Zadanie 1) Zbadano długość sieci wodociągowej w Warszawie w latach 2000-2006:

Lata	Długość sieci (w km) (yi)	Okresy (ti)	(yi^)
2000 2001 2002 2003 2004 2005 2006	1849 1890 2006 2014 2027 2067 2112	-3 -2 -1 0 1 2 3	1870,29 1911,86 1953,43 1995,00 2036,57 2078,14 2119,71
Suma	13 965	0	X

a) przedstaw dane na wykresie

b) wyznacz tendencję rozwojową w postaci liniowej funkcji trendu stosując METODĘ UPROSZCZONĄ

Najpierw nadajemy poszczególnym latom okresy t − od -3 do +3 (kolumna 3) pamiętając, że w METODZIE UPROSZCZONEJ ich suma musi się równać zero

Potem rozwiązujemy układ równań lub podstawiamy do gotowych wzorów na parametry „a” i „b” - w układzie równań i we wzorach tam gdzie była Σt tam będzie teraz zero czyli ten składnik znika

Otrzymujemy w ten sposób funkcję trendu:

y^ = 1995,0 + 41,57 t

Interpretacja parametrów:

b = 41,57 oznacza, że w latach 2000 - 2006 z roku na rok długość sieci wodociągowej w Warszawie rosła średnio o 41,57 km

a = 1995,0 oznacza, że średnia roczna długość sieci w latach 2000 - 2006 wynosiła 1995,0 km (tu jest różnica w porównaniu z metodą klasyczną)

c) oceń dopasowanie tej funkcji

Do oceny dopasowania potrzebne są wartości teoretyczne (kolumna 4), które odczytujemy podstawiając odpowiednie okresy (t=-3,-2,...,+2,+3) do funkcji trendu

• Współczynnik determinacji d = 91,79 %

• Współczynnik indeterminacji ϕ² = 8,21 %

Odp. Funkcja trendu y^ = 1995,0 + 41,57 t w 91,79 % wyjaśnia kształtowanie się długości sieci w latach 2000-2006, a w 8,21 % zmiany długości sieci w badanym okresie nie są przez nią wyjaśnione

• Odchylenie standardowe reszt (średni błąd szacunku) Sy = 29,43 km

Odp. Dane empiryczne różnią się od teoretycznych przeciętnie o +- 29,43 km. Rzeczywista długość sieci wodociągowej w poszczególnych latach różni sie od teoretycznej przeciętnie o +- 29,43 km

• Współczynnik zmienności resztowej Wy = 1,48 %

Odp. Odchylenie standardowe reszt stanowi zaledwie 1,48 % średniej długości sieci (Yśr) (nie przekracza 20 %) więc badana funkcja jest dopuszczalna

d) nanieś funkcję trendu na wykres

(należy ją również podpisać tzn. wzór na czarnej linii)

e) oszacuj długość sieci w 2008 roku

...czyli dla okresu t=5

Podstawiamy t=5 do funkcji trendu i otrzymujemy:

y^ (t=5) = 2202,86 km

y (t=5) = y^ +- Sy

y (t=5) = 2202,86 +- 29,43 km

Odp. W roku 2008 należy się spodziewać teoretycznie 2202,86 km, natomiast w rzeczywistości długość sieci różnić się będzie od tej liczby przeciętnie o +- 29,43 km (tyle co wynosi Sy)

Zadanie 2) Liczba zgonów niemowląt (w tysiącach) w latach 1996-2005 kształtowała się następująco:

Lata	Liczba zgonów (yi)	Okresy (ti)	(yi^)
1996 1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003 2004 2005	8,0 7,5 5,8 5,2 4,2 3,8 3,5 3,2 2,9 2,7	-9 -7 -5 -3 -1 1 3 5 7 9	7,36 6,77 6,17 5,57 4,98 4,38 3,79 3,19 2,59 2,00
Suma	46,8	55	X

a) przedstaw dane na wykresie

b) wyznacz tendencję rozwojową w postaci liniowej funkcji trendu stosując METODĘ UPROSZCZONĄ

Najpierw nadajemy poszczególnym latom okresy t − od -9 do +9 (kolumna 3) z przeskokiem co 2 jednostki (bo to METODA UPROSZCZONA i występuje parzysta liczba lat)

Potem rozwiązujemy układ równań lub podstawiamy do gotowych wzorów na parametry „a” i „b” - w układzie równań i we wzorach tam gdzie była Σt tam będzie teraz zero czyli ten składnik znika

Otrzymujemy w ten sposób funkcję trendu:

y^ = 4,68 - 0,30 t

Interpretacja parametrów:

b = - 0,30 oznacza, że w latach 1996 - 2005 co pół roku liczba zgonów niemowląt malała średnio o 0,30 tysięcy (czyli o 300 niemowląt) (tu jest różnica w porównaniu z metodą klasyczną)

a = 4,68 oznacza, że średnia roczna liczba zgonów niemowląt w latach 1996 - 2005 wynosiła 4,68 tysięcy (tu jest różnica w porównaniu z metodą klasyczną)

c) oceń dopasowanie tej funkcji

Do oceny dopasowania potrzebne są wartości teoretyczne (kolumna 4), które odczytujemy podstawiając odpowiednie okresy (t=-9,-7,...,+7,+9) do funkcji trendu

• Współczynnik determinacji d = 91,19 %

• Współczynnik indeterminacji (fi)² = 8,81 %

Odp. Funkcja trendu y^ = 7,96 - 0,60 t w 91,19 % wyjaśnia kształtowanie się zgonów niemowląt w latach 1996-2005, a w 8,81 % zmiany te nie są przez nią wyjaśnione

• Odchylenie standardowe reszt (średni błąd szacunku) Sy = 0,60 tys.

Odp. Dane empiryczne różnią się od teoretycznych przeciętnie o +- 0,60 tys. zgonów. Rzeczywista liczba zgonów w poszczególnych latach różni sie od teoretycznej przeciętnie o +- 0,60 tys.

• Współczynnik zmienności resztowej Wy = 12,72 %

Odp. Odchylenie standardowe reszt stanowi 12,72 % średniej liczby zgonów (Yśr) (nie przekracza 20 %) więc badana funkcja jest dopuszczalna

d) nanieś funkcję trendu na wykres

(należy ją również podpisać tzn. wzór na czarnej linii)

e) oszacuj liczbę zgonów w 2007 roku

...czyli dla okresu t=13

Podstawiamy t=13 do funkcji trendu i otrzymujemy:

y^ (t=13) = 0,80 tys.

y (t=13) = y^ +- Sy

y (t=13) = 0,80 +- 0,60 tys.

Odp. W roku 2007 należy się spodziewać teoretycznie 0,80 tysięcy zgonów, natomiast w rzeczywistości liczba ta różnić się będzie od teoretycznej przeciętnie o +- 0,60 tys. zgonów (tyle co wynosi Sy)

---