33. Twierdzenia Cramera i Kroneckera-Capelliego.

Twierdzenie Cramera stosujemy do rozwiązywania układów równań liniowych, gdzie liczba niewiadomych równa jest liczbie równań.

Twierdzenie Cramera

Jeżeli wyznacznik macierzy współczynników układu jest różny od zera ( detA≠0) to układ równań liniowych ma dokładnie jedno rozwiązanie dane wzorami:

x_i=W_iW

gdzie:

• W= detA - jest to wyznacznik macierzy współczynników układu, tzw. wyznacznik główny.

• Wi - jest to wyznacznik z macierzy, która powstaje z macierzy A, przez zastąpienie kolumny współczynników niewiadomej xi przez kolumnę wyrazów wolnych.

• detA=0 wtedy i tylko wtedy, gdy układ równań liniowych ma nieskończenie wiele rozwiązań.

Przykład :

Aby uzyskać rozwiązanie powyższego układu obliczam:

$\text{detA} = \left| \begin{matrix} 8 & 1 & 2 \\ 5 & - 3 & - 7 \\ 0 & - 5 & 7 \\ \end{matrix} \right| = - 533$, $B = \begin{bmatrix} 16 \\ - 22 \\ 11 \\ \end{bmatrix}\backslash n$

Określam kolejno wyznaczniki i obliczam wartości:

$W_{x} = \left| \begin{matrix} 16 & 1 & 2 \\ - 22 & - 3 & - 7 \\ 11 & - 5 & 7 \\ \end{matrix} \right| = - 533$, $W_{y} = \left| \begin{matrix} 8 & 16 & 2 \\ 5 & - 22 & - 7 \\ 0 & 11 & 7 \\ \end{matrix} \right| = - 1066$ ,${\ W}_{z} = \left| \begin{matrix} 8 & 1 & 16 \\ 5 & - 3 & - 22 \\ 0 & - 5 & 11 \\ \end{matrix} \right| = - 1599$ .

Zgodnie ze wzorem obliczam :

$x = \frac{W_{x}}{W} = \frac{- 533}{- 533} = 1$ , $y = \frac{\text{Wy}}{W} = \frac{- 1066}{- 533} = 2$ , $z = \frac{W_{z}}{W} = \frac{- 1599}{- 533} = 3$.

Twierdzenie Kroneckera-Capelliego

 Układ równań liniowych postaci

posiada przynajmniej jedno rozwiązanie wtedy i tylko wtedy, gdy rząd macierzy współczynników i rząd macierzy uzupełnionej są sobie równe rzA=rzU.

Ponadto, jeżeli wprowadzimy oznaczenia :

r= rzA=rzU ; n – liczba niewiadomych, m- liczba równań , to gdy:

• r=n - układ ma dokładnie jedno rozwiązanie,

• r<n - układ ma nieskończenie wiele rozwiązań, które zależą od n−r parametrów

Macierz U to macierz, która zawiera wszystkie współczynniki układu, a jej ostatnią kolumną są wyrazy wolne tego układu. Rząd macierzy jest to wymiar największego niezerowego minoru wyjętego z macierzy.

Jeżeli rzU≠rzA ,to układ jest sprzeczny ( nie ma rozwiązań).

Przykład :

Szukam liczby rozwiązań powyższego układu równań. Ponieważ niewiadome w układzie są 3, więc n=3.

Wyznaczam rząd macierzy A$\text{\ \ \ \ }\text{detA} = \left| \begin{matrix} 2 & 4 & 1 \\ 1 & 1 & 1 \\ 4 & 1 & 7 \\ \end{matrix} \right| = - 3 \neq 0$ , zatem rzA=3.

Ponieważ rząd macierzy współczynników jest największy z możliwych, to rząd macierzy uzupełnionej też będzie wynosił 3, zatem rzU = 3. Otrzymujemy n=rzA=rzU=3, więc zgodnie z twierdzeniem Kroneckera-Capellego układ ma dokładnie jedno rozwiązanie. Układ rozwiązujemy stosując wzory Cramera i otrzymujemy, że:

x=64 , $y = \frac{- 67}{3}$, $z = \frac{- 95}{3}$.