- SPRAWOZDANIE -

1. Wstęp

Celem ćwiczenia było zbadanie wpływu pola magnetycznego i pola elektrycznego na ruch elektronu oraz wyznaczenie wartości stosunku e/m.

Pole elektryczne oddziałuje na elektron, pozostający w spoczynku lub poruszający się, następującą siłą:

$$\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{= q}\overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$$

gdzie:

q – ładunek elektronu,

E – natężenie pola elektrycznego.

Aby pole magnetyczne działało na elektron, musi się on znajdować w ruchu pod odpowiednim kątem w stosunku do linii sił pola. Wówczas działa na niego siła Lorentza, wyrażająca się wzorem:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{= q}\left( \overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{B}} \right)\mathbf{= qvB}\mathbf{*}\mathbf{\text{sinα\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$$

gdzie:

q – ładunek elektronu,

v – prędkość ładunku,

B – indukcja pola magnetycznego,

α – kąt pomiędzy wektorami $\overrightarrow{v}$ i $\overrightarrow{B}$.

Całkowita siła działająca na ładunek znajdujący się jednocześnie w polu elektrycznym
i polu magnetycznym wyraża się wzorem:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\overrightarrow{\mathbf{F}}\mathbf{= q}\left( \overrightarrow{\mathbf{E}}\mathbf{+}\overrightarrow{\mathbf{v}}\mathbf{\times}\overrightarrow{\mathbf{B}} \right)\mathbf{\ }\mathbf{\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }}$$

Przez analizę ruchu elektronu można wyznaczyć wartość e/m.

2. Układ pomiarowy

Podczas wykonywania ćwiczenia korzystaliśmy z 3 różnych układów pomiarowych. Wykorzystywaliśmy magnetron, lampy oscyloskopowe emitujące elektrony w pole magnetyczne prostopadłe do osi lampy oraz cewki Helmholtza. Schematy stanowisk przedstawiono poniżej.

Rys. 1. Schemat metody wykorzystującej magnetron: A – anoda, K – katoda,

Z₁ – zasilacz obwodu żarzenia katody, Z₂ – zasilacz prądu uzwojenia cewki,

Z₃ – zasilacz napięcia anodowego

Rys.2. a) Schemat lampy elektronowej z polem magnetycznym prostopadłym do kierunku ruchu elektronów, b) zależności geometryczne

Rys.3. Schemat stanowiska pomiarowego z wykorzystaniem cewek Helmholtza.

3. Wykonanie ćwiczenia

Ćwiczenie składało się z 3 etapów:

1. Wyznaczenie wartości e/m metodą magnetronu:

1. Połączenie układu zgodnie ze schematem.

2. Włączenie wszystkich zasilaczy oraz odczekanie kilku minut w celu ustabilizowania się prądu anodowego.

3. Ustawienie na zasilaczu napięcia anodowego wartości napięcia 3,5 V.

4. Zwiększanie prądu magnesowania co 0,1 A od 0 do 5 V, zanotowanie prądu anodowego.

5. Odłączenie zasilania.

1. Wyznaczenie wartości e/m w przypadku pola magnetycznego prostopadłego do kierunku ruchu elektronów:

1. Połączenie układu pomiarowego zgodnie ze schematem.

2. Włączenie zasilacza lampy oscyloskopowej i poczekanie do czasu pokazania się plamki na jej ekranie.

3. Wyregulowanie położenia plamki tak, aby znajdowała się ona
   w centralnym miejscu ekranu oscyloskopu.

4. Włączenie zasilacza cewki i doprowadzenie do przesunięcia plamki o jedną kratkę w pionie na ekranie oscyloskopu. Zanotowanie wartości prądów.

5. Powtórzenie pomiarów dla przeciwnego zwrotu pola magnetycznego.

6. Wyłączenie zasilania.

1. Wyznaczenie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza:

1. Ustawienie napięcia przyspieszającego elektrony na wartość 202 V.

2. Włączenie zasilania prądu płynącego przez cewki Helmholtza
   i zaobserwowanie toru ruchu elektronów.

3. Obrócenie lampy do takiej pozycji, aby elektrony z działa elektronowego wylatywały w kierunku dokładnie prostopadłym do kierunku pola magnetycznego.

4. Regulowanie wartości prądu płynącego przez cewki aż do uzyskania takiej średnicy toru ruchu, aby przecinał on położone poziomo szczebelki drabinki.

5. Zanotowanie wartości prądu płynącego przez cewki, dla której następuje rozświetlenie kolejnych szczebli drabinki.

6. Wyłączenie zasilania.

4. Wyniki i ich opracowanie, rachunek niepewności

1. Wyznaczenie wartości e/m metodą magnetronu.

Tabela 1 – wyniki pomiaru prądu anodowego dla różnych prądów magnesowania

Następnie w programie ORIGIN wykonano wykres zależności I_A(I_m). Z tego wykresu graficznie odczytano wartość prądu krytycznego I_kr (wykres 1 załączony do sprawozdania) i jego błąd a następnie podstawiając tę wartość do wzoru obliczono stosunek e/m.

dla U=3,5 V I_kr = 2 A u(I_kr) = 0,111 A

Do obliczenia stosunku e/m skorzystaliśmy z zależności: $\frac{e}{m} = \frac{8U}{\mu_{0}^{2}N^{2}I_{\text{kr}}^{2}b^{2}\left. (1\mathrm{-}\frac{a^{2}}{b^{2}}) \right.^{2}}$, gdzie:

Promień katody a = 1 mm,

Promień anody b = 2 mm,

Gęstość uzwojenia solenoidu N = 3400 m ^-1,

Stała magnetyczna próżni μ₀ = 4π10 ^-7 Vs/Am,

Napięcie między anodą i katodą U = 3,5 V.

Dla wartości U = 3,5 V mamy:

$$\frac{e}{m} = \frac{8*3,5}{{(4 \cdot \pi \cdot 10^{- 7})}^{2}*3400^{2}*2^{2}*{0,002}^{2}*{\left. (1\mathrm{-}\frac{{0,001}^{2}}{{0,002}^{2}} \right.)}^{2}} = 1,704268*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Obliczenie niepewności:

$$u\left. (\frac{e}{m}) \right. = \sqrt{\left. \left( \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial I_{\text{kr}}} \right) \right.^{2} \cdot u^{2}(I_{\text{kr}}) + \left( \frac{\partial\frac{e}{m}}{\partial U} \right)^{2} \cdot u^{2}(U)}$$

Niepewność względna woltomierza: ±1, 5%, a więc $u\left( U \right) = \frac{0,015 \cdot 3,5}{\sqrt{3}} = 0,03\ V$

$$u\left( \frac{e}{m} \right) = \sqrt{\left( \frac{- 2 \cdot 8U}{\mu_{0}^{2}N^{2}I_{\text{kr}}^{3}b^{2}\left( 1 - \frac{a^{2}}{b^{2}} \right)^{2}} \right)^{2} \cdot u^{2}\left( I_{\text{kr}} \right) + \left. \left( \frac{8}{\mu_{0}^{2}N^{2}I_{\text{kr}}^{2}b^{2}\left. \left( 1 - \frac{a^{2}}{b^{2}} \right) \right.^{2}} \right) \right.^{2} \cdot u^{2}\left( U \right) =} = 0,18973\ *10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Niepewność rozszerzona: dla k = 2, $u\left( \frac{e}{m} \right) = 0,3794*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$

Ostateczny wynik:

$$\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}\mathbf{= 1,70( \pm 38)*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{\text{kg}}}$$

Znając wartość ładunku elektronu z tablic, możemy wyznaczyć masę elektronu z naszych pomiarów i porównać ją z wartością tablicową:

e = 1, 602 * 10⁻¹⁹C

$$m = \frac{e}{\left. \frac{e}{m} \right.} = \frac{1,602*10^{- 19}}{1,704*10^{11}} = 9,4014*10^{- 31}\text{kg}$$

niepewność tego wyniku z prawa propagacji wynosi:

$$u\left( m \right) = \sqrt{\left. \left( \frac{\partial m}{\partial\left. \frac{e}{m} \right.} \right) \right.^{2}*u^{2}\left( \frac{e}{m} \right)} = \sqrt{\left. \frac{e}{\left. \frac{e}{m} \right.^{4}} \right.^{2}*u^{2}\left( \frac{e}{m} \right)} = \sqrt{\left. \frac{1,602 \cdot 10^{- 19}}{\left. 1,704 \cdot 10^{11} \right.^{4}} \right.^{2}*\left( 0,18973*10^{11} \right)^{2}} = = 1,0467*10^{- 31}\text{kg}$$

k=2 u(m)=2, 09 * 10⁻³¹kg

a więc:

m=9, 40(±2, 09)*10⁻³¹ kg

wartość tablicowa:

m = 9, 11 ⋅ 10⁻³¹kg

1. Wyznaczenie wartości e/m w przypadku pola magnetycznego prostopadłego do kierunku ruchu elektronów.

Zmierzono wartość prądu dla odchylenia wiązki elektronów o jedną działkę, wyniki zaprezentowano w Tabeli 2.

odchylenie wiązki [działki]	I [mA]
4	169
3	128,6
2	86,7
1	45,6
0	2,12
-1	44,5
-2	85,8
-3	126,6
-4	167,8

Tabela 2 – wyniki pomiaru prądu dla odchylenia plamki o liczbę działek

Stosunek e/m obliczymy w tym przypadku z następującej zależności:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{e}{m} = \frac{2xv}{B(d^{2} + x^{2})}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

gdzie:

e – ładunek elektronu;

m – masa elektronu;

x – wychylenie plamki na ekranie oscyloskopu;

v – prędkość elektronów;

B – indukcja pola magnetycznego;

d – długość obszaru działania pola magnetycznego;

Obliczenia przeprowadzamy w programie ORIGIN, zatem konieczne jest przekształcenie powyższego wzoru. Wykorzystamy do tego następujące zależności:

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ v = \sqrt{\frac{2eU}{m}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

gdzie:

v – prędkość elektronów;

e – ładunek elektronu;

U – napięcie przyspieszające;

m – masa elektronu;

$$\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ B = \frac{\mu_{0}\text{NI}D^{2}}{{(D^{2} + L^{2})}^{\frac{3}{2}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

gdzie:

B – indukcja pola magnetycznego;

μ₀ – przenikalność magnetyczna próżni;

N – liczba zwojów w każdej cewce;

D – uśredniona średnica cewki;

L – średnia odległość pomiędzy cewkami;

Dodatkowo za zmienną niezależną przyjmujemy wartość $t = \frac{x}{d^{2} + x^{2}}$.

Przekształcamy teraz odpowiednio zależności

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{e}{m} = t*\frac{2\sqrt{\frac{2eU}{m}}}{I\mu_{0}ND^{2}\left( D^{2} + L^{2} \right)^{- \frac{3}{2}}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Obustronnie podnosimy do kwadratu, a następnie przekształcamy. Otrzymujemy następujący wzór:

$$\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }\frac{e}{m}*I^{2} = t^{2}*\frac{8\left( D^{2} + L^{2} \right)^{3}U}{\left( \mu_{0}ND^{2} \right)^{2}}\text{\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ }$$

Dzięki przekształceniom otrzymaliśmy zależność liniową, której współczynnikiem kierunkowym jest poszukiwany przez nas stosunek e/m.

Do dalszych obliczeń konieczne będą wartości następujących współczynników:

N = 410

x = 0, 006 m * α (szerokość działki oscyloskopu: 6 mm)

U = 1400 V

L = 0, 098 m

D = 0, 105 m

d = 0, 135 m

$$\mu_{0} = 1,25*10^{- 6}\frac{H}{m}$$

Po wykonaniu obliczeń i wstawieniu ich do programu ORIGIN wartość współczynnika kierunkowego, czyli stosunku e/m razem z niepewnością policzoną przez program wyniosła:

$$\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}\mathbf{=}\mathbf{1,77}\mathbf{(}\mathbf{\pm}\mathbf{22)*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{\text{kg}}}$$

1. Wyznaczenie wartości e/m przy użyciu cewek Helmholtza.

r [m]	U [V]	I [A]	e/m
0,05	202 V	1,275	2,07266E+11
0,04		1,605	2,0437E+11
0,03		2,235	1,87366E+11
0,02		3,520	1,69958E+11

Tabela 3 – wartości prądu i napięcia dla określonych promieni okręgów strumienia elektronów.

Zgodnie ze wzorem:

$$\frac{e}{m} = 4,17*10^{6}*\frac{U}{I^{2}r^{2}}$$

obliczamy wartości e/m dla każdej pary pomiarów. Po uśrednieniu tych wartości otrzymujemy:

$$\overset{\overline{}}{x}(\frac{e}{m}) = 1,922*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Liczymy niepewność typu A:

$$u\left( x \right) = \sqrt{\frac{1}{56}*\sum_{}^{}\left( x - \overset{\overline{}}{x} \right)^{2}} = 0,0399*10^{11}\ \frac{C}{\text{kg}}$$

Ostateczny wynik:

$$\frac{\mathbf{e}}{\mathbf{m}}\mathbf{= 1,}\mathbf{92}\mathbf{(}\mathbf{\pm 8}\mathbf{)}\mathbf{*}\mathbf{10}^{\mathbf{11}}\mathbf{\ }\frac{\mathbf{C}}{\mathbf{\text{kg}}}$$

5. Wnioski

Pierwszym etapem ćwiczenia było wyznaczenie stosunku e/m metodą magnetronu. Odczytanie wartości natężenia prądu krytycznego z uzyskanego wykresu na pewno wpłynęło na obliczenia, a co za tym idzie ostateczny wynik został obarczony znacznym błędem. Ten sam rząd wielkości wyznaczonej wartości co wartości tablicowej wskazuje na to, iż metoda jest prawidłowa, ale niewystarczająco dokładna.

Wynik z drugiego etapu ćwiczenia znacząco odbiega od rzeczywistości nawet po uwzględnieniu małego błędu. Jest to zdecydowanie najmniej dokładna metoda pomiaru. Należy zwrócić tu uwagę na sposób przeprowadzenia doświadczenia, który polegał między innymi na odczytywaniu położenia plamki z ekranu oscyloskopu. Czynnik ten z pewnością był jedną z przyczyn otrzymanej rozbieżności, między innymi z powodu złego położenia ekranu oscyloskopu oraz niestabilności plamki.

Trzecim etapem ćwiczenia były pomiary przy użyciu cewek Helmholtza.

Rozbieżność otrzymanego stosunku od rzeczywistej wartości e/m mogła być spowodowana trudnościami w określeniu dokładnego położenia wiązki elektronów względem szczebelków drabinki (strumień elektronów był momentami dosyć szeroki), jednakże wynik wciąż pozostaje blisko wartości tablicowej.

Niezmiennie niedoskonały czynnik ludzki miał znaczący wpływ na otrzymane wyniki.