2

Funkcje zespolone zmiennej

Zespolonej

Drugi tydzień

Przykłady

Przykład 2.1

Obliczyć:

Cos i; b) sin( 1 + i); c) Log (2i); d) Log (1 + i) e) log( -2).

Rozwiązanie

a) Ponieważ cos z $\frac{e^{12} + e^{- 12}}{2},\ wiec$

$\cos{i =}\frac{e^{i \bullet i} + e^{- i \bullet i}}{2} = \frac{e^{- 1} + e}{2} = ch1$

b) Ponieważ sin z $\frac{e^{12} + e^{- 12}}{2i},\ \text{wi}ec$

sin (1+i) = $\frac{e^{1(1 + i)} - e^{- i(1 + i)}}{2i} = \frac{e^{- 1 + i} - e^{1 - i}}{2i}$

= $\frac{e^{- 1}\left( cos1 + i\ sin1 \right) - e(cos1 - i\ sin1)}{2i} = cos1\frac{e^{- 1} - e}{2i} + \ i\sin{1\frac{e^{- 1} + e}{2i}}$

=sin 1 ch 1 + i cos 1 sh 1.

Korzystamy ze wzoru

Log z = ln|z| +  iargz + 2kπi,  gdzie kϵ Z,

Przy czym arg z oznacza argument główny liczby z. Mamy |2i| = 2 oraz arg (2i) = $\frac{\pi}{2}$

$\text{Log\ }\left( 2i \right) = \ln{2 + \frac{\pi}{2}}i + 2k\pi i,\ gdzie\ k\epsilon Z.$

Zadania

Zadanie 1.1

Obliczyć podane wyrażenia:

a) $\left( \mathbf{2 +}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{i} \right)\left( \mathbf{5 + i} \right)\mathbf{;\ }\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{\ b)}\left( \mathbf{3 - i} \right)\left( \mathbf{- 4 + 2}\mathbf{i} \right)\mathbf{;}\mathbf{\ }\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{c}$ )$\left( \frac{\mathbf{1}}{\mathbf{4}}\mathbf{+ i} \right)^{\mathbf{2}}$ ; d) (1 + i)⁴ ;

e) $\left( \mathbf{- 2 + 3}\mathbf{i}\mathbf{)}^{\mathbf{3}}\mathbf{;\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ f} \right)\frac{\mathbf{2 + 3}\mathbf{i}}{\mathbf{1 - i}}\mathbf{;}$ g) $\frac{\left( \mathbf{1 + i} \right)\mathbf{(2 - i)}}{\mathbf{(1 - i}\mathbf{)}^{\mathbf{2}}}$

Zadanie 1.2

Niech z = τ + iy,  gdzie τ ϵ R.Znalezc podane wyrazenia:

a) Re (z²);     b)e^|z|;     c) |z²|;      d) |zⁿ|;

e) Im($z^{3});\ \ \ \ \ f)\ \left( \overset{\overline{}}{z}z^{2} \right);\ \ \ \ \ g)\ Im\ \left( \frac{\overset{\overline{}}{z}}{2} \right);\ \ \ \ \ \ h_{}\text{Re\ }\left( \frac{1}{{1 + z}^{2}} \right)$

Zadanie 1.3

Przedstawić na płaszczyźnie zespolonej liczbę e^iφ,  gdzie φ ϵ R :

a) $e^{\text{πi}}\ \ \ \ \ \ \ \ \ b)\ e^{\frac{\pi}{2}i};\ \ \ \ \ \ \ \ \ c)\ \text{e\ }^{\frac{3}{2}}\ \ \ \ \ \ \ \ d)\ e^{2k\pi i}$ dla k ϵ Z.

Zadanie 1.4

Obliczyć podane pierwiastki. Wynik przedstawić w postaci wykładniczej i algebraicznej

(jeśli jest w miarę prosta). Podać interpretacje geometryczną:

$\mathbf{a)\ }\sqrt[\mathbf{4}]{\mathbf{1}}\mathbf{;\ \ \ \ \ \ \ b)\ }\sqrt[\mathbf{9}]{\mathbf{- 8}\mathbf{i;}}\mathbf{\ \ \ \ \ c)\ }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{- 27;\ \ \ \ \ d)\ }\sqrt[\mathbf{3}]{\mathbf{- 1 + i.}}}\mathbf{\text{\ \ }}$

Zadanie 1.5

Narysować na płaszczyźnie zespolonej , zbiory określone podanymi warunkami:

a) |= − 1|<1;           b) 2<|= + 2i|<3;        c) |z − 1 + i|>3;                

d) 0<|1 − i − z|≤4;        e) |2iz + 1|≥2;         f) |z − i|= Re z;

$\mathbf{g}\mathbf{)}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{\pi}}{\mathbf{4}}\mathbf{< arg(}$z-3+i) $\mathbf{\leq}\frac{\mathbf{2}}{\mathbf{3}}\mathbf{\pi}\mathbf{;\ \ \ \ }\mathbf{h}\mathbf{)}\mathbf{\ }\left| \mathbf{z - i} \right|\mathbf{=}\left| \mathbf{z - 1} \right|\mathbf{;\ \ \ \ \ \ \ \ i)0 \leq Re}\left( \mathbf{\text{iz}} \right)\mathbf{< 1.\ }$

Zadanie 1.6

Rozwiązać podane równania:

a) z² + 4z + 5 = 0;                           b) z² + (2−4i)z − 11 + 2i = 0;

c) z³ − 4z² + 6z − 4 = 0;              d) z³ − 8 = 0