Pr
P z
r y
z kł
k ad 1
Ułożyć równanie ruchu u =(u ,t) dla czwórnika 2
1
elektrycznego dysypatywnego o sygnale wejściowym (wymuszeniu) G =u i sygnale wyjściowym (odpowiedzi) u .
k
1
2
1
Zmi
m e
i nn
n a uogóln
l i
n ona
n
Uk
U ł
k ad
d el
e e
l kt
k ry
r czn
z y
n (k=1
= )
Ws
W p
s ółr
ł zęd
ę na
n
a uogó
g ln
l io
i na
n
a qk
Q
Q (ła
ł d
a unek
e kond
n en
e sa
s t
a ora)
•
•
Pręd
ę kość
ś uo
u gó
g ln
l i
n o
i na
n
a q
Q = i (pr d ładowania)
k
= i (pr
k
ąd ładowania)
•
2
Ene
n r
e gia
i kin
i et
e yc
y z
c na
n
a T
M Q
(dła
ł wik
i a)
2
Ene
n r
e gia
i potenc
n ja
j łu
ł V
Q2
V
Q
(ko
k nd
n en
e s
n a
s t
a ora)
C
2
•
2
2
Fu
F nk
n cja
j La
L ng
n rang
n e’a
’
a L=
L T
= -V
M Q
Q
V
L =
−
2
2C
•
2
Fu
F nk
n cja
j st
s rat Rayl
y e
l ig
i ha
h
a F
R Q
F
2
Wy
W mu
m sz
s e
z nie
i Gk
G
u1(t
( )
) (na
n p
a ię
i c
ę ie
i
e doprowa
w d
a zo
z ne
n )
L
∂
L
∂
Q
= −
q
∂
q
∂
Q
∂
C
k
Q
∂
k
d ∂L
∂
2
•
−
d L
∂
d
d Q
−
−
= −
= −
•
−
= − M Q = M
dt
•
•
2
dt
dt
∂ q
dt
dt
dt
q
∂ Q
k
∂ Q
k
F
∂
•
− F
∂
F
∂
dQ
−
−
= −
= −
•
−
= −R Q =
•
R Q
R
•
•
∂q
dt
q
∂ Q
k
∂
k
2
1
Obliczamy
Q
d 2 Q
dQ
−
− M
− R
= − u ( t )
C
2
1
dt
dt
Uwzględniając Q=C u otrzymamy ostatecznie 2
2
d u
du
2
2
MC
+ RC
+ u = u ( t) 2
2
1
dt
dt
3
Pr
P z
r y
z kł
k ad 2 - ukł
k ad liniowy
• Ułożyć równanie ruchu dla przetwornika konserwatywnego o stałej sprężyny K i masie rdzenia stalowego m (drgania własne przekaźnika).
4
2
Zmie
m nna uogólnio
l
na
Ukła
k d ele
l kt
k ry
r czny
z
(k=1
= )
Układ me
m chaniczny
z
(k=
k 2
= )
Współr
ł zędna
n
a uogó
g ln
l io
i na
n
a
Q (ła
ł dunek kond
n en
e satora)
x
x
qk
•
•
•
Pr
Prędkość
ś uo
u gó
g ln
l io
i na
n q
Q = i (pr
x = v
k
= i (pr
x
ąd ładowania)
=
k
ąd ładowania)
2
•
2
•
•
Ene
n r
e gia
i kin
i etyc
y z
c na
n T
M ( x) Q
m x
(dła
ł wik
i a)
2
2
x
x
2
x
Ene
n r
e gia
i potenc
n ja
j ln
l a V
Q2
Q
∫f dx Kxdx K
spr
=∫ Kxdx =
spr
=∫
(ko
k nd
n ens
n a
s tora)
2
C
2
0
0
C
2
• 2
•
• 2
•
2
2
Fu
F nk
n cja
j Lang
n rang
n e’a
Q
m x
Q
x
a
M ( x)
+
−
+ K
L=T
= -V
2
2 2 C
2
2
Fu
F nk
n cja
j strat Rayl
y e
l ig
i ha
h
a F
0
0
Wymu
m sze
z nie
i Gk
0
0
L
∂
∂L
∂
Q
1
• 2
1
•
= − = − ∫idt
L
∂
Q
dM ( x)
q
∂
∂
=
− Kx
k
∂Q
C
C
=
− Kx
k
Q
C
C
∂ x
2
dx
d ∂L
∂
•
2
d ∂ L
d •
d ∂
−
d ∂ L
d
d
L
d x
−
−
= − Q M ( x)
−
= − m
•
•
2
dt
•
•
2
dt
dt
dt
dt
∂ q
∂ Q
∂ x
k
∂ Q
∂ x
k
1
d
L
∂
d
L
∂
∫ idt + ( i M ( x)) 2
2
)
−
= 0
d x
i
dM ( x)
−
= 0
C
dt
m
+ Kx =
2
dt
2
∂
dt
2
dt
∂ q
∂
k
∂ q k
k
Prawa strona równania mechanicznego przedstawia siłę wciągania rdzenia.
5
Pr
P z
r y
z kł
k ad 3 - prz
r e
z t
e w
t orn
r ik
k liniowy
Sformułować
model
matematyczny
elementu
elektromaszynowego
stycznika
o
ruchu
posuwisto
zwrotnym.
Rdzeń ruchomy o masie m i przekroju A ślizga się w rdzeniu nieruchomym w łożyskach niemagnetycznych o grubości ścianek d (razem ze szczeliną).
Na rdzeń nieruchomy działają siły mechaniczne:
siła sprężyny f =Kx, równa zeru dla x=x .
sp
0
zewnętrzna siła wymuszająca f (np. obciążenie),
własna siła elektrodynamiczna f przyci e
ągania,
siła tarcia f =Dv (tarcie statyczne pomin t
ąć).
6
3
Przykład 3
Element elektromechaniczny
stycznika (przetwornik liniowy)
7
Rozwiązanie
• Pomijając reluktancję rdzeni
wobec reluktancji szczeliny
powietrznej otrzymamy
2
z2A
ψ = M i, gdzie M = Λz = µ
• dla x=0,
0
0
0
0
d
• dla x>0,
d
d
ψ ( x) =
ψ =
M i = M ( x i
)
d + x
0
d + x
0
• gdzie
B
M(x) =
,
B = M d = µ z2 .
A
d + x
0
0
8
4
2
•
1
2
•
m x
Energia kinetyczna
T =
(
M x) Q +
2
2
( x − x )2
0
=
Energia potencjalna
V
K
2
2
2
1
•
1
•
F =
R Q + D x
Funkcja strat Rayleigha
2
2
9
Rozwiązanie
Siły więzów
Q =u(t), Q =f(t)
1
2
Funkcja stanu
2
2
•
•
B Q
m x
( x − x )
L = T - V
0
=
+
− K
=
2( d + x)
2
2
2
2
•
•
2
µ z AQ
m x
( x − x )2
0
0
=
+
− K
2( d + x)
2
2
10
5
Zm
Z i
m e
i nna uogó
g l
ó n
l io
i na
a
Uk
U ł
k ad
a el
e e
l kt
k ry
r c
y zn
z y
y (k
( =1
= )
1
Uk
U ł
k a
ł d me
m c
e han
a iczn
z y
y (k
( =
k 2)
2
Wsp
s ó
p łr
ł zę
z dna
n uo
u gó
g ln
l i
n o
i na
n
a qk
q
Q
x
x
L
∂
2
2
L
∂
z A
•
µ
A
µ0
0
−
Q − K ( x −
∂
0
Q
K ( x
x )
2
0
∂q
2
q
+
k
2( d
k
2(
x)
•
2
d µ z AQ
0
−
=
d ∂ L
∂
dt ( d + x)
2
d
dx
d x
-
− m
= − m
•
2
dt
•
2
dt
dt
dt
∂ q
2
2
q
µ
µ
k
µ z A di
0
k
z A d
z Ai dx
0
0
−
+
( d + x) dt
( d + x 2
x) dt
F
∂
•
− F
∂
dx
•
−
- D x
= −D
•
•
∂
− RQ = − Ri
R
dt
∂ qk
Gk
u(
u t)
t
f(
f t)
11
• Po zsumowaniu otrzymujemy dla przebiegów elektrycznych (k=1)
2
2
µ z A di µ z A
dx
0
0
Ri +
−
i( t)
= u( t)
( d + x) dt
( d + x)2
dt
• a dla przebiegów mechanicznych 2
2
d x
dx
µ z A
m
+ D
+ K( x − x ) 0
2
+
i = f ( t)
2
0
dt
dt
(
2 d + x)2
• Jak
widać
istnieje
ścisła
współzależność
pomiędzy
przebiegami elektrycznymi i mechanicznymi, co objawia się nieliniowością otrzymanego równania. Składniki w ramce przedstawiają jednocześnie wyrażenie na chwilowe siły elektrodynamiczne.
12
6
Przykład 4 - przetwornik obrotowy
• Napisać wzór na moment elektrodynamiczny chwilowy i ułożyć równania ruchu dla przetwornika obrotowego o momencie bezwładności J.
13
Na wirnik działają następujące momenty:
zależny od prądu i moment reluktancyjny m , k
e
moment
sprężyny
zwracającej
o
stałej
K
•
(współczynnik kątowy sprężystości mechanicznej ϕ
równy momentowi jednostkowemu): moment ten równa się zeru przy położeniu początkowym ϕ , 0
moment
tarcia,
proporcjonalny
do
prędkości
kątowej dϕ/dt, ze współczynnikiem kątowym tarcia D, równym momentowi jednostkowemu; tarcie statyczne pomijamy.
14
7
Stojan posiada dwa uzwojenia o indukcyjnościach własnych równych:
∞
∧
M ( ϕ ) = ∑ M
cos( νϕ + ψ )
1
1 ν
ν
ν =1
•
ϕ
M
( ϕ ) = a + bM ( ϕ )
2
1
i wzajemnej M
(ϕ) = const (małe wychylenia): 12
Uzwojenia
są
zasilane
ze
źródeł
o
napięciu
wymuszającym u (t) i u (t).
1
2
15
Zmienne
Układ ele
l ktry
r czn
z y
uogóln
l ione
Układ mechaniczn
z y (k=2)
k=1
k=2
qk
Q1
Q2
φ
•
•
•
•
q
Q = i
Q = i
ϕ = Ω
k
1 = i
Q
1
2 = i
2
ϕ = Ω
k
1
1
2
2
• 2
•
• 2
2
•
•
•
•
T
Q
Q
ϕ
1
2
1
M (ϕ )
M (ϕ )
M (ϕ ) Q Q
J
1 ϕ )
+ M (
2 ϕ )
+ M (
12 ϕ ) Q Q
J
1
+
2
2
+ 12
1
2
2
2
2
2
ϕ
V
0
Q 2
Q 2
K
2
2C
• 2
•
• 2
•
• 2
•
•
•
2
2
Q
Q
ϕ
Q
ϕ
1
2
ϕ
Q 2
L=T-V
1
2
M (ϕ
M
ϕ
M
ϕ Q Q J
K
1 ϕ
( )
+ M 2 ϕ
( )
+ M 12 ϕ
( ) Q Q
1
2 + J
−
+ K
1
+
( )
2
+
( )
12
1
2 +
−
+
2
2
2 2 C
2
1
•
2
1
• 2
1
•
1
F
R Q
ϕ
1
0
D
1
0
2
2
Gk
u1(t)
u2(t
( )
0
∂
2
2
∂
i
i
[ M ϕ i
M (ϕ
( ) 1
)
1
+ M 2 ϕ
( ) 2 ]
1
+ M 2 ϕ i 2
∂
( )
∂ L
Q
1
∂ϕ
2
2
0
− 2
−
= −
∂
0
∫ i dt
∫ d
∂ q
2
q
∂
k
C
C
k
C
+
[ M 12 ϕ
(
i
) i ]
1 2
− Kϕ
12 ϕ
(
i
) i ]
1 2
− K
∂ϕ
d
d
d ∂ L
[M (ϕ
+
[M i + M (ϕ i
) ]
2
d •
d ϕ
1 ϕ)i1 + M
i ]
[M i
12 2
12 1 + M
(
2
ϕ i) ]
2
2
d •
d
dt
1
1
12 2
dt
dt
12 1
2
2
dt
J ϕ = J
dt
d
•
2
dt
dt
∂ q k
k
∂F
dϕ
•
•
Ri
D
i1
0
∂
1
0
∂ q
dt
q
d
k
16
8
Równania elektryczne mają postać: d [M (ϕ i) +M i ]+Ri = u (t)
dla k=1
dt
1
1
12 2
1
1
1 t
d
dla k=2
∫ i dt'+ [ M (ϕ) i + M i ] = u ( t) 2
2
2
12 1
2
C
dt
0
lub
1
d 2
du t
( )
i +
[ M (ϕ) i + M i ]
2
=
C 2
dt 2
2
2
12 1
dt
17
i równanie mechaniczne (k=3)
d ϕ
2
ϕ
2
d
i
M
i
M
M
1
∂ 1 ϕ
( )
2
2
∂ 2 ϕ
( )
∂ 12 ϕ
J
+ D
+ Kϕ =
+
+
( )
i i
2
dt
dt
2
ϕ
∂
2
ϕ
∂
1 2
ϕ
∂
Prawa strona tego równania przedstawia moment elektromagnetyczny chwilowy.
18
9