MECHANIKA TECHNICZNA III (LAB) WYDZIAŁ TRANSPORTU

opracowanie zagadnień z ćw 1,3,6,7,8 wg instrukcji do ćwiczeń POLITECHNIKA WARSZAWSKA

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĆWICZENIE 1

BADANIE ROZKŁADU NAPRĘŻEŃ W TARCZY PROSTOKĄTNEJ Z KARBEM

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Wszelkie zmiany przekroju pręta powodują lokalny wzrost naprężeń (spiętrzenie), tym gwałtowniejszy, im bardziej raptowna jest zmiana jego wymiarów poprzecznych.

Rys.1.1 Przykład działania karbu w rozciąganym pręcie z naciętym rowkiem. Linia kreskowa oznacza rozkład naprężeń w przekroju 1-1 z uwzględnionym działaniem karbu

Na rysunku 1.1 uwidoczniono spiętrzenie naprężeń na dnie rowka naciętego na pręcie, pokazując jednocześnie rozkład naprężeń bez uwzględnienia działania karbu (linia ciągła).

Takie naprężenia obliczone teoretycznie w przekroju 1-1 za pomocą wzoru (1.1) nazywać będziemy naprężeniami normalnymi:

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}}{\mathbf{F}}$$

gdzie: F – pole przekroju 1-1 pręta.

KARBY - takie fragmenty ciał (elementów maszyn), jak skoki przekroju, otwory itp. oraz miejsca działania sił skupionych, które wywołują lokalny wzrost naprężeń.

Maksymalne naprężenia spowodowane istnieniem karbu są kilkakrotnie większe niż tzw. naprężenia nominalne (obliczone w danym przekroju, tak jak gdyby karbu nie było).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. TARCZA Z OTWOREM W ŚRODKU

o szerokości b, grubości δ i średnicy otworu d:

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}}{\mathbf{\text{bδ}}}$$

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}}{\mathbf{\delta(b - d)}}$$

rozkład naprężeń w przekroju 1-1 jest nierównomierny i nieliniowy oraz dwuwymiarowy.

Powodem tego stanu jest fakt, że włókna podłużne tarczy przecięte otworem nie mogą przenosić sił wzdłużnych tuż przy granicy otworu i siły te są „przejmowane” przez najbliższe włókna nie przecięte otworem.

Rys.1.3 Rozkład naprężeń w przekroju 1-1 tarczy poddanej rozciąganiu.

W punktach K naprężenia ulegają spiętrzeniu (koncentracji) i wynoszą:

σ_x=3σ₀ σ_y=0

SPIĘTRZENIE naprężeń występuje wszędzie tam, gdzie mamy do czynienia z karbem.

Określa je tzw. współczynnik spiętrzenia naprężeń (współczynnik kształtu):

$$\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}}\mathbf{=}\frac{{\mathbf{(}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{x}}\mathbf{)}}_{\mathbf{\max}}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}}}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. TARCZA Z WYCIĘCIEM

o promieniu r, grubości δ i przesunięciem środka C o odległość e:

naprężenia nominalne (1.8):

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{r}}\mathbf{+}\mathbf{\sigma}_{\mathbf{g}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}}{\mathbf{\delta(b - r)}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{- 12}\mathbf{\text{Pe}}}{\mathbf{\delta(b - r)}^{\mathbf{3}}}\mathbf{y}$$

Rys.1.7 Rozkład naprężeń w kierunku osi x₁, wyznaczonych za pomocą wzoru (1.8) i na podstawie pomiarów

współczynnik spiętrzenia naprężeń (współczynnik kształtu):

$$\mathbf{\alpha}_{\mathbf{k}}^{\mathbf{'}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{k}}}{\mathbf{\sigma}_{\mathbf{0}\mathbf{k}}^{\mathbf{'}}}$$

gdzie σ_k wyznaczane doświadczalnie, σ_0k’ obliczone wg wzoru (1.8).

Współczynnik kształtu zależy od:

• promienia i głębokości wycięcia

• szerokości tarczy

• stanu powierzchni materiału

• wrażliwości materiału na działanie karbu

• współczynnika wielkości przedmiotu

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ZJAWISKO TENSOOPOROWE:

polega na tym, że naklejony na badanym elemencie tensometr (jako czujnik) ulega odkształceniu wraz z tym elementem. Odkształcenie tensometru (drucika metalowego lub kilku równoległych drucików) powoduje, że jego opór elektryczny ulega zmianie.

Zmiana oporu drutu jest (w granicach prawa Hooke’a) proporcjonalna do zadanego odkształcenia.

Ten fakt jest wykorzystywany do pomiaru odkształcenia np. podczas rozciągania lub ściskania prętów lub tarcz. Powyższe stwierdzenie możemy zapisać w postaci związku:

$$\frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}}\mathbf{= k\varepsilon}$$

gdzie: R - opór elektryczny drutu, z którego wykonany jest tensometr;

ΔR – przyrost oporu spowodowany odkształceniem tensometru (badanego elementu);

k – tzw. stała tensometru (współczynnik czułości tensometru), zależy głownie od materiału, z

którego wykonano tensometr; stała k jest podawana przez producenta.

ε – odkształcenie względne tensometru (badanego elementu).

Stąd w i-tym punkcie pomiarowym:

$$\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{\text{pi}}}\mathbf{=}\left( \frac{\mathbf{R}}{\mathbf{R}} \right)_{\mathbf{i}}\frac{\mathbf{1}}{\mathbf{k}}$$

Czyli naprężenia w i-tym punkcie wynoszą:

σ_xi=Eε_pi

gdzie: E – moduł Younga

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MODUŁ YOUNGA:

inaczej moduł odkształcalności liniowej albo moduł (współczynnik) sprężystości podłużnej - wielkość określająca sprężystość materiału.

Wyraża ona, charakterystyczną dla danego materiału, zależność względnego odkształcenia liniowego ε materiału od naprężenia σ, jakie w nim występuje w zakresie odkształceń sprężystych.

$$\mathbf{E =}\frac{\mathbf{\sigma}}{\mathbf{\varepsilon}}$$

Jednostką modułu Younga jest paskal, czyli N/m².

Moduł Younga jest hipotetycznym naprężeniem, które wystąpiłoby przy dwukrotnym wydłużeniu próbki materiału, przy założeniu, że jej przekrój nie ulegnie zmianie (założenie to spełnione jest dla hipotetycznego materiału o współczynniku Poissona = 0).

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PRAWO HOOKE’A

prawo określające zależność odkształcenia od naprężenia.

Głosi ono, że odkształcenie ciała pod wpływem działającej na nie siły jest wprost proporcjonalne do tej siły. Współczynnik między siłą a odkształceniem jest często nazywany współczynnikiem (modułem) sprężystości.

Najprostszym przykładem zastosowania prawa Hooke'a jest rozciąganie statyczne pręta.

Bezwzględne wydłużenie takiego pręta jest wprost proporcjonalne do siły przyłożonej do pręta, do jego długości i odwrotnie proporcjonalne do pola przekroju poprzecznego pręta. Współczynnikiem proporcjonalności jest moduł Younga E

$$\mathbf{}\mathbf{l}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\text{Pl}}}{\mathbf{\text{EA}}}$$

gdzie: P – siła rozciągająca,

A – pole przekroju,

Δl – wydłużenie pręta,

l – długość początkowa.

W przypadku pręta bądź drutu o stałej średnicy można to wyrazić prościej: wydłużenie względne jest proporcjonalne do działającej siły.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĆWICZENIE 3

BADANIE DRGAŃ SWOBODNYCH NIETŁUMIONYCH I TŁUMIONYCH WISKOTYCZNIE

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

DRGANIA to proces, w którym charakteryzująca go wielkość fizyczna rośnie i maleje na przemian wokół pewnego założenia równowagi, które może być stałe lub zmienne.

RÓWNANIE RÓŻNICZKOWE DLA DRGAŃ NIETŁUMIONYCH/ TŁUMIONYCH

a)nietłumione

$$\ddot{\mathbf{y}}\mathbf{+}\frac{\mathbf{3}\mathbf{c}\mathbf{a}^{\mathbf{2}}}{\mathbf{m}\mathbf{L}^{\mathbf{2}}}\mathbf{\bullet y}\mathbf{= 0}$$

gdzie: y = Lφ

c – wsp. sprężyny

a – ramię podparcia sprężyny względem osi przegubu

m – masa belki

L – dł belki (od osi przegubu do swobodnego końca)

b) tłumione

$$\ddot{\mathbf{y}}\mathbf{+ 2}\mathbf{D}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\dot{\mathbf{y}}\mathbf{+}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}}^{\mathbf{2}}\mathbf{y}\mathbf{= 0}$$

gdzie: y = Lφ

D - stopień tłumienia, decyduje o wielkości tłumienia drgań w układzie; bezwymiarowy;

ω₀ -częstość kołowa drgań własnych układu bez tłumienia

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

WZÓR DLA WARUNKU POCZĄTKOWEGO ODPOWIEDNIO DLA DRGAŃ NIETŁUMIONYCH/TŁUMIONYCH

a) nietłumione

y(t)=Y₀sin(ω₀t+Φ₀)

gdzie: y = Lφ

Y₀ - amplituda drgań harmonicznych,

Φ₀- przesunięcie fazowe.

ω₀ -częstość kołowa drgań własnych układu bez tłumienia

są to drgania harmoniczne, które nie zanikają trwając nieskończenie ( w rzeczywistych układach wskutek oporów ruchu (tarcie w przegubie walcowym, tłumienie na zamocowaniu sprężyny i w sprężynie) po pewnym czasie zanikają – ma miejsce dyssypacja, czyli rozpraszanie energii mechanicznej.

b) tłumione

$$\mathbf{y}\left( \mathbf{t} \right)\mathbf{=}\mathbf{e}^{\mathbf{- D}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{t}}\left( \mathbf{y}_{\mathbf{0}}\mathbf{\cos}\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{t +}\frac{\mathbf{D}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{y}_{\mathbf{0}}\mathbf{+}\mathbf{v}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}}\mathbf{\bullet}\mathbf{\sin}\mathbf{\omega}_{\mathbf{1}}\mathbf{t} \right)$$

gdzie: ω₁ - jest częstością kołową drgań tłumionych $\omega_{1} = \omega_{0}\sqrt{1 - D^{2}}$

ω₀ - częstość kołowa drgań własnych układu bez tłumienia

D - stopień tłumienia, decyduje o wielkości tłumienia drgań w układzie i jak łatwo sprawdzić jest on bezwymiarowy;

Przebieg rozwiązania zgodnie z powyższym równaniem zależy od wielkości stopnia tłumienia D. Możemy wyróżnić trzy przypadki takiego rozwiązania:

1. D < 1 – tłumienie podkrytyczne (rozwiązanie ma postać drgań harmonicznych zanikających asymptotycznie (ω₁ > 0))

2. D = 0 – tłumienie krytyczne (rozwiązanie ma charakter ruchu zanikającego, po jednokrotnym przejściu przez położenie równowagi, ale niedrgającego (ω₁ = >0))

3. D > 1 – tłumienie nadkrytyczne (rozwiązanie ma charakter ruchu zanikającego do stanu równowagi (ω₀ jest liczbą urojoną))

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

WYKRES DLA DRGAŃ NIETŁUMIONYCH/TŁUMIONYCH (uwaga na tytuły osi)

a)nietłumione b) tłumione

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

LOGARYTMICZNY DEKREMENT TŁUMIENIA to miara tłumienia drgań.

Może być on używany do eksperymentalnego wyznaczania stopnia tłumienia wiskotycznego w układzie poprzez odczyt z przebiegu drgań dwóch kolejnych amplitud i wstawienie do wzoru (schemat poniżej).

$$\mathbf{\delta = ln}\frac{\mathbf{y(t)}}{\mathbf{y(t +}\mathbf{T}_{\mathbf{1}}\mathbf{)}}\mathbf{= D}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}\mathbf{T}_{\mathbf{1}}$$

gdzie: T₁ – okres drgań tłumionych

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĆWICZENIE 6

POMIAR WSPÓŁCZYNNIKA TARCIA SUCHEGO

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

TARCIE jest zjawiskiem, które polega na występowaniu oporu mechanicznego, który uniemożliwia lub utrudnia wzajemne przesuwanie stykających się ciał. Warunkiem powstawania tarcia jest występowanie siły nacisku N (kontaktowej siły prostopadłej do kierunku ruchu). Rozróżnia się dwa rodzaje tarcia: statyczne i kinetyczne.

1. TARCIE STATYCZNE występuje wówczas, gdy siła P przyłożona do jednego ze stykających się ciał jest zbyt mała, aby spowodować ich wzajemne przesuwanie.

Oznacza to, że dla pewnego zakresu wartości siły P ( P < P_gr ), powstająca siła tarcia T równoważy siłę P. Ciało zaczyna się poruszać, gdy składowa styczna siły zewnętrznej P przekroczy wartość graniczną P_gr równą największej możliwej wartości siły tarcia statycznego T_s ^max.

Zgodnie z prawem Coulomba dla tarcia suchego, maksymalna wartość siły tarcia statycznego T_s ^max jest proporcjonalna do siły nacisku N :

T_s^max=μ_sN

gdzie: μ_s - bezwymiarowy współczynnik, zwanym współczynnikiem tarcia statycznego. Jego wartość zależy od rodzaju i stanu powierzchni stykających się ciał, a więc μ_s jest wielkością stałą, która charakteryzuje parę materiałów, z których wykonane są te ciała.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

1. TARCIE KINETYCZNE występuje wówczas, gdy stykające się ciała poruszają się względem siebie.

Według prawa Coulomba siła tarcia T = T_k nie zależy od prędkości względnej przesuwających się ciał i jest proporcjonalna do siły nacisku N. W rzeczywistości jednak zależność siły tarcia od prędkości ma miejsce.

T_k=μ_kN

Współczynnik tarcia kinetycznego jest mniejszy niż współczynnik tarcia statycznego.

Rys.6.1 Tarcie suche – rozkład sił oraz zależność siły tarcia T od siły zewnętrznej P

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Tarcie zależy od:

• wzajemnego nacisku stykających się powierzchni (im większy nacisk, tym większe tarcie)

• rodzaju materiałów, z których wykonano powierzchnie trące (np. mosiądz – aluminium)

• stopnia chropowatości powierzchni (np. filc – aluminium)

Tarcie nie zależy od:

• wielkości powierzchni

• prędkości przesuwu powierzchni trących

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĆWICZENIE 7

ROZWIĄZYWANIE KRATOWNIC PŁASKICH

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

KRATOWNICA to układ prętów, który zachowuje się jak ciało sztywne. Kratownica płaska zawiera pręty, których osie leżą w jednej płaszczyźnie.

Przyjmuje się następujące założenia upraszczające:

• pręty są połączone węzłami (przegubami)

• siły działające na kratownicę są przyłożone w węzłach

• ciężar własny prętów jest zaniedbywalny

• tarcie w przegubach jest zaniedbywalne

Oddziaływania są skierowane wzdłuż osi prętów (siły ściskające lub rozciągające), w przekrojach jedynie naprężenia normalne.

Kratownica jest statycznie wyznaczalna:

• zewnętrznie: gdy liczba niewiadomych reakcji więzów zewnętrznych kratownicy (podpór) nie przekracza trzech, gdyż dysponujemy trzema niezależnymi równaniami równowagi sił zewnętrznych (czynnych i reakcji) układu płaskiego (patrz przykład niżej na zaliczenie!) stąd w każdym węźle po dwa równania równowagi;

• wewnętrznie: gdy zachodzi równość p = 2w – 3, gdzie: p – liczba prętów, w – liczba węzłów

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

NAPISAĆ RÓWNANIA RÓWNOWAGI DLA KRATOWNICY - PRZYKŁAD

(taka jak w materiałach tylko każdy inaczej ma siły przyłożone) np.

Równania równowagi do wyznaczania reakcji podpór mają postać:

$$\sum_{}^{}{P_{\text{ix}} = R_{B} - H_{C} = 0}$$

$$\sum_{}^{}{P_{\text{iy}} = V_{C} - P = 0}$$

$$\sum_{}^{}{M_{\text{iB}} = H_{C} \bullet a - P \bullet 2a = 0}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

OBLICZANIE KRATOWNICY METODĄ MES (METODA ELEMENTÓW SKOŃCZONYCH)

Rozwiązanie kratownicy za pomocą MES polega na zbudowaniu równania i rozwiązaniu go:

[K]U – F = 0

gdzie: [K] – macierz sztywności całego układu jest to suma macierzy sztywności poszczególnych

elementów (prętów);

U – wektor wszystkich niewiadomych przemieszczeń węzłowych;

F – wektor wszystkich sił zewnętrznych.

Rozwiązując ten układ otrzymujemy wartości przemieszczeń węzłowych.

Pozwala to na obliczenie innych interesujących nas wielkości dla m-tego elementu

skończonego:

1. odkształceń ΔL_m poszczególnych prętów (jako różnicy rzutów przemieszczeń końców pręta na jego kierunek),

2. sił osiowych S_m w prętach (na podstawie prawa Hooke’a):

$$\mathbf{S}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{}\mathbf{L}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{L}_{\mathbf{m}}}\mathbf{E}_{\mathbf{m}}\mathbf{A}_{\mathbf{m}}$$

1. naprężeń odpowiadających siłom S_m

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{m}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{S}_{\mathbf{m}}}{\mathbf{A}_{\mathbf{m}}}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MACIERZ SZTYWNOŚCI.
[K] – macierz sztywności całego układu w metodzie MES; jest to suma macierzy sztywności poszczególnych elementów (prętów); zależy od:

• materiałów poszczególnych elementów (modułyYounga Em ),

• ich kształtu (długości Lm i przekroju Am )

• położenia elementów na płaszczyźnie;

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

NAPRĘŻENIA

dla prętów rozciąganych nie mogą przekraczać dopuszczalnych wartości naprężeń rozciągających k_r charakterystycznych dla danego materiału:

$$\mathbf{\sigma =}\frac{\mathbf{S}}{\mathbf{A}}\mathbf{\ \leq \ }\mathbf{k}_{\mathbf{r}}$$

gdzie: S – siła obliczona w pręcie

A – przekrój poprzeczny

NAPRĘŻENIA KRYTYCZNE

obliczane dla prętów ściskanych, wg wzoru:

$$\mathbf{\sigma}_{\mathbf{\text{kr}}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{P}_{\mathbf{\text{kr}}}}{\mathbf{A}}\mathbf{=}\frac{\mathbf{\pi}^{\mathbf{2}}\mathbf{\text{EI}}}{\mathbf{L}^{\mathbf{2}}\mathbf{A}}$$

gdzie: I – moment bezwładności przekroju pręta względem osi prostopadłej do płaszczyzny wyboczenia

(dla prętów o przekroju kwadratowych I = a⁴/12)

L – długość pręta,

E – moduł Younga (dla stali: 2,1*10¹¹ Pa)

A – pole przekroju pręta

P_kr – siła krytyczna

Warunkiem bezpieczeństwa jest, aby naprężenia ściskające w pręcie były mniejsze od krytycznych: σ<σ_kr

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

WYZNACZANIE SIŁ W PRĘTACH W METODZIE ANALITYCZNEJ

1. za pomocą równań równowagi dla całej kratownicy wyznaczamy reakcje podpór

2. następnie wyznaczamy równania równowagi dla poszczególnych węzłów (myślowo wyciętych z kratownicy) poczynając od tego w którym zbiegają się dwa pręty, zakładając zwroty wektorów sił „od węzła”

3. wyznaczamy niewiadome, które posłużą do obliczeń sił w kolejnych węzłach (przy układaniu równań równowagi dla kolejnych węzłów trzeba uważać ażeby liczba niewiadomych nie przekroczyła dwóch)

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ĆWICZENIE 8

WYZACZANIE MOMENTÓW BEZWŁADNOŚCI I ŚRODKA CIĘŻKOŚCI BRYŁ I FIGUR PŁASKICH

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MOMENTEM BEZWŁADNOŚCI (masowym) ciała materialnego względem dowolnie obranej osi nazywamy granicę, do której dąży suma iloczynów mas elementów, na które podzieliliśmy ciało, przez kwadraty odległości tych elementów od wspomnianej osi, gdy liczba elementów dąży do nieskończoności przy jednoczesnym dążeniu do zera ich wymiarów.

$$\mathbf{I}_{\mathbf{z}}\mathbf{= lim}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{h}_{\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$

gdzie: n – liczba elementów

m – masy elementów

h – odległości elementów od osi Oz

Moment bezwładności względem punktu:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{0}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{i = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{0}\mathbf{i}}^{\mathbf{2}}}$$

Moment bezwładności względem płaszczyzny:

$$\mathbf{I}_{\mathbf{\text{II}}}\mathbf{=}\sum_{\mathbf{n = 1}}^{\mathbf{n}}{\mathbf{m}_{\mathbf{i}}\mathbf{r}_{\mathbf{\text{IIi}}}^{\mathbf{2}}}$$

W ogólności:

I_z=∫_m(x²+y²)dm=∫_vρ(x²+y²)dV

Podobnie można wyznaczyć dla osi Ox i Oy.

Można wykazać, że moment bezwładności ciała względem dowolnego punktu O jest równy sumie momentu względem środka masy C i iloczynu masy ciała przez kwadrat odległości danego punktu od środka masy. Zależność ta może być zapisana wzorem:

I₀=I_C+mr_c²

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MOMENTEM DEWIACYJNYM (momentem odśrodkowym, momentem zboczenia) ciała względem dwóch prostopadłych płaszczyzn nazywamy granicę sumy iloczynów mas elementów ciała przez odległość tych elementów od danych płaszczyzn.

Można więc przykładowy moment odśrodkowy względem np. płaszczyzn XY i YZ prostokątnego układu współrzędnych określić wzorem:

I_xz=∫_mxz dm

Momenty odśrodkowe (w odróżnieniu od momentów bezwładności) mogą przyjmować wartości zarówno dodatnie, jak i ujemne.

Można więc zauważyć, że jeśli ciało ma płaszczyznę symetrii, to moment odśrodkowy względem tej płaszczyzny i płaszczyzny do niej prostopadłej jest równy zeru.

• Osie współrzędnych są głównymi osiami bezwładności danego ciała, jeśli momenty odśrodkowe tego ciała względem trzech płaszczyzn są równe zeru.

• Jeżeli początek tych osi znajduje się w środku masy ciała, to osie te nazywają się głównymi centralnymi osiami bezwładności.

• Jeżeli ciało ma oś symetrii, to oś ta jest jego główną centralną osią bezwładności.

• Jeżeli ma płaszczyznę symetrii, to każda prosta prostopadła do tej płaszczyzny i przechodząca przez środek masy jest główną centralną osią bezwładności.

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

MOMENTY BEZWŁADNOŚCI FIGUR PŁASKICH

Dana jest figura płaska o polu A (rys. obok). Element pola dA określony współrzędnymi x i y jest odległy od początku układu współrzędnych o ρ.

Moment bezwładności względem osi x i y:

I_x=∫_Ay² dA I_y=∫_Ax² dA

Moment bezwładności względem układu osi (dewiacji, odśrodkowy):

I_xy=∫_Axy dA

jest on równy zeru, gdy przynajmniej jedna z osi układu jest osią symetrii.

Moment bezwładności względem punktu (biegunowy):

I₀=∫_Aρ² dA

Jednostką jest m⁴. Całkowanie odbywa się po powierzchni przekroju.

Definicje momentów bezwładności ciał (masowych) i figur płaskich są analogiczne, ale wykorzystywane w różnych sytuacjach:

• moment bezwładności ciała – w dynamice

• moment bezwładności figury płaskiej – w obliczeniach wytrzymałościowych

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

PRZYKŁAD – JEDNORODNY WALEC OBROTOWY

Dane: gęstość ρ, wysokość H, średnice D i d.

1. wycinamy myślowo elementarną warstwę o grubości dr ograniczoną dwiema powierzchniami walcowymi o promieniu r i r + dr.

2. Odległość h całej warstwy równa się r:

dV  =  2πrH dr

1. Stąd moment bezwładności:

$$I_{z} = \int_{V}^{}{\rho h^{2}dV = \int_{0}^{R}{\rho h^{2}\left( 2\text{πrH\ dr} \right) = \int_{0}^{R}{\rho r^{3}2\pi H\ dr = \ 2\text{πρH}\int_{0}^{R}{r^{3}\ dr = \ }}2\text{πρH}\left( \frac{r^{4}}{4} \right)_{0}^{R} = \frac{\text{πρH}R^{4}}{2}\ }}$$

1. Wiedząc, że masa walca m = πρHR²

$$I_{z} = \frac{mR^{2}}{2}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

ŚRODKIEM CIĘŻKOŚCI BRYŁY SZTYWNEJ nazywamy taki punkt C, który ma tę własność, że stale przechodzi przez niego wypadkowa układu sił ciężkości działających na układ punktów materialnych tworzących daną bryłę. Stąd:

$$\mathbf{x}_{\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\int_{\mathbf{V}}^{}{\mathbf{\text{ρx}}\mathbf{\text{\ dV}}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ }}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ y}}_{\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\int_{\mathbf{V}}^{}{\mathbf{\text{ρy}}\mathbf{\text{\ dV}}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\mathbf{z}_{\mathbf{C}}\mathbf{=}\frac{\int_{\mathbf{V}}^{}{\mathbf{\text{ρz}}\mathbf{\text{\ dV}}}}{\mathbf{m}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

METODA WYBIEGU (ściśle: metoda pomiaru czasu wybiegu) to metoda wyznaczania momentów bezwładności względem osi obrotu ciała z zależności wynikającej wprost z II prawa dynami Newtona dla ruchu obrotowego, które mówi, że ruch jednostajnie przyspieszony (opóźniony) jest skutkiem działania stałego co do wartości niezrównoważonego momentu (pary sił):

$$\mathbf{M}\mathbf{= I}\mathbf{\varepsilon}_{\mathbf{0}}\mathbf{= I}\frac{\mathbf{-}\mathbf{\omega}_{\mathbf{0}}}{\mathbf{t}_{\mathbf{p}}}\mathbf{=}\mathbf{-}\mathbf{I}\frac{\mathbf{2}\mathbf{\pi}\mathbf{n}}{\mathbf{60}\mathbf{t}_{\mathbf{p}}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ }}$$

gdzie: I – moment bezwładności względem osi obrotu ciała

ω₀ – prędkość kątowa odpowiadająca chwili czasu t₁

t_p – czas pomierzony po jakim układ osiągnie prędkość kątową ω = 0

ε₀ - przyspieszenie kątowe = const

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

WYZNACZANIE POŁOŻENIA ŚRODKÓW CIĘŻKOŚCI BRYŁ NIEREGULARNYCH

Środek ciężkości bryły można wyznaczyć metodą zawieszenia bryły na linach, wg schematu. Chcąc np. wyznaczyć odległość środka ciężkości C bryły A o ciężarze G, od punktu O, należy podwiesić do niej dodatkowy ciężar Q . Równanie równowagi momentów względem punktu O ma wówczas postać:

Qa − Ghsinα = 0

stąd:

$$\mathbf{h =}\frac{\mathbf{\text{Qa}}}{\mathbf{\text{Gsinα}}}$$

-----------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------------

opracowali:

Aldona Szczepanik

Paweł Wontorski

31 III 2012