5. TWIERDZENIE MORSE’A

Twierdzenie:

Funkcja Morse’a to taka funkcja, która ma wyłącznie niezdegenerowane punkty krytyczne.

Funkcja Morse’a jest lokalnie LR-Równoważna funkcji g(ξ) = −ξ₁²…−ξ_k² + ξ_k + 1² + …ξ_n².

K - nazywa się indeksem punktu krytycznego = liczba wartości własnych D²f(0) nieujemnych.

Dodatkowe twierdzenia:

1. Punkt Krytyczny – Jeśli rankDf(x) < min{n,m]dla RⁿR^m, to x nazywamy punktem krytycznym funkcji f

2. Niezdegenerowany Punkt Krytyczny – to punkty krytyczny, dla którego D²f(x) = min[n, m]

3. LR-Równoważność – Jeśli f≅_LRg ⇔ ∃dyfeomorfizmy ϕ,  ψ takie,  ze g = ψ * f * ϕ⁻¹ 

4. Postać normalna funkcji - g(ξ) = −ξ₁²…−ξ_k² + ξ_k + 1² + …ξ_n²

Przykład Wykorzystania: Podać postać normalną w otoczeniu 0:

f(x) = x₁cosx₂ + x₂

1. Najpierw sprawdzamy czy punkt jest krytyczny i zdegenerowany

Df(x) _x = 0(0,0)

rankD²f(x)  = 2 = n

1. Wyznaczamy wartości własne

$$D^{2}f\left( 0 \right) = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 0 & 2 \\ \end{bmatrix},\det\left\lbrack \lambda I - D^{2}f\left( 0 \right) \right\rbrack,\ \lambda_{1} = \lambda_{2} = 2$$

1. Zapisujemy postać normalną

g(ξ) =  ξ₁² + ξ₂²,  k = 0