Akademia Techniczno-Humanistyczna

w Bielsku-Białej

Wydział Budowy Maszyn i Informatyki

Automatyka i Robotyka

Semestr III Grupa III

Rok 2014/2015

Ćwiczenie nr 13

Wyznaczanie przyspieszenia ziemskiego za pomocą wahadła rewersyjnego.

Tomasz Kisiała

Wojciech Grzybek

Jakub Koziołek

Cel ćwiczenia.

Celem ćwiczenia jest zapoznanie się z podstawowymi zagadnieniami związanymi z analizą pola grawitacyjnego Ziemi.

Część teoretyczna.

Przyśpieszeniem ziemskim nazywamy przyśpieszenie swobodnego spadku ciał pod wpływem ich ciężaru.

Przyśpieszenie ziemskie zmienia się w niewielkim zakresie w różnych punktach powierzchni Ziemi ze względu na zmienność ciężaru. Ciężar jest wypadkową skierowanej do środka Ziemi siły grawitacji oraz odśrodkowej siły bezwładności spowodowanej ruchem obrotowym Ziemi wokół jej osi.

Wartość przyspieszenia ziemskiego zależy od szerokości geograficznej oraz wysokości nad poziomem morza. Wraz z wysokością przyspieszenie maleje odwrotnie proporcjonalnie do kwadratu odległości do środka Ziemi i jest wynikiem zmniejszania się siły grawitacji zgodnie z prawem powszechnego ciążenia. Zmniejszanie się przyspieszenia ziemskiego wraz ze zmniejszaniem szerokości geograficznej jest spowodowane działaniem pozornej siły odśrodkowej, która powstaje na skutek ruchu obrotowego Ziemi. Ponieważ siła ta jest proporcjonalna do odległości od osi obrotu, stąd największą wartość osiąga na równiku. Ponieważ siła odśrodkowa ma tu zwrot przeciwny do siły grawitacji, przyspieszenie ziemskie na równiku osiąga najmniejszą wartość. Dodatkowe zmniejszenie przyspieszenia ziemskiego w okolicach równika spowodowane jest spłaszczeniem Ziemi (większą odległością od środka Ziemi).

Poza ruchem obrotowym Ziemi i jej niesferycznym elipsoidalnym kształtem, również inne czynniki powodują zróżnicowanie przyspieszenia ziemskiego. Dokładne jego pomiary wykazują wahania wartości, w zależności od położenia. Jest to spowodowane między innymi różnicami w rzeźbie terenu, gęstości skał podłoża i rozkładzie tej gęstości w skorupie ziemskiej. Pewną zmienność przyspieszenia grawitacyjnego w czasie powoduje oddziaływanie innych ciał Układu Słonecznego, przede wszystkim Księżyca i Słońca.

Wahadło rewersyjne (czyli odwracalne) to przyrząd będący rodzajem wahadła fizycznego o dwóch równoległych osiach zawieszenia i regulowanym rozkładzie masy, używany do wyznaczania przyspieszenia ziemskiego. Wahadło zostało wynalezione przez Henry’ego Katera w 1817 roku.

Składa się ono z metalowego pręta, dwóch ostrzy O i O` na których można je zawieszać oraz z dwóch lub trzech metalowych brył w kształcie soczewki (by zmniejszyć opory powietrza), z których jedna może być przesuwana po pręcie, pozwala to na zmianę okresu drgań wahadła. Zastosowanie takiej konstrukcji pozwala na wyeliminowane ze wzorów wielkości trudno mierzalnych, takich jak moment bezwładności i odległość do środka masy. Przy odpowiednio dobranym położeniu masy ruchomej okres drgań wahadła dla obu zawieszeń jest jednakowy i odpowiada okresowi drgań wahadła matematycznego o długości równej odległości między osiami obrotu. Odległość ta jest nazywana długością zredukowaną wahadła. Wahadło pozwala wyznaczyć dokładnie wartość przyspieszenia ziemskiego:

Gdzie:

l - odległość między punktami zawieszenia wahadła (osiami),

T - okres drgań wahadła.

Okres swobodnych drgań danego wahadła fizycznego wynosi:

gdzie: J – moment bezwładności wahadła względem osi zawieszenia

m – masa wahadła

d – odległość środka ciężkości wahadła od osi obrotu

Przebieg ćwiczenia.

Zawieszamy wahadło na jednym z jego ostrzy, przesuwamy masę M na środek pręta. Wykonujemy serię m=10 pomiarów czasu t dziesięciu drgań (n=10) bez zmiany położenia masy M. Wyniki umieszczamy w Tab. 1 i na ich podstawie obliczamy wartość średnią t i średni błąd kwadratowy St pojedynczego pomiaru skorygowany przez odpowiedni współczynnik Studenta-Fishera: St=tα,mS't.

Tab. 1.

t1[s]	t2[s]	t3[s]	t4[s]	t5[s]	t6[s]	t7[s]	t8[s]	t9[s]	t10[s]
18,46	18,62	18,31	18,43	18,51	18,37	18,71	18,65	18,59	18,81

$t = \frac{\sum_{i = 1}^{n}\text{ti}}{n} = 18,55$ [s]

$${S'}_{t} = \sqrt{\frac{\sum_{i = 1}^{n}{(\text{ti} - t)}^{2}}{m - 1}}{\ = 0,158\ \lbrack s\rbrack\ \ \ \ \ \ \ \ S}_{t} = t_{\propto ,m}{S'}_{t} = 0,3\ \lbrack s\rbrack$$

t [s]	S't [s]	tα,m [s]	St [s]
18,55	0,158	2,3	0,3

Przesuwamy masę M do ostrza swobodnego O2 i wykonujemy serię pojedynczych pomiarów czasów t' dziesięciu drgań przesuwając masę M w kierunku osi wahadła co 5 cm. Następnie obracamy wahadło i zawieszając je na drugiej osi postępujemy jak wyżej -mierzymy czasy t'', a wyniki notujemy w Tab. 2.

	Oś I	Oś II
kn[cm]	t[s]	t[s]
7,5	20,15	20,06
10	19,75	19,87
15	19,62	19,31
20	19,40	19,18
25	19,25	19,03
30	19,09	18,78
35	18,81	18,34
40	18,62	18,15
45	18,71	17,71
50	18,75	17,43
55	18,59	17,50
60	18,78	17,21
65	18,71	17,09
70	18,75	17,46
75	18,87	17,53
80	19,28	17,75
85	19,34	18,46
90	19,65	18,93
95	20,10	20,06

Tab. 2.

Korzystając z wykresu odczytujemy współrzędne t'0 i t"0 punktów przecięcia się krzywych t'=(kn) i t"=(kn).

t'₀ =20,00 [s] t''₀ = 19,70 [s]

Obliczamy średni czas dziesięciu drgań t0 = (t'0 + t"0)/2

t₀ = (20,00+19,70)/2 = 19,85 [s]

Szacujemy błąd Δ t0 ze wzoru:

$t_{0} = {\lbrack S_{t}^{2} + {(t_{0}^{'})}^{2}\rbrack}^{\frac{1}{2}} = 0,33$ [s]

gdzie : $t_{0}^{'} = \frac{\left| t_{0}^{'} - t_{0}^{''} \right|}{2} = 0,15$ [s]

Obliczamy okres drgań wahadła T_0.

$T_{0} = \frac{t}{n} = 1,855\ \lbrack s\rbrack$

Obliczamy przyspieszenie ziemskie g i błąd bezwzględny Δg ze wzorów:

$g_{\text{ob}} = \frac{4\pi^{2}n^{2}}{t_{0}^{2}}l\ \lbrack m/s\rbrack$ $g_{\text{ob}} = \frac{4 \bullet \pi^{2} \bullet 100}{{(19,85)}^{2}}1 = 10,01\ \lbrack m/s\rbrack$

$g = g_{\text{ob}}\left\{ \left| \frac{l}{l} \right| + 2\left| \frac{t_{0}}{t_{0}} \right| \right\}\ \lbrack m/s\rbrack$ $g = 9,81 \bullet \left\{ \left| \frac{0,05}{1} \right| + 2 \bullet \left| \frac{0,33}{19,85} \right| \right\} = 0,82\ \lbrack m/s\rbrack$

Wyniki umieszczamy w Tab. 3.

t'0=20,00 [s]	t''0=19,70 [s]	t0=19,85 [s]	Δt'0=0,15 [s]	Δt0=0,33 [s]
T0= 1,855 [s]	l=1 [m]	Δl=0,05 [m]	g=10,01 [m/s]	Δg=0,82 [m/s]

Wnioski:

Na podstawie tego ćwiczenia ustalono wartość przyśpieszenia

ziemskiego, które wyniosło 10.01 [m/s]. Wartość ta jest wyższa od porównywanej wartości tablicowej wynoszącej 9.81 [m/s]. Różnicą jest 0,2 [m/s] co jest równoznaczne z odchyłką od wartości tablicowej o 2,04%.