Ćwiczenie nr 8

Temat: Wyznaczanie momentu bezwładności metodą dynamiczną

Marta Zawadzka

Ewelina Mroczkowska

Grupa 2, zespół 3

Ciało sztywne obracające się wokół stałej osi ma określoną energię kinetyczną. Podzielmy całą bryłę sztywną na n takich elementów, by każdy z nich mógł być rozpatrywany jako punkt masowy mi. Każdy element tego ciała ma prędkość kątową oraz określoną prędkość linio­wą Między tymi prędkościami istnieje związek:

gdzie:

r_i - odległość elementu mi od osi obrotu

Energia kinetyczna ruchu obrotowego danego elementu mi wyraz a sIę wzorem:

Całkowita energia kinetyczna ciała obracającego się dookoła osi prze­chodzącej przez środek masy równa się sumie energii kinetycznych jego elementów. W ruchu obrotowym ciała sztywnego wszystkie elementy mają taką samą prędkość kątową, natomiast odległości poszczególnych elemen­tów od osi obrotu są różne, wobec tego wyrażenie na całkowitą energięruchu obrotowego zapisujemy w postaci:

Suma iloczynów mas poszczególnych elementów ciała przez kwadrat ich odległości od osi obrotu nazywa się momentem bezwładności ciała I. Wzór na energię kinetyczną ruchu obrotowego przyjmuje postać analogiczną do wyrażenia na energię kinetyczną ruchu postępowego:

Moment bezwładności ciała o danej masie m zależy w dużym stopniu od jej rozmieszczenia względem osi obrotu, inaczej mówiąc, zależy od wy­boru osi obrotu. Z reguły, ciała wirujące powinny znajdować się w równo­wadze obojętnej (w celu uzyskania "płynności" ruchu), zatem oś obrotu tych ciał musi przechodzić przez środek ich masy.

Jeżeli potrafimy określić moment bezwładności ciała I względem osi przechodzącej przez środek masy ciała, to - korzystając z twierdzenia Steinera - łatwo jest znaleźć moment bezwładności względem innych osi równoległych do osi przechodzącej przez środek masy. Twierdzenie Steine­ra ma postać:

gdzie:

m - masa ciała,

d - odległość między ww. osiami.

Na podstawie wzoru defmiującego moment bezwładności:

potrafimy obliczyć jego wartość tylko wtedy, gdy jesteśmy w stanie okre­ślić granice całkowania. Wyrażając element masowy dm przez gęstość p oraz odpowiedni element objętości dV, dm = p dV, wzór przyjmuje postać bardziej praktyczną:

Zakładamy ciągły i równomierny rozkład masy.

W ćwiczeniu poznajemy jedną z metod doświadczalnego wyznaczania momentu bezwładności. Kształt ciała badanego w tym ćwiczeniu w małym stopniu reprezentuje przypadki realne, natomiast daje możliwość dokład­niejszego prześledzenia zjawisk oraz zbadania związków między występującymi wielkościami fizycznymi. Nazwijmy to ciało krzyżakiem. Krzyżak jest osadzony na osi, wokół której może się obracać z minimalny­mi oporami ruchu. Na osi krzyżaka jest nawinięty (jedną warstwą) cienki sznurek z podwieszonym ciężarkiem C o masie m. Ciężarek ma względem obranego poziomu odniesienia energię potencjalną:

gdzie:

m – masa ciężarka C

h – wysokość nad wybranym poziomem odniesienia.

Pod wpływem siły ciężkości P ciężarka C krzyżak będzie się obracał ruchem jednostajnie przyspieszonym, zyskując energię kinetyczną ruchu obrotowego E1

gdzie:

I - moment bezwładności,

 - prędkość kątowa.

Również ciężarek zyskuje energię kinetyczną, lecz ruchu postępowego E2

gdzie:

v - prędkość liniowa.

Układ zyskuje energię kinetyczną (E1 + E2) kosztem malejącej energii potencjalnej E ciężarka. Przyjmując założenie, że opory ruchu są do pominięcia, możemy przed­stawić zasadę zachowania energii w tym układzie równaniem:

E = E₁ + E₂

Po podstawieniu odpowiednich wzorów otrzy­mujemy równanie:

Zasada zachowania energii, wyrażona powyższym wzorem, jest spełniona dla każdej chwili t ruchu całego układu, w szczególności dla chwili końcowej ruchu układu, a więc w momencie całkowitego rozwinięcia się sznurka z osi O.

Moment bezwładności I krzyżaka nie da się obliczyć bezpośrednio z powyższego równania, ponieważ wartości chwilowe v oraz w są trudne do zmierzenia bezpośredniego. Możemy je jednak wyrazić przez wielkości łatwo mierzalne - drogę (h) oraz czas (t).

Dla ruchu jednostajnie przyspieszonego bez prędkości początkowej mamy wzór na prędkość:

v = a t

gdzie:

a - przyspieszenie,

t - czas trwania ruchu

oraz wzór na drogę s:

lub:

Z powyższego wzoru i wzoru: v = a t otrzymujemy:

Znamy też związek między v i :

gdzie:

r - promień (średnicy)

- prędkość kątowa krzyżaka (jednakowa dla wszystkich punktów, gdyż jest to bryła sztywna)

v - prędkość liniowa czyli obwodowa osi O równa prędkości opadania ciężarka.

Podstawiając dwa powyższe równania do równania otrzymujemy:

L + R (m)	m (kg)	r (m)	h (m)	t (s)	I (kg m^2)