, została wyznaczona w poprzedniej części ćwiczenia a niepewność pomiaru r_m² wynosić będzie:

$$u\left( {r_{m}}^{2} \right) = \sqrt{\left( \frac{\partial{r_{m}}^{2}}{\partial r_{m}} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right)} = \sqrt{\left( 2r_{m} \right)^{2} \bullet u^{2}\left( r_{m} \right)}$$

CZĘŚĆ I: Wyznaczenie promienia krzywizny soczewki.

Poniżej przedstawiam tabelę ze zmierzonymi przez nas wartościami oraz ich niepewnościami:

m	x1	x2	rm	u(x)	u(rm)	λm	rm^2	u(rm^2)
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1	11,57	8,52	1,525	0,00577	0,00408	5,89E-04	2,32563	0,01245
2	12,26	7,82	2,22	0,00577	0,00408	0,00118	4,9284	0,01813
3	12,79	7,27	2,76	0,00577	0,00408	0,00177	7,6176	0,02254
4	13,26	6,83	3,215	0,00577	0,00408	0,00236	10,33622	0,02625
5	13,66	6,43	3,615	0,00577	0,00408	0,00295	13,06823	0,02952
6	14	6,05	3,975	0,00577	0,00408	0,00354	15,80063	0,03246
7	14,34	5,76	4,29	0,00577	0,00408	0,00413	18,4041	0,03503
8	14,64	5,46	4,59	0,00577	0,00408	0,00471	21,0681	0,03748
9	14,92	5,14	4,89	0,00577	0,00408	0,0053	23,9121	0,03993
10	15,22	4,87	5,175	0,00577	0,00408	0,00589	26,78063	0,04225

Obliczenia dla zadanego przez prowadzącego pomiaru (m=7):

x₁ = 14, 34 mm

x₂ = 5, 76 mm

$$r_{m} = \frac{14,34 - 5,76}{2} = 4,29\ mm$$

$$u\left( x \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,0057735\text{\ \ mm}$$

$$u\left( r_{m} \right) = \frac{0,0057735}{\sqrt{2}} = 0,0040825\ mm$$

$$R = \frac{{4,29}^{2}}{0,0005893*7} = 4461,491843\ mm$$

$$u\left( R \right) = \sqrt{\left( \frac{2 \bullet 4,29}{0,0005893*7} \right)^{2} \bullet {0,0040825}^{2}} = 8,491394\ mm$$

U(R) = 2 • u(R) = 16, 982788 mm

Zatem ostatecznie:

R = (4461  ± 17) mm

Poniżej przedstawiam wykres sporządzony w programie MicroCal Origin na podstawie powyższej tabeli. Wykres przedstawia zależność r_m²(λm):

Przedstawiam również otrzymany wynik regresji liniowej:

Equation	y = a + b*x
Adj. R-Square	0,99989
		Value	Standard Error
Rm^2	Intercept	-0,48149	0,06009
Rm^2	Slope	4598,876	16,43314

Obliczona metodą najmniejszych kwadratów wartość promienia krzywizny soczewki oraz jej niepewność wynoszą odpowiednio:

R = 4598, 876 mm

u(R) = 16, 43314 mm

U(R) = 2 • u(R) = 32, 86628

Zatem ostatecznie:

R = (4599  ± 33) mm

Wynik testu χ²:

χ² = 0, 0619 ≤ χ²_krytyczna

W takim przypadku nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowej zależności danych, zatem zależność opisana wzorem r_m² = Rλm jest prawdziwa.

CZĘŚĆ II: Wyznaczenie nieznanej długości fali dla dwóch filtrów interferencyjnych.

Poniżej przedstawiam tabelę ze zmierzonymi przez nas wartościami oraz ich niepewnościami dla pierwszego badanego filtru interferencyjnego:

m	x1	x2	rm	u(x)	u(rm)	R*m	u(R*m)	rm^2	u(rm^2)
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1	8,02	12,09	2,035	0,00577	0,00408	4598,876	16,43314	4,14123	0,01662
2	7,51	12,57	2,53	0,00577	0,00408	9197,752	32,86628	6,4009	0,02066
3	7,04	13,03	2,995	0,00577	0,00408	13796,63	49,29942	8,97002	0,02445
4	6,69	13,45	3,38	0,00577	0,00408	18395,5	65,73256	11,4244	0,0276
5	6,36	13,79	3,715	0,00577	0,00408	22994,38	82,1657	13,80122	0,03033
6	5,99	14,1	4,055	0,00577	0,00408	27593,26	98,59884	16,44302	0,03311
7	5,73	14,39	4,33	0,00577	0,00408	32192,13	115,032	18,7489	0,03535
8	5,43	14,64	4,605	0,00577	0,00408	36791,01	131,4651	21,20603	0,0376
9	5,18	14,91	4,865	0,00577	0,00408	41389,88	147,8983	23,66823	0,03972
10	4,95	15,19	5,12	0,00577	0,00408	45988,76	164,3314	26,2144	0,0418

Obliczenia dla zadanego przez prowadzącego pomiaru (m=7):

x₁ = 5, 73 mm

x₂ = 14, 39 mm

$$r_{m} = \frac{14,39 - 5,73}{2} = 4,33\ mm$$

$$u\left( x \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,0057735\text{\ \ mm}$$

$$u\left( r_{m} \right) = \frac{0,0057735}{\sqrt{2}} = 0,0040825\ mm$$

Przyjmując poprzednio obliczone wartości R oraz u(R):

R = 4461, 491843 mm

u(R) = 8, 491394 mm

Obliczam wartość λ oraz u(λ):

$$\lambda = \frac{{4,33}^{2}}{4461,491843 \bullet 7} = 600,3405\ nm$$

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{2 \bullet 4,33}{4461,491843 \bullet 7} \right)^{2} \bullet {0,0040825}^{2} + \left( \frac{{4,33}^{2}}{{4461,491843}^{2} \bullet 7} \right)^{2} \bullet {8,491394}^{2}}$$

u(λ) = 1, 608443 nm

U(λ) = 2 • u(λ) = 3, 216886 nm

Zatem ostatecznie:

λ = (600,3 ±3,2) nm

Poniżej przedstawiam wykres sporządzony w programie MicroCal Origin na podstawie powyższej tabeli. Wykres przedstawia zależność r_m²(Rm):

Przedstawiam również otrzymany wynik regresji liniowej:

Equation	y = a + b*x
Adj. R-Square	0,9999
		Value	Standard Error
Rm^2	Intercept	1,591	0,05108
Rm^2	Slope	5,34E-04	1,79E-06

Obliczona metodą najmniejszych kwadratów wartość długości fali oraz jej niepewność dla pierwszego filtra interferencyjnego wynoszą odpowiednio:

λ = 534, 15 nm

u(λ) = 1, 79 nm

U(λ) = 2 • u(λ) = 3, 58 nm

Zatem ostatecznie:

λ = (534, 2  ± 3, 6) nm

Podobnie w przypadku drugiego filtra interferencyjnego:

m	x1	x2	rm	u(x)	u(rm)	R*m	u(R*m)	rm^2	u(rm^2)
	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]	[mm]
1	8,32	11,81	1,745	0,00577	0,00408	4598,876	16,43314	3,04503	0,01425
2	7,67	12,44	2,385	0,00577	0,00408	9197,752	32,86628	5,68822	0,01947
3	7,15	12,93	2,89	0,00577	0,00408	13796,63	49,29942	8,3521	0,0236
4	6,71	13,38	3,335	0,00577	0,00408	18395,5	65,73256	11,12223	0,02723
5	6,33	13,76	3,715	0,00577	0,00408	22994,38	82,1657	13,80122	0,03033
6	6,01	14,1	4,045	0,00577	0,00408	27593,26	98,59884	16,36202	0,03303
7	5,67	14,4	4,365	0,00577	0,00408	32192,13	115,032	19,05323	0,03564
8	5,39	14,71	4,66	0,00577	0,00408	36791,01	131,4651	21,7156	0,03805
9	5,11	14,99	4,94	0,00577	0,00408	41389,88	147,8983	24,4036	0,04033
10	4,84	15,26	5,21	0,00577	0,00408	45988,76	164,3314	27,1441	0,04254

Obliczenia dla m=7:

x₁ = 5, 67 mm

x₂ = 14, 4 mm

$$r_{m} = \frac{14,4 - 5,67}{2} = 4,365\text{\ mm}$$

$$u\left( x \right) = \frac{0,01}{\sqrt{3}} = 0,0057735\text{\ \ mm}$$

$$u\left( r_{m} \right) = \frac{0,0057735}{\sqrt{2}} = 0,0040825\ mm$$

R = 4461, 491843 mm

u(R) = 8, 491394 mm

Obliczam wartość λ oraz u(λ):

$$\lambda = \frac{{4,365}^{2}}{4461,491843 \bullet 7} = 610,085\text{\ nm}$$

$$u\left( \lambda \right) = \sqrt{\left( \frac{2 \bullet 4,365}{4461,491843 \bullet 7} \right)^{2} \bullet {0,0040825}^{2} + \left( \frac{{4,365}^{2}}{{4461,491843}^{2} \bullet 7} \right)^{2} \bullet {8,491394}^{2}}$$

u(λ) = 1, 62793 nm

U(λ) = 2 • u(λ) = 3, 25586 nm

Zatem ostatecznie:

λ = (610,1 ±3,3) nm

Wykres:

Equation	y = a + b*x
Adj. R-Square	0,99997
		Value	Standard Error
Rm^2	Intercept	0,36638	0,03142
Rm^2	Slope	5,81263E-4	1,10109E-6

Obliczona metodą najmniejszych kwadratów wartość długości fali oraz jej niepewność dla drugiego filtra interferencyjnego wynoszą odpowiednio:

λ = 581, 263 nm

u(λ) = 1, 10109 nm

U(λ) = 2 • u(λ) = 2, 20218 nm

Zatem ostatecznie:

λ = (581, 3  ± 2, 2) nm

Wnioski:

• Udało nam się zaobserwować interferencję światła za pomocą podziału promienia biegnącego ze źródła na dwa, z których każdy przebył inną drogę, po czym doszło do ich nałożenia. W mikroskopie widzieliśmy dokładny obraz promieni Newtona, na podstawie którego wykonaliśmy szereg obliczeń uzyskując promień krzywizny soczewki oraz dwie długości światła dla dwóch różnych filtrów interferencyjnych

• Wyniki zarówno promienia krzywizny jak i długości fali dla dwóch różnych filtrów interferencyjnych otrzymane na podstawie jednego pomiaru nie są wynikami dokładnymi, co jest zgodne z założeniem teoretycznym (im więcej pomiarów, tym dokładniejszy wynik).

• Test χ² wykazał, iż nie ma podstaw do odrzucenia hipotezy o liniowej zależności danych, zatem zależność opisana wzorem r_m² = Rλm jest prawdziwa. Otrzymany wynik promienia krzywizny soczewki uznajemy za prawdziwy.

• Obliczona długość światła przepuszczonego przez pierwszy filtr interferencyjny λ = (534, 2  ± 3, 6) nm odpowiada barwie zielonej światła widzialnego co jest zgodne z prawdą.

• Obliczona długość światła przepuszczonego przez drugi filtr interferencyjny λ = (581, 3  ± 2, 2) nm odpowiada barwie z pogranicza żółtej/pomarańczowej światła widzialnego co również jest zgodne z prawdą.

• Na niepewność pomiaru długości światła ma duży wpływ dokładność promienia krzywizny soczewki oraz jej niepewność (uzyskana w pierwszej części ćwiczenia).

Do sprawozdania zostały dołączone trzy wykresy uzyskane przy pomocy programu ORIGIN.